4 tính chất đường phân giác của tam giác

PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 1/8 Hình học TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC phẳng CỦA TAM GIÁC A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Định lí  Trong tam giác, đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng  Ta có G ABC; AD tia phân giác BAC (D  BC) T K DB  AB L DC AC Chứng minh định lý Qua B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng AD E Ta có ^ BAE =C^ AE (gt) Vì BE // AC nên C^ AE =^ BEA (hai góc so le trong) Suy ^ BAE =^ BEA Do tam giác ABE cân B, suy BE = AB (1) Áp dụng hệ định lí Thales tam giác ACD, DB  BE (2) ta có DC AC DB  AB (dpcm) Từ (1); (2) suy DC AC B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Sử dụng tính chất đường phân giác tam giác để tính độ dài đoạn thẳng  Bước 1: Xác định đường phân giác lập đoạn thẳng tỉ lệ  Bước 2: Sử dụng đoạn thẳng tỉ lệ để tính độ dài đoạn thẳng chưa biết Ví dụ Tính x hình làm trịn kết đến hàng phần mười a) b) Trung tâm gia sư Hoài Thương Bắc Ninh Zalo: 0382254027 PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 2/8 Lời giải Hình a: Do AD đường phân giác góc A nên ta có DC  AC  DC  AC DB DB AB AB Thay số ta có DC 8,55 3 5,1 Khi x DB  DC 3  5,1 8,1 Hình b: Với KL 12,5  x IL đường phân giác góc I nên theo tính chất đường phân giác ta có Theo tính chất đường phân giác ta có KL  IK  12,5  x 6,  x 2175 7,3 LJ IJ x 8, 298 Dạng 2: Sử dụng tính chất đường phân giác tam giác để tính tỉ số, chững minh hệ thức, đoạn thẳng nhau, đường thẳng song song  Bước 1: Xác định đường phân giác lập đoạn thẳng tỉ lệ  Bước 2: Sử dụng tỉ số có, với tính chất tỉ lệ thức, tỉ số trung gian (nến cần) định lí đảo định lí Ta-lét để tính tỉ số đoạn thẳng chứng minh hệ thức Từ suy đoạn thẳng hay đường thẳng song song Ví dụ Cho tam giác cân ABC , có BA BC a , AC b Đường phân giác góc A cắt BC M , đường phân giác góc C cắt BA N a) Chứng minh MN  AC b) Tính MN theo a , b MN  ab ĐS: ab Lời giải a) Theo tính chất đường phân giác góc A góc C ta có BM  AB a CM AC b ; (1) BN CB a AN CA b (2) BM Từ (1) (2) suy CM  BN AN Theo định lý Thales đảo ta MN //AC b) Tính MN theo a , b BN Theo (2) có AN ab  AB AN a  b b  AN AB  b a  b  BN AB  a a  b BN Do MN  AC nên BA MN AC  MN BN BA AC  a a  b b  ab a  b Trung tâm gia sư Hoài Thương Bắc Ninh Zalo: 0382254027 PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 3/8 Ví dụ Cho tam giác ABC có AB 12 cm, AC 20 cm, BC 28 cm Đường phân giác góc A cắt BC D Qua D kẻ DE//AB ( E  AC ) a) Tính độ dài đoạn thẳng BD , DC DE ĐS: DB 10,5 ; DC 17,5 ; DE 7,5 b) Cho biết diện tích tam giác ABC S Tính diện tích tam giác ABD , ADE , DCE theo S ĐS: SABD 38 S , SADE 1564 S , SDCE 25 64 S Lời giải a) Theo tính chất đường phân giác góc A ta có DB  AB  DB 3  DB 3 DC DC AC DC ; (1) Mặt khác DB  DC BC 28 (2) Từ (1) (2) ta tính DB 10,5 cm DC 17,5 cm DE Vì DE  AB nên ta có AB DC BC  DE DC BC AB 17,5 28 12 7,5 cm b) Gọi AH đường cao kẻ từ A ABC Ta có SABC 12 AH BC ; SABD 12 AH BD SADC 12 AH CD Suy SABD  BD BC S 38 S SADC CD BC S 58 S Chứng minh tương tự cách ADC ta kẻ đường cao DF ta SADC 12 DF AC ; SADE 12 DF AE SDCE 12 DF EC Suy SADE  AE AC SADC  BD BC SADC 1564 S Trung tâm gia sư Hoài Thương Bắc Ninh Zalo: 0382254027 PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 4/8 SDCE  EC AC SADC  DC BC SADC 25 64 S C BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Cho tam giác ABC vuông A Kẻ phân giác AD B AC (với D  BC ), biết DB 15 cm, DC 20 cm Tính độ dài đoạn thẳng AB , AC ĐS: AB 3,5 cm; AC 4, cm Lời giải Theo tính chất đường phân giác ta có AB  DB 3  AB 3 AC AC DC 4 (1) Mặt khác, tam giác ABC vuông A nên theo định lý Py- ta-go ta có AB2  AC2 BC2 (BD  DC)2  AB2  AC2 1225 (2) Từ (1) (2) ta có hệ 3  AB  AC AB 3,5 cm 4  AC 4, cm 2  AB  AC 1225 Bài Cho tam giác ABC , trung tuyến AM Phân giác AMB cắt AB D , phân giác AMC cắt AC E a) Chứng minh DE song song với BC Trung tâm gia sư Hoài Thương Bắc Ninh Zalo: 0382254027 PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 5/8 b) Gọi I giao điểm DE AM Chứng minh I trung điểm DE Lời giải a) Theo tính chất đường phân giác ta có DA  MA EA  MA DB MB EC MC DA  EA ta Mặt khác MB MC nên DB EC Theo định lý Ta-lét đảo DE//BC AD b) Theo câu a) ta có DE BC nên AB  AE AC Xét định lý Ta-lét cho ABM ACM ta có AD  DI AE  IE AB BM AC CM DI  IE Từ đó, suy BM CM mà MB CM nên DI IE hay I trung điểm DE Bài Cho tam giác ABC vuông A AB 12 cm, AC 16 cm Đường phân giác góc A cắt BC D a) Tính BC , BD CD ĐS: BC 20 cm; BD 8, cm; DC 11, cm b) Vẽ đường cao AH Tính AH , HD AD ĐS: AH 9, cm, HD 1, cm, AD 9, cm Lời giải a) Áp dụng định lý Py-ta-go ta có BC  AB2  AC 20 cm Theo tính chất đường phân giác góc A ta có DB  AB 3  DB 3 DC DC AC Mặt khác ta lại có BD  DC BC 20  DC  DC 20  DC 11, cm Do BD BC  DC 20  11, 8, cm b) Ta có SABC 12 AB AC 96 cm Mặt khác SABC 12 AH BC  AH 2 SABC BC 9, cm Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông AHC ta có Trung tâm gia sư Hồi Thương Bắc Ninh Zalo: 0382254027 PHIẾU BÀI TẬP TOÁN CH  AC2  AH 12,8 cm Trang 6/8 Suy HD HC  DC 12,8  11, 1, cm Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông AHD ta có AD  AH  HD2 9, cm Bài Cho tam giác cân ABC ( AB AC ), đường phân giác góc B cắt AC D cho biết AB 15 cm, BC 10 cm a) Tính AD , DC ĐS: AD 9 cm; DC 6 cm b) Đường vng góc với BD B cắt đường thẳng AC kéo dài E Tính EC ĐS: EC 30 cm Lời giải a) Ta có AD  DC AC AB 15 cm (1) AD  AB 15 3 DC BC 10 (2) Từ (1) (2) suy  AD  DC 15    AD  DC  Từ suy AD 9 cm, DC 6 cm b) Vì BD  BE nên BE phân giác ngồi góc B tam giác ABC AE  AB EC  AE BC  AE 10  AE 2 Khi ta có EC BC Suy AB 15 Suy 3CE 2 ( AC  CE) hay CE 2 AC Do CE 30 cm D BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài Tính x hình làm trịn kết đến chữ số thập phân thứ a) b) Lời giải Hình a: Ta có BD 25  x Zalo: Trung tâm gia sư Hoài Thương Bắc Ninh 0382254027 PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 7/8 Theo tính chất đường phân giác ta có DB  AB  25  x 20  x 75 10, DC AC x 15 Hình b: Ta có LJ 28  x Theo tính chất phân giác ta có LK IK  x 20  x 35 17,5 LJ IJ 28  x 12 Bài Cho tam giác ABC , trung tuyến AM Tia phân giác góc AMB cắt AB D , tia phân giác góc AMC cắt cạnh AC E Chứng minh DE BC Lời giải Theo tính chất đường phân giác ta có DA  MA EA  MA DB MB EC MC DA  EA Mặt khác MB MC nên DB EC Theo định lý Ta-lét đảo ta DE BC Bài Cho tam giác ABC có AB 15 cm, AC 20 cm, BC 25 cm Đường phân giác góc A cắt BC D a) Tính độ dài đoạn thẳng BD , DC ĐS: DB 10, cm; DC 14,3 cm b) Tính tỉ số diện tích hai tam giác ABD ACD 107 ĐS: 143 Lời giải a) Áp dụng tính chất đường phân giác góc A Ta có DB  AB  DB 3  DB 3 DC DC AC DC ; (1) Mặt khác DB  DC BC 25 (2) Từ (1) (2) ta có tính DB 10, cm DC 14,3 cm b) Gọi AH đường cao kẻ từ A ABC S diện tích ABC Ta có SABC 12 AH BC ; SABD 12 AH BD SADC 12 AH CD Trung tâm gia sư Hoài Thương Bắc Ninh Zalo: 0382254027 PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 8/8 Suy SABD  BD BC S 107 250 S SADC CD BC S 143 250 S SABD 107 Do SADC 143 Trung tâm gia sư Hoài Thương Bắc Ninh Zalo: 0382254027