Qua trinh ngau nhien

N´oi chung Xtkhˆong l`a mˆo.t mactingan.

Ch ’ u ’ ong 1

(Random processes)

Cho (Ω, F, P ) l`a mˆo.t khˆong gian x´ac su ´ˆat, t´’uc l`a mˆo.t bˆo g `ˆom:

• Ω l`a mˆo.t tˆa.p h ’o.p c ’o s’’o m`a m ˜ˆoi ph ` ˆan t ’’u ω ∈ Ω ¯da.i diˆe.n cho mˆo.t y ´ˆeu t ´ˆo ng ˜ˆau nhiˆen

M ˜ˆoi tˆa.p con c’ua Ω g `ˆom mˆo.t s ´ˆo y ´ˆeu t ´ˆo ng ˜ˆau nhiˆen n`ao ¯d´o

• F l`a mˆo.t ho c´ac tˆa.p con c’ua Ω, ch´’ua Ω v`a ¯d´ong ¯d ´ˆoi v´’oi ph´ep h ’o.p ¯d´ˆem ¯d ’u ’o.c v`a ph´ep l ´ˆay ph `ˆan b`u N´oi c´ach kh´ac, F l`a mˆo.t σ-tr ’u`’ong (hay σ-¯da.i s ´ˆo) c´ac tˆa.p con c’ua Ω

M `ˆoi tˆa.p h ’o.p A ∈ F ¯d ’u ’o.c go.i l`a mˆo.t bi ´ ˆen c ´ ˆo ng ˜ ˆau nhiˆen.

• P l`a mˆo.t ¯dˆo ¯do x´ac su ´ˆat x´ac ¯di.nh trˆen khˆong gian ¯do (Ω, F) Ch´u ´y P (Ω) = 1 v`a

0 ≤ P (A) ≤ 1, ∀A ⊂ Ω.

Trong gi´ao tr`ınh n`ay ta quy ’u´’oc σ-tr ’u`’ong l`a σ-¯da.i s ´ˆo

§1. Qu´ a tr`ınh ng˜ ˆ au nhiˆ en

1.1 Qu´ a tr`ınh ng ˜ ˆ au nhiˆ en

2 D¯ i.nh ngh˜ia 1 Mˆo.t qu´a tr`ınh ng ˜ˆau nhiˆen (X t , t ≥ 0) l`a mˆo.t h`am

X(t, ω) : R+× Ω → R.

trong ¯d´o R = [0, +∞).

Trong mˆo.t v`ai tr ’u`’ong h ’o.p ta k´ı hiˆe.u X(t, ω) = X t (ω).

• V´ı du 1 Trong t`ai ch´ınh, c´ac qu´a tr`ınh gi´a ch´’ung kho´an S t , gi´a tr´ai kho´an P t, gi´a

s ’an ph ’ˆam ph´at sinh C t d ’u ’o.c xem l`a c´ac qu´a tr`ınh ng ˜ˆau nhiˆen.¯

1.2 Qu´ a tr`ınh ¯ do ¯ d ’u ’o.c

2 D¯ i.nh ngh˜ia 2 Qu´a tr`ınh ng ˜ˆau nhiˆen (X t , t ≥ 0) go.i l`a ¯do ¯d ’u ’o.c n ´ ˆeu h`am X(t, ω)

¯

do ¯d ’u ’o.c ¯d ´ˆoi v´’oi σ-tr ’u`’ong t´ıch B+ × F, trong ¯ d´o B+ l`a σ-tr ’u`’ong c´ac tˆa.p Borel trˆen

1

R+ = [0, +∞).

T´’uc l`a, ∀B ∈ B trˆen R th`ı

{(t, ω) ∈ R+× Ω : X(t, ω) ∈ B} ∈ B+× F.

1.3 Qu˜ i ¯ da.o c’ua qu´a tr`ınh ng˜ ˆ au nhiˆ en

2 D¯ i.nh ngh˜ia 3 Khi c ´ˆo ¯di.nh mˆo.t ω0 ∈ Ω th`ı ´anh xa riˆeng ph ` ˆan t → X(t, ω0) t`’u R+

v`ao R ¯d ’u ’o.c go.i l`a mˆo.t qu˜i ¯da.o c’ua qu´a tr`ınh ng ˜ˆau nhiˆen X = (X t, t ≥ 0) ´’ung v´’oi y ´ˆeu t ´ˆo

ng ˜ˆau nhiˆen ω0

§2. Qu´ a tr`ınh ng˜ ˆ au nhiˆ en th´ıch nghi v´’ oi bˆ o lo.c

2.1 Bˆ o lo.c

Mˆo.t ho c´ac σ-tr ’u`’ong con (F t , t ≥ 0) c ’ua F, F t ∈ F ¯ d ’u ’o.c go.i l`a mˆo.t bˆo lo.c n ´ˆeu th ’oa c´ac ¯di `ˆeu kiˆe.n:

i) N ´ˆeu s < t th`ı F s ⊂ F t (ho t˘ang theo t),

ii) F t =\

ε>0

F t+ε (ho liˆen tu.c ph ’ai), iii) N ´ˆeu A ∈ F v`a P (A) = 0 th`ı A ∈ F0 (do ¯d´o A n` ˘am trong mo.i F t)

2.2 Bˆ o lo.c t ’u nhiˆen

Cho qu´a tr`ınh ng ˜ˆau nhiˆen X = (X t, t ≥ 0) X´et σ-tr ’u`’ong sinh b ’’oi c´ac bi ´ˆen ng ˜ˆau

nhiˆen X s v´’oi s ≤ t: F X

t = σ(X s : s ≤ t).

(F X

t , t ≥ 0) go.i l`a bˆo lo.c t ’u nhiˆen c’ua qu´a tr`ınh X hay li.ch s ’’u c’ua X Tr ’u`’ong n`ay

ch´’ua thˆong tin v `ˆe di ˜ˆen bi ´ˆen c ’ua qu´a tr`ınh X cho ¯d ´ˆen th`’oi ¯di ’ˆem t.

2.3 Qu´ a tr`ınh ng ˜ ˆ au nhiˆ en th´ıch nghi v´’ oi bˆ o lo.c

2 D¯ i.nh ngh˜ia 4 Mˆo.t khˆong gian x´ac su ´ˆat (Ω, F, P ) g ´ ˘an thˆem v`ao mˆo.t bˆo lo.c (F t) go.i

l`a mˆo.t khˆong gian x´ac su ´ ˆat ¯ d ’ u ’ o.c lo.c v`a k´ı hiˆe.u l`a (Ω, F, (F t ), P ).

Qu´a tr`ınh Y go.i l`a th´ıch nghi v´’oi bˆo lo.c (F t, t ≥ 0) n ´ˆeu v´’oi mo.i t th`ı Y t do ¯¯ d ’u ’o.c ¯d ´ˆoi v´’oi σ-tr ’u`’ong F t

⊕ Nhˆa.n x´et

i) Ta th ´ˆay mo.i qu´a tr`ınh X = (X t, t ≥ 0) th´ınh nghi v´’ oi li.ch s ’’u (F X

t , t ≥ 0) c ’ua n´o.

ii) Cho qu´a tr`ınh X = X t (ω) v´’ oi li.ch s ’’u c’ua n´o l`a (F X

t , t ≥ 0) Mˆo.t qu´a tr`ınh Y t (ω)

th´ıch nghi v´’oi li.ch s ’’u (F X

t , t ≥ 0) c ’ua X n ´ˆeu v`a ch ’i n ´ˆeu Y t (ω) c´o th ’ˆe bi ’ˆeu di ˜ˆen d ’u´’oi

3 Th`’oi ¯di ’ˆem d`’ung 3

da.ng

Y t (ω) = f t (X s1(ω), X s2(ω), ),

trong ¯d´o s1, s2, l`a mˆo.t d˜ay c´ac ph ` ˆan t ’’u c’ua [0, t] v`a f t l`a mˆo.t h`am Borel trˆen RN Khi ¯d´o v´’oi mo.i t v`a v´’oi mo.i ω, mu ´ˆon bi ´ˆet gi´a tri c’ua Y t ta.i ¯di ’ˆem ω ch’i c `ˆan bi ´ˆet qu˜i

¯

da.o t ’u ’ong ´’ung s 7→ X(s, ω) Th ’u.c ra, ch’i c `ˆan bi ´ˆet ha.n ch ´ˆe c ’ua qu˜i ¯da.o n`ay trong [0, t].

§3. Th`’ oi ¯ di ’ ˆ em d`’ ung

3.1 Th`’ oi ¯ di ’ ˆ em d`’ ung

2 D¯ i.nh ngh˜ia 5 Cho khˆong gian x´ac su ´ˆat ¯d ’u ’o.c lo.c (Ω, F, (F t ), P ) Bi ´ˆen ng ˜ˆau nhiˆen T go.i l`a th`’oi ¯di ’ˆem d`’ung n ´ˆeu v´’oi mo.i t ≥ 0 th`ı

{ω ∈ Ω : T (ω) ≤ t} ∈ F t

• V´ı du 2 V´’oi mo.i t ≥ 0 th`ı h`˘ang s ´ ˆo t (xem nh ’u h`am Ω → [0, +∞]) l`a mˆo.t th`’oi ¯di ’ˆem

d`’ung

2 D¯ i.nh ngh˜ia 6 Gi ’a s ’’u S v`a T l`a c´ac th`’oi ¯di ’ˆem d`’ung v´’oi S ≤ T Tˆa.p

[[S, T ]] = {(t, ω) ∈ R+× Ω : S(ω) ≤ t ≤ T (ω)}

¯

d ’u ’o.c go.i l`a mˆo.t kho ’ang ng ˜ˆau nhiˆen.

3.2 Y ngh˜ ´ ia c’ua th`’ oi ¯ di ’ ˆ em d`’ ung

X´et qu´a tr`ınh ng ˜ˆau nhiˆen X v´’ oi bˆo lo.c t ’u nhiˆen Khi ¯d´o v´’oi mo.i t ≥ 0 ta c´o

{ω ∈ Ω : T (ω) ≤ t} = {ω ∈ Ω : (X s1(ω), X s2(ω), ) ∈ B},

trong ¯d´o s1, s2, thuˆo.c [0, t] v`a B l`a tˆa.p Borel c’ua R N Nh ’u vˆa.y, mu ´ˆon bi ´ˆet ph `ˆan t ’’u

ω ∈ Ω c´o th ’oa T (ω) ≤ t ch ’i c `ˆan bi ´ˆet qu˜i ¯da.o s → X(s, ω) c’ua qu´a tr`ınh X trong [0, t].

§4. K` y vo.ng c´o ¯di ` ˆ eu kiˆ e.n ¯d´ ˆ oi v´’ oi mˆ o.t σ-tr ’u`’ong

2 D¯ i.nh ngh˜ia 7 K`y vo.ng c’ua bi ´ˆen ng ˜ˆau nhiˆen X ¯ d ’u ’o.c ¯di.nh ngh˜ia l`a t´ıch phˆan c’ua X

¯

d ´ˆoi v´’oi ¯dˆo ¯do x´ac su ´ˆat P :

E(X) =

Z

Ω

XdP

D

¯ ˘a.c biˆe.t, E(I A ) = P (A), trong ¯d´o IA l`a h`am ch ’i tiˆeu c ’ua bi ´ˆen c ´ˆo A:

IA=







1 n ´ˆeu ω ∈ A

0 n ´ˆeu ω / ∈ A.

2 D¯ i.nh ngh˜ia 8 Cho (Ω, F, P ) l`a mˆo.t khˆong gian x´ac su ´ ˆat, G l`a mˆo.t σ-tr ’u`’ong con c’ua

F v`a X l`a mˆo.t bi ´ˆen ng ˜ˆau nhiˆen

Mˆo.t bi ´ˆen ng ˜ˆau nhiˆen X ∗ go.i l`a k`y vo.ng c´o ¯di `ˆeu kiˆe.n c’ua X ¯d ´ˆoi v´’oi σ-tr ’u`’ong G n ´ˆeu:

i) X ∗ l`a bi ´ˆen ng ˜ˆau nhiˆen ¯do ¯d ’u ’o.c ¯d ´ˆoi v´’oi G

ii) V´’oi mo.i tˆa.p A ∈ G ta c´o

Z

A

X ∗ dP =

Z

A XdP (t´’uc l`a E(X ∗IA ) = E(XI A )).

K´ı hiˆe.u X ∗ = E(X|G).

N ´ˆeu cho.n σ-tr ’u`’ong G l`a σ-tr ’u`’ong σ(Y ) sinh ra b ’’oi mˆo.t bi ´ˆen ng ˜ˆau nhiˆen Y n`ao ¯d´o th`ı k`y vo.ng c´o ¯di `ˆeu kiˆe.n c’ua X ¯d ´ˆoi v´’oi σ(Y ) c˜ung ¯ d ’u ’o.c k´ı hiˆe.u l`a E(X|Y ).

• T´ınh ch ´ˆat

C´ac mˆe.nh ¯d `ˆe d ’u´’oi ¯dˆay ¯d ’u ’o.c hi ’ˆeu theo ngh˜ia h ` ˆau ch ´ ˘ ac ch ´ ˘ an (h.c.c).

i) N ´ˆeu G l`a σ-tr ’u`’ong t ` ˆam th ’u`’ong {∅, Ω} th`ı

E(X|G) = EX.

ii) V´’oi hai bi ´ˆen ng ˜ˆau nhiˆen X v`a Y ta c´o

E(X + Y |G) = E(X|G) + E(Y |G).

iii) N ´ˆeu X l`a ¯do ¯d ’u ’o.c ¯d ´ˆoi v´’oi G th`ı

E(XY |G) = XE(Y |G)

D

¯ ˘a.c biˆe.t, n ´ˆeu c l`a h`˘ang s ´ˆo th`ı

E(cY |G) = cE(Y |G).

iv) N ´ˆeu X ¯dˆo.c lˆa.p ¯d ´ˆoi v´oi G th`ı

E(X|G) = EX.

v) V´’oi hai σ-tr ’u`’ong C ⊂ D ta c´o

E(E(X|D)|C) = E(E(X|C)|D) = E(X|C).

§5. X´ ac su´ ˆ at c´ o ¯ di ` ˆ eu kiˆ e.n

2 D¯ i.nh ngh˜ia 9 X´ac su ´ˆat c´o ¯di `ˆeu kiˆe.n c’ua bi ´ˆen c ´ˆo A ∈ F ¯d ´ˆoi v´’oi tr ’u`’ong G l`a mˆo.t bi ´ˆen

ng ˜ˆau nhiˆen x´ac ¯di.nh b ’’oi

P (A|G) = E(I A |G),

3 T´ınh ch ´ˆat

i) P (Ω|G) = 1 (h `ˆau ch ´˘ac ch´˘an - h.c.c)

6 Martingale 5

ii) ∀A ∈ F th`ı P (A|G) = 1 − P (Ω|G) (h.c.c)

iii) ∀A1, A2, ∈ F r`’oi nhau t`’ung ¯dˆoi mˆo.t th`ı

P

à ∞ [

n=1

A n |G

!

=

∞

X

n=1

P (A n |G).

2 D¯ i.nh ngh˜ia 10 Mˆo.t qu´a tr`ınh ng ˜ˆau nhiˆen X = (X t , t ≥ 0) go.i l`a mˆo.t mactingan

¯

d ´ˆoi v´’oi bˆo lo.c (F t) n ´ˆeu:

i) X th´ıch nghi v´’ oi bˆo lo.c (F t), t´’uc l`a X t ∈ Ft ∀t

ii) X t kh ’a t´ıch v´’oi mo.i t, t´’uc l`a E|X t| < ∞, ∀t ≥ 0,

iii) E(X t|Fs ) = X s v´’oi mo.i 0 ≤ s ≤ t, t´’uc l`a RA (X t − Xs )dP = 0 v´’ oi mo.i A ∈ F s v`a

0 ≤ s ≤ t.

¯ Ch´u ´y

i) N ´ˆeu ¯di `ˆeu kiˆe.n iii) thay b ’’oi ¯di `ˆeu kiˆe.n E(X t|Fs ) ≤ X s th`ı X t d ’u ’o.c go.i l`a mactingan¯

trˆen (supermartingale).

ii) N ´ˆeu ¯di `ˆeu kiˆe.n iii) thay b ’’oi ¯di `ˆeu kiˆe.n (ho˘a.c E(X t |F s ) ≥ X s ) th`ı X t d ’u ’o.c go.i l`a¯

mactingan d ’ u´’ oi (submartingale).

iii) Khi khˆong ch ’i r˜o bˆo lo.c n`ao th`ı ta qui ’u´’oc (F t ) l`a bˆo lo.c t ’u nhiˆen c’ua (X t), t´’uc

l`a F t = σ(X s, s ≤ t) = F X

t

• Mˆo.t s ´ˆo v´ı du v `ˆe Mactingan

(i) Cho Z l`a mˆo.t bi ´ˆen ng ˜ˆau nhiˆen b ´ˆat k`y sao cho EZ < ∞ (kh ’a t´ıch) v`a (F t) l`a mˆo.t bˆo lo.c b ´ˆat k`y trˆen (Ω, F, P ).

Qu´a tr`ınh ng ˜ˆau nhiˆen X = (X t , t ≥ 0) x´ac ¯di.nh b ’’oi

X t = E(Z|F t) l`a mˆo.t mactingan ¯d ´ˆoi v´’oi (F t)

Thˆa.t vˆa.y, v´’oi 0 ≤ s ≤ t ta c´o

E(X t |F s ) = E(E(Z|F t )|F s ) = E(E(Z|F s )|F t ) = E(Z|F s ) = X s

(ii) C´ac qu´a tr`ınh v´’oi s ´ˆo gia ¯dˆo.c lˆa.p, kh ’a t´ıch

Cho X = (X t , t ≥ 0) l`a mˆo.t qu´a tr`ınh ng ˜ˆau nhiˆen kh ’a t´ıch v`a gi ’a s ’’u r`˘ang:

V´’oi mo.i 0 ≤ s ≤ t th`ı X t − X s dˆo.c lˆa.p ¯d ´¯ ˆoi v´’oi F X

t (t´ınh ch ´ˆat c´o s ´ ˆo gia ¯ dˆo.c lˆa.p v´’oi qu´a kh´’ u).

Khi ¯d´o X t l`a mˆo.t mactingan ¯d ´ˆoi v´’oi ho (F X

t , t ≥ 0).

Thˆa.t vˆa.y, v´’oi 0 ≤ s ≤ t ta c´o

E(X t |F X

s ) = E(X s |F X

s ) + E(X t − X s |F X

s ) = X s+ 0

(iii) D¯ a.o h`am Radon-Nikodym

Cho P v`a e P l`a hai ¯dˆo ¯do x´ac su ´ˆat trˆen c`ung mˆo.t khˆong gian ¯do ¯d ’u ’o.c (Ω, F) v`a (F t) l`a mˆo.t bˆo lo.c V´’oi m ˜ˆoi t ≥ 0, k´ı hiˆe.u

P t l`a ha.n ch ´ˆe c ’ua P trˆen F t v`a

e

P t `a ha.n ch ´ˆe c ’ua eP trˆen F t

Gi ’a s ’’u n ´ˆeu A ∈ F sao cho e P (A) = 0 th`ı P (A) = 0 ( e P liˆen tu.c tuyˆe.t ¯d ´ˆoi ¯d ´ˆoi v´’oi P ).

X´et bi ´ˆen ng ˜ˆau nhiˆen L t x´ac ¯di.nh nh ’u ¯da.o h`am Radon-Nikodym c’ua eP ¯d ´ˆoi v´’oi P :

L t = d e P t

dPt.

Khi ¯d´o qu´a tr`ınh (L t , t ≥ 0) l`a mˆo.t mactingan ¯d ´ˆoi v´’oi (F t)

Thˆa.t vˆa.y, ta s˜e ch´’ung minh r`˘ang E(I A L t ) = E(I A L s) v´’oi mo.i A ∈ F s v`a 0 ≤ s ≤ t: V`ı A ∈ F s v`a L s = d e P s

dP s nˆen

E(I A L s) = eE(I A) = eP (A).

V`ı s ≤ t nˆen c˜ung c´o A ∈ F t M˘a.t kh´ac, do L t= d e P t

dP t nˆen

E(I A L t) = eE(I A) = eP (A).

• ´’Ung du.ng c’ua Martingale trong t`ai ch´ınh

Trong to´an ho.c t`ai ch´ınh, gi´a c’ua c´ac t`ai s ’an t`ai ch´ınh c ’o b ’an (nh ’u gi´a c ’ˆo phi ´ˆeu,

S t, gi´a tr´ai phi ´ˆeu B t) c˜ung nh ’u gi´a c’ua c´ac t`ai s ’an ph´at sinh (nh ’u gi´a quy `ˆen cho.n V t)

¯

d `ˆeu ¯d ’u ’o.c xem nh ’u l`a c´ac qu´a tr`ınh ng ˜ˆau nhiˆen Tuy nhiˆen, ch´ung khˆong ph ’ai l`a c´ac mactingan ¯d ´ˆoi v´’oi mˆo.t tr ’u`’ong thˆong tin (F t) ¯dang x´et

Gi ’a s ’’u X t l`a gi´a c ’ua mˆo.t t`ai s ’an ta.i th`’oi ¯di ’ˆem m`a ta c `ˆan x´ac ¯di.nh N´oi chung X t

khˆong l`a mˆo.t mactingan N ´ˆeu ta bi ´ˆen ¯d ’ˆoi X t th`anh mˆo.t qu´a tr`ınh mactingan Z t = ϕ(X t) v`a bi ´ˆet gi´a tri ¯d´ao ha.n Z T Khi ¯d´o, v`ı

E(Z T |F t ) = Z t (t < T )

nˆen ta c´o th ’ˆe t´ınh ¯d ’u ’o.c gi´a X t ta.i th`’oi ¯di ’ˆem t < T b’’oi

X t = ϕ −1 (E(Z T |F t )), (t < T ).

7 Qu´a tr`ınh Gauss 7

2 D¯ i.nh ngh˜ia 11 D¯ a.i l ’u ’o.ng ng ˜ˆau nhiˆen liˆen tu.c X ¯d ’u ’o.c go.i l`a c´o phˆan ph ´ˆoi chu ’ˆan n ´ˆeu h`am mˆa.t ¯dˆo x´ac su ´ˆat c´a da.ng

f (x) = 1

σ √ 2π e

− (x−µ)2 2σ2

Khi ¯d´o X c´o k`y vo.ng µ v`a ph ’u ’ong sai σ2

2 D¯ i.nh ngh˜ia 12 Mˆo.t qu´a tr`ınh ng ˜ˆau nhiˆen X = (X t , t ≥ 0) ¯ d ’u ’o.c go.i l`a mˆo.t qu´a

tr`ınh Gauss n ´ ˆeu (X t1, X T2, , X t n) c´o phˆan ph ´ˆoi chu ’ˆan ¯d `ˆong th`’oi v´’oi m ˜ˆoi n v`a v´’oi m ˜ˆoi

tˆa.p h ’o.p th`’oi gian 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ ≤ t n

∆ D¯ i.nh l´y 1.1 Mˆo.t qu´a tr`ınh ng ˜ ˆau nhiˆen X = (X t , t ≥ 0) l`a mˆo.t qu´a tr`ınh Gauss n ´ ˆeu v`a ch ’i n ´ ˆeu:

i) EX2

t < ∞ v´’ oi mo.i t ≥ 0.

ii) V´’ oi mo.i tˆa.p h˜’uu ha.n gi´a tri (t1, t2, , tn ), t i ≥ 0, i = 1, , n, th`ı

E exp

Ã

i

n

X

i=1 uiXt i

!

= exp

"

i

n

X

i=1

uiµ(ti ) − 1

2

n

X

k,l=1 ukulR(tk, tl)

#

, trong ¯ d´o

µ(t) = EXt (h`am k`y vo.ng),

R(t, s) = E[(X t − EX t )(X s − EX s )] (h`am t ’ u ’ ong quan/ h`am hiˆe.p ph ’u ’ong sai c’ua X).

¯ Ch´u ´y N ´ˆeu X t l`a mˆo.t qu´a tr`ınh Gauss th`ı n´o ho`an to`an ¯d ’u ’o.c x´ac ¯di.nh b’’oi h`am k`y

vo.ng µ(t) v`a h`am t ’u ’ong quan R(t, s)

• V´ı du 3 Cho X v`a Y l`a hai bi ´ˆen ng ˜ˆau nhiˆen v´’oi phˆan ph ´ˆoi Gauss ¯d `ˆong th`’oi Khi ¯d´o

qu´a tr`ınh X t = tX + Y , t ≥ 0, l`a qu´a tr`ınh Gauss v´’oi k`y vo.ng v`a h`am hiˆe.p ph ’u ’ong sai

µ X (t) = tE(X) + E(Y ),

RX (s, t) = t2Var(X) + 2tCov(X, Y ) + Var(Y ).

8.1 Kh´ ai niˆ e.m v ` ˆ e qu´ a tr`ınh Wiener (Chuy ’ ˆ en ¯ dˆ o.ng Brown)

2 D¯ i.nh ngh˜ia 13 Mˆo.t qu´a tr`ınh ng ˜ˆau nhiˆen X = (X t , t ≥ 0) ¯ d ’u ’o.c go.i l`a mˆo.t qu´a

tr`ınh Wiener (hay mˆo.t chuy ’ˆen ¯dˆo.ng Brown) v´’oi tham s ´ ˆo ph ’u ’ong sai σ2, n ´ˆeu X l`a mˆo.t

qu´a tr`ınh Gauss sao cho

i) E(X t ) = 0 ∀t, t´’ uc l`a X t l`a qui tˆam

ii) H`am hiˆe.p ph ’u ’ong sai R(t, s) = cov(X t, Xs ) = σ2 min(t, s).

Ta s˜e k´ı hiˆe.u W = (W y) cho qu´a tr`ınh Wiener

Khi σ2 = 1 th`ı W ¯ d ’u ’o.c go.i l`a qu´a tr`ınh Wiener tiˆeu chu ’ˆan.

2 D¯ i.nh ngh˜ia 14 (D¯i.nh ngh~ia t ’u ’ong ¯d ’ong)

Mˆo.t qu´a tr`ınh ng ˜ˆau nhiˆen X = (X t , t ≥ 0) l`a mˆo.t qu´a tr`ınh Wiener hay chuy ’ˆen

¯

dˆo.ng Brown n ´ˆeu:

i) X0 = 0 h `ˆau ch ´˘ac ch´˘an

ii) Hiˆe.u X t − X s l`a mˆo.t bi ´ˆen ng ˜ˆau nhiˆen chu ’ˆan (Gauss) v´’oi k`y vo.ng 0 v`a ph ’u ’ong sai

l`a σ2(t − s) (s < t)

iii) C´ac s ´ˆo gia X t4 − X t3 v`a X t2 − X t1 (v´’oi mo.i t1 ≤ t2 ≤ t3 ≤ t4) l`a c´ac bi ´ˆen ng ˜ˆau nhiˆen ¯dˆo.c lˆa.p

iv) V´’oi h `ˆau h ´ˆet ω, c´ac qu˜i ¯da.o t → X(t, ω) l`a liˆen tu.c.

8.2 C´ ac t´ınh ch ´ ˆ at quan tro.ng c’ua mˆo.t qu´a tr`ınh Wiener

Cho W = (W t) l`a mˆo.t qu´a tr`ınh Wiener

i) H `ˆau ch ´˘ac ch´˘an l`a W t khˆong kh ’a vi theo t.

ii) H `ˆau ch ´˘ac ch´˘an l`a W t khˆong c´o bi ´ˆen phˆan bi ch˘a.n trˆen b ´ˆat k`y kho ’ang h˜’uu ha.n

n`ao c ’ua t.

iii) W tuˆan theo luˆa.t logarit l˘a.p mh ’u sau:

P

½

ω : lim t→∞sup√ W t (ω)

2t log log t = 1

¾

= 1.

8.3 C´ ac Mactingan liˆ en quan ¯ d ´ ˆ en qu´ a tr`ınh Wiener

∆ D¯ i.nh l´y 1.2 Cho W = (W t ) l`a mˆo.t qu´a tr`ınh Wiener v`a F t = F W

t = σ(W s : s ≤ t).

Khi ¯ d´o

i) W t l`a mˆo.t mactingan ¯d´ ˆoi v´’ oi (F t ).

ii) W2

t − t l`a mˆo.t mactingan ¯d´ ˆoi v´’ oi (Ft ).

iii) V´’ oi mo.i u ∈ R th`ı e uW t − u2

2 t l`a mˆo.t mactingan ¯d´ ˆoi v´’ oi (F t ).

Ch´’ung minh

i) W t l`a mˆo.t mactingan b ’’oi v`ı

E(W t − W s |F s ) = E(W t − W s ) = 0.

ii) V´’oi W2

t − t, d`ung t´ınh ch ´ˆat k`y vo.ng c´o ¯di `ˆeu kiˆe.n ta c´o

9 Qu´a tr`ınh Poisson 9

E(W2

t |F s ) = E((W t − W s + W s)2|F s))

= E((W t − Ws)2|Fs ) + 2E((W t − Ws )W s|Fs ) + E(W2

s |Fs)

= E(W t − W s)2+ 2W s E((W t − W s )|F s ) + EW2

s

= EW2

s

iii) V´’oi e uW t − u2

2 t, ta c´o

E(e uW t − u2

2 t |F s ) = e uW s E(e u(W t −W s)− u2

2 t |F s)

= e uW s E(e u(W t −W s)− u22 t)

= e uW s e u2(t−s)2 − u2

2 t

= e uW s − u22 s

8.4 ¯ ˘ D a.c tr ’ung L´evy c’ua chuy ’ˆen ¯dˆo.ng Brown

∆ D¯ i.nh l´y 1.3 Cho W = (W t , t ≥ 0) l`a mˆo.t qu´a tr`ınh ng ˜ ˆau nhiˆen c´o qu˜ i ¯ da.o liˆen tu.c D

¯ i ` ˆeu kiˆe.n c ` ˆan v`a ¯ d ’u ¯ d ’ ˆe (Wt ) l`a mˆo.t chuy ’ˆen ¯dˆo.ng Brown l`a:

i) W t l`a mˆo.t mactingan, W0 = 0 h ` ˆau ch ´ ac ch ´ ˘ ˘ an

ii) W2

t − t l`a mˆo.t mactingan (¯d´ ˆoi v´’ oi F t = F W

t ).

D

¯ i `ˆeu kiˆe.i i) v`a ii) ¯d ’u ’o.c go.i l`a ¯d˘a.c tr ’ung L´evy c’ua chuy ’ˆen ¯dˆo.ng Brown.

9.1 Qu´ a tr`ınh ¯ d ´ ˆ em

Mˆo.t qu´a tr`ınh ng ˜ˆau nhiˆen (N t , t ≥ 0) ¯ d ’u ’o.c go.i l`a mˆo.t qu´a tr`ınh ¯d´ ˆem (hay qu´a tr`ınh

¯

di ’ ˆem) n ´ ˆeu N t bi ’ˆeu thi t ’ˆong s ´ˆo l `ˆan mˆo.t bi ´ˆen c ´ˆo n`ao ¯d´o x ’ay ra cho ¯d ´ˆen th`’oi ¯di ’ˆem t Vˆa.y

mˆo.t qu´a tr`ınh ¯d´ˆem l`a mˆo.t qu´a tr`ınh v´’oi th`’oi gian liˆen tu.c, l ´ˆay gi´a tri nguyˆen d ’u ’ong v`a c´o b ’u´’oc nh ’ay ta.i c´ac th`’oi ¯di ’ˆem ng ˜ˆau nhiˆen T0, T1, T2, sao cho

T0 = 0, 0 ≤ T1 < T2 < , lim

n→∞ T n = ∞

Khi ¯d´o c´o th ’ˆe vi ´ˆet

N t=







n n ´ ˆeu t ∈ [T n , T n+1 ], n ≥ 0

∞ n ´ ˆeu t = ∞

hay

Nt=

∞

X

n=0

n I [Tn ,T n+1)

9.2 Qu´ a tr`ınh Poisson

2 D¯ i.nh ngh˜ia 15 D¯ a.i l ’u ’o.ng ng ˜ˆau nhiˆen r`’oi ra.c X c´o phˆan ph ´ˆoi Poisson v´’oi k`y vo.ng λ

n ´ˆeu h`am mˆa.t ¯dˆo x´ac su ´ˆat c´o da.ng

f (n, λ) = e −λ λ n

n! , n = 0, 1, 2,

2 D¯ i.nh ngh˜ia 16 Mˆo.t qu´a tr`ınh ¯d´ˆem (N t , t ≥ 0) ¯ d ’u ’o.c go.i l`a mˆo.t qu´a tr`ınh Poisson

n ´ˆeu

i) N0 = 0

ii) {N t , t ≥ 0} c´o s ´ˆo gia ¯dˆo.c lˆa.p

iii) S ´ˆo bi ´ˆen c ´ˆo x ’ay ra trong b ´ˆat k`y kho ’ang th`’oi gian n`ao c´o ¯dˆo d`ai t l`a mˆo.t bi ´ˆen ng ˜ˆau nhiˆen c´o phˆan ph ´ˆoi Poisson v´’oi trung b`ınh l`a λ.t (λ > 0) T´’uc l`a v´’oi mo.i s, t ≥ 0 ta c´o

P (N t+s − N s = n) = e −λt (λt) n

n! ; n = 0, 1, 2,

T`’u ¯d´o ta c´o E(N t ) = λt S ´ ˆo λ > 0 ¯ d ’u ’o.c go.i l`a c ’u`’ong ¯dˆo c’ua qu´a tr`ınh Poisson.

9.3 ¯ ˘ D a.c tr ’ung Watanabe c’ua mˆo.t qu´a tr`ınh Poisson

Cho N = (N t , t ≥ 0) l`a mˆo.t qu´a tr`ınh ng ˜ˆau nhiˆen c´o s ´ˆo gia ¯dˆo.c lˆa.p, N0 = 0 D¯ i `ˆeu kiˆe.n c `ˆan v`a ¯d ’u ¯d ’ˆe N t l`a mˆo.t qu´a tr`ınh Poisson c´o c ’u`’ong ¯dˆo λ l`a

(*): N t − λt l`a mˆo.t mactingan ¯d ´ˆoi v´’oi (F N

t ) D

¯ i `ˆeu kiˆe.n (*) ¯d ’u ’o.c go.i l`a ¯d˘a.c tr ’ung Watanabe c’ua qu´a tr`ınh Poisson Mactingan

M t = N t − λt ¯ d ’u ’o.c go.i l`a mactingan Poisson ´’ung v´’oi qu´a tr`ınh Poisson N t

2 D¯ i.nh ngh˜ia 17 Mˆo.t qu´a tr`ınh ng ˜ˆau nhiˆen (X t , t ≥ 0) ¯ d ’u ’o.c go.i l`a mˆo.t qu´a tr`ınh

Markov n ´ˆeu v´’oi mo.i th`’oi ¯di ’ˆem b ´ˆat k`y 0 ≤ t1 < t2 < < t n ta c´o

P (X t n ≤ x n | X t1 = x1, , X t n−1 = x n−1 ) = P (X t n ≤ x n | X t n−1 = x n−1)

Mˆo.t qu´a tr`ınh Markov c´o khˆong gian tra.ng th´ai h˜’uu ha.n ho˘a.c ¯d´ˆem ¯d ’u ’o.c go.i l`a mˆo.t

x´ıch Markov.

2 D¯ i.nh ngh˜ia 18 Cho A l`a mˆo.t kho ’ang trˆen ¯d ’u`’ong th ’˘ang th ’u.c H`am s ´ˆo

P (x, s; t, A) = P (X t ∈ A| X s = x), s < t

¯

d ’u ’o.c go.i l`a h`am x´ac su ´ ˆat chuy ’ ˆen.

• V´ı du 4

i) Chuy ’ˆen ¯dˆo.ng Brown v`a qu´a tr`ınh Poisson l`a hai qu´a tr`ınh Markov ¯di ’ˆen h`ınh