Điều khiển tối ưu lý thuyết và ứng dụng trong kinh tế

Nguyễn Phương Anh người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ em trongsuốt quá trình hoàn thành luận văn này.Em xin chân thành cảm ơn tập thể cán bộ Viện Toán ứng dụng và Tin học, Vi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI TRẦN NAM TRUNG TRẦN NAM TRUNG TOÁN TIN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU LÝ THUYẾT VÀ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHUYÊN NGHÀNH: TOÁN TIN 2009-2011 Hà Nội – 2012 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! 17061131526901000000 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI TRẦN NAM TRUNG ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU LÝ THUYẾT VÀ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: TOÁN TIN NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN PHƯƠNG ANH Hà Nội – 2012 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Phương Anh người tận tình bảo, hướng dẫn giúp đỡ em suốt trình hoàn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn tập thể cán Viện Toán ứng dụng Tin học, Viện Đào Tạo Sau Đại học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tạo điều kiện thuận lợi cho em trình học tập nghiên cứu Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 26 tháng 03 năm 2012 Học viên Trần Nam Trung Mục lục Danh mục hình vẽ LỜI MỞ ĐẦU Bài toán điều khiển tối ưu với ràng buộc điều khiển 1.1 Phát biểu toán điều khiển tối ưu 1.2 Phương trình Hamilton - Jacobi - Bellman 1.3 Phương trình đồng trạng thái 10 1.4 Nguyên lý cực đại 11 1.5 Điều kiện đủ 12 1.6 Ý nghĩa kinh tế nguyên lý cực đại 14 1.6.1 Biến đồng trạng thái 14 1.6.2 Hàm Hamilton triển vọng lợi nhuận 15 1.6.3 Phương trình đồng trạng thái 16 1.6.4 Điều kiện hoành 17 Bài toán điều khiển tối ưu có ràng buộc hỗn hợp trạng thái điều khiển 18 2.1 Bài toán với ràng buộc bất đẳng thức hỗn hợp 19 2.2 Điều kiện đủ 21 2.3 Công thức giá trị thời 23 2.4 Ví dụ ứng dụng: Mơ hình Eisner - Strotz 26 Bài toán điều khiển tối ưu có ràng buộc trạng thái ràng buộc hỗn hợp 28 3.1 3.2 Ràng buộc bất đẳng thức trạng thái 28 3.1.1 Điều kiện nhảy 30 3.1.2 Ví dụ 30 Bài tốn có ràng buộc trạng thái kết hợp với ràng buộc trạng thái hỗn hợp 32 3.3 Điều kiện đủ 35 3.4 Ví dụ áp dụng: Bài toán số dư tài khoản 36 3.4.1 Mơ hình 36 3.4.2 Giải nguyên lý cực đại 37 3.4.3 Một mở rộng số tiền bội chi bán ngắn hạn 39 Phương pháp số giải toán điều khiển tối ưu 4.1 41 Phát biểu toán 41 4.1.1 Rời rạc hóa tốn 42 4.1.2 Thuật toán 43 4.2 Ví dụ áp dụng: Mơ hình William Nordhaus 44 4.3 Ví dụ áp dụng: Bài toán tối ưu tiêu dùng đầu tư chiều 48 KẾT LUẬN 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 PHỤ LỤC 56 Danh mục hình vẽ Hình 1.1: Đường tối ưu khơng gian thời gian trạng thái Hình 3.1: Đường cong đồng trạng thái trạng thái Hình 3.2: Chính sách tối ưu không gian λ1 , λ2 Hình 3.3: Chính sách tối ưu khơng gian (t, λ2 /λ1 ) Hình 4.1: Quỹ đạo tối ưu mơ hình William Nordhaus ví dụ Hình 4.2: Quỹ đạo tối ưu mơ hình William Nordhaus ví dụ Hình 4.3: Quỹ đạo tối ưu tốn tiêu dùng đầu tư chiều ví dụ Hình 4.3: Quỹ đạo tối ưu tốn tiêu dùng đầu tư chiều ví dụ 4 Lời mở đầu Lý thuyết điều khiển tối ưu lĩnh vực toán học ứng dụng quan trọng xuất phát triển thập kỷ gần Phát triển từ toán tối ưu hóa cổ điển tốn biến phân, toán quy hoạch động , toán điều khiển tối ưu tốn tìm q trình tối ưu cho hệ điều khiển mơ tả phương trình tốn học Cơng cụ lý thuyết điều khiển tối ưu mơ hình phương pháp toán học ứng dụng để giải vấn đề định tính hệ thống điều khiển Cho đến nay, lý thuyết điều khiển tối ưu phát triển thu nhiều kết quan trọng việc ứng dụng vào kỹ thuật, kinh tế tài Mục đích luận văn nghiên cứu số phương pháp giải toán điều khiển tối ưu khơng ràng buộc có ràng buộc trạng thái, đưa ứng dụng kinh tế tài Bố cục luận văn gồm chương sau: • Chương 1: Giới thiệu phương pháp giải tốn điều khiển tối ưu có ràng buộc điều khiển • Chương 2: Giới thiệu phương pháp giải toán điều khiển tối ưu với ràng buộc hỗn hợp gồm biến điều khiển biến trạng thái • Chương 3: Giới thiệu phương pháp giải toán điều khiển tối ưu với ràng buộc bất đẳng thức kết hợp với ràng buộc hỗn hợp • Chương 4: Trình bày phương pháp số giải toán điều khiển tối ưu, ứng dụng cho mơ hình William Nordhaus tốn tối ưu tiêu dùng với đầu tư chiều Chương Bài toán điều khiển tối ưu với ràng buộc điều khiển Mục đích chương trình bày tốn điều khiển tối ưu với ràng buộc điều khiển, xây dựng phương trình Hamilton - Jacobi - Bellman phương trình đồng trạng thái Sau ta phát biểu điều kiện cần điều kiện đủ tìm nghiệm toán Cuối cùng, ta đưa ý nghĩa kinh tế phần tử nguyên lý cực đại Nội dung chương tham khảo [6], [9], [10] 1.1 Phát biểu toán điều khiển tối ưu Bài tốn (P1) đặt chương tìm hàm điều khiển u ∗ liên tục khúc cực đại hàm mục tiêu: J= ZT F (x(t), u(t), t)dt + S [x(T ), T ], (1.1) đó, F : Rn × Rm × R1 → R1 S : Rn × R1 → R1 hàm có đạo hàm riêng liên tục thỏa mãn:    x˙ (t) = f (x(t), u(t), t), x(0) = x0, (1.2)   u(t) ∈ Ω ⊂ Rm , t ∈ [0, T ], đó, x(t) biến trạng thái, u(t) biến điều khiển , t biến thời gian x0 giá trị biến trạng thái thời điểm đầu Các giá trị T , x0 biết Ta giả thiết x(t) hàm liên tục khả vi khúc Điều khiển u∗ gọi điều khiển tối ưu x∗ gọi đường tối ưu hay quỹ đạo tối ưu xác định phương trình trạng thái u = u∗ Giá trị tối ưu hàm mục tiêu ký hiệu J (u∗ ) J ∗ Bài toán điều khiển tối ưu viết dạng cơng thức Bolza hàm mục tiêu có dạng: J= ZT F (x(t), u(t), t)dt + S [x(T ), T ] Bài tốn có dạng Lagrange S ≡ có dạng M ayer F ≡ 1.2 Phương trình Hamilton - Jacobi - Bellman Ta gọi V (x, t) : Rn × R1 → R hàm lấy giá trị cực đại hàm mục tiêu cho toán điều khiển tối ưu, bắt đầu thời điểm t trạng thái x Ta có: V (x, t) = max u(s)∈Ω ZT F (x(s), u(s), s)ds + S (x(T ), T ), (1.3) t với s ≥ t, dx = f (x(s), u(s), s), x(t) = x ds Đầu tiên, ta giả sử hàm giá trị V (x, t) tồn với x t tập xác định Nguyên lý tối ưu Bellman có nội dung sau: "Mỗi đoạn cuối quỹ đạo trạng thái tối ưu quỹ đạo trạng thái tối ưu" Ta dùng nguyên lý tối ưu Bellman để suy điều kiện hàm giá trị V (x, t) Hình 1.1 biểu đồ thành phần tối ưu x∗(t) không gian thời gian - trạng thái, hai điểm liền kề (x, t) ( x + δx, t + δt), với δt số gia nhỏ thời gian x + δx = x(t + δt) Hàm giá trị thay đổi từ V (x, t) tới V (x + δx, t + δt) hai điểm Sự thay đổi hàm mục tiêu hình thành hai phần: Đầu tiên, thay đổi hàm J từ t tới t + δt; thứ hai, hàm giá trị V (x + δx, t + δt) thời điểm t + δt Điều khiển u(τ ) chọn để nằm Ω, τ ∈ [t, t + tτ ], để cực đại tổng hai tốn tử Ta có: x Thành phần tối ưu x∗ x + δx V (x + δx, t + δt ) x V(x,t) t t + δt t Hình 1.1: Đường tối ưu mặt phẳng thời gian trạng thái V (x, t) = t+δt Z  F [x(τ ), u(τ ), τ ]dτ + V [x(t + δt), t + δt] , max u(τ )∈Ω ,τ ∈[ t,t+δt] (1.4) t với δt biểu diễn số gia nhỏ t Và so sánh với phương trình định nghĩa (1.3): V (x, t) = max u(s)∈Ω ZT F (x(s), u(s), s)ds + S (x(T ), T ), t F hàm liên tục [t, t + δt], tồn τ ∈ [t, t + δt] cho: F (τ ) = δt t+δt Z F (x(t), u(t), t)dt t Ta viết lại (1.4) sau: V (x, t) = max{F (x, u, t)δt + V [x(t + δt), t + δt]} + o(δt), u∈Ω (1.5) o (δt) kí hiệu vơ bé bậc cao bậc δt Bây giờ, ta giả sử thêm hàm giá trị V hàm có đạo hàm riêng liên tục với đối số Dùng xấp xỉ Taylor với V theo đối số δt, ta có: V [x(t + δt), t + δt] = V (x, t) + [Vx(x, t)x˙ + V t(x, t)]δt + o(δt), với Vx Vt đạo hàm riêng V (x, t) theo x t Thay x˙ (t) = f (x(t), u(t), t) vào phương trình (1.6), sau vào (1.5) ta được: V (x, t) = max{F (x, u, t)δt + V (x, t) + Vx (x, t)f (x, u, t)δt + Vt(x, t)δt} + o(δt) u∈Ω (1.6)