PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 1/8 Hình học TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC phẳng CỦA TAM GIÁC A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Định lí Trong tam giác, đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng Ta có G ABC; AD tia phân giác BAC (D BC) T K DB AB L DC AC Chứng minh định lý Qua B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng AD E Ta có ^ BAE =C^ AE (gt) Vì BE // AC nên C^ AE =^ BEA (hai góc so le trong) Suy ^ BAE =^ BEA Do tam giác ABE cân B, suy BE = AB (1) Áp dụng hệ định lí Thales tam giác ACD, DB BE (2) ta có DC AC DB AB (dpcm) Từ (1); (2) suy DC AC B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Sử dụng tính chất đường phân giác tam giác để tính độ dài đoạn thẳng Bước 1: Xác định đường phân giác lập đoạn thẳng tỉ lệ Bước 2: Sử dụng đoạn thẳng tỉ lệ để tính độ dài đoạn thẳng chưa biết Ví dụ Tính x hình làm trịn kết đến hàng phần mười a) b) Trung tâm gia sư Hoài Thương Bắc Ninh Zalo: 0382254027 PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 2/8 Lời giải Hình a: Do AD đường phân giác góc A nên ta có DC AC DC AC DB DB AB AB Thay số ta có DC 8,55 3 5,1 Khi x DB DC 3 5,1 8,1 Hình b: Với KL 12,5 x IL đường phân giác góc I nên theo tính chất đường phân giác ta có Theo tính chất đường phân giác ta có KL IK 12,5 x 6, x 2175 7,3 LJ IJ x 8, 298 Dạng 2: Sử dụng tính chất đường phân giác tam giác để tính tỉ số, chững minh hệ thức, đoạn thẳng nhau, đường thẳng song song Bước 1: Xác định đường phân giác lập đoạn thẳng tỉ lệ Bước 2: Sử dụng tỉ số có, với tính chất tỉ lệ thức, tỉ số trung gian (nến cần) định lí đảo định lí Ta-lét để tính tỉ số đoạn thẳng chứng minh hệ thức Từ suy đoạn thẳng hay đường thẳng song song Ví dụ Cho tam giác cân ABC , có BA BC a , AC b Đường phân giác góc A cắt BC M , đường phân giác góc C cắt BA N a) Chứng minh MN AC b) Tính MN theo a , b MN ab ĐS: ab Lời giải a) Theo tính chất đường phân giác góc A góc C ta có BM AB a CM AC b ; (1) BN CB a AN CA b (2) BM Từ (1) (2) suy CM BN AN Theo định lý Thales đảo ta MN //AC b) Tính MN theo a , b BN Theo (2) có AN ab AB AN a b b AN AB b a b BN AB a a b BN Do MN AC nên BA MN AC MN BN BA AC a a b b ab a b Trung tâm gia sư Hoài Thương Bắc Ninh Zalo: 0382254027 PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 3/8 Ví dụ Cho tam giác ABC có AB 12 cm, AC 20 cm, BC 28 cm Đường phân giác góc A cắt BC D Qua D kẻ DE//AB ( E AC ) a) Tính độ dài đoạn thẳng BD , DC DE ĐS: DB 10,5 ; DC 17,5 ; DE 7,5 b) Cho biết diện tích tam giác ABC S Tính diện tích tam giác ABD , ADE , DCE theo S ĐS: SABD 38 S , SADE 1564 S , SDCE 25 64 S Lời giải a) Theo tính chất đường phân giác góc A ta có DB AB DB 3 DB 3 DC DC AC DC ; (1) Mặt khác DB DC BC 28 (2) Từ (1) (2) ta tính DB 10,5 cm DC 17,5 cm DE Vì DE AB nên ta có AB DC BC DE DC BC AB 17,5 28 12 7,5 cm b) Gọi AH đường cao kẻ từ A ABC Ta có SABC 12 AH BC ; SABD 12 AH BD SADC 12 AH CD Suy SABD BD BC S 38 S SADC CD BC S 58 S Chứng minh tương tự cách ADC ta kẻ đường cao DF ta SADC 12 DF AC ; SADE 12 DF AE SDCE 12 DF EC Suy SADE AE AC SADC BD BC SADC 1564 S Trung tâm gia sư Hoài Thương Bắc Ninh Zalo: 0382254027 PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 4/8 SDCE EC AC SADC DC BC SADC 25 64 S C BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Cho tam giác ABC vuông A Kẻ phân giác AD B AC (với D BC ), biết DB 15 cm, DC 20 cm Tính độ dài đoạn thẳng AB , AC ĐS: AB 3,5 cm; AC 4, cm Lời giải Theo tính chất đường phân giác ta có AB DB 3 AB 3 AC AC DC 4 (1) Mặt khác, tam giác ABC vuông A nên theo định lý Py- ta-go ta có AB2 AC2 BC2 (BD DC)2 AB2 AC2 1225 (2) Từ (1) (2) ta có hệ 3 AB AC AB 3,5 cm 4 AC 4, cm 2 AB AC 1225 Bài Cho tam giác ABC , trung tuyến AM Phân giác AMB cắt AB D , phân giác AMC cắt AC E a) Chứng minh DE song song với BC Trung tâm gia sư Hoài Thương Bắc Ninh Zalo: 0382254027 PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 5/8 b) Gọi I giao điểm DE AM Chứng minh I trung điểm DE Lời giải a) Theo tính chất đường phân giác ta có DA MA EA MA DB MB EC MC DA EA ta Mặt khác MB MC nên DB EC Theo định lý Ta-lét đảo DE//BC AD b) Theo câu a) ta có DE BC nên AB AE AC Xét định lý Ta-lét cho ABM ACM ta có AD DI AE IE AB BM AC CM DI IE Từ đó, suy BM CM mà MB CM nên DI IE hay I trung điểm DE Bài Cho tam giác ABC vuông A AB 12 cm, AC 16 cm Đường phân giác góc A cắt BC D a) Tính BC , BD CD ĐS: BC 20 cm; BD 8, cm; DC 11, cm b) Vẽ đường cao AH Tính AH , HD AD ĐS: AH 9, cm, HD 1, cm, AD 9, cm Lời giải a) Áp dụng định lý Py-ta-go ta có BC AB2 AC 20 cm Theo tính chất đường phân giác góc A ta có DB AB 3 DB 3 DC DC AC Mặt khác ta lại có BD DC BC 20 DC DC 20 DC 11, cm Do BD BC DC 20 11, 8, cm b) Ta có SABC 12 AB AC 96 cm Mặt khác SABC 12 AH BC AH 2 SABC BC 9, cm Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông AHC ta có Trung tâm gia sư Hồi Thương Bắc Ninh Zalo: 0382254027 PHIẾU BÀI TẬP TOÁN CH AC2 AH 12,8 cm Trang 6/8 Suy HD HC DC 12,8 11, 1, cm Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông AHD ta có AD AH HD2 9, cm Bài Cho tam giác cân ABC ( AB AC ), đường phân giác góc B cắt AC D cho biết AB 15 cm, BC 10 cm a) Tính AD , DC ĐS: AD 9 cm; DC 6 cm b) Đường vng góc với BD B cắt đường thẳng AC kéo dài E Tính EC ĐS: EC 30 cm Lời giải a) Ta có AD DC AC AB 15 cm (1) AD AB 15 3 DC BC 10 (2) Từ (1) (2) suy AD DC 15 AD DC Từ suy AD 9 cm, DC 6 cm b) Vì BD BE nên BE phân giác ngồi góc B tam giác ABC AE AB EC AE BC AE 10 AE 2 Khi ta có EC BC Suy AB 15 Suy 3CE 2 ( AC CE) hay CE 2 AC Do CE 30 cm D BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài Tính x hình làm trịn kết đến chữ số thập phân thứ a) b) Lời giải Hình a: Ta có BD 25 x Zalo: Trung tâm gia sư Hoài Thương Bắc Ninh 0382254027 PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 7/8 Theo tính chất đường phân giác ta có DB AB 25 x 20 x 75 10, DC AC x 15 Hình b: Ta có LJ 28 x Theo tính chất phân giác ta có LK IK x 20 x 35 17,5 LJ IJ 28 x 12 Bài Cho tam giác ABC , trung tuyến AM Tia phân giác góc AMB cắt AB D , tia phân giác góc AMC cắt cạnh AC E Chứng minh DE BC Lời giải Theo tính chất đường phân giác ta có DA MA EA MA DB MB EC MC DA EA Mặt khác MB MC nên DB EC Theo định lý Ta-lét đảo ta DE BC Bài Cho tam giác ABC có AB 15 cm, AC 20 cm, BC 25 cm Đường phân giác góc A cắt BC D a) Tính độ dài đoạn thẳng BD , DC ĐS: DB 10, cm; DC 14,3 cm b) Tính tỉ số diện tích hai tam giác ABD ACD 107 ĐS: 143 Lời giải a) Áp dụng tính chất đường phân giác góc A Ta có DB AB DB 3 DB 3 DC DC AC DC ; (1) Mặt khác DB DC BC 25 (2) Từ (1) (2) ta có tính DB 10, cm DC 14,3 cm b) Gọi AH đường cao kẻ từ A ABC S diện tích ABC Ta có SABC 12 AH BC ; SABD 12 AH BD SADC 12 AH CD Trung tâm gia sư Hoài Thương Bắc Ninh Zalo: 0382254027 PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 8/8 Suy SABD BD BC S 107 250 S SADC CD BC S 143 250 S SABD 107 Do SADC 143 Trung tâm gia sư Hoài Thương Bắc Ninh Zalo: 0382254027