tài liệu tổng hợp kiến thức và bài tập có liên quan đến định lí về dấu của tam thức bậc hai, dành cho học sinh đã học qua và cần tài liệu tổng hợp củng cố, tài liệu không kèm theo bài tập chỉ cung cấp lí thuyết để làm các dạng bài tập trong sách giáo khoa
Trang 1Đỗ Thị Khánh Huyền - 096602445
Link facbook: https://www.facebook.com/huyendo0403/
Nhắc lại về tam thức bậc 2 (dùng để giải bất phương trình bậc hai)
1 Tam thức bậc 2:
Có dạng 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑎 ≠ 0)
2 Định lí về dấu của tam thức bậc 2:
∆ = 𝑏 − 4𝑎𝑐 (Ngoài ra nếu 𝑏 = 2𝑏 ⇔ 𝑏 chẵn thì có thể dùng ∆ = 𝑏 − 𝑎𝑐 Tuy nhiên mình nên dùng ∆ thôi, tránh nhầm.)
Cho tam thức bậc hai 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑎 ≠ 0):
Nếu ∆ < 0 thì 𝑓(𝑥) cùng dấu với hệ số 𝑎 với mọi 𝑥 ∈ ℝ
Bảng xét dấu
𝑥 −∞ +∞
Nếu ∆ = 0 thì 𝑓(𝑥) cùng dấu với hệ số a với mọi 𝑥 ≠ − và 𝑓 − = 0
Bảng xét dấu
𝑥 −∞ − +∞
𝑓(𝑥) Cùng dấu với 𝑎 0 Cùng dấu 𝑎 Nếu ∆ > 0 thì tam thức 𝑓(𝑥) có hai nghiệm phân biệt 𝑥 , 𝑥 (𝑥 < 𝑥 ) Khi đó 𝑓(𝑥) cùng dấu với hệ số 𝑎 với mọi 𝑥 ∈ (−∞; 𝑥 ) ∪ (𝑥 ; +∞); 𝑓(𝑥) trái dấu với hệ số a với mọi 𝑥 ∈ (𝑥 ; 𝑥 )
𝑥 −∞ 𝑥 𝑥 +∞
𝑓(𝑥) Cùng dấu với 𝑎 0 Trái dấu 𝑎 0 Cùng dấu 𝑎
3 Giải bất phương trình bậc hai:
a 𝒂𝒙𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄 > 𝟎
Bất phương trình có nghiệm đúng với mọi 𝑥 ∈ ℝ ⇔ 𝑎 > 0
∆ < 0 Nếu là chỉ tìm 𝑥 thỏa mãn 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 và 𝑎 < 0 thì nếu ∆ > 0 thì các giá trị 𝑥 thỏa mãn
sẽ là 𝑥 ∈ (𝑥 ; 𝑥 ) Trường hợp ∆ = 0; ∆ < 0 kết luận không có giá trị nào thỏa mãn
b 𝒂𝒙𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄 < 𝟎
Bất phương trình có nghiệm đúng với mọi 𝑥 ∈ ℝ ⇔ 𝑎 < 0
∆ < 0 Nếu là chỉ tìm 𝑥 thỏa mãn 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 và 𝑎 > 0 thì nếu ∆ > 0 thì các giá trị 𝑥 thỏa mãn
sẽ là 𝑥 ∈ (𝑥 ; 𝑥 ) Trường hợp ∆ = 0; ∆ < 0 kết luận không có giá trị nào thỏa mãn
c 𝒂𝒙𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄 ≥ 𝟎
Bất phương trình có nghiệm đúng với mọi 𝑥 ∈ ℝ ⇔ 𝑎 > 0
∆ ≤ 0
Trang 2Đỗ Thị Khánh Huyền - 096602445
Link facbook: https://www.facebook.com/huyendo0403/
Nếu là chỉ tìm 𝑥 thỏa mãn 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0 và 𝑎 < 0 thì nếu ∆ > 0 thì các giá trị 𝑥 thỏa mãn
sẽ là 𝑥 ∈ [𝑥 ; 𝑥 ] Trường hợp ∆ < 0 kết luận không có giá trị nào thỏa mãn
d 𝒂𝒙𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄 ≤ 𝟎
Bất phương trình có nghiệm đúng với mọi 𝑥 ∈ ℝ ⇔ 𝑎 < 0
∆ ≤ 0 Nếu là chỉ tìm 𝑥 thỏa mãn 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0 và 𝑎 > 0 thì nếu ∆ > 0 thì các giá trị 𝑥 thỏa mãn
sẽ là 𝑥 ∈ [𝑥 ; 𝑥 ] Trường hợp ∆ < 0 kết luận không có giá trị nào thỏa mãn
Ví dụ: Giải bất phương trình:
𝑥 − 2𝑥 − 1 < 0 Đặt 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2𝑥 − 1
Có 𝑎 = 1 > 0; 𝑏 = −2; 𝑐 = −1 nên ∆ = (−2) − 4 (−1) 1 = 8 > 0
⇒ 𝑓(𝑥) = 0 có 2 nghiệm phân biệt là 𝑥 = 1 − √2
𝑥 = 1 + √2 nên ta có bảng xét dấu:
𝑥 −∞ 1 − √2 1 + √2
+∞
𝑓(𝑥) + 0 − 0 +
Vậy 𝑓(𝑥) < 0 ⇔ 𝑥 ∈ (1 − √2; 1 + √2)
Ví dụ 2: Tìm các giá trị của tham số 𝑚 để tam thức bậc hai sau dương với mọi 𝑥 ∈ ℝ:
𝑥 + (𝑚 + 1)𝑥 + 2𝑚 + 3 Đặt 𝑓(𝑥) = 𝑥 + (𝑚 + 1)𝑥 + 2𝑚 + 3
Có 𝑎 = 1 > 0; 𝑏 = 𝑚 + 1; 𝑐 = 2𝑚 + 3
𝑓(𝑥) dương với ∀𝑥 ∈ ℝ ⇔ 𝑓(𝑥) > 0 ∀𝑥 ⇔ 𝑎 > 0 (𝑙𝑢ô𝑛 đú𝑛𝑔 𝑣ì 𝑎 = 1)
∆ < 0
∆ = (𝑚 + 1) − 4.1 (2𝑚 + 3) = 𝑚 − 6𝑚 − 11 < 0 Nhận xét: ∆ cũng là một tam thức bậc 2 nên bài toán trở về giải bất phương trình 𝑚 − 6𝑚 −
11 < 0
Đặt 𝑔(𝑚) = 𝑚 − 6𝑚 − 11
∆ = (−6) − 4.1 (−11) = 80 > 0 ⇒ 𝑔(𝑚) = 0 có hai nghiệm là: 𝑥 = 3 − 2√5
𝑥 = 3 + 2√5 nên ta có bảng xét dấu:
𝑥 −∞ 3 − 2√5 3 + 2√5
+∞
𝑓(𝑥) + 0 − 0 +
Vậy 𝑚 ∈ 3 − 2√5; 3 + 2√5 thì 𝑔(𝑚) < 0 hay ∆ < 0 thỏa mãn yêu cầu đề bài