Qua trinh ngau nhien

N´oi chung Xtkhˆong l`a mˆo.t mactingan.

Chu’ong ’ Qu´ a tr`ınh ngˆ a˜u nhiˆ en (Random processes) ´’ l`a mˆo.t bˆo gˆo`m: Cho (Ω, F, P ) l`a mˆo.t khˆong gian x´ac suˆa´t, tuc • Ω l`a mˆo.t tˆa.p ho.’p co’ so’’ m`a mˆo˜i phˆa`n tu’’ ω ∈ Ω d¯a.i diˆe.n cho mˆo.t yˆe´u tˆo´ ngˆa˜u nhiˆen ’ Ω gˆo`m mˆo.t sˆo´ yˆe´u tˆo´ ngˆa˜u nhiˆen n`ao d¯o´ Mˆo˜i tˆa.p cua ´’ ph´ep ho.’p d¯ˆe´m d¯u’o.’c v`a ´’ Ω v`a d¯o´ng d¯ˆo´i voi ’ Ω, chua • F l`a mˆo.t ho c´ac tˆa.p cua `’ (hay σ-¯ ’ Ω ph´ep lˆa´y phˆa`n b` u N´oi c´ach kh´ac, F l`a mˆo.t σ-tru’ong da.i sˆo´) c´ac tˆa.p cua Mˆo`i tˆa.p ho.’p A ∈ F d¯u’o.’c go.i l`a mˆo.t biˆe´n cˆ o´ ngˆ a˜u nhiˆen • P l`a mˆo.t d¯ˆo d¯o x´ac suˆa´t x´ac d¯i.nh trˆen khˆong gian d¯o (Ω, F) Ch´ uy ´ P (Ω) = v`a ≤ P (A) ≤ 1, ∀A ⊂ Ω ´’ σ-tru’ong `’ l`a σ-¯ Trong gi´ao tr`ınh n`ay ta quy u’oc da.i sˆo´ §1 1.1 Qu´ a tr`ınh ngˆ a˜u nhiˆ en Qu´ a tr`ınh ngˆ a˜u nhiˆ en ¯Di.nh nghi˜a Mˆo.t qu´a tr`ınh ngˆa˜u nhiˆen (Xt , t ≥ 0) l`a mˆo.t h`am X(t, ω) : R+ × Ω → R d¯o´ R = [0, +∞) `’ ho.’p ta k´ı hiˆe.u X(t, ω) = Xt (ω) Trong mˆo.t v`ai tru’ong ´’ kho´an St , gi´a tr´ai kho´an Pt , gi´a • V´ı du Trong t`ai ch´ınh, c´ac qu´a tr`ınh gi´a chung ’ phˆa’m ph´at sinh Ct d¯u’o.’c xem l`a c´ac qu´a tr`ınh ngˆa˜u nhiˆen san 1.2 Qu´ a tr`ınh d ¯o d ¯u’ o.’c ¯Di.nh nghi˜a Qu´a tr`ınh ngˆa˜u nhiˆen (Xt , t ≥ 0) go.i l`a d¯o d¯u’o.’c nˆe´u h`am X(t, ω) ´’ σ-tru’ong `’ t´ıch B + × F , d¯´o B + l`a σ-tru’ong `’ c´ac tˆa.p Borel trˆen d¯o d¯u’o.’c d¯ˆo´i voi Chuong ’ ’ Qu´ a tr`ınh ngˆ a˜u nhiˆ en R+ = [0, +∞) ´’ l`a, ∀B ∈ B trˆen R th`ı Tuc {(t, ω) ∈ R+ × Ω : X(t, ω) ∈ B} ∈ B + × F 1.3 ’ a qu´ Qui˜ d ¯a.o cu a tr`ınh ngˆ a˜u nhiˆ en `’ R+ ¯Di.nh nghi˜a Khi cˆo´ d¯.inh mˆo.t ω0 ∈ Ω th`ı ´anh xa riˆeng phˆa`n t → X(t, ω0 ) tu ´’ voi ´’ yˆe´u tˆo´ ’ qu´a tr`ınh ngˆa˜u nhiˆen X = (Xt , t ≥ 0) ung v`ao R d¯u’o.’c go.i l`a mˆo.t qui˜ d¯a.o cua ngˆa˜u nhiˆen ω0 §2 2.1 ´’ bˆ Qu´ a tr`ınh ngˆ a˜u nhiˆ en th´ıch nghi voi o lo.c Bˆ o lo.c `’ (Ft , t ≥ 0) cua ’ ’ F, Ft ∈ F d¯u’o.’c go.i l`a mˆo.t bˆo lo.c nˆe´u thoa Mˆo.t ho c´ac σ-tru’ong ` c´ac d¯iˆeu kiˆe.n: i) Nˆe´u s < t th`ı Fs ⊂ Ft (ho t˘ ang theo t), \ ’ ii) Ft = Ft+ε (ho liˆen tu.c phai), ε>0 iii) Nˆe´u A ∈ F v`a P (A) = th`ı A ∈ F0 (do d¯o´ A na˘`m mo.i Ft ) 2.2 Bˆ o lo.c tu.’ nhiˆ en ’’ c´ac biˆe´n ngˆa˜u `’ sinh boi Cho qu´a tr`ınh ngˆa˜u nhiˆen X = (Xt , t ≥ 0) X´et σ-tru’ong X ´ nhiˆen Xs voi’ s ≤ t: Ft = σ(Xs : s ≤ t) `’ n`ay ’ qu´a tr`ınh X hay li.ch su’’ cua ’ X Tru’ong (FtX , t ≥ 0) go.i l`a bˆo lo.c tu.’ nhiˆen cua ´’ thˆong tin vˆe`diˆe˜n biˆe´n cua `’ d¯iˆe’m t ’ qu´a tr`ınh X cho d¯ˆe´n thoi chua 2.3 ´’ bˆ Qu´ a tr`ınh ngˆ a˜u nhiˆ en th´ıch nghi voi o lo.c ¯Di.nh nghi˜a Mˆo.t khˆong gian x´ac suˆa´t (Ω, F, P ) ga˘´n thˆem v`ao mˆo.t bˆo lo.c (Ft ) go.i l`a mˆo.t khˆong gian x´ac suˆa´t d¯u’o.’c lo.c v`a k´ı hiˆe.u l`a (Ω, F, (Ft ), P ) ´’ bˆo lo.c (Ft , t ≥ 0) nˆe´u voi ´’ mo.i t th`ı Yt d¯o d¯u’o.’c d¯ˆo´i Qu´a tr`ınh Y go.i l`a th´ıch nghi voi ´’ σ-tru’ong `’ Ft voi ⊕ Nhˆ a.n x´ et ´’ li.ch su’’ (FtX , t ≥ 0) cua ’ n´o i) Ta thˆa´y mo.i qu´a tr`ınh X = (Xt , t ≥ 0) th´ınh nghi voi ´’ li.ch su’’ cua ’ n´o l`a (FtX , t ≥ 0) Mˆo.t qu´a tr`ınh Yt (ω) ii) Cho qu´a tr`ınh X = Xt (ω) voi ´’ ´’ li.ch su’’ (FtX , t ≥ 0) cua ’ X nˆe´u v`a chi’ nˆe´u Yt (ω) c´o thˆe’ biˆe’u diˆe˜n du’oi th´ıch nghi voi `’ `’ d Thoi ¯iˆ e’m dung da.ng Yt (ω) = ft (Xs1 (ω), Xs2 (ω), ), ’ [0, t] v`a ft l`a mˆo.t h`am Borel trˆen RN d¯o´ s1 , s2 , l`a mˆo.t d˜ ay c´ac phˆa`n tu’’ cua ´’ mo.i t v`a voi ´’ mo.i ω, muˆo´n biˆe´t gi´a tri cua ’ Yt ta.i d¯iˆe’m ω chi’ cˆa`n biˆe´t qui˜ Khi d¯o´ voi ´’ s 7→ X(s, ω) Thu.’c ra, chi’ cˆa`n biˆe´t ha.n chˆe´ cua ’ qui˜ d¯a.o n`ay [0, t] d¯a.o tu’ong ’ ung §3 `’ `’ d Thoi ¯iˆ e’m dung `’ `’ d Thoi ¯iˆ e’m dung 3.1 ¯Di.nh nghi˜a Cho khˆong gian x´ac suˆa´t d¯u’o.’c lo.c (Ω, F, (Ft ), P ) Biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen T ´’ mo.i t ≥ th`ı `’ nˆe´u voi `’ d¯iˆe’m dung go.i l`a thoi {ω ∈ Ω : T (ω) ≤ t} ∈ Ft ´’ mo.i t ≥ th`ı ha˘`ng sˆo´ t (xem nhu’ h`am Ω → [0, +∞]) l`a mˆo.t thoi `’ d¯iˆe’m • V´ı du Voi `’ dung ´’ S ≤ T Tˆa.p `’ voi `’ d¯iˆe’m dung ¯Di.nh nghi˜a Gia’ su’’ S v`a T l`a c´ac thoi [[S, T ]] = {(t, ω) ∈ R+ × Ω : S(ω) ≤ t ≤ T (ω)} ’ ngˆ d¯u’o.’c go.i l`a mˆo.t khoang a˜u nhiˆen ´ nghi˜a cu `’ `’ d ’ a thoi Y ¯iˆ e’m dung 3.2 ´’ bˆo lo.c tu.’ nhiˆen Khi d¯o´ voi ´’ mo.i t ≥ ta c´o X´et qu´a tr`ınh ngˆa˜u nhiˆen X voi {ω ∈ Ω : T (ω) ≤ t} = {ω ∈ Ω : (Xs1 (ω), Xs2 (ω), ) ∈ B}, ’ RN Nhu’ vˆa.y, muˆo´n biˆe´t phˆa`n tu’’ d¯o´ s1 , s2 , thuˆo.c [0, t] v`a B l`a tˆa.p Borel cua ’ T (ω) ≤ t chi’ cˆa`n biˆe´t qui˜ d¯a.o s → X(s, ω) cua ’ qu´a tr`ınh X [0, t] ω ∈ Ω c´o thoa §4 ´’ mˆ `’ K` y vo.ng c´ od ¯iˆ e`u kiˆ e.n d ¯ˆ o´i voi o.t σ-tru’ ong ’ biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X d¯u’o.’c d¯.inh nghi˜a l`a t´ıch phˆan cua ’ X ¯Di.nh nghi˜a K` y vo.ng cua ´ ´ ´ d¯ˆoi voi’ d¯oˆ d¯o x´ac suˆat P : Z E(X) = XdP Ω ’ biˆe´n cˆo´ A: ¯Da˘ c biˆe.t, E(IA ) = P (A), d¯o´ IA l`a h`am chi’ tiˆeu cua   nˆe´u ω ∈ A IA =  nˆe´u ω ∈ / A Chuong ’ ’ Qu´ a tr`ınh ngˆ a˜u nhiˆ en `’ cua ’ ¯Di.nh nghi˜a Cho (Ω, F, P ) l`a mˆo.t khˆong gian x´ac suˆa´t, G l`a mˆo.t σ-tru’ong ´ F v`a X l`a mˆo.t biˆen ngˆa˜u nhiˆen ´’ σ-tru’ong `’ G nˆe´u: ’ X d¯ˆo´i voi Mˆo.t biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X ∗ go.i l`a k` y vo.ng c´o d¯iˆe`u kiˆe.n cua ´’ G i) X ∗ l`a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen d¯o d¯u’o.’c d¯ˆo´i voi ´’ mo.i tˆa.p A ∈ G ta c´o ii) Voi Z Z ∗ ´’ l`a E(X ∗ IA ) = E(XIA )) X dP = XdP (tuc A A K´ı hiˆe.u X ∗ = E(X|G) ’’ mˆo.t biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen Y n`ao d¯o´ `’ G l`a σ-tru’ong `’ σ(Y ) sinh boi Nˆe´u cho.n σ-tru’ong ´’ σ(Y ) c˜ ’ X d¯ˆo´i voi th`ı k` y vo.ng c´o d¯iˆe`u kiˆe.n cua ung d¯u’o.’c k´ı hiˆe.u l`a E(X|Y ) • T´ınh chˆ a´t ´’ d¯ˆay d¯u’o.’c hiˆe’u theo nghi˜a hˆ C´ac mˆe.nh d¯ˆe`du’oi a`u cha˘´c cha˘´n (h.c.c) `’ tˆa`m thu’ong `’ {∅, Ω} th`ı i) Nˆe´u G l`a σ-tru’ong E(X|G) = EX ´’ hai biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X v`a Y ta c´o ii) Voi E(X + Y |G) = E(X|G) + E(Y |G) ´’ G th`ı iii) Nˆe´u X l`a d¯o d¯u’o.’c d¯ˆo´i voi E(XY |G) = XE(Y |G) ` ¯Da˘ c biˆe.t, nˆe´u c l`a ha˘ng sˆo´ th`ı E(cY |G) = cE(Y |G) iv) Nˆe´u X d¯ˆo.c lˆa.p d¯ˆo´i v´oi G th`ı E(X|G) = EX ´’ hai σ-tru’ong `’ C ⊂ D ta c´o v) Voi E(E(X|D)|C) = E(E(X|C)|D) = E(X|C) §5 X´ ac suˆ a´t c´ od ¯iˆ e`u kiˆ e.n ´’ tru’ong `’ G l`a mˆo.t biˆe´n ’ biˆe´n cˆo´ A ∈ F d¯ˆo´i voi ¯Di.nh nghi˜a X´ac suˆa´t c´o d¯iˆe`u kiˆe.n cua ’’ ngˆa˜u nhiˆen x´ac d¯i.nh boi P (A|G) = E(IA |G), T´ınh chˆ a´t i) P (Ω|G) = (hˆa`u cha˘´c cha˘´n - h.c.c) 6 Martingale ii) ∀A ∈ F th`ı P (A|G) = − P (Ω|G) (h.c.c) `’ d¯oˆi mˆo.t th`ı `’ tung iii) ∀A1 , A2 , ∈ F roi Ã∞ ! ∞ [ X P An |G = P (An |G) n=1 §6 n=1 Mac-tin-gan (Martingale) ¯Di.nh nghi˜a 10 Mˆo.t qu´a tr`ınh ngˆa˜u nhiˆen X = (Xt , t ≥ 0) go.i l`a mˆo.t mactingan ´’ bˆo lo.c (Ft ) nˆe´u: d¯ˆo´i voi ´’ bˆo lo.c (Ft ), tuc ´’ l`a Xt ∈ Ft ∀t i) X th´ıch nghi voi ´’ mo.i t, tuc ´’ l`a E|Xt | < ∞, ∀t ≥ 0, ii) Xt kha’ t´ıch voi R ´’ mo.i ≤ s ≤ t, tuc ´’ l`a (Xt − Xs )dP = voi ´’ mo.i A ∈ Fs v`a iii) E(Xt |Fs ) = Xs voi A ≤ s ≤ t ¯ Ch´ uy ´ ’’ d¯iˆe`u kiˆe.n E(Xt |Fs ) ≤ Xs th`ı Xt d¯u’o.’c go.i l`a mactingan i) Nˆe´u d¯iˆe`u kiˆe.n iii) thay boi trˆen (supermartingale) ’’ d¯iˆe`u kiˆe.n (ho˘ ii) Nˆe´u d¯iˆe`u kiˆe.n iii) thay boi a.c E(Xt |Fs ) ≥ Xs ) th`ı Xt d¯u’o.’c go.i l`a ´’ (submartingale) mactingan du’oi ´’ (Ft ) l`a bˆo lo.c tu.’ nhiˆen cua ´’ ’ (Xt ), tuc iii) Khi khˆong chi’ r˜ o bˆo lo.c n`ao th`ı ta qui u’oc X l`a Ft = σ(Xs , s ≤ t) = Ft • Mˆ o.t sˆ o´ v´ı du vˆ e` Mactingan (i) Cho Z l`a mˆo.t biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen bˆa´t k` y cho EZ < ∞ (kha’ t´ıch) v`a (Ft ) l`a mˆo.t bˆo ´ lo.c bˆat k` y trˆen (Ω, F, P ) ’’ Qu´a tr`ınh ngˆa˜u nhiˆen X = (Xt , t ≥ 0) x´ac d¯.inh boi Xt = E(Z|Ft ) ´’ (Ft ) l`a mˆo.t mactingan d¯ˆo´i voi ´’ ≤ s ≤ t ta c´o Thˆa.t vˆa.y, voi E(Xt |Fs ) = E(E(Z|Ft )|Fs ) = E(E(Z|Fs )|Ft ) = E(Z|Fs ) = Xs ´’ sˆ (ii) C´ ac qu´ a tr`ınh voi o´ gia d ¯o ˆ c lˆ a.p, kha’ t´ıch Cho X = (Xt , t ≥ 0) l`a mˆo.t qu´a tr`ınh ngˆa˜u nhiˆen kha’ t´ıch v`a gia’ su’’ ra˘`ng: ´’ ´’ mo.i ≤ s ≤ t th`ı Xt − Xs d¯oˆ c lˆa.p d¯ˆo´i voi ´’ FtX (t´ınh chˆa´t c´ o sˆo´ gia d¯ˆ o.c lˆa.p voi Voi ´ qu´a khu) ’ Chuong ’ ’ Qu´ a tr`ınh ngˆ a˜u nhiˆ en ´’ ho (FtX , t ≥ 0) Khi d¯´o Xt l`a mˆo.t mactingan d¯ˆo´i voi ´’ ≤ s ≤ t ta c´o Thˆa.t vˆa.y, voi E(Xt |FsX ) = E(Xs |FsX ) + E(Xt − Xs |FsX ) = Xs + (iii) ¯Da.o h` am Radon-Nikodym Cho P v`a Pe l`a hai d¯ˆo d¯o x´ac suˆa´t trˆen c` ung mˆo.t khˆong gian d¯o d¯u’o.’c (Ω, F) v`a (Ft ) ´ ˜ l`a mˆo.t bˆo lo.c Voi’ mˆoi t ≥ 0, k´ı hiˆe.u ’ P trˆen Ft v`a Pt l`a ha.n chˆe´ cua ’ Pe trˆen Ft Pet `a ha.n chˆe´ cua ´’ P ) Gia’ su’’ nˆe´u A ∈ F cho Pe(A) = th`ı P (A) = (Pe liˆen tu.c tuyˆe.t d¯ˆo´i d¯ˆo´i voi ´’ P : ’ Pe d¯ˆo´i voi X´et biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen Lt x´ac d¯i.nh nhu’ d¯a.o h`am Radon-Nikodym cua dPet Lt = dPt ´’ (Ft ) Khi d¯´o qu´a tr`ınh (Lt , t ≥ 0) l`a mˆo.t mactingan d¯ˆo´i voi ´’ minh ra˘`ng E(IA Lt ) = E(IA Ls ) voi ´’ mo.i A ∈ Fs v`a ≤ s ≤ t: Thˆa.t vˆa.y, ta s˜ e chung V`ı A ∈ Fs v`a Ls = dPes dPs nˆen e A ) = Pe(A) E(IA Ls ) = E(I V`ı s ≤ t nˆen c˜ ung c´o A ∈ Ft M˘ a.t kh´ac, Lt = dPet dPt nˆen e A ) = Pe(A) E(IA Lt ) = E(I ´ ’ dung cua ’ Martingale t` • Ung ch´ınh ’ c´ac t`ai san ’ t`ai ch´ınh co’ ban ’ (nhu’ gi´a cˆo’ phiˆe´u, Trong to´an ho.c t`ai ch´ınh, gi´a cua ’ c´ac t`ai san ’ ph´at sinh (nhu’ gi´a quyˆe`n cho.n Vt ) St , gi´a tr´ai phiˆe´u Bt ) c˜ ung nhu’ gi´a cua ˜ ’ l`a c´ac d¯ˆe`u d¯u’o.’c xem nhu’ l`a c´ac qu´a tr`ınh ngˆau nhiˆen Tuy nhiˆen, ch´ ung khˆong phai ´ ´ ` mactingan d¯ˆoi voi’ mˆo.t tru’ong ’ thˆong tin (Ft ) d¯ang x´et `’ d¯iˆe’m m`a ta cˆa`n x´ac d¯i.nh N´oi chung Xt ’ mˆo.t t`ai san ’ ta.i thoi Gia’ su’’ Xt l`a gi´a cua khˆong l`a mˆo.t mactingan Nˆe´u ta biˆe´n d¯ˆo’i Xt th`anh mˆo.t qu´a tr`ınh mactingan Zt = ϕ(Xt ) v`a biˆe´t gi´a tri d¯a´o ha.n ZT Khi d¯´o, v`ı E(ZT |Ft ) = Zt (t < T ) ’’ `’ d¯iˆe’m t < T boi nˆen ta c´o thˆe’ t´ınh d¯u’o.’c gi´a Xt ta.i thoi Xt = ϕ−1 (E(ZT |Ft )), (t < T ) 7 Qu´ a tr`ınh Gauss §7 Qu´ a tr`ınh Gauss ¯Di.nh nghi˜a 11 ¯Da.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen liˆen tu.c X d¯u’o.’c go.i l`a c´o phˆan phˆo´i chuˆa’n nˆe´u h`am mˆa.t d¯oˆ x´ac suˆa´t c´a da.ng (x−µ)2 f (x) = √ e− 2σ2 σ 2π Khi d¯o´ X c´o k` y vo.ng µ v`a phu’ong ’ sai σ ¯Di.nh nghi˜a 12 Mˆo.t qu´a tr`ınh ngˆa˜u nhiˆen X = (Xt , t ≥ 0) d¯u’o.’c go.i l`a mˆo.t qu´a ´’ mˆo˜i n v`a voi ´’ mˆo˜i `’ voi tr`ınh Gauss nˆe´u (Xt1 , XT2 , , Xtn ) c´o phˆan phˆo´i chuˆa’n d¯ˆo`ng thoi `’ gian ≤ t1 ≤ t2 ≤ ≤ tn tˆa.p ho.’p thoi ∆ ¯Di.nh l´ y 1.1 Mˆo.t qu´a tr`ınh ngˆa˜u nhiˆen X = (Xt , t ≥ 0) l`a mˆo.t qu´a tr`ınh Gauss nˆe´u ´ v`a chi’ nˆeu: ´’ mo.i t ≥ i) EXt2 < ∞ voi ´’ mo.i tˆa.p huu ˜’ ha.n gi´a tri (t1 , t2 , , tn ), ti ≥ 0, i = 1, , n, th`ı ii) Voi à n # ! " n n X X 1X E exp i ui Xti = exp i uk ul R(tk , tl ) , ui µ(ti ) − k,l=1 i=1 i=1 d¯´ o µ(t) = EXt (h` am k`y vo.ng), X) ’ R(t, s) = E[(Xt − EXt )(Xs − EXs )] (h` am tu’ong ’ quan/ h`am hiˆe.p phu’ong ’ sai cua ’’ h`am k` ¯ Ch´ uy ´ Nˆe´u Xt l`a mˆo.t qu´a tr`ınh Gauss th`ı n´o ho`an to`an d¯u’o.’c x´ac d¯.inh boi y vo.ng µ(t) v`a h`am tu’ong ’ quan R(t, s) ´’ phˆan phˆo´i Gauss d¯ˆo`ng thoi `’ Khi d¯o´ • V´ı du Cho X v`a Y l`a hai biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen voi ´ qu´a tr`ınh Xt = tX + Y , t ≥ 0, l`a qu´a tr`ınh Gauss voi’ k` y vo.ng v`a h`am hiˆe.p phu’ong ’ sai µX (t) = tE(X) + E(Y ), RX (s, t) = t2 Var(X) + 2tCov(X, Y ) + Var(Y ) §8 8.1 Qu´ a tr`ınh Wiener (Chuyˆ e’n d ¯ˆ o.ng Brown) Kh´ niˆ e.m vˆ e` qu´ a tr`ınh Wiener (Chuyˆ e’n d ¯ˆ o.ng Brown) ¯Di.nh nghi˜a 13 Mˆo.t qu´a tr`ınh ngˆa˜u nhiˆen X = (Xt , t ≥ 0) d¯u’o.’c go.i l`a mˆo.t qu´a ´’ tham sˆo´ phu’ong tr`ınh Wiener (hay mˆo.t chuyˆe’n d¯ˆ o.ng Brown) voi ’ sai σ , nˆe´u X l`a mˆo.t qu´a tr`ınh Gauss cho ´’ l`a Xt l`a qui tˆam i) E(Xt ) = ∀t, tuc Chuong ’ ’ Qu´ a tr`ınh ngˆ a˜u nhiˆ en ii) H`am hiˆe.p phu’ong ’ sai R(t, s) = cov(Xt , Xs ) = σ min(t, s) Ta s˜ e k´ı hiˆe.u W = (Wy ) cho qu´a tr`ınh Wiener Khi σ = th`ı W d¯u’o.’c go.i l`a qu´a tr`ınh Wiener tiˆeu chuˆ a’n ¯Di.nh nghi˜a 14 (D ’ d¯u’ong) ’ nh nghi~a tu’ong ¯i Mˆo.t qu´a tr`ınh ngˆa˜u nhiˆen X = (Xt , t ≥ 0) l`a mˆo.t qu´ a tr`ınh Wiener hay chuyˆe’n ´ d¯ˆ o.ng Brown nˆeu: i) X0 = hˆa`u cha˘´c cha˘´n ´’ k` ii) Hiˆe.u Xt − Xs l`a mˆo.t biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen chuˆa’n (Gauss) voi y vo.ng v`a phu’ong ’ sai l`a σ (t − s) (s < t) ´’ mo.i t1 ≤ t2 ≤ t3 ≤ t4 ) l`a c´ac biˆe´n ngˆa˜u iii) C´ac sˆo´ gia Xt4 − Xt3 v`a Xt2 − Xt1 (voi nhiˆen d¯oˆ c lˆa.p ´’ hˆa`u hˆe´t ω, c´ac qui˜ d¯a.o t → X(t, ω) l`a liˆen tu.c iv) Voi 8.2 ’ a mˆ C´ ac t´ınh chˆ a´t quan tro.ng cu o.t qu´ a tr`ınh Wiener Cho W = (Wt ) l`a mˆo.t qu´a tr`ınh Wiener i) Hˆa`u cha˘´c cha˘´n l`a Wt khˆong kha’ vi theo t ˜’ ha.n ’ huu ii) Hˆa`u cha˘´c cha˘´n l`a Wt khˆong c´o biˆe´n phˆan bi ch˘ a.n trˆen bˆa´t k` y khoang ’ t n`ao cua iii) W tuˆan theo luˆa.t logarit la˘ p mhu’ sau: ẵ ắ Wt () P : lim sup √ = = t→∞ 2t log log t 8.3 C´ ac Mactingan liˆ en quan d ¯ˆ e´n qu´ a tr`ınh Wiener ∆ ¯Di.nh l´ y 1.2 Cho W = (Wt ) l` a mˆo.t qu´a tr`ınh Wiener v`a Ft = FtW = σ(Ws : s ≤ t) Khi d¯´ o ´’ (Ft ) i) Wt l` a mˆo.t mactingan d¯ˆ o´i voi ´’ (Ft ) a mˆo.t mactingan d¯ˆ o´i voi ii) Wt2 − t l` ´’ mo.i u ∈ R th`ı euWt − iii) Voi ´’ minh Chung u2 t ´’ (Ft ) l`a mˆo.t mactingan d¯ˆo´i voi ’’ v`ı i) Wt l`a mˆo.t mactingan boi E(Wt − Ws |Fs ) = E(Wt − Ws ) = ´’ Wt2 − t, d` ung t´ınh chˆa´t k` y vo.ng c´o d¯iˆe`u kiˆe.n ta c´o ii) Voi 9 Qu´ a tr`ınh Poisson E(Wt2 |Fs ) = E((Wt − Ws + Ws )2 |Fs )) = E((Wt − Ws )2 |Fs ) + 2E((Wt − Ws )Ws |Fs ) + E(Ws2 |Fs ) = E(Wt − Ws )2 + 2Ws E((Wt − Ws )|Fs ) + EWs2 = EWs2 ´’ euWt − iii) Voi u2 t , ta c´o E(euWt − u2 t |Fs ) = euWs E(eu(Wt −Ws )− = euWs E(e 8.4 u2 t |Fs ) u(Wt −Ws )− u2 t) = euWs e u2 (t−s) − u2 t = euWs − u2 s ’ a chuyˆ ˘ c trung L´ evy cu e’n d ¯o ˆ ng Brown ’ ¯Da ∆ ¯Di.nh l´ y 1.3 Cho W = (Wt , t ≥ 0) l`a mˆo.t qu´a tr`ınh ngˆ a˜u nhiˆen c´o qui˜ d¯a.o liˆen tu.c ’ a mˆo.t chuyˆe’n d¯ˆ o.ng Brown l`a: ¯Diˆe`u kiˆe.n cˆa`n v`a d¯u’ d¯ˆe (Wt ) l` i) Wt l`a mˆo.t mactingan, W0 = hˆa`u cha˘´c cha˘´n ´’ Ft = FtW ) ii) Wt2 − t l`a mˆo.t mactingan (¯ dˆo´i voi ’ chuyˆe’n d¯oˆ ng Brown ’ L´evy cua ¯Diˆe`u kiˆe.i i) v`a ii) d¯u’o.’c go.i l`a d¯a˘ c trung §9 9.1 Qu´ a tr`ınh Poisson Qu´ a tr`ınh d ¯ˆ e´m Mˆo.t qu´a tr`ınh ngˆa˜u nhiˆen (Nt , t ≥ 0) d¯u’o.’c go.i l`a mˆo.t qu´a tr`ınh d¯ˆe´m (hay qu´a tr`ınh `’ d¯iˆe’m t Vˆa.y ’ cho d¯ˆe´n thoi d¯iˆe’m) nˆe´u Nt biˆe’u thi tˆo’ng sˆo´ lˆa`n mˆo.t biˆe´n cˆo´ n`ao d¯o´ xay ´’ thoi `’ gian liˆen tu.c, lˆa´y gi´a tri nguyˆen du’ong mˆo.t qu´a tr`ınh d¯ˆe´m l`a mˆo.t qu´a tr`ınh voi ’ v`a ’ ´ ˜ `’ d¯iˆem ngˆau nhiˆen T0 , T1 , T2 , cho ’ ta.i c´ac thoi c´o bu’oc ’ nhay T0 = 0, Khi d¯o´ c´o thˆe’ viˆe´t ≤ T1 < T < , lim Tn = ∞ n→∞   n nˆe´u t ∈ [T , T ], n ≥ n n+1 Nt =  ∞ nˆe´u t = ∞ hay Nt = ∞ X n=0 n I[Tn ,Tn+1 ) Chuong ’ ’ Qu´ a tr`ınh ngˆ a˜u nhiˆ en 10 9.2 Qu´ a tr`ınh Poisson ´’ k` `’ ra.c X c´o phˆan phˆo´i Poisson voi ¯Di.nh nghi˜a 15 ¯Da.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen roi y vo.ng λ ´ ´ nˆeu h`am mˆa.t d¯oˆ x´ac suˆat c´o da.ng f (n, λ) = e−λ λn , n = 0, 1, 2, n! ¯Di.nh nghi˜a 16 Mˆo.t qu´a tr`ınh d¯ˆe´m (Nt , t ≥ 0) d¯u’o.’c go.i l`a mˆo.t qu´ a tr`ınh Poisson nˆe´u i) N0 = ii) {Nt , t ≥ 0} c´o sˆo´ gia d¯ˆo.c lˆa.p `’ gian n`ao c´o d¯ˆo d`ai t l`a mˆo.t biˆe´n ngˆa˜u ’ bˆa´t k` ’ thoi iii) Sˆo´ biˆe´n cˆo´ xay y khoang ´’ trung b`ınh l`a λ.t (λ > 0) Tuc ´’ l`a voi ´’ mo.i s, t ≥ ta c´o nhiˆen c´o phˆan phˆo´i Poisson voi P (Nt+s − Ns = n) = e−λt (λt)n ; n! n = 0, 1, 2, `’ d¯o´ ta c´o E(Nt ) = λt Sˆo´ λ > d¯u’o.’c go.i l`a cu’ong `’ d¯ˆ ’ qu´a tr`ınh Poisson o cua Tu 9.3 ’ a mˆ ˘ c trung Watanabe cu o.t qu´ a tr`ınh Poisson ’ ¯Da Cho N = (Nt , t ≥ 0) l`a mˆo.t qu´a tr`ınh ngˆa˜u nhiˆen c´o sˆo´ gia d¯ˆo.c lˆa.p, N0 = ¯Diˆe`u `’ d¯ˆo λ l`a kiˆe.n cˆa`n v`a d¯u’ d¯ˆe’ Nt l`a mˆo.t qu´a tr`ınh Poisson c´o cu’ong ´’ (FtN ) (*): Nt − λt l`a mˆo.t mactingan d¯ˆo´i voi ’ qu´a tr`ınh Poisson Mactingan ’ Watanabe cua ¯Diˆe`u kiˆe.n (*) d¯u’o.’c go.i l`a d¯a˘ c trung ´ ´ Mt = Nt − λt d¯u’o.’c go.i l`a mactingan Poisson ung ’ voi’ qu´a tr`ınh Poisson Nt §10 Qu´ a tr`ınh Markov ¯Di.nh nghi˜a 17 Mˆo.t qu´a tr`ınh ngˆa˜u nhiˆen (Xt , t ≥ 0) d¯u’o.’c go.i l`a mˆo.t qu´a tr`ınh ´’ mo.i thoi `’ d¯iˆe’m bˆa´t k` Markov nˆe´u voi y ≤ t1 < t2 < < tn ta c´o P (Xtn ≤ xn | Xt1 = x1 , , Xtn−1 = xn−1 ) = P (Xtn ≤ xn | Xtn−1 = xn−1 ) ˜’ ha.n hoa˘ c d¯ˆe´m d¯u’o.’c go.i l`a mˆo.t Mˆo.t qu´a tr`ınh Markov c´o khˆong gian tra.ng th´ai huu x´ıch Markov `’ tha˘’ ng thu.’c H`am sˆo´ ’ trˆen d¯u’ong ¯Di.nh nghi˜a 18 Cho A l`a mˆo.t khoang P (x, s; t, A) = P (Xt ∈ A| Xs = x), s