3 hằng đẳng thức đáng nhớ

PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 1/12 NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Bình phương tổng  Quy tắc: Bình phương tổng gồm hai số tổng bình phương số với lần tích hai số 22 (a +b) = a + 2ab+b Ví dụ: (x + 2)2 = x2 + 2×x ×2+ = x2 + 4x + Bình phương hiệu  Quy tắc: Bình phương hiệu gồm hai số hiệu tổng bình phương số với lần tích hai số 22 (a - b) = a - 2ab+b Ví dụ: (x - 3)2 = x2 - 2×x ×3+ = x2 - 6x + Hiệu hai bình phương  Quy tắc: Hiệu hai bình phương tích tổng với hiệu hai số a2 - b2 = (a +b) (a - b) = (a - b) (a +b) Ví dụ: x2 - = x2 - = (x - 2)(x + 2) Lập phương tổng 33 (a +b) = a + 3a b+ 3ab +b Ví dụ: (x + 1)3 = x3 + 3×x2 ×1+ 3×x ×12 + 13 = x3 + 3x2 + 3x + Lập phương hiệu 33 (a - b) = a - 3a b+ 3ab - b2 Ví dụ: (x - 2)3 = x3 - 3×x2 ×2+ 3×x ×22 - 23 = x3 - 6x2 + 12x - Tổng hai lập phương  Quy tắc: Tổng hai lập phương tích tổng hai số với bình phương thiếu hiệu hai số a3 +b3 = (a +b) (a2 - ab +b2) Chú ý: biểu thức a2 - ab+b2 gọi bình phương thiếu hiệu Ví dụ: x3 + 23 = (x + 2)( x2 - 2x + 22) = (x + 2)( x2 - 2x + 4) Trung tâm gia sư Hoài Thương Bắc Ninh Zalo: 0382254027 PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 2/12 Hiệu hai lập phương  Quy tắc: Hiệu hai lập phương tích hiệu hai số với bình phương thiếu tổng hai số a3 - b3 = (a - b) (a2 +ab+b2) Chú ý: biểu thức a2 +ab+b2 gọi bình phương thiếu tổng Ví dụ: x3 - 33 = (x - 3)( x2 + 3x + 32) = (x - 3)( x2 + 3x + 9) B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Thực phép tính  Vận dụng linh hoạt đẳng thức phần trọng tâm kiến thức Ví dụ Thực phép tính a) (x + 1)2 ; b) (2x - 1)2; c) (x - 3)(3+ x); d) (x2 + 2)2 Ví dụ Khai triển biểu thức sau a) (2x + 3y)2 ; b) (xy - 3)2 ; ổỗ1 ÷2 2ỗỗ x + yữữ(x - 2y)ứữ c) (2xy - 1)(2xy +1) ; d) è2 Ví dụ Khai triển biểu thức sau a) A = (x + y + z)2 ; ĐS: A = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx b) B = (a - b- c)2 ĐS: B =a +b +c -22 2ab- 2ac + 2bc Ví dụ Thực phép tính: æ 1÷ư3 ỉ y2 ử3 ữữ ỗ ỗỗx + ÷ ççx - ÷÷÷ ççè ø÷ a) (x + 3)3; b) è 3ø ; c) (x - 3y)3 ; d) Ví dụ Thực phép tính b) (2x +1)( 4x2 - 2x +1) ; a) (x - 2)( x2 + 2x + 4) ; ổ xữửổỗ x x2 ÷ư ỉ xữửổỗ x2 ữử ỗ ỗ çç1- ÷÷çç1+ + ÷÷ ỗỗy - ữữỗỗy + x + ữữ c) ố 2ữứỗố ữứ ; d) ố yữứỗố y ữứ Ví dụ Thực phép tính b) N = (1- 3x)(1+ 3x + 9x2) ; a) M = (x + 3)( x2 - 3x + 9) ; ổ 1ửữổỗ x 1ửữ ỗ P = ỗỗx - ữữỗỗx + + ÷÷ d) Q = (2x + 3y)( 4x2 - 6xy + 9y2) c) è 2ø÷è 4ø÷ ; Trung tâm gia sư Hoài Thương Bắc Ninh Zalo: 0382254027 PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 3/12 Dạng 2: Viết biểu thức dạng tích  Sử dụng cách viết ngược lại đẳng thức nêu phần trọng tâm kiến thức  Lưu ý: a ×a = a2 Như bình phương số gọi dạng tích số Ví dụ Viết biểu thức dạng bình phương tổng hiệu a) x2 + 6x + 9; b) 9x2 - 6x +1; 22 x y + xy + d) (x - y)2 + 6(x - y) + c) 4; Ví dụ Điền đơn thức vào chỗ “ ” để hoàn thành đẳng thức sau a) x2 + 6x +¼ = (x +¼)2; b) 4x2 - 4x +¼ = (2x - ¼)2 ; ỉ ÷ y2 ç (x - ẳ)ỗỗẳ + ữữ= ẳ - c) 9x2 - ¼ +¼ = (3x - 2y)2 ; d) è 3ø÷ Ví dụ Viết biểu thức sau dạng lập phương tổng hiệu: a) - x3 + 3x2 - 3x + 1; x3 + x2 + 1x + b) 27 ; c) x6 - 3x4y + 3x2y2 - y3 ; (x - y)3 + (x - y)2 + 1(x - y) + d) 27 Ví dụ 10 Viết biểu thức sau dạng tích: a) x3 + 27; x3 - c) 8x3 + y3 ; d) 8x3 - 27y3 b) ; Dạng 3: Tính giá trị biểu thức  Bước 1: Rút gọn biểu thức (nếu cần)  Bước 2: Thay giá trị biến vào biểu thức thực phép tính Ví dụ 14 Tính giá trị biểu thức: a) A = - x3 + 6x2 - 12x + x = - 28; ĐS: 27000 b) B = 8x3 + 12x2 + 6x + x = 12 ; ĐS: c) C = (x + 2y)3 - 6(x + 2y)2 +12(x + 2y) - x = 20, y = ĐS: 8000 Ví dụ 15 Tính cách hợp lí: a) Tính - 1; ĐS: 1330 11 b) Tính giá trị biểu thức x3 - y3 biết x - y = x ×y = ĐS: 378 Trung tâm gia sư Hoài Thương Bắc Ninh Zalo: 0382254027 PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 4/12 Ví dụ 16 Tính giá trị biểu thức: ĐS: 72000 a) M = (x + 3)( x - 3x + 9) - (3- 2x)( 4x2 + 6x + 9) x = 20; ĐS: b) N = (x - 2y)( x2 + 2xy + 4y2) + 16y3 biết x + 2y = Dạng 4: Tính nhanh  Áp dụng đẳng thức cách linh hoạt cho số tự nhiên Ví dụ 17 Tính nhanh a) 1012 ; b) 50 ×75 + ; c) 103×97 75 - 25 Ví dụ 18 Tính nhanh: a) 1013; ĐS: 1030301 b) + + 12×98+ 8; ĐS: 1000000 98 ×98 c) 993; ĐS: 970299 d) - 9×132 + 27×13- 27 ĐS: 1000 13 Ví dụ 19 Tính giá trị biểu thức P = 9x2 - 12x + trường hợp sau a) x = 34; ĐS: P = 10000 x=2 ĐS: P = b) ; x=- ĐS: P = 100 c) Dạng 5: Chứng minh đẳng thức Rút gọn biểu thức  Áp dụng đẳng thức cách linh hoạt để biến đổi vế thành vế đẳng thức Ví dụ 20 Chứng minh đẳng thức sau a) (a - b)2 = (a +b)2 - 4ab; b) (x + y)2 + (x - y)2 = 2(x2 + y2) Ví dụ 21 Rút gọn biểu thức sau a) M = (x + 3y)2 - (x - 3y)2 ; ĐS: M = 12xy b) Q = (x - y)2 - 4(x - y)(x + 2y) + 4(x + 2y)2 ĐS: Q = (- x - 5y)2 Ví dụ 22 Rút gọn biểu thức: a) A = (x + 2)3 +(x - 2)3 - 2x( x2 +12) ; b) B = (xy + 2)3 - 6(xy + 2)2 +12(xy + 2) - Ví dụ 23 Rút gọn biểu thức: a) A = (x - 3)( x2 + 3x + 9) - ( x3 + 3) ; Trung tâm gia sư Hoài Thương Bắc Ninh Zalo: 0382254027 PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 5/12 ổ 1ửữổỗ 1ửữ B = (2x +1)( 4x - 2x + 1) - 8ỗỗx + ữữỗỗx - x + ữữ2ỗ b) è 2ø÷è 4ø÷ ; c) C = (x + 2y)( x2 - 2xy + 4y2) - (2y - 3x)( 4y2 + 6xy + 9x2) Dạng 6****: Chứng minh bất đẳng thức; tìm GTLN GTNN biểu thức  Bước 1: Đưa biểu thức dạng bình phương tổng hiệu  Bước 2: Đánh giá dựa vào kết A2…0 - A2 „  Bước 3: Kết luận GTLN GTNN A„ M biểu thức A có GTLN M A …m biểu thức A có GTNN m Ví dụ 24 Chứng minh a) Biểu thức 4x2 - 4x + dương với x b) Biểu thức y - y2 - âm với y Ví dụ 25 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau a) M = x2 - 4x + 5; ĐS: Mmin = Û x = b) N = y2 - y - 3; ĐS: Nmin = - 13 Û y = 12 c) P = x2 + y2 - 4x + y + 11 ïìï x = ï Pmin = Û í ïï y = ĐS: ïïỵ Ví dụ 26 Tìm giá trị lớn biểu thức A = - x2 - 6x + ĐS: Amax = 10 Û x = - C BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Khai triển biểu thức sau ỉ 1÷ư2 ỗ ççx - ÷÷÷ a) (x + 3)2 ; b) è 3ø ; c) (3x - y)2; æ ửữ ỗ ỗỗx - x yữữ d) è ø÷; e) (2xy2 - 1)(1+ 2xy2) ; f) (x - y + 2)2 Bài Thực phép tính ổ 1ửữổỗ1 ữử ổ 1ữử2 ỗ ỗ2 ỗỗx + ữữữỗỗ - xữữ ỗỗx - ữữ ÷ ÷ b) (3x - 1)2 ; c) è 2øè2 ø; d) è 3ø Trung tâm gia sư Hoài Thương Bắc Ninh Zalo: 0382254027 PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 6/12 Bài Khai triển biểu thức sau a) (2x + y)2 ; b) (2- xy)2; ỉ ư÷ ỗ2 2ỗỗx + yữữ(2x - y) c) (3x - 2y)(3x + 2y) ; d) è ø÷ Bài Viết biểu thức dạng bình phương tổng hiệu a) x2 + 8x +16; b) 9x2 - 24x + 16; x2 - 3x + d) 4x2y4 - 4xy3 + y2 ; c) 4; e) (x - 2y)2 - 4(x - 2y) + 4; f) (x + 3y)2 - 12xy Bài Tính: ỉ ÷3 ỗ ỗỗx + ữữữ d) ( 2x2 + 3y) a) (x - 2)3 ; b) (2x - 3y)3; c) è xø ; Bài Viết biểu thức sau dạng lập phương tổng hiệu: a) x3 - 9x2 + 27x - 27; - x3 + 3x2 - 3x + 22 x - xy+ xy - y b) ; c) Bài Rút gọn biểu thức: a) A = x3 - 6x2 + 12x - 8; B = 1- 3x + 3x2 - x3 b) 8; c) C = (2x + y)3 - 6(2x + y)2 ×x + 12(2x + y)x2 - 8x3 Bài Tính giá trị biểu thức: a) M = 8x3 - 12x2 + 6x - x = 25,5; ĐS: 125000 N = 1- x + x2 - x3 b) 27 x = - 27; ĐS: 1000 x3 x2 x ĐS: 8000 c) Q = y3 + 6y2 +12y + x = 36, y = Bài Tính nhanh: a) ; ĐS: 132651 51 b) + 33 + ×121×89 + ; ĐS: 1000000 89 ×89 11 c) 9×232 + 27×23- 27 ĐS: 8000 23 - Trung tâm gia sư Hoài Thương Bắc Ninh Zalo: 0382254027 PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 7/12 Bài Đơn giản biểu thức: b) (3x - 1)( 9x2 + 3x +1) ; a) (x - 3)( x2 + 3x + 9) ; ổ xữửổỗ x x2 ữử ổỗx ửổx2 xy ỗ ữỗ 2ữ ỗỗ1- ữữỗỗ1+ + ÷÷ ỗỗ - yữữỗỗ + + y ữữ c) ố 2ữứỗố ữứ ; d) ố3 ữứỗố9 ữứ Bài Tính nhanh a) 1032; ĐS: 10609 b) + ×96 + ; ĐS: 10000 c) 99×101 ĐS: 9999 96 Bài Rút gọn biểu thức a) A = (2x - 3)2 - (2x + 3)2 ; ĐS: A = - 24x b) B = (x + 1)2 - 2(2x - 1)(1+ x) + 4x2 - 4x + ĐS: B = (- x + 2)2 Bài Tính: ỉ ư÷2 ỗ ỗỗ6x - y÷÷ c) ( 3x2 - 5xy3) ( 3x2 + 5xy3) a) (4x + 7)2; b) è ø÷ ; Bài Viết đa thức sau dạng bình phương tổng hiệu a) x2 - 6xy + 9y2 ; b) 4x2 + 4x + Bài Tính giá trị biểu thức a) N = x2 - 10x + 25 x = 55; ĐS: N = 2500 x4 2 x = 4;y = P = 225 P = - x y+y b) ĐS: Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau a) A = x2 - 4x + 6; ĐS: Amin = Û x = b) B = y2 - y + 1; ĐS: Bmin = 34 Û x = 12 c) C = x2 - 4x + y2 - y + 3ï ìï x = ï Cmin = Û í ïï y = ĐS: ïïỵ Bài Tìm giá trị lớn biểu thức sau a) A = - x2 + 4x + 2; ĐS: Amax = Û x = Trung tâm gia sư Hoài Thương Bắc Ninh Zalo: 0382254027 PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 8/12 b) B = x - x2 + ĐS: Bmax = 94 Û x = 12 Bài 10 Viết biểu thức dạng bình phương tổng hiệu a) x2 + 4x + 4; b) 4x2 - 4x + 1; x2 - x + d) 4(x + y)2 - 4(x + y) +1 c) 4; Bài 11 Hoàn thiện đẳng thức sau a) ¼ - 10x + 25 = (x - ¼)2 ; b) ¼ - 4x2 + x4 = (¼ - x2)2 ; c) x2 - ¼ + 9y2 = (x - ¼)2; d) (2x +¼)(¼ - y2) = 4x2 - y4 Bài 12 Chứng minh đẳng thức sau a) (a2 - 1)2 + 4a2 = (a2 +1)2 b) (x - y)2 +(x + y)2 + 2(x2 - y2) = 4x2 Bài 13 Rút gọn biểu thức a) A = (2x + y)2 - (2x - y)2; ĐS: M = 8xy b) B = (x - 2y)2 - 4(x - 2y)y + 4y2 ĐS: Q = x2 - 8xy + 16y2 Bài 14 Khai triển biểu thức sau a) C = (x + y - z)2 ; ĐS: C = x2 + y2 + z2 + 2xy - 2yz - 2zx b) D = (a +1- b)2 ĐS: D = a2 + 1+b2 + 2a - 2ab- 2b Bài Rút gọn biểu thức: a) (7x + 4)2 - (7x + 4)(7x - 4) ; b) (x + 2y)2 - 6xy(x + 2y) ổ1 ỗỗ x + 4÷÷÷ c) ( 6x2 + y2) (y2 - 6x2) ; Bi 17 Tớnh: a) ỗố2 ứữ ; b) (7x - 5y)2; d) (x + 2y)2 ; e) (x - 3y)(x + 3y) ; f) (5- x)2 Bài 15 Tính nhanh a) 5012; b) + 24 ×88 + ; c) 52×48 88 12 Bài 16 Tính giá trị biểu thức Q = 9x2 + 6x +1 trường hợp sau a) x = 33; ĐS: Q = 10000 x=- ĐS: Q = b) ; Trung tâm gia sư Hoài Thương Bắc Ninh Zalo: 0382254027 PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 9/12 ĐS: Q = 100 x = - 11 c) Bài 18 Thực phép tính ỉ 1ư÷2 ỗ ỗỗx - ÷÷÷ a) (x - 1)2 ; b) (3- y)2 ; c) è 2ø Bài 19 Viết biểu thức sau dạng bình phương tổng hiệu a) x2 - 10x + 25; b) 49+ x2 + 14x ; x2 + x + c) Bài Rút gọn biểu thức: a) P = (2x - 1)( 4x2 + 2x +1) +(x +1)( x2 - x +1) ; b) Q = (x - y)( x2 + xy + y2) - (x + y)( x2 - xy + y2) + 2y3 Bài Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị x a) A = 6(x + 2)( x2 - 2x + 4) - 6x3 - 2; b) B = 2(3x +1)( 9x2 - 3x + 1) - 54x3 Bài Tính giá trị biểu thức: a) A = (x + y)3 + x3 biết 2x + y = 0; ĐS: b) B = x3 - y3 - 3xy biết x - y = ĐS: Bài Viết biểu thức sau dạng tích: a) x3 + 1; x3 - c) x3 - 27y3 ; d) 27x3 + 8y3 b) 27 ; Bài Rút gọn biểu thức: a) A = (x + 2)( x2 - 2x + 4) - x3 + 2; b) B = (x - 1)( x2 + x +1) - (x +1)( x2 - x + 1) ; c) C = (2x - y)( 4x2 + 2xy + y2) + (y - 3x)( y2 + 3xy + 9x2) Bài a) Chứng minh A3 + B = (A + B)3 - 3AB(A + B) A3 - B = (A - B)3 + 3AB(A - B) Trung tâm gia sư Hoài Thương Bắc Ninh Zalo: 0382254027 PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 10/12 b) Áp dụng để tính 1013 - ĐS: 1030300 c) Tính giá trị biểu thức x3 + y3 biết x + y = x ×y = - ĐS: 26 Bài Tính giá trị biểu thức: a) P = (x + 4)( x - 4x +16) - ( 64- x3) x = 100; ĐS: 2000000 ĐS: b) Q = (2x - y)( 4x2 + 2xy + y2) + 2y3 biết 2x + y = Bài Tính: a) ( 2x2 + 5y) 3; b) ( 3x3 - 4xy) 3; æ 1ửữổỗ 1ửữ ỗ ỗỗ6x + ữữỗỗ36x - 3x + ÷÷ d) ( x - 5y2) ( x2 + 5xy2 + 25y4) c) è 2ø÷è 4ø÷; Bài Tính: a) (5x +1)3 ; b) (x - 2y)3; æ 1ửữổỗ 1ửữ ỗ c) (4x + 5)(16x2 - 20x + 25) ; ỗỗ6x - ữữỗỗ36x + 2x + ữữ d) è 3ø÷è 9ø÷ Bài Viết đa thức sau dạng bình phương hay lập phương tổng hiệu 25x2 - 5xy + 1y2 b) 8x3 - 12x2y + 6xy2 - y3 a) 4; Bài Điền đơn thức thích hợp vào trống ỉ 1ư÷2 + x2 ; ç ççx - ÷÷ = x -2 è xứữ a) ổỗ1 ửữổỗ1 13 13 ỗỗ x + ữữỗỗ x - 2ữ ø÷è4 + y ÷÷= x + y b) è2 ø÷ 27 Bài Rút gọn biểu thức:(3x + y)( 9x2 - 3xy + y2) - (3x - y)3 - 27x2y Bài 20 Rút gọn biểu thức: a) (x + y)2 - (x - y)2 ; b) 2(x - y)(x + y) + (x + y)2 + (x - y)2 Bài Tính nhanh (khơng dùng MTBT) a) 982; b) - 372 ; c) 1052; d) 63 97 - Bài 22 Rút gọn tính giá trị biểu thức sau với x = - 19 A = (3x + 2)2 +(2x - 7)2 - 2(3x + 2)(2x + 5) Trung tâm gia sư Hoài Thương Bắc Ninh Zalo: 0382254027 PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 11/12 x=1 Bài 23 Rút gọn tính giá trị biểu thức sau với B = (3x - 1)2 - (x + 7)2 - 2(2x - 5)(2x + 5) Bài Cho biểu thức A = 5(x + 3)(x - 3) +(2x + 3)2 +(x - 6)2 Rút gọn tính giá trị biểu x=- thức A với Bài Cho biết x +y = 15 xy = - 100 Tính giá trị biểu thức B = x2 + y2 Bài Tính nhanh giá trị biểu thức a) C = + 78×61+ ; b) D = - 49×51 39 61 50 Bài Chứng minh đẳng thức (x + y)2 - (x - y)2 = 4xy Bài Chứng minh đẳng thức 3( x2 + y2 + z2) - (x - y)2 - (y - z)2 - (z - x)2 = (x + y + z)2 Bài 17 Chứng tỏ a) x2 - 6x +10> với x ; b) 4y - y2 - < với y Bài 18 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau a) P = x2 - 6x + 11; ĐS: Pmin = Û x = b) Q = y2 + y ; ĐS: Qmin = - Û x = - 3ï ìï x = ï K = Û í ïï y = - c) K = x + y - 6x +y + 10 ĐS:22 ïïỵ Bài 19 Tìm giá trị lớn biểu thức B = 4x - x2 + ĐS: Bmax = Û x = Bài 12 Chứng minh giá trị biểu thức P = x2 - 2x + luôn dương với x Bài 13 Chứng minh giá trị biểu thức Q = 6x - x2 - 10 luôn âm với giá trị x Bài 14 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x2 +10x + 28 Bài 15 Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q = 5x2 - 10x Bài 16 Tìm giá trị lớn biểu thức P = x - x2 - Bài 24 Chứng minh (2n + 3)2 - (2n - 1)2 chia ht cho vi n ẻ  Zalo: Trung tâm gia sư Hoài Thương Bắc Ninh 0382254027 PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 12/12 Bài 25 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức sau: a) A = 4x2 - 12x +10; b) B = 2x - x2 - Bài Cho a2 + c2 = ab +bc +ca Chứng minh a = b = c +b Bài Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến A = (3x + 2)( 9x2 - 6x + 4) - 3( 9x3 - 2) Bài Giá trị biểu thức sau có phụ thuộc vào giá trị biến không? B = (x + 1)3 - (x - 1)( x2 + x + 1) - 3x(x +1) a3 = (a + b) é(aê - b)2 +abù ú Bài Chứng minh đẳng thức: ë û +b Bài Rút gọn biểu thức sau: (x + 2)3 +(x - 2)3 + x3 - 3x(x + 2)(x - 2) Bài Chứng minh đẳng thức (x + y)3 - (x - y)3 = 2y( 3x2 + y2) Bài Cho x - y = 1, tính giá trị biểu thức M = 2( x3 - y3) - 3( x2 +y2) Trung tâm gia sư Hoài Thương Bắc Ninh Zalo: 0382254027