Toán 9 căn thức Chuyên đề căn thức và các bài toán liên quan dùng cho ôn thi vào lớp 10. Đây là tài liệu rất hữu ích, phù hợp cho đối tượng hs lớp 9 ôn thi vào 10, hsg ôn thi. Tài liệu gồm các phần:................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 Tổng hợp: Duy Tường CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Câu (TS vào 10-Chuyên Hải Phòng 23-24) x+2 x x +1 Cho biểu thức A = (với x ) + − : x x +1 x − x +1 x + x Rút gọn biểu thức A chứng minh A Lời giải A= ( Ta có: ( ) x +1 )( ) x +1 x − x +1 : x +1 x = x x − x +1 x x 2x − x + x − x +1 ( ) x − (luôn đúng) Vậy A Câu (TS vào 10- Chuyên TP Đà Nẵng 23-24) xy x+ y x x Cho hai biểu thức: P = : − − x − y y xy + y xy − x x x−y y −x y +y x Q = với x 0, y , x y x− y ( ) Rút gọn biểu thức P, Q chứng minh với số x, y dương phân biệt tuỳ ý 4Q + P Lời giải Ta có: P = x + y P = x + y Q= x+ y 4Q + = 2( x + y ) + Suy ra: 2(4Q + − P) = x + y + − x − y = (2 x − 1) + (2 y − 1) Vì x y nên ( 4Q + − P ) 4Q + P Câu (TS vào 10-Chuyên Cần Thơ 23-24) @ x −9 x + x +1 với x x 4, x − − x −5 x +6 x − 3− x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm tất số nguyên x cho P nhận giá trị số nguyên Cho biểu thức: P = a) Với x x 4, x , ta có: Lời giải VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 P= = ( x −9 x + x +1 = − − x −5 x +6 x − 3− x x −9 x −3 +) +) +) +) +) +) x −2 )( x − )( x − )( ) x + 1) = x − 3) x − 3− x = )( x −3 ) − ( )( ) ( )( ( x − )(3 − x ) x + 3 − x + x +1 x −2 x − + − x + 2x − x − ( x −2 )( x −3 ) x +1 x −3 x +1 = x −3 x −3+ 4 = 1+ x −3 x −3 P nhận giá trị số nguyên phải nhận giá trị số nguyên x −3 −4; −2; −1;1; 2; 4 x −3 = −4 x − = −1 x = (loại) x −3 = x − = x = 49 x −3 = −2 x − = −2 x = x −3 = x − = x = 25 x −3 = −1 x − = −4 x = −1 (loại) x −3 = x − = x = 16 x −3 b) Ta có: P = Để ( − x + 2x − x − ) ( ( − x + x−2 = = ( x − )( x − 3) ( x −2 )( − x −9 Tổng hợp: Duy Tường Vậy x 1;16; 25; 49 P nhận giá trị số nguyên Câu (TS vào 10-Chuyên Bà Rịa Vũng Tàu 23-24) x −3 x 2x 1− x Rút gọn biểu thức P = với x 0, x 1, x − : x − x − x −1 x − x + Lời giải x −3 x 2x 1− x với x 0, x 1, x P = − : x − x − x −1 x − x + P= ( 2x 1− x − : x − x −1 − x x ( x − 3) )( x +1 ) ( ) x 2x = − : x +1 x −1 − x ) VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 x = = ( ) Tổng hợp: Duy Tường x −1 − 2x − x − x = x − x − 2x − x = x −1 x −1 − x (1 − x ) x −1 ( ) ( ) ( )( x +1 1− x ) x −1 = x Câu (TS vào 10-Chuyên Bắc Giang 23-24) @ x2 + y x− y x− y + Rút gọn biểu thức Q = với x y 2 x+ y + x− y x2 − y x − y − x + y Lời giải x2 + y x− y ( x − y)2 Q = + Với x y ta có 2 x+ y + x− y ( x + y )( x − y ) − ( x − y ) x −y 1 = x − y + x+ y + x− y x+ y − x− y x + y x2 + y x2 + y = y y x2 − y = x − y Vậy Q = x2 + y 2 x −y x2 + y với x y y Câu (TS vào 10-Chuyên Bắc Ninh 23-24) Rút gọn biểu thức P = + 2 − − 2 Lời giải Ta có: P = + 2 − − 2 = ( ) 2 +1 − ( ) −1 = + − −1 = + 1− + = Vậy P = Câu (TS vào 10- Chuyên Bình Dương 23-24) x + 16 x + x −2 + + − x + x −3 x −1 x +3 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm tất giá trị x nguyên để A số nguyên Lời giải x a) Điều kiện xác định x x + 16 x + x −2 Ta có: A = + + −2 x + x −3 x −1 x +3 Cho biểu thức: A = VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 = = = = ( ( x − 1)( x + 3) ( 2x + x + )( x − 1)( x −2 + Tổng hợp: Duy Tường ) + ( x − 1) − 2.( x − 1) ( x + 3) x + 3) ( x − 1)( x + 3) ( x − 1)( x + 3) x +3 2x + x + + x + x − + x − − 2x − x + ( )( x −1 ( 2x + x − 2x ) + ( ( x+4 x +3 )( x −1 x +3 x +3 ) ) x + x + x − x + (6 − − + 6) ( = )( x −1 x +3 ) x+ x +3 x +3 ) ( )( x −1 x +3 ) x = ( ( ) ( x + 1) = ( x − 1)( x + 3) ( x +1 + )( x − 1)( x +1 )= x + 3) x +3 x +1 x −1 x +1 với x 0; x x −1 x +1 x − x − 1 Ư( 2) = −2; −1;1; 2 b) A = số nguyên = 1+ x −1 x −1 Ta có bảng sau −2 −1 x −1 −1 x Vậy A = ( x ) (loại) Vậy A có giá trị nguyên x {0; 4;9} Câu (TS vào 10-Chun Bình Định 23-24) Tính giá trị biểu thức: ( x3 + x − 23x + 1) 2024 với x = 3 − Lời giải Ta có: x = 3 − nên: ( x2 = 3 − ) ( = 31 − 12 x3 = 3 − ( ) Suy ra: x3 + x − 23x + ) = 81 − 162 + 36 − = 117 − 170 2024 ( ) ( ) + 46 + 1) = 117 − 170 + 31 − 12 − 23 3 − + 1 ( = 117 − 170 + 124 − 48 − 69 2024 2024 = 12024 = Câu (TS vào 10-Chuyên Bình Phước 23-24) Cho biểu thức P = 3a + 9a − a +1 a −2 với a , a − + a+ a −2 a + 1− a a) Rút gọn P b) Tìm a nguyên để biểu thức P nhận giá trị nguyên Lời giải VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 a) Ta có: P = ( 3a + a − a +1 a −2 − a +2 a −1 − )( a + ) ( a + 1)( a − 1) − ( a + 2)( 3a + a − = − ( a − 1)( a + 2) ( a − 1)( a + ) ( a − 1)( ( a + 1)( a + ) = a + a+3 a +2 = = ( a − 1)( a + ) ( a − 1)( a + ) a − a + ( a − 1) + 2 = = 1+ b) Ta có: P = a −1 a −1 Tổng hợp: Duy Tường ) = 3a + a − − ( a − 1) − ( a − ) a + 2) ( a − 1)( a + 2) a −2 a −1 a −1 Để P nhận giá trị nguyên a − 1 Ư 2 = −2; −1;1; 2 a −1 +) Trường hợp 1: a − = −2 a = −1 (vô nghiệm) +) Trường hợp 2: +) Trường hợp 3: a − = −1 a = a = (nhận) a − = a = a = (nhận) +) Trường hợp 4: a − = a = a = (nhận) Vậy để P nhận giá trị nguyên a 0; 4;9 Câu 10 (TS vào 10-Chuyên Cao Bằng 23-24) Rút gọn biểu thức sau: x − 108 + 23 x 75 − x x +3 P = − 1 : + , x − 16 x + x + x − 12 ( x 0, x 9, x 16 ) Lời giải Điều kiện xác định: x 0; x 9; x 16 x − 108 + 23 x 75 − x x +3 Ta có: P = − : + x + x − 12 x − 16 x + x − 16 + 23 x − 92 ( 75 − x ) x + + x + x + x − 12 = − 1 : x − 16 x + x + x − 12 23 x − 75 x + 300 − x x − x + x x + x − 12 x + 3x + x − 36 = : x + x + x − 12 x − 16 ( ( ) ( ) = 23 : x +4 ( ) ( )( ( ( )( )( ( ) ) ) 23 x − 16 + x + 23 = = 66 66 x + x + x + x − 12 66 x + 264 )( ) ) ( Câu 11 (TS vào 10-Chuyên Đăk Nông 23-24) ) ( ) x −3 VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 Tổng hợp: Duy Tường x −1 − x + x x+ x x −1 B = x a) Tính giá trị biểu thức A x = 64 b) Rút gọn biểu thức B A c) Tìm x để B Với x , cho biểu thức A = Lời giải a) Với x = 64 (thỏa mãn điều kiện x ) thì: A = Vậy A = x = 64 b) Ta có: B = x −1 − x = + x x+ x x −1− x +1 x −1 x −1 = = − x x x +1 x x +1 ( ) ( ) ( x( x ) x + 1) x −1 = x −1 x +1 x −1 với x x +1 Vậy B = c) Ta có: 64 − − = = 8 64 A B x −1 : x x −1 (ĐKXĐ: x x ) x +1 x −1 x +1 x x −1 2 x + 2−3 x x +1 − 0 − x (vì x ) 2 x x x x Kết hợp điều kiện, ta x x A Vậy x x B Câu 12 (TS vào 10-Chuyên Đồng Nai 23-24) Cho số thực x thỏa mãn x Rút gọn biểu thức: A = x −2+ x −3 + x −2−2 x−3 Lời giải Ta có: A = ( ) x − +1 + ( ) x − −1 = x − +1 + x − + Vì x nên x − , suy x − − Vậy A = x − + − x − + = Câu 13 (TS vào 10-Chuyên Đồng tháp 23-24) x − −1 VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 Tổng hợp: Duy Tường x +2 x Cho biểu thức P = với x 0, x − x − x − x : a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm tất giá trị x để P Lời giải x a) Ta có: P = − x −2 x x − ( ) = x +2 x−4 x ( x −2 ) ( x − 4) 2 = = x ( x − 4) x x +2 1 x x x Do x 0, x nên x b) P Câu 14 (TS vào 10- Chuyên Gia Lai 23-24) x −2 x x Cho biểu thức P = với x ; x Tìm x để P = − : x −2 x +2 x−4 Lời giải x −2 x x với x 0; x x − − x + : x − 2.( x + 2) ( x − 2).( x − 2) x x P = − : ( x − 2).( x + 2) ( x − 2).( x + 2) ( x − 2).( x + 2) 2.( x + 2) − ( x − 2).( x − 2) ( x − 2).( x + 2) P = ( x − 2).( x + 2) x x ( x − 2).( x + 2) −x + x P = x x ( x − 2).( x + 2) − x ( x − 6) P= x x x −6 P=− x x −6 Vậy P = − với x 0; x x x −6 Để P = − = x −3.( x − 6) = x a) Ta có: P = x + x − 18 = ( x + 6).( x − 3) = x = −6 (ktm) x = x = (tm) Vậy x = thỏa mãn đề VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 Tổng hợp: Duy Tường Câu 15 (TS vào 10-Chuyên Hà Tĩnh 23-24) Tìm tất số thực x để p = số nguyên x− x +2 Lời giải 5 = Ta có: p = x− x +2 1 x− + 2 20 Suy ra: p = Mà p số nguyên nên p = 1; 7 + 13 + 13 TH1: p = =1 x − x −3 = x = x= 2 x− x +2 1+ 2+ = 2x − x −1 = x = x= 2 x− x +2 + 13 + Vậy có hai giá trị cần tìm x = ; 2 TH2: p = Câu 16 (TS vào 10-Chuyên Hà Nam 23-24) x x − x + x −2 Cho biểu thức A = với x 0, x 1, x − + x + x x − x − x − Rút gọn biểu thức A Tìm tất số nguyên x để A − + = A ( x ) − A = 1+ x + x ( x +1 )( x +1 − ) ( x −1 Lời giải x −2 x +1 x −2 )( ) ( x − 1)( x + x + 1) x +1 x −2 = − x +1 1+ x + x x −1 x +1 x −2 = x −1 − = = x −1 x +1 x −1 x +1 x −1 ( ( ) )( ( ) ( ) ( )( )( x +1 ) +) A − + = A A − = A − A − A ) 2 x x x +1 Kết hợp với điều kiện x 0; x 1; x x 0; 2; 3; 5; 6; 7; 8; 9 Câu 17 (TS vào 10-Chuyên Hải Dương 23-24) Cho hai số a, b thoả mãn điều kiện a.b = 1, a + b Rút gọn biểu thức: VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 Q= Tổng hợp: Duy Tường 1 1 + + + + ( a + b ) a b ( a + b2 + ) a b ( a + b ) Lời giải Ta có: a + b + = ( a + b ) nên: Q= = = 2 1 1 + + + + (a + b) a b (a + b) a b (a + b) a + b3 (a + b) + ( a + b2 ) (a + b) + (a + b) (a = a + b + ab ( a + b ) + ( a + b ) + (a = ( a + b2 + 2) + b + 2a 2b ) + ( a + b ) + ( a + b2 + ) + b3 ) ( a + b ) + ( a + b ) + (a + b) = (a = a4 + b4 + ( a + b2 ) + (a + b2 + 2) + b2 ) + ( a + b2 ) + ( a + b2 + ) (a = (a 2 + b2 + ) + b2 + ) 2 =1 Vậy Q = Câu 18 (TS vào 10-Chuyên Hậu Giang 23-24) 2a − a a −2 − , với a a+2 a a +2 1) Tìm tất giá trị a để A 2) Tìm tất giá trị a để biểu thức A nhận giá trị nguyên Cho biểu thức A = Lời giải 1) Ta có: A = Do đó: A 2 Ta có: A = Dễ thấy 2a − a a −3 a a − 2a − a − a ( a − 2) a ( a − 3) a −3 = − = = = a ( a + 2) a+2 a a +2 a ( a + 2) a ( a + 2) a +2 a −3 a − a + a a 64 a +2 a −3 a + 2−5 = = 1− a +2 a +2 a +2 a + 2, với a > 5 = − A Suy A (1) a +2 a +2 5 2A + 3 a +2= a= −2= Do − A nên suy A − (2) 1− A 1− A 1− A A = 1− VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 Tổng hợp: Duy Tường Từ (1) (2) suy − A Do A nên A = −1 A = Với A = 0, ta có a = − = a = 1− 1 Với A = −1, ta có a = −2= a = 1+1 Câu 19 (TS vào 10-Chuyên Chung Kom tum 23-24) Rút gọn biểu thức: A = ( − 1) + Lời giải A = ( − 1) ( + 1) = ( − 1)( + 1) = Vậy A = Câu 20 (TS vào 10-Chuyên Hưng yên 23-24) x 2x − x x − với x 0, x 1, x + + x −1 x −2 x −3 x + a) Rút gọn biểu thức P Cho biểu thức: P = b) Tìm tất giá trị x để P − P = Lời giải a) Với x 0, x 1, x , ta có: P= = = = = x ( x 2x − x x − + + x −1 x −2 x −3 x + x −2 x −1 ) + 2( )+ x −1 x −2 ( 2x − x x − x −2 )( x x − 2x + x − + 2x − x x − 2 ( ( ( x −2 x −2 x −2 )( ) )( ) x −1 ) x −1 x −1 b) P − P = P = P P Khi ) x −1 x −1 x x −1 VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 Tổng hợp: Duy Tường 2m + m + 2m + 4m + 12 2m + ( 2m + 1) − 2(2m + 1) + 13 2m + 113 Vì n n + m + 3 62 + =3n=6 2.6 + Vậy 2m + = 13 m = n + = Vậy n = số tự nhiên tìm Cách 2: Đặt a = n + b = n + n + ( a, b ) ( ) ( 13 a − + a = b a + − b = a +1 − b 2 ( )( ) = 13 ) a + − b a + + b = 13 2 a + + b a + − b 2 a + + b Ta có a, b 2 a + − b = a=b=9 n=6 2 a + + b = 13 Vậy n = Câu 22 (TS vào 10- Chuyên Lai Châu 23-24) x+4 x +4 x+ x 1 A = + − : (với x 0; x 1) − x x + x − x + 1 − x Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức A b) Có giá trị nguyên x để A + 2003 2023 Lời giải x+4 x +4 x+ x 1 a) A = + : − x+ x −2 − x x + 1 − x = ( ( x +2 x +2 )( ) x ) ( x +2 x = + : x − 1 − x = x −1 ( ( ) : + x −1 1− x 1+ x )( x +1 x ( x +1 )( x x +1 )= x −1 )( ) ( ) x −1 x +1 x x −1 + x + x +1 )( ) x −1 VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 Vậy A = b) A Tổng hợp: Duy Tường x +1 với x 0; x x + 2003 2023 x + 1 + 2003 − 0 x 2023 x 2023 + 2023 − x − x 2023 0 x 2023 − x x 2023 x 2023 x 2023 x + 1 + 2003 x 2023 Kết hợp với điều kiện với x 0; x có 2022 giá trị thỏa mãn điều kiện Câu 23 (TS vào 10-Chuyên Lạng Sơn 23-24) 2x +1 x + x3 − Rút gọn biểu thức A = , với x 0, x x − + x x −1 x + x +1 Lời giải 2x +1 x + x3 − x − Rút gọn biểu thức A = , với x 0, x x + x + 1 + x x − 2x +1 x + x3 A = − x − + x x −1 x + x +1 = = ( ( 2x +1 )( x −1 x + x − 1) + x )(1 − x + x ) ( ( − x− + x x + 1) ( x − 1)( x + x + 1) 2x +1− x + x )( x ) x −1 x + x +1 ( ) x −1+ x − x = ( x + x +1 )( ) x −1 x + x +1 ( ) x −1 = Câu 24 (TS vào 10-Chuyên Lào Cai 23-24) Cho biểu thức: 3− x x −2 9− x x −3 x x +1 P = + − + : , với x 0, x 4, x x − x − x + x + x − x + x + VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 Tổng hợp: Duy Tường Tìm giá trị x để P nhận giá trị nguyên Lời giải 3− x x −2 9− x x −3 x x +1 a) P = + − : + x −2 x + x + x − x − x + x + = 9− x + x −4 x + 4−9+ x x ( x − 3) x +1 : + ( x − 2)( x + 3) ( x − 3)( x + 3) ( x + 1)( x + 3) = ( x − 2)2 x +1 : = ( x − 2)( x + 3) x + x −2 x +3 = 1− x + x +1 x +1 x 0, x 0, x 4, x x + 0, x 0, x 4, x 3, x 0, x 4, x x +1 0 1− −2, x 0, x 4, x P −2, x 0, x 4, x x +1 Mà P nguyên nên P −2; −1;0 Ta có bảng P −2 −1 x +1 x +1 3 (Tm) (Tm) 4 (Ktm) x 1 Vậy x 0; P có giá trị nguyên 4 Câu 25 (TS vào 10-Chuyên Nghệ An 23-24) Tìm x cho x + 2024 − 2024 số nguyên x Lời giải Tìm x cho x + 2024 − 2024 số nguyên x a = x + 2024 x = a − 2024 1 Đặt b = − 2024 = b + 2024 x x ( )( = a − 2024 b + 2024 ) 2025 − ab = ( a − b ) 2024 (1) VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 VP (1) VT ( Tổng hợp: Duy Tường a=b )( = a − 2024 a + 2024 ) a = 2025 a = 45 Với a = 45 x = 45 − 2024 Với a = −45 x = −45 − 2024 Câu 26 (TS vào 10-Chuyên Quảng Ninh 23-24) 5+ x 5−6 x Cho biểu thức P = với x 0, x − + : x + x + x − 12 x − x + x + a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị lớn P Lời giải a) Ta có: + x − 2( x + 4) + 3(2 x − 3) x + x + − x P= : (2 x − 3)( x + 4) x +4 x−2 x +5 x − 12 P= : (2 x − 3)( x + 4) x +4 P= x +4 x +4 x−2 x +5 ( = x−2 x +5 ) x − + x − x + với x 0, x Khi P với x 0, x Dấu “ = ” xảy x = b) Ta có x − x + = Giá trị lớn P x = Câu 27 (TS vào 10-Chun Quảng Bình 23-24) a) Tính giá trị biểu thức A = − + 26 + 15 b) Rút gọn biểu thức B = a +1 a a : + với a a a−4 a +4 a−2 a a −2 Lời giải a) Ta có: VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 A = − + 26 + 15 = (2 − ) ( Tổng hợp: Duy Tường + 2+ ) = 2− +2+ = b) Với a a ta có B= a +1 a a a +1 : + = ( a − 2) a ( a − 2) a − ( a − 2) = a a : + a − a −2 a +1 a + a a +1 a −2 : = = 2 ( a − 2) a − ( a − 2) a ( a + 1) a ( a − 2) Câu 28 (TS vào 10-Chuyên Phú Yên 23-24) x+2 x x −1 a) Cho biểu thức A = + + x x − x + x + 1 − x : x + 6+2 6−2 Rút gọn biểu thức; tính giá trị A , biết x = + 2+ 6+2 2− 6−2 b) Cho biết 1 + = ( a 1, b 1) Chứng minh ab − − a 2b + a + b = a b Lời giải a) Với điều kiện x 0, x , ta có: A= x+2+ x ( ) ( ): x −1 − x + x +1 x x −1 x −1 ( = x +1 ) x −1 x x −1 x +1 x +1 = x −1 x + x +1 Lại x= 6+2 2+ 6+2 Do A = + 6−2 2− 6−2 = ( +1 = + +1 c) Ta có: a , b nên ) ( ) 3+ 3− 6+2 6−2 + = + =4 + +1 − +1 3+ 3− 1 + = a + b = 2a 2b − 2ab a b Khi đó: B = ab − − a 2b + 2a 2b − 2ab = ab − ( ab − 1) Vì a , b ab nên B = ab − ab + = (đpcm) Câu 29 (TS vào 10-Chuyên Phú Yên 23-24) x+2 x x −1 a) Cho biểu thức A = + + x x − x + x + 1 − x : x + có VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 Rút gọn biểu thức; tính giá trị A , biết x = b) Cho biết Tổng hợp: Duy Tường 6+2 2+ 6+2 + 6−2 2− 6−2 1 + = ( a 1, b 1) Chứng minh ab − − a 2b + a + b = a b Lời giải Câu 30 (TS vào 10-Chuyên Phú Yên 23-24) x+2 x x −1 a) Cho biểu thức A = x x − + x + x + + − x : x + 6+2 6−2 Rút gọn biểu thức; tính giá trị A , biết x = + 2+ 6+2 2− 6−2 b) Cho biết 1 + = ( a 1, b 1) Chứng minh ab − − a 2b + a + b = a b Lời giải Câu 31 (TS vào 10-Chuyên Phú Yên 23-24) x+2 x x −1 a) Cho biểu thức A = + + x x − x + x + 1 − x : x + 6+2 6−2 Rút gọn biểu thức; tính giá trị A , biết x = + 2+ 6+2 2− 6−2 b) Cho biết 1 + = ( a 1, b 1) Chứng minh ab − − a 2b + a + b = a b Lời giải Câu 32 (TS vào 10-Chuyên Thừa Thiên Huế 23-24) 2+ a a −2 a a) Chứng minh giá trị biểu thức P = − : a + a + a −1 a a + a − a −1 không phụ thuộc vào giá trị a , với a a Lời giải 2+ a a Với a a ta có: P = − a + a : a + ( a − 1) a + a −2 ) ( a − 1)( ) a +2 ( )( a − 1) − ( a − 2)( = ( a − 1)( a + 1) ( ( ) ) ( ) a + ( a − 1) a + a VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 = a ( )( a −1 Tổng hợp: Duy Tường 2 a +1 ) ( )( a −1 ) a +1 a = Vậy giá trị P không phụ thuộc vào giá trị a Câu 33 (TS vào 10-Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 23-24) ( Cho số thực x,y thõa mãn x x + x + 2023 Tính giá trị biểu thức: Ta có: ( x + 2023 + x ( )( )( y + ) y + 2023 = 2023 2024 x + y 2023x − y Lời giải ) x + 2023 − x = x + 2023 − x = 2023 (1) (1) y + 2023 + y )( ) y + 2023 − y = y + 2023 − y = 2023 (2) x + 2023 − x = Từ 91) (2) kết hợp với giải thiết ta suy Từ (20 kết hợp giả thiết ta suy x + 2023 − x = y + 2023 + y (3) y + 2023 − y (4) Lấy (3) − (4) theo vế ta được: −2 x = y y = − x Khi đó: P = 2024 x − x 2023 = 2023x + x 2024 Câu 34 (TS vào 10-Chun Thái Bình 23-24) Cho số thực khơng âm a, b, c thoả mãn đồng thời điều kiện a + b + c = 26 ;abc = 144 Tính giá trị biểu thức P= Đặt ( bc − a + ) + ca − b + Lời giải a , b , c = ( x , y ,z ) (điều kiện x , y ,z ) x + y + z = ; x + y + z = 26 ; x y z = 144 xy + yz + zx = ( x + y + z) − ( x2 + y + z ) = 19 ; xyz = 12 Ta có yz − x + = yz − x + x + y + z + = ( y + 1)( z + 1) + ab − c + a + b + c = 8; VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 Tổng hợp: Duy Tường Tương tự xz − y + = ( x + 1)( z + 1) ; xy − z + = ( x + 1)( y + 1) P= 1 + + bc − a + ca − b + ab − c + = 1 x +1+ y +1+ z +1 + + = yz − x + xz − y + xy − z + ( x + 1)( y + 1)( z + 1) = x+ y+ z +3 11 11 = = xyz + x + y + z + xy + yz + zx + 12 + 19 + + 40 Vậy P = 11 40 Câu 35 (TS vào 10-Chuyên Tây Ninh 23-24) Tính giá trị biểu thức T = 13 + − 13 − Lời giải Ta có: T = 13 + − 13 − (2 = = 12 + 2.2 3.1 + − 12 − 2.2 3.1 + ) +1 − (2 ) −1 = + − −1 = +1 − +1 = Câu 36 (TS vào 10-Chuyên Sơn La 23-24) Cho biểu thức Q = x y+ x−y x− y + xy với x 0; y a) Rút gọn biểu thức Q b) Tính giá trị biểu thức Q x = 2024 + 2023; y = 2024 − 2023 Lời giải a) Rút gọn biểu thức Q Q= = ( )( xy + x y+ x−y x− y + xy x− y + xy )= = xy ( ) ( x− y + x− y ) + xy x− y b) Tính giá trị biểu thức Q x = 2024 + 2023; y = 2024 − 2023 Q = 2024 + 2023 − 2024 − 2024 VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 = ( ) 2023 + − ( ) 2023 − Tổng hợp: Duy Tường = 2023 + − 2023 + = Câu 37 (TS vào 10-Chuyên Tiền Giang 23-24) Tính giá trị biểu thức P = ( x + x + 2021) 2024 x = x − 15 −1 − Lời giải Ta có: x= − 15 − = + 15 − −1 ( ( ) +1 )( −1 ) +1 = ( + 3) − ( ) +1 = + − −1 = −1 Suy ( x + 1) = x + x = Do P = ( x + x + 2021) 2024 = ( + 2021) 2024 = 20232024 Câu 38 (TS vào 10-Chuyên Tuyên Quang 23-24) a) Rút gọn biểu thức P = 15 x − 11 x − 2 x + vơi x 0, x + − x + x − 1− x x +3 a −3 a +6 với a a −2 Lời giải 15 x − 11 x −2 x +3 − − x −1 x +3 x −1 x +3 b) Tìm giá trị nhỏ biều thức Q = a) P = 15 x − 11 x − 2 x + + − = x + x − 1− x x +3 ( )( ) (3 x − 2)( x + 3) − ( x + 3)( x − 1) 15 x − 11 = − ( x − 1)( x + 3) ( x − 1)( x + 3) ( x − 1)( x + 3) = = 15 x − 11 − x − x + x + − x + x − x + ( ( ( x − 1)( x + 3) ( x − 5x − b) Q = = )( x −1 x +3 )( x − 1)( ) ) = 2−5 x x +3 x + 3) x −1 − x a −3 a +6 a −4 a + 4+ a −2+ = a −2 a −2 = a −2+ +1 a −2 Dấu “=” xảy ( a −2 = ) a −2 +1 = a −2 a − = a = 16 a −2