Chuyên đề 8 phần nguyên, phần lẻ

Chuyên đề PHẦN NGUYÊN, PHẦN LẺ A Kiến thức cần nhớ 1.Định nghĩa: Ta biết số thực x viết dạng x n  y n   y  Chẳng hạn 7,3 7  0,3 : 7,3  0,7 Hơn cách viết Ta gọi số nguyên n phần x kí hiệu  x ; cịn y gọi phần lẻ x kí hiệu  x Từ phân tích trên, ta rút định nghĩa  Định nghĩa Phần nguyên x, kí hiệu  x số nguyên lớn không vượt x; phần lẻ x x   x kí hiệu  x Tính chất:  x  x  x ;  x  x  x  ;  x  x  x 1;  x 1   x x;  Nếu k    x  k  x  k  x  k  x ;   x 1 B Một số ví dụ Ví dụ 1: Tìm phần ngun, phần lẻ số hữu tỉ x, biết: a) x  2020; v) 21,12; c) x  11 ; x 21 21 d) 73 Giải a)  x  2020; x 0 b)  x 21; x 0,12 11 10  x  1; x   ( 1)  c) 21 21 d)  x 0; x 21 73 Ví dụ 2: Tìm  x biết: x   x  0,6 Giải  Tìm cách giải: Nếu số hữu tỉ x bị “kẹp giữa” hai số nguyên liền  x số nhỏ hai số nguyên tức n x  n 1 với n    x n  Trình bày lời giải Vì x  0,6    0,6 8,  mà x    x  nên  x 8 Ví dụ 3: Tìm phần nguyên số hữu tỉ x biết: a) 12  x  12,5; b) x  0,1   x; c)  14,11  x   14; d) x   10  x  Giải  Tìm cách giải Tương tự ví dụ Chúng ta tìm số nguyên n cho n x  n 1 với n    x n  Trình bày lời giải a) Ta có: 12  x 12,5  12  x 13   x 12 b) Ta có:  14,11  x   14   15  x   14   x  15 c) Ta có: x  0.1   x   0.1 8,1  mà x >   x    x 8 x    10  x   10    11 x   10   11  x   10   x  11 d) Ta có: mà A 111      A Ví dụ 4: Đặt 2015 2016 2017 2024 Tìm Giải  Tìm cách giải Với ý tưởng ví dụ Chúng ta tìm số ngun n cho n A  n 1 với n    A n Nhận thấy mẫu số biểu thức A có 10 phân số, việc đánh giá nên dùng phương pháp so sánh tử nhóm thích hợp phân số  Trình bày lời giải      A  403.404  A  201 Ta có: 2015 2024 2015 2020 807        Mà: 2015 2024 2016 2018 2020 2022 2024 1 1 1 1 11            A  202  1008 1012  1010  1009 1011  1010 202  A  202   A 201 Ví dụ 5: Tích T 1.2.3 100 có thừa số phân tích thừa số nguyên tố? Giải  Tìm cách giải Việc tìm có thừa số phân tích T thừa số nguyên tố theo cách đếm khó khăn Khi phân tích đề bài, cần tìm số chia hết cho lũy thừa 3, sau cộng lại  Trình bày lời giải Ta có nhận xét bắt đầu kê từ số 1, số lại có bội 3, số (32 ) lại có bội 9, 27 số (33) lại có bội 27;… Do số thừa số phân tích T thừa số nguyên tố bằng:    1000      1000      1000      1000      1000      1000      1000    3  3  3  3  3  3  333 111  37 12  1 498 1000 (Vì số 37 có phần ngun nên ta khơng tiếp tục tìm phần ngun số tiếp theo)  Tổng quát Số thừa số nguyên tố p phân tích R 1.2.3 n , thừa số nguyên tố là: n  n   n   n            k   p   p   p   p  với k số mũ lớn cho p n k Ví dụ 6: Tìm số hữu tỉ x, biết rằng: a)  3x  4 x; b)  x 8  3x; c)  5x  3 2x 1 Giải  Tìm cách giải Tìm số hữu tỉ x có chứa phần nguyên đề bài, có định hướng sau:  A B B số nguyên  Nếu A số nguyên A = B  Nếu khơng rõ A số ngun B A  B 1  Trình bày lời giải a) Vì  3x  4 x  x  Z Ta có  3x  4 x  x 3x   x 1 3x  x x 2      x  2,5 3x   x 1 x   Mà x   nên x 2 b)  x 8  3x (*)  3x t(t  )  x  t Đặt   t  8 t Thay vào (*) ta được:    t  t t 6 3     21 t t  5 8  t 1  4    t 6 mà t   t 6, suy x  c)  5x  3 2x 1 (**) Đặt 2x 1 t(t  )  x t  thay vào (**) ta được:  t   3 t     5t  11 t 2   2 5t  11 t  11 t  3 2 5t  11 2t 3  5t  11   5t  11  2t   13   t 1 t  4   3  32 t41 x 4  3 mà t  Z  t 4 từ suy 2  x   x  1   2x Ví dụ 7: Với x số thực Chứng minh   Giải x1  Tìm cách giải Nhận thấy x đơn vị Do nên so sánh  x  x <  x  x  1   x   x 1  x  1  với Bởi   ,   Từ tốn cần xét hai trường hợp  Trình bày lời giải  Trường hợp  x    x  1   x  x  1   x   x  1   x Xét  2  2  2  x   x  1   x  x 2. x Do   Còn  2x  2 x  2 x  2 x   2 x  2 x  x   x  1   2x Từ suy  2  x 1  Trường hợp Xét tương tự với Ví dụ 8: Tìm x, biết:    5x   15x  ;    2x  1     4x 1 5x  a)   b)     Giải 15x  t(t  Z)  x 5t  a) Đặt 15 Thay vào đề bài, ta có:   15  5t   t   30t 117  t   30t 117  t 1 8  120  120    30t 117  120t  120   t  117 t  0;1 30 90 t  Z nên Với t 0  x  15 Với t 1  x 12 4 15  4 x ;  Suy 15  2x  y  x 3y 1, b) Đặt thay vào đề bài, ta có:  y   y  1  5y   2y 5y  (*)   Áp dụng ví dụ 7, suy 5y  t(t  Z)  y 2t 1 Đặt Thay vào (*), ta có:    4t   t  4t   t     t 2  5 1  x  ; ; ; ;2 Vì t  Z, nên t   2; 1;0;1;2 suy 5  C Bài tập vận dụng 8.1 Tìm phần nguyên phần lẻ x, biết rằng: a) x  5; b) x 2, 45; c) x  3,62; x  d) 14 8.2 So sánh phần nguyên số hữu tỉ sau: 21 15 19 b) x  ; y  ;z  x  ;y  ;z  ; 10 a) 10 73 8.3 Tìm phần nguyên số hữu tỉ x, biết rằng: a) x   x  0,8; b) x  0,7   x; c) 13  x  13,8; d) x    x  0,12 8.4 Tìm  x biết: x  11.2  12.3  13.4   n(n 1) , với n số nguyên dương S      8.5 Tìm phần nguyên của: 2011 2012 2013 2019 2020 n  n  n  n Sn              a 8.6 Với số nguyên dương n, đặt        n  , kí hiệu số ngun lớn khơng vượt a Tính S1;S2;S3; ;S6 B  1      3    100  8.7 Tính tổng:         8.8 Giả sử a;n N Chứng minh rằng:    n     n  1 1 a) Nếu na  a   a   n  n  1  b) Nếu n không chia hết cho a a0  a   a     8.9 Chứng minh với số thực  2x 2 x 2 x 1    n      n 1 n 8.10 Cho n số nguyên dương, chứng minh:     8.11 Nếu x y Chứng minh  x  y 8.12 Tìm số nguyên x biết:    3x 1 1;    7x  5  a)   b)   8.13 Tìm x, biết:  x 1  x  2  x  3 10 A    n      n 1 8.14 a) Cho     Với giá trị n   A chia hết cho 2? B    n      n 1     n   b) Cho       Với giá trị n   B chia hết cho 3? 8.15 Số 2020! Có tận chữ số 8.16 Đặt xn    n 1     n  , với n số nguyên dương Hỏi 2020 số:  x1; x2; x3; ; x2020 có    2 số khác 0? HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 8.1 a)  x  5; x 0 b)  x 2; x 0,45 c)  x  4; x 0,38 d)  x  1; x 13 14 8.2 a)  x 0; y 1; z 0 nên  x  z   y b)  x  4; y  4; x  nên  x  y  z 8.3 a) Ta có:  x  0,8  8,2  x  8,2  x    x    x 8 b) x  0,7 8  x  8,7   x  8,7   x    x 8 c) 13  x 13,8  13  x 14   x 13 d)   0,12  x     5,12  x      x     x  8.4 Ta có: x 1         x 1  n   x 0 22334 n n 1 n 1 n 1 8.5 Ta có: 10      10  2011  S  2020  201,1  S  202 2020 2011 2012 2020 2011 10 10 Vậy phần nguyên S 201 S1    1 1;S2          2 1 3 8.6  1 1 2 S3    3          3 3 11 5  1  2  3 S4                    4  11 8 1  2  3  4 S5    5          5          5 5  11 1 10  1  2  3  4  5 S6                              6   11 1 14  1  2  3  4  5  6 8.7 Ta ý rằng: n  k  n1 với n2 k  (n 1)2 nên  k  n   1 1;  1; 3 1;  2; 5 2;   2;  2;  2               100  10 Làm tương tự vậy,….,   Vậy tổng B 1.3  2.5  3.7  4.9  5.11  6.13  7.15 8.17  9.19 10 625    n   k k 1 8.8 a) Nếu na, đặt n ak (k  N) Ta có:  a     n  1    ak  1  k  1  a  1 k      n  1 1 k (2) a  a   a  a Từ (1) (2), suy điều phải chứng minh b) Nếu n không chia hết cho a, đặt n ak  r (với  r  a)     n     ak  r   k  r  k (3) a  a   a    n  1    ak  r  1  k   r  1 k (4) Và  a   a   a  Vì r   a  r  1 a 8.9 Nếu  x  0,5 Ta có 2x  2 x 2 x  x   2 x 2 x 1 2x  2 x 1 Mặt khác, hiển nhiên 2 x 2x tức 2 x 2x  2 x 1   2x 2 x - Nếu  x  0,5 Ta có: 2x  2 x 2 x 1  2 x 1  2x Mặt khác, ta có:  x 1  2x  2 x 2 x   2x  2 x  Tức là: 2 x 1  2x  2 x  suy  2x 2 x 1 8.10 *    n      n 1  k   k  1  2k n - Xét n số chẵn (n 2k,k  N ) thì:      2 *    n      n 1  k  1   k 1 2k 1 n - Xét n số lẻ (n 2k 1,k  N ) thì:          n      n 1 n Vậy ta ln có:     8.11 Vì x y nên tồn  0 cho x y   Đặt y  y  y  x  y  y   suy  x  y   y   Vì  0  y 0 nên  x  y 8.12 a) 3x 1   3x 1 10  3x  Vì x   nên x  1;2 b)  7x      7x      7x  x   nên x 0 8.13 Áp dụng công thức:  n  x n  x Ta có:  x 1 x   x  10 3 x 4   x 4 Vơ lý Vậy khơng có x thỏa mãn 8.14 n 2k(k  Z)  A    2k      2k 1  k   k  1  a) Xét 2    2  A k  k 2k  A2 n 2k 1(k  Z)  A    2k 1     2k   Xét 2 2 A  k  1   k 1 k  k 1 2k 1 A  2 không chia hết cho Vậy với n 2k(k  Z) A chia hết cho n 3k(k  Z)  B    3k      3k 1     3k   b) Xét  3      B  k   k  1   k  2  k  k  k 3k  B3  3  3 n 3k 1(k  Z)  B    3k 1     3k       3k  3 Xét  3 3 3  B  k  1   k  2   k 1 k  k 1  k 1 3k   3  3 không chia hết cho Vậy với n 3k(n  Z) B chia hết cho 8.15 Ta có: 2.5 10 có tận chữ số Như muốn biết 2020!=1.2.3…2020 có tận chữ số ta cần số thừa số số thừa số phân tích số 2020! thừa số nguyên tố Mặt khác dễ thấy số thừa số thừa số nên ta cần tính số thừa số nguyên tố Kể từ số lại có bội 5; 25 52 số lại có bội 52 ; 125 lại có bội 53 ; 625 lại có số bội 54 Ta có 54  2020  55  số thừa số phân tích số 2020! thừa số nguyên tố là:    2020      2020      2020      2020  404  80 16  503  5 5  5  5  Vậy số 2020! Có tận 503 chữ số 8.16 Vì x1; x2; x3; ; x2020 nhận giá trị nên ta có: x1  x2  x3   x2020                             3      2021     2020    2021      1010 2 2 2 2  2 2       2 Vậy có tất 1010 số khác