Hh chuyên đề 2 các trường hợp bằng nhau của tam giác

CHUYÊN ĐỀ CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC A, Tóm tắt lý thuyết 1.Hai tam giác nhau: Hai tam giác hai tam giác có cạnh tương ứng nhau, góc tương ứng { ∆ ABC = ∆ A’B’C’ AB =A' B' ; AC =A' C' ; BC =B' C' ^A = ^' B^ = ^' ;^C = ^' A; B C Các trường hợp tam giác a.Trường hợp thứ tam giác cạnh – cạnh – cạnh ( c.c.c ) Nếu ba cạnh tam giác ba cạnh tam giác hai tam giác } AB= A' B' ∆ABC = ∆ AC= A' C' BC =B ' C ' A’B’C’ (c.c.c) Nâng cao : quan hệ hai tam giác có tính chất bắc cầu Nếu  ABC =  DEF; DEF =  HIK Thì  ABC =  HIK b.Trường hợp thứ hai tam giác cạnh – góc – cạnh (c.g.c) Nếu hai cạnh góc xen tam giác hai cạnh góc xen tam giác hai tam giác } AB= A' B' ∆ABC = ∆ A’B’C’ (c.g.c) ^B= B^' BC =B ' C ' Hệ : Nếu hai cạnh góc vng tam giác vng hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng Nâng cao : Trong trường hợp cạnh – góc – cạnh, cặp góc phải cặp góc xen hai cặp cạnh Nếu khơng có điều kiện hai tam giác chưa Tuy nhiên, người ta chứng minh : Nếu hai tam giác nhọn có hai cặp cạnh đơi cặp góc tương ứng (khơng cần xen giữa) hai tam giác c.Trường hợp thứ ba tam giác góc – cạnh – góc ( g.c.g ) Nếu cạnh hai góc kề tam giác cạnh hai góc kề tam giác hai tam giác }^B=B^' ∆ABC = ∆ A’B’C’ BC =B ' C ' C^ =C^' ( g.c.g ) Nâng cao: Trong trường hợp góc – cạnh – góc, cặp cạnh phải cặp cạnh kề với hai cặp góc Nếu khơng có điều kiện hai tam giác chưa Tuy nhiên thay điều kiện cặp cạnh kề điều kiện khác sau : Nếu hai góc tam giác hai góc tam giác có cặp cạnh tương ứng hai tam giác d.Trường hợp tam giác vng  Trường hợp : hai cạnh góc vng (cạnh – góc – cạnh) Nếu hai cạnh góc vng tam giác vng hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng  Trường hợp : cạnh huyền – góc nhọn (góc – cạnh - góc) Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vng cạnh huyền góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng } ^A= ^A '=90° ∆ABC = ∆ A’B’C’ ( cạnh huyền – góc nhọn ) BC =B ' C ' ^B= B^'  Trường hợp : cạnh huyền – cạnh góc vng (cạnh – cạnh – cạnh) Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác } ^A= ^A '=90 ° ∆ABC = ∆ A’B’C’ ( cạnh huyền – cạnh góc vng ) BC =B ' C ' AC= A ' C ' Ứng dụng Chúng ta thường vận dụng trường hợp tam giác để : - Chứng minh : hai tam giác nhau, hai đoạn thằng nhau, hai góc nhau, hai đường thẳng vng góc, hai đường thẳng song song, ba điểm thẳng hàng,… - Tính : độ dài đoạn thẳng, tính số đo góc, tính chu vi, diện tích,… - So sánh : độ dài đoạn thẳng, so sánh góc,… B Các dạng tập Dạng : Chứng minh hai tam giác theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh Chứng minh hai góc dựa vào hai tam giác theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh Phương pháp : chứng minh hai tam giác theo trường hợp cạnh- cạnh – cạnh suy hai góc tương ứng Ví dụ 1: Cho hai tam giác ABC có ^A = 400, AB = AC Gọi M trung điểm BC Tính góc tam giác AMB, AMC Phân tích: Ta thấy ∆ABC có AB = AC nên ∆ABC tam giác cân M trung điểm BC từ suy ∆AMB = ∆AMC theo trường hợp (c.c.c) Cho ^A = 400 từ tính góc lại dựa vào định nghĩa hai tam giác Lời giải Xét ∆ AMB ∆ AMC có : AB = AC (giả thiết) MB = MC (giả thiết) AM chung  ∆ AMB = ∆ AMC (c.c.c)  ^A1 = ^A2 , ^B = C^ ,^ M = ^ M2 (các góc tương ứng) Ta lại có : ^A1 + ^A2 = 400 nên ^A1 = ^A2 = 200 ^ M + ^ M = 1800 nên ^ M = ^ M = 900 Suy ^B = C^ = 1800 – 900 – 200 = 700 Khai thác : giả sử tam giác ABC tam giác đều, M trung điểm BC Tính góc tam giác AMB, AMC Ví dụ : Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi M điểm nằm tam giác cho MB = MC N trung điểm BC Chứng minh : AM tia phân giác góc BAC Phân tích : Chứng minh AM tia phân giác ^ BAC ta cần chứng minh ^ BAM = C^ AM Muốn chứng minh hai góc phải chứng minh AMB =  AMC (c.c.c) Lời giải Xét AMB AMC có : AB = AC (gt) AM chung MB = MC (gt) AMB =  AMC (c.c.c)  ^ BAM = C^ AM Vậy AM tia phân giác ^ BAC (đpcm) Khai thác : c, Hãy chứng minh MN đường trung trực đoạn BC b, Ba điểm A, M, N thẳng hàng Bài tập vận dụng: Bài : Cho tam giác ABC Vẽ cung tâm A có bán kính BC, vẽ cung tâm C có bán kính AB, chúng cắt M (M B nằm khác phía AC) Chứng minh AM// BC (Trích Nâng cao phát triển Tốn tập – Vũ Hữu Bình) Bài 2: Cho tam giác ABC Vẽ đoạn thẳng AD vng góc với AB (D C nằm khác phía AB), AD = AB Vẽ đoạn thẳng AE vng góc với AC (E B nằm khác phía AC), AE = AC Biết DE = BC Tính ^ BAC (Trích Nâng cao phát triển Tốn tập – Vũ Hữu Bình) Bài : Cho đoạn thẳng AB điểm C cách hai điểm A B, điểm D cách hai điểm A B (C D nằm khác phía AB) a,Chứng minh tia CD tia phân giác góc ^ ACB b, Kết câu a có khơng C D nằm phía AB? (Trích Nâng cao phát triển Tốn tập – Vũ Hữu Bình) Bài 4: Cho ∆ ABC = ∆ A’B’C’ Gọi M M’ tương ứng trung điểm BC B’C’ Biết AM = A’M’ Chứng minh : a, ∆ AMB = ∆ A’M’B’ b, ^ AMC = ^ A ' M ' C ' Bài : Cho ∆ ABC Vẽ cung trịn tâm C bán kính AB, cung trịn tâm B bán kính AC Hai cung trịn cắt D (A D thuộc hai nửa mặt phẳng bờ BC) Chứng minh CD // AB BD // AC Bài : Cho góc nhọn xOy Trên tia Ox Oy lấy tương ứng hai điểm A B cho OA = OB, vẽ đường trịn tâm A tâm B có bán kính cho chúng cắt hai điểm M, N nằm góc xOy Chứng minh : a,OMA =  OMB ONA =  ONB b, Ba điểm O, M, N thẳng hàng c, AMN = BMN d, MN tia phân giác góc AMB Bài : Cho ∆ ABC có AB = AC Gọi H trung điểm cạnh BC a, Chứng minh AH vng góc với BC tia phân giác góc BAC b, Trên tia đối HA lấy điểm K cho HK = HA, chứng minh CK // AB Bài : Cho ∆ ABC có AB = AC Gọi D E hai điểm BC cho BD = DE = EC a, Chứng minh ^ EAB = ^ DAC b, Gọi M trung điểm BC, chứng minh AM tia phân giác góc DAE c, Giả sử ^ DAE = 600, có nhận xét góc  AED Bài : Cho ∆ ABC, vẽ đoạn AD vng góc với AB (C D nằm hai nửa mặt phẳng đối bờ AC), AE = AC Biết DE = BC, tính ^ BAC Dạng : Chứng minh hai tam giác theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.Từ vận dụng để chứng minh hai đoạn thẳng nhau, hai góc Phương pháp : chứng minh hai tam giác theo trường hợp cạnh- góc – cạnh suy hai góc, hai đoạn thẳng tương ứng Ví dụ : Cho tam giác ABC có ^B < 90o Trên nửa mặt phẳng có chứa A bờ BC, vẽ tia Bx vng góc với BC, tia lấy điểm D cho BD = BC Trên nửa mặt phẳng có chứa C bờ AB, vẽ tia By vng góc với BA, tia lấy điểm E cho BE = BA Chứng minh : DA = EC Phân tích: Để chứng minh DA = EC ta cần chứng minh  ABD =  EBC Lời giải: Xét  ABD  EBC có : AB = BE ^ ABD = ^ EBC ( 900 - ^ ABC ) BD = BC  ABD =  EBC ( c.g.c) DA = EC Khai thác : b, Chứng minh DA vuông góc với EC Ví dụ 2: Chứng minh định lý : Trong tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh huyền nửa cạnh huyền Phân tích: Để chứng minh AM = 21 BC ta phải vẽ thêm đoạn thẳng MD cho MD = MA, AM = 21 AD Như phải chứng minh AD = BC Ta cần chứng minh  ABC = CDA từ suy cặp cạnh tương ứng Lời giải : Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD = MA Xét  AMB DMC có: MB = MC (gt) ^ M = ^ M2 (đối đỉnh) MA = MD (do cách vẽ)  AMB = DMC ( c.g.c )  AB = DC ^A1 = ^D  AB // CD ( có cặp góc so le nhau) Vì AC vng góc với AB (gt) nên AC vng góc với CD ( quan hệ tính song song vng góc ) Xét  ABC CDA có: AB = CD ( chứng minh trên) ^A = C^ = 900 AC chung   ABC = CDA ( c.g.c )  BC = AD Vì AM = 21 AD nên AM = 21 BC Khai thác : Cho  ABC, trung tuyến BD, CE Trên tia BD lấy điểm M, tia CE lấy điểm N cho BD = 21 BM, CE = 21 CN Chứng minh BC = 21 MN Bài tập vận dụng: Bài : Cho tam giác ABC, gọi D trung điểm AC, gọi E trung điểm AB Trên tia đối tia DB lấy điểm M cho DM = DB Trên tia đối tia EC lấy điểm N cho EN = EC Chứng minh A trung điểm MN (các dạng toán phương pháp giả Toán 7- tập 1) Bài : Cho tam giác ABC có ^A = 500 Vẽ đoạn thẳng AI vng góc AB ( I C khác phía AB) Vẽ đoạn thẳng AK vng góc AC ( K B khác phía AC) Chứng minh : a IC = BK b IC vng góc với BK (các dạng toán phương pháp giả Toán – tập 1) Bài : Tam giác ABC có ^A = 1000 M trung điểm BC Trên tia đối tia MA lấy điểm K cho MK = MA a Tính số đo góc ABK b Về phía ngồi tam giác ABC, vẽ đoạn thẳng AD vng góc AB, AE vng góc AC Chứng minh  ABK =  DAE c Chứng minh : MA vng góc với DE (các dạng toán phương pháp giả Toán 7- tập 1) Bài : Trên cạnh Ox Oy góc xOy lấy điểm A B cho OA = OB Tia phân giác góc xOy cắt AB C Chứng minh : a C trung điểm AB b AB vng góc với OC (Nâng cao phát triển Toán – tập 1) Bài : Cho tam giác ABC có ^A = 900, M trung điểm AC Trên tia đối MB lấy điểm K cho MK = MB Chứng minh : a KC vng góc với AC b AK song song với BC (Nâng cao phát triển Toán – tập 1) Bài : Cho tam giác ABC, D trung điểm AC, E trung điểm AB Trên tia đối tia DB lấy điểm N cho DN = DB Trên tia đối tia EC, lấy điểm M cho EM = EC Chứng minh A trung điểm MN (Nâng cao phát triển Toán – tập 1) Bài : Cho O điểm thuộc đoạn thẳng AB ( không trùng haid đầu mút) Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ tia Ox Oy cho ^ AOx = ^ BOy < 900 Lấy điểm C tia Ox điểm D tia Oy cho OC = OA OD = OB Chứng minh AD = BC (Nâng cao phát triển Toán – tập 1) Bài 8: Cho hai đoạn thẳng AB CD cắt trung điểm O đoạn thẳng Lấy điểm E đoạn thẳng AD, F đoạn thẳng BC cho AE = BF Chứng minh ba điểm E, O, F thẳng hàng (Nâng cao phát triển Toán – tập 1) Bài : Chứng minh hai cạnh trung tuyến thuộc cạnh thứ ba tam giác hai cạnh trung tuyến cạnh thứ ba tam giác hai tam giác (Nâng cao phát triển Toán – tập 1) Dạng : Chứng minh hai tam giác theo trường hợp góc – cạnh – góc Từ vận dụng để chứng minh hai đoạn thẳng nhau, hai góc nhau, đường thẳng song song, điểm thẳng hàng Phương pháp: Phương pháp : chứng minh hai tam giác theo trường hợp góc – cạnh – góc suy hai góc, hai đoạn thẳng tương ứng Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có ^A = 600 Tia phân giác góc B cắt AC M, tia phân giác góc C cắt AB N Chứng minh BN + CM = BC Phân tích: Gọi I giao điểm BM CN Ta có ^A = 600 từ suy ^I1 = 600, ^I2 = 600 Chứng minh BIN =  BID để suy BN = BD(1) Chứng minh tương tự CIM =  CID (g.c.g) suy CM = CD(2) Từ (1) (2) suy BN + CM = BD + CD = BC Lời giải : Gọi I giao điểm BM CN Ta có ^A = 600 suy ^B + C^ = 1800 - 600 = 1200 Do ^B1 + C^1 = 1200 : = 600 Vì ^I = 600, ^I = 600 Kẻ tia phân giác góc BIC cắt BC D Tam giác BIC có ^B + C^ = 1200 nên ^ BIC =11 1200 Do ^I3 = ^I = 600 Xét BIN  BID có : ^B2 = ^B1 Chung BI ^I = ^I = 600 Do BIN =  BID (g.c.g) suy BN = BD(1) Chứng minh tương tự CIM =  CID (g.c.g) suy CM = CD(2) Từ (1) (2) suy BN + CM = BD + CD = BC Khai thác : Nêu cặp tam giác hình Ví dụ 2: Chứng minh định lý : Hai đoạn thẳng song song bị chắn hai đường thẳng song song Phân tích: Việc nối AC làm xuất hình vẽ hai tam giác có cạnh chung AC Muốn chứng minh AB = CD BC = AD ta cần chứng minh ABC = CDA Do hai tam giác có cạnh (cạnh chung) nên cần chứng minh hai cặp góc kề cạnh vận dụng trường hợp góc – cạnh – góc Điều thực nhờ vận dụng tính chất hai đường thẳng song song Lời giải : Nối AC ABC CDA có: ^A1 = C^1 (cặp so le AB // CD) AC chung ^A2 = C^2 (cặp so le BC // AD) Vậy ABC = CDA (g.c.g) Suy AB = CD BC = AD Khai thác : Cho góc xOy khác góc bẹt Trên tia Ox lấy ba điểm A, B, C cho OA = AB = BC Từ A, B, C vẽ ba đường thằng song song với cắt tia Oy D, E, F Chứng minh OD = DE = EF Bài tập vận dụng: Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = AC Trên cạnh AB AC lấy điểm D E cho AD = AE Gọi K giao điểm BE CD Chứng minh : a BE = CD b KBD = KCE (Nâng cao phát triển Toán – tập 1) Bài 2: Cho tam giác ABC có ^A = 600 Tia phân giác góc B cắt AC D, tia phân giác góc C cắt AB E Các tia phân giác cắt I Chứng minh ID = IE (Nâng cao phát triển Toán – tập 1) Bài : Cho đoạn thẳng AB, O trung điểm AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ đường thẳng song song với BA, chúng cắt cạnh AC theo thứ tự G H Chứng minh EG + FH = AB (Nâng cao phát triển Toán – tập 1) Bài : Cho tam giác ABC có ^A = 900, AB = AC Qua A vẽ đường thẳng d cho B C nằm phía đường thẳng d Kẻ BH CK vng góc với d Chứng minh : a AH = CK b HK = BH + CK (Nâng cao phát triển Toán – tập 1) Bài 5: Cho tam giác ABC Vẽ đoạn thẳng AD vng góc với AB (D C nằm khác phía AB) Vẽ đoạn thẳng AE vng góc với AC (E B nằm khác phía AC) Vẽ AH vng góc với BC Đường thẳng HA cắt DE K Chứng minh DK = KE (Nâng cao phát triển Tốn – tập 1) Bài 6: Cho góc xOy khác góc bẹt điểm A góc Hãy nêu cách vẽ đường thẳng qua A cắt Ox, Oy B C cho AB = CD (bài tập nâng cao số chuyên đề Toán 7) Bài 7: Cho tam giác ABC Các điểm D M di động cạnh AB cho AD = BM Qua D M vẽ đường thẳng song song với BC cắt AC E N Chứng minh tổng DE + MN không đổi (bài tập nâng cao số chuyên đề Toán 7) Bài 8: Cho tam giác ABC,^A = 1200, phân giác BD CE cắt O cạnh BC lấy hai điểm I K cho ^ BOI = C^ OK= 300 Chứng minh : a OI vng góc với OK b BE + CD < BC (bài tập nâng cao số chuyên đề Toán 7) Bài 9: Cho tam giác ABC Vẽ phía ngồi tam giác tam giác vuông cân A ABE ACF Vẽ AH vng góc với BC Đường thẳng AH cắt EF O chứng minh O trung điểm EF (bài tập nâng cao số chuyên đề Toán 7) Dạng : Các trường hợp tam giác vuông Phương pháp: Ngoài trường hợp tam giác vuông suy từ trường hợp cạnh – góc – cạnh, góc – cạnh – góc trường hợp cạnh huyền – góc nhọn, tam giác vng cịn có trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vng Nếu cạnh góc vng cạnh huyền tam giác vuông cạnh góc vng cạnh huyền tam giác vng hai tam giác Ví dụ : Tam giác ABC có AB = 24, AC = 32, BC = 40 Trên cạnh AC lấy điểm M cho AM = 7.Chứng minh rằng: a Tam giác ABC vng b ^ AMB = 2C^ Phân tích: - Nhờ có định lý Py – ta – go mà ta tính cạnh tam giác vng biết hai cạnh cịn lại - Định lý Py – ta – go đảo cho ta thêm cách chứng minh hai đường thẳng vng góc Lời giải: a, Tam giác ABC có AB + AC = 24 + 322 = 1600 BC2 = 1600 Vậy AB + AC = BC2 Suy tam giác ABC vuông A (định lý Py – ta - go đảo) b, Áp dụng định lý Py – ta - go vào tam giác vuông AMB ta có : BM = AB + AM = 242 + 72 = 625 BM = 25 Mặt khác, MC = AC – AM = 32 – = 25 Vậy MB = MC suy MBC cân M C^ = ^B1 ^ AMB= C^ + ^B1 (tính chất góc ngồi MBC) hay ^ AMB = 2C^ Khai thác: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM phân giác a Chứng mỉnh tam giác ABC cân b Cho biết AB = 37, AM = 35 Tính BC Ví dụ : Cho tam giác vuông ABC vuông A ( AB < AC ) điểm M thuộc AC, H thuộc cạnh BC cho MH vng góc với BC MH = HB Chứng minh AH tia phân giác góc A Phân tích: Để chứng minh AH tia phân giác góc A ta cần chứng minh cặp tam giác để suy cặp góc tương ứng Lời giải: Kẻ HI vng góc với AB, HK vng góc với AC Ta có ^ HMK = ^B ( phụ với C^ ) Xét HKM HIB có: ^K = ^I = 900 HM = HB ( gt ) ^ HMK = ^B(chứng minh trên) Do HKM = HIB (cạnh huyền – góc nhọn), suy HI = HK Xét HIA HKA có : ^K = ^I = 900 HA chung HI = HK (chứng minh trên) Do HIA = HKA ( cạnh huyền – cạnh góc vng), suy ^A1 = ^A2 Do AH tia phân giác góc A Khai thác: Cho tam giác ABC có M trung điểm BC AM tia phân giác góc A Chứng minh tam giác ABC tam giác cân Bài tập vận dụng : Bài 1: Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Kẻ BH vng góc với AD ( H ∈ AE) CMR : a BH = CK b  AHB = AKC c BC // HK Bài 2: Cho tam giác ABC cân A, góc A nhọn Kẻ BD vng góc với AC (E ∈ AB ) Gọi I giao điểm BD CE Chứng minh : a AD = CE b AI phân giác góc BAC Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A Từ A kẻ AH vng góc với BC Trên cạnh BC lấy điểm E cho BE = BA Kẻ EK vng góc với AC (K ∈ AC ) Chứng minh AK = AH Bài 4: Cho tam giác ABC vuông cân A, M trung điểm BC, điểm E nằm M C Kẻ BH, CK vng góc với AE ( H K thuộc đường thẳng AE) Chứng minh : a BH = AK b MBH = MAK c MHK vuông cân Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC) Tia phân giác góc B cắt AC D Kẻ DH vng góc với BC Trên tia AC lấy điểm E cho AE = AB Đường thẳng vng góc với AE cắt tia DH K Chứng minh : a BA = BH b ^ DBK = 450 Bài 6: Cho tam giác vuông cân A Một đường thẳng d ln qua A Kẻ BH CK vng góc với d Chứng minh tổng BH + CK có giá trị khơng đổi Bài : Cho tam giác ABC có M trung điểm BC AM tia phân giác góc A Chứng minh tam giác ABC tam giác cân Bài 8: Cho tam giác ABC cân A, ^A < 900 Kẻ BD vng góc với AC, kẻ CE vng góc với AB Gọi K giao điểm BD CE Chứng minh AK tia phân giác góc A Bài : Cho tam giác có ba đường cao a Chứng minh tam giác tam giác b Biết đường cao có độ dài a √3 , tính độ dài cạnh tam giác