Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng

Trang 1 Chương 3.Một số quy luật phân phối xác suất thông dụngQuy luật 0-1: ApQuy luật nhị thức: Bn,pQuy luật PoissonQuy luật chuẩnQuy luật khi bình phươngQuy luật Student Trang 2

Chương 3.Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng

Quy luật 0-1: A(p)

Quy luật nhị thức: B(n,p)

Quy luật Poisson

Quy luật chuẩn

Quy luật khi bình phương

Quy luật Student

Quy luật Fisher-Snedeco

Bài toán gốc Giả sử trong bình có N quả cầu

trong đó có M quả cầu trắng và (N-M) quả

cầu đen Mỗi phép thử là việc lấy ngẫu nhiên

từ bình ra một quả cầu

3.1.Quy luật không-một: A(P)

biến cố lấy được quả cầu trắng có 1 phép thử và chỉ có 2 th 0, 1

3.2.Quy luật Bernoulli~B(n,p)

Giả sử, từ lô cầu gồm M- cầu trắng, (N-M) cầu đen, lấy lần lượt ra n quả theo phương thức hoàn lại Gọi X biến cố lấy được quả cầu trắng Tìm quy luật phân phối xác suất của X.

X ~ B(n,p), nếu X nhận một trong các giá trị: 0, 1,2,…,

n với xác suất tương ứng được xác định theo công thức

Bài mẫu

Một phân xưởng có 5 máy hoạt động độc lập Xác suất để trong một ngày mỗi máy bị hỏng đều bằng 0,1.

 a Tìm quy luật phân phối của số máy hỏng trong một ngày?

?

Bài mẫu

Hai xạ thủ A và B, mỗi người bắn 2 viên đạn vào một tấm bia một cách độc lập Xác suất bắn trúng mục tiêu của A, B ở mỗi lần bắn tương ứng là 0,6 và 0,7 Tính xác suất xạ thủ A bắn trúng nhiều hơn xạ thủ B

Bài tâp Tỷ lệ phế phẩm của một máy là

c Nếu mỗi đợt sản xuất trung bình muốn

có được 12 chính phẩm thì phải cho máy sản bao nhiêu sản phẩm?

 Bài tập Một vận động viên bắn súng tập bắn một mục tiêu cố định

trong phòng tập Biết rằng xác suất để vận động viên này bắn trúng mục tiêu ở mỗi lần bắn là 0,6

 a Tính xác suất trong 10 lần bắn có nhiều nhất 9 lần bắn trúng.

 b Người này phải bắn tối thiểu bao nhiêu lần để xác suất có ít nhất một lần bắn trúng lớn hơn 90% KẾT QUẢ: 0.2268

3.3.Quy luật Poisson ~P(λ))

Biến ngẫu nhiên rời rạc X gọi là có phân phối

Poisson với tham số λ, ký hiệu X ~ P(λ), nếu X

nhận một trong các giá trị: 0, 1,2,…, n với xác suất tương ứng cho bởi công thức:

Các tham số đặc trưng: E(X) = V(X) = λ,

Bài mẫu

Một máy dệt có 5000 ống sợi, xác suất để trong một phút một ống sợi bị đứt bằng 0,002

a Tìm quy luật phân phối của số ống sợi bị đứt trong một phút

b Tìm xác suất để trong một phút có không quá 2 ống sợi

bị đứt.

Bài tập 1 Một trạm cho thuê xe taxi có 3 xe,

hàng ngày trạm phải nộp thuế 80 nghìn/xe/ngày Mỗi chiếc xe được thuê với giá

200 nghìn/ngày Giả sử yêu cầu thuê xe của trạm là biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham số λ =3

1 Tính xác suất để trong một ngày có 3 khách thuê xe (e ≈ 2,71)

2 Tính tiền lãi trung bình trạm thu được trong một ngày

Bài tập 2 Tại sân bay cứ 15 phút lại có 1 một chuyến xe loại 6 chỗ ngồi chở khách

vào trung tâm thành phố Biết rằng số khách chờ đi xe có mật độ trung bình 8 người/ giờ Giả sử, vừa có một chuyến xe rời bến Tìm xác suất để trong chuyến tiếp theo:

1 Không có khách nào chờ xe đi?

2 Xe đã chật khách?

3 Người ta sẽ tăng them một xe chở khách nếu xác suất có hơn 1 khách phải chờ xe sau lớn hơn 0,1 Vậy có nên tăng thêm một xe hay không?

3.4.Quy luật Siêu bội ~M(N,n)

Lấy ngẫu nhiên lần lượt ra n quả theo phương thức không hoàn lại Gọi X là số quả cầu trắng trong

n quả cầu lấy ra

có thể X = 0,1,2,…,n với các xác suất tương

ứng cho bởi công thức:

M E(X) n np

N

M N M N n N n V(X) n npq.

-3.3.Quy luật chuẩn

1 ( )

2

x

m s

-

-=

Nếu X ~ N(μ, σ 2 ) thì hàm phân phối của X có

Tính xác suất: P(a < X < b)

.

.

Công thức tính xác suất cho

Ví dụ Năng suất của một loại cây ăn quả là một biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn với năng suất

trung bình là 20kg/cây và độ lệch chuẩn là 2,5 kg

a Các giá trị 20 và 2,5 là giá trị của tham số nào trong phân phối chuẩn?

b Cây đạt tiêu chuẩn hàng hoá là cây có năng suất tối thiểu là 15 kg Tính tỷ lệ cây đạt tiêu

chuẩn?

c Nếu cây đạt tiêu chuẩn hàng hoá sẽ lãi 500 ngàn đồng, ngược lại cây không đạt tiêu chuẩn sẽ

làm lỗ 1 triệu đồng Người ta thu hoạch ngẫu nhiên một lô gồm 100 cây, hãy tính tiền lãi trung bình cho lô cây đó.

Ví dụ Một nhà đầu tư dự định đầu tư vào cổ

phiếu của ngân hàng A hoặc ngân hàng B nhưng phải đảm bảo lợi nhuận tối thiểu là 10% Giả sử lợi nhuận đầu tư (đơn vị %) vào

cổ phiếu A là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trung bình 13, độ lệch tiêu chuẩn 2; của B là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trung bình 16 độ lệch tiêu chuẩn 3 Theo bạn nhà đầu tư nên đầu tư vào cổ phiếu của ngân hàng nào?

Tìm giá trị tới hạn chuẩn α

Giá trị u α được gọi là giá trị tới hạn chuẩn

mức α (0 ≤ α ≤ 1) của biến ngẫu nhiên U

u 1,96 P(U 1, 96) 0,025

u 1,645 P(U 1,645) 0,05

= Û > =

Ví dụ Thu nhập hàng tháng (triệu đồng) của

các nhân viên tại ngân hàng A là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Biết rằng có 2,27% nhân viên có thu nhập cao hơn 9,5 triệu và 30,85% nhân viên có thu nhập thấp hơn 7 triệu

1 Xác định thu nhập trung bình và độ lệch chuẩn của nhân viên NH

2 Nhân viên có thu nhập từ 8 triệu đồng/tháng trở lên thì phải đóng thuế thu nhập cá nhân Hãy tính tỉ lệ nhân viên ngân hàng A phải đóng thuế thu nhập cá nhân.

4.5.Sự hội tụ P(λ)),B(n,p) về phân phối chuẩn

Quy luật phân phối chuẩn sẽ được sử dụng để

thay thế cho quy luật B(n, p) nếu thỏa mãn

đồng thời hai điều kiện:

Khi đó, biến ngẫu nhiên X~ B(n,p) có thể coi như phân phối xấp xỉ chuẩn: X~ N(μ = np; σ 2

ïï ïî

- Công thức Laplace để tính các xác suất:

Ví dụ 1 Xác suất để sản phẩm sau khi sản xuất

không được kiểm tra chất lượng bằng 0,2 Tìm xác suất để trong 400 sản phẩm được sản xuất ra có:

1 Có 80 sản phẩm không được kiểm tra chất lượng

2 Có từ 70 đến 100 sản phẩm không được kiểm tra chất lượng.

x x n x n

1 x np P(X x) C p q ( )

npq npq P(x X x h) P P P

Ví dụ 2 Tiến hành thực hiện 10

quan sát độc lập về biến ngẫu nhiên

X có phân phối chuẩn X ~ N(5; 0,16)

1 Tìm xác suất P (4 ≤ X≤ 5,5).

2 Tìm xác suất sao cho trong 10 quan sát độc lập về biến ngẫu nhiên

X có 6 lần X nhận giá trị trong [4; 5,5].

Câu hỏi: Q uy luật Poisson hôi tụ về

 Quy luật Poisson: X  P ( ) 

3.6 Định lý giới hạn trung tâm

Định lý Liapunốp

Nếu X1, X2,…, Xn là n BNN độc lập, cùng

các kỳ vọng: E(X1),…, E(Xn) và phương sai: V(X1), V(X2),…, V(Xn) đã biết thì biến ngẫu

nhiên:

có phân phối xấp xỉ chuẩn: X ~ N(μ, σ 2 ),

trong đó μ, σ2 được tính bằng công thức:

 Bài tập Lãi suất đầu tư vào hai thị

trường X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập và cùng phân phối chuẩn với trung bình là 10% và 9%; độ lệch chuẩn là 4% và 3% Muốn có lãi suất trên 8% thì nên chọn phương án nào trong các phương án sau:

3.7 Quy luật phân phối Khi-bình phương –χχ2(n)n)

Nếu biến ngẫu nhiên độc lập X i ~ N(0,1), Khi

đó, biến ngẫu nhiên:

Các tham số đặc trưng quan trọng

E( ) n V( ) 2n

c =

c =

Đồ thị hàm mật độ của quy luật “khi - bình

phương”

Khi số bậc tự do n tăng lên, quy luật “khi bình

phương” sẽ xấp xỉ với quy luật chuẩn.

3.8 Quy luật phân phối Student-T(n)n)

Cho U, V là hai biến ngẫu nhiên độc lập, U ~

Các tham số đặc trưng

U

V n

E(T) 0

n V(T)

n 2

=

= -

Hàm mật độ xác suất của quy luật Student T(n)

T(n) sẽ hội tụ rất nhanh về biến ngẫu nhiên có

lấy

(n)

ta @ua

3.9 Quy luật phân phối Fisher

Cho hai biến ngẫu nhiên U, V Giả sử, U ~

χ2(nn1), V~ χ2(nn2 ) Khi đó biến ngẫu nhiên:

F F(n , n )

V n

= :

2 2

-Đồ thị hàm mật độ của phân phối Fisher- Snedecor

Vẽ sơ đồ liên hệ các quy luật phân phối xác suất ???