Tiểu luận cuối kì Đại số giao hoán Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Tiểu luận cuối kì Đại số giao hoán Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Tiểu luận cuối kì Đại số giao hoán Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Tiểu luận cuối kì Đại số giao hoán Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Tiểu luận cuối kì Đại số giao hoán Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh
Vành giao hoán
Mở rộng và thu hẹp của iđêan
Cho đồng cấu vành \( f: A \rightarrow B \), nếu \( b \) là một iđêan của \( B \), thì \( f^{-1}(b) \) cũng là một iđêan của \( A \) Ngược lại, nếu \( a \) là một iđêan của \( A \), thì \( f(a) \) không nhất thiết là một iđêan của \( B \) Định nghĩa iđêan mở rộng của \( a \) trong \( B \) là iđêan \( Bf(a) \) sinh bởi \( f(a) \), trong khi iđêan thu hẹp của \( b \) được ký hiệu là \( b_c = f^{-1}(b) \).
Nếu b là iđêan nguyên tố, thì b c cũng sẽ là iđêan nguyên tố Tuy nhiên, nếu a là iđêan nguyên tố, thì a e không nhất thiết phải là iđêan nguyên tố Ví dụ, với f: Z → Q và a6 = 0, thì a e = Q không phải là iđêan nguyên tố.
(ii) Iđêan a e là tập hợp tất cả các tổngP y i f(x i ) với x i ∈a và y i ∈B.
Mệnh đề 4.1.44 Cho đồng cấu vành f : A→ B, a là một iđêan của A và b là một iđêan của B. Khi đó:
(iii) Nếu C là tập hợp các iđêan thu hẹp trong A và E là tập hợp các iđêan mở rộng trong B thì
C ={a|a ec =a}, E ={b |b ce =b} và ta có song ánh ϕ:C →E,a7→a e với ánh xạ ngược là ϕ −1 :E →C,b7→b c
Bạn đọc tự chứng minh mệnh đề sau đây:
Mệnh đề 4.1.45 Cho a 1 ,a 2 là các iđêan của A và b 1 ,b 2 là các iđêan của B Khi đó:
Môđun
Môđun và môđun con
Cho vành A và nhóm cộng Aben M, ta định nghĩa phép toán A×M → M, (a, x) 7→ ax, gọi là phép nhân vô hướng Định nghĩa 4.2.1: Nhóm cộng Aben M cùng với phép nhân vô hướng A×M → M, (a, x) 7→ ax được gọi là một A− môđun nếu thỏa mãn các điều kiện sau: với mọi a, b ∈ A, x, y ∈ M.
Từ định nghĩa A−môđun, ta có ngay các tính chất sau đây:
Hệ quả 4.2.2 Trong A−môđun M ta có các tính chất sau: với mọi phần tử a, b∈A và x, y ∈M (i) a0 = 0 = 0a;
Trong bài viết này, ta xem xét định nghĩa về môđun con trong A-môđun Cụ thể, cho M là một A-môđun, một tập con N của M được gọi là môđun con (A-môđun con) nếu N cùng với phép cộng tạo thành một nhóm con của M và N cũng phải đóng với phép nhân vô hướng giữa các phần tử của A và M Để đơn giản hóa, ta ký hiệu 0 để chỉ phần tử không trong cả A và M mà không gây nhầm lẫn.
Bạn đọc có thể dễ dàng kiểm tra các điều kiện tương đương trong bổ đề sau đây:
Bổ đề 4.2.4 Cho M là một A−môđun và N 6=∅ là một tập con của M Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
(ii) N đóng với phép cộng và phép nhân vô hướng.
(iii) ax+by ∈N với mọi a, b∈A và x, y ∈M.
Tổng và giao của các môđun con
Cho A−môđun M và (M i ) i∈I là một họ các môđun con của M Tổng P i∈IM i bao gồm tất cả các phần tử có dạng tổng hữu hạn P i∈Ix i với x i ∈M i, trong đó chỉ có một số hữu hạn các phần tử khác 0 Điều này cho thấy P i∈IM i là môđun con bé nhất của M.
M chứa tất cả các môđun con M i với i∈I. Định nghĩa 4.2.5 Môđun M được gọi là tổng trực tiếp (trong) của họ môđun con (M i ) i∈I nếu
M =P i∈IM i và M j ∩P j6=i∈IM i = 0 với mọi j ∈I.
Môđun M được ký hiệu là M = Σi∈I Mi Nếu các môđun con (Mi) i∈I thỏa mãn M = Σi∈I Mi, thì điều kiện thứ hai của tổng trực tiếp tương đương với việc mỗi phần tử x∈M có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng x = Σi∈I0 xi với xi ∈ Mi, trong đó I0 ⊆ I và I0 hữu hạn Định nghĩa môđun con N của M là hạng tử trực tiếp nếu tồn tại một môđun con L của M sao cho với một lý thuyết về vành A, tích aM được định nghĩa là tập hợp các tổng hữu hạn Σi ai xi với ai ∈ a và xi ∈ M, và aM là môđun con của môđun M.
Các tính chất sau đây được suy trực tiếp từ định nghĩa các phép toán:
Bổ đề 4.2.8 Nếu L, N, P là các môđun con của A− môđun và a,b là các iđêan của vành A thì ta có:
Cho N và P là các môđun con của M, ta định nghĩa N :AP (hay N :P) là tập hợp tất cả các phần tử a ∈ A sao cho aP ⊆ N Điều này có nghĩa rằng N : A P là một iđêan của A, được gọi là iđêan chia.
0 : M được gọi là linh hóa tử của M và ký hiệu là Ann A (M) hay Ann(M) Ta gọi A−môđun M là trung thành nếu Ann(M) = 0.
Chú ý 4.2.9 (i) Nếu alà iđêan của A thỏa a⊆Ann(M), thì M có thể xem như là A/a−môđun với phép nhân (a+a)x=ax(a∈A, x∈M).
(ii) M làA/Ann(M)− môđun trung thành.
Ta có các tính chất cơ bản sau đây về linh hóa tử của môđun.
Bổ đề 4.2.10 Cho N, P là các A−môđun con của A−môđun M Khi đó:
Các tính chất sau đây cũng được suy trực tiếp từ định nghĩa iđêan chia:
Bổ đề 4.2.11 Cho L, N, P là các A−môđun con và (Li) i∈I là một họ các A−môđun con của A−môđun Khi đó ta có:
(i) (L:N) =A khi và và chỉ khi N ⊆L.
(ii) N ⊆P khi và và chỉ khi (L:P)⊆(L:N).
Cho N là một môđun con của M và a là iđêan của A, N : M a được định nghĩa là tập hợp tất cả các phần tử x ∈ M sao cho a x ⊆ N N : M a cũng là một môđun con của M, được gọi là môđun con chia Từ đó, ta có thể suy ra các tính chất cơ bản của môđun con chia tương tự như iđêan chia.
Bổ đề 4.2.12 Cho L là A−môđun con và (L i ) i∈I là một họ các A−môđun con của A−môđunM. Cho a,b,(a i ) i∈J là họ các iđêan của vành A Khi đó ta có:
Chú ý 4.2.13 (i) Giao T i∈IM i cũng là môđun con của M Hơn nữa T i∈IM i là môđun con lớn nhất của M chứa trong tất các môđun con M i (i∈I).
(ii) Khi I =∅, ta quy ước T i∈ ∈I / M i =M.
Đồng cấu môđun
Định nghĩa 4.2.14 Cho cácA-môđunM vàN Ánh xạf :M →N được gọi làđồng cấuA-môđun (A-đồng cấu) nếu thỏa mãn các điều kiện sau: với mọi phần tử a∈A, x, y ∈M.
(ii) f(ax) (x). Đồng cấu f được gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) nếu f là đơn ánh (toàn ánh, song ánh).
HaiA-môđun M vàN gọi là đẳng cấu với nhau nếu có một đẳng cấu từ môđun này vào môđun kia.
Ký hiệu:M ∼=N. Đồng cấu (đẳng cấu)f :M →M được gọi là tự đồng cấu (tự đẳng cấu).
Hệ quả 4.2.15 Cho f :M →N là đồng cấu A-môđun Khi đó:
(iii) f(Pn i=1k i x i ) = Pn i=1k i f(x i ) với mọi phần tử x 1 , , x n ∈M và k 1 , , k n ∈A
Bổ đề 4.2.16 Cho các A-môđun M, N và đồng cấu f :M →N Nếu G là môđun con của M và
L là môđun con của N thì:
(ii) f −1 (L) là môđun con của M. Định lý 4.2.17 Cho đồng cấu A-môđun f :M →N Khi đó ta có đơn cấu f¯:M/Kerf →N, x+ Kerf 7→f(x) Đặc biệt, M/Kerf ∼= Imf.
Cho các A-môđun N ⊆M ⊆L Khi đó M/N có thể xem như là A-môđun con của L/N. Định lý 4.2.18 (i) Cho các A-môđun N ⊆M ⊆L Khi đó
(ii) Nếu M 1 và M 2 là các môđun con của M, thì
Tích trực tiếp và tổng trực tiếp
Cho các A-môđun \(M_i\) với \(i \in I\) Xét tích Đề-các \(Q = \prod_{i \in I} M_i\) là tập hợp tất cả các phần tử có dạng \((x_i)_{i \in I}\) với \(x_i \in M_i\) cho mọi \(i \in I\) Chúng ta xác định các phép toán cho mọi \((x_i)_{i \in I}, (y_i)_{i \in I} \in Q\) và \(a \in A\).
Khi đóQ i∈IM i là một A-môđun và được gọi là tích trực tiếp của họ cácA-môđun (M i ) i∈I
Xét tập con \( L_i \in IM_i \) của tích trực tiếp \( Q_i \in IM_i \) bao gồm tất cả các phần tử \( (x_i)_{i \in I} \in Q_i \in IM_i \) có giá trị hữu hạn, tức là chỉ có một số hữu hạn thành phần \( x_i \) khác 0, còn lại bằng 0 Các phép toán xác định trên tập này cho thấy \( L_i \in IM_i \) là một A-môđun con của \( Q_i \in IM_i \) Chúng ta gọi \( L_i \in IM_i \) là tổng trực tiếp (ngoài) của họ các A-môđun \( (M_i)_{i \in I} \).
Rõ ràng khi I là tập hữu hạn thì L i∈IM i =Q i∈IM i NếuI ={1,2, , n}, ta có thể dùng ký hiệu tích trực tiếp n
M i =M 1 ìM 2 ì ã ã ã ìM n vì tổng trực tiếp n
M i =M 1 ⊕M 2 ⊕ .⊕M n Đặc biệt, khiI =∅, ta quy ước L i∈IM i =Q i∈IM i = 0.
Trường hợp M i =M với mọi i∈ I, ta có thể dùng ký hiệu Q i∈IM i =M I và L i∈IM i =M (t) Nếu
I ={1,2, , n}, ta có thể viết gọnM I =M n và M (t) =M (n)
(tương tự p j :L i∈IM i →M j ,(x i ) i∈t 7→x j ) được gọi là phép chiếu chính tắc thứ j, và đơn cấu q j :M j →Y i∈I
(tương tự q j :M j →L i∈IM i , x7→(x i ) i∈I ), trong đó x i =x với i =j và x i = 0 nếu i6=j được gọi làphép nhúng chính tắc thứ j.
Bổ đề 4.2.19 Cho họ các A-môđun (M i ) i∈t Khi đó:
(i) Với các phép chiếu chính tắc p j :L i∈IM i →M j (hayp j : Q i∈IM i →M j và phép nhúng chính tắc q j : M j → L i∈IM i (hay q j :M j →Q i∈IM i ta có p i q j = δ ij (i, j ∈ I) với δ ij là ký hiệu Kronecker.
(ii) Với các phép chiếu chính tắcp j :L i∈IM i →M j và các phép nhúng chính tắcq j :M j →L i∈IM i ta có P i∈Iq i p i = 1 M
(iii) Mỗi phần tử của tổng trực tiếpL i∈IM i có thể được biếu diễn duy nhất dưới dạngP i∈Iq i (x i ) x i ∈
Mi, trong đó xi = 0 với hầu hết i∈I Hơn nữa P i∈Iqi(xi) = (xi) i∈I Định lý 4.2.20 Cho họ các A-môđun (Mi)i ∈ I Nếu có A-môđun N và các đồng cấu fj : N →
M j (j ∈I)thì tồn tại duy nhất một đồng cấu f :N →Q i∈IM i sao cho với mọij ∈I ta có p j f =f j , trong đó p j :Q i∈IM i →M j là phép chiếu chính tắc thứ j.
Hệ quả 4.2.21 Với họ các đồng cấu (f j :N →M j ) j∈I , và đồng cấu f :N →Q i∈IM i như trên, ta có
Kerfi. Định lý 4.2.22 Cho họ các A-môđun (M i ) i∈I Nếu có A-môđun N và các đồng cấu f j : M j →
N(j ∈I), thì tồn tại duy nhất một đồng cấuf :L i∈IMi →N sao cho với mọi j ∈I ta có f qj =fj trong đó q j :M j →L i∈IM i là phép nhúng chính tắc thứ j.
Hệ quả 4.2.23 Với các đồng cấu f j :M j →N(j ∈I) và đồng cấu f :L i∈IM i →N ở trên, ta có:
Imf i Định lý 4.2.24 Cho họ các A-môđun (M i ) i∈I Khi đó:
Mi, và Mj ∼=qj(Mj),∀j ∈I.
Môđun sinh bởi tập hợp, môđun hữu hạn sinh
Cho M là một môđun và S là một tập con của M Ký hiệu (S) đại diện cho giao của tất cả các môđun con của M chứa S Theo định lý và định nghĩa 4.2.25, (
Trường hợp M = (S), ta nói M là môđun sinh bởi S Trong trường hợp S chỉ có một phần tử
S ={s}, ta viết gọn ({s}) = (s) và (s)được gọi là môđun xyclic Khi S =∅, ta có(∅) = 0. Định nghĩa 4.2.26 A-môđun M được gọi là hữu hạn sinh nếu có một tập sinh hữu hạn.
Ký hiệu à(M) đại diện cho số phần tử sinh tối thiểu của A-môđun hữu hạn sinh M Đối với M, à(M) = 0 chỉ khi M = 0, và M là cyclic nếu và chỉ nếu à(M) ≤ 1 Nếu à(M) = n và M = (x₁, , xₙ), thì tập {x₁, x₂, , xₙ} được gọi là tập sinh tối thiểu của M Theo định lý 4.2.27, M là A-môđun hữu hạn sinh nếu và chỉ nếu tồn tại một số nguyên dương n sao cho M đẳng cấu với một môđun thương của Aⁿ Định lý 4.2.28 chỉ ra rằng nếu a là một iđêan nằm trong căn Jacobson J(A) của vành A và M là một A-môđun, thì
(i) (Bổ đề Nakayama) Nếu M là một A-môđun hữu hạn sinh thỏa mãn aM =M thì M = 0.
Nếu N là một môđun con của M và M/N là một A-môđun hữu hạn sinh với N+aM = M, thì ta có N = M Định lý 4.2.29 chỉ ra rằng nếu x₁, , xₙ là các phần tử của A-môđun M và ảnh của chúng trong M/mM tạo thành một cơ sở cho không gian vectơ này, thì tập {x₁, , xₙ} là tập sinh của M.
Môđun tự do
Họ S = {s i } i∈I các phần tử của A-môđun M được gọi là độc lập tuyến tính (trên A) nếu từ đẳng thức P i∈Iaisi = 0, với ai ∈A cho mọi i∈I và ai = 0 với hầu hết i∈I, ta suy ra a i = 0 với mọi i∈ I Nếu thêm điều kiện S là tập sinh của M, thì S được gọi là cơ sở của M.
M Môđun M được gọi là A-môđun tự do nếu nó có một cơ sở.
Bổ đề 4.2.31 Với một họ S = {si} i∈I các phẩn tử của A-môđun M, hai điều kiện sau là tương đương:
Mỗi phần tử của M là một tổ hợp tuyến tính duy nhất của các phần tử thuộc S Theo định lý 4.2.32, trong A-môđun F, các mệnh đề sau đây là tương đương.
(ii) F =L i∈IAi, trong đó Ai là các A-môđun con của F thỏa mãn A∼=Ai với mọi i∈I.
Hệ quả 4.2.33 khẳng định rằng mọi A-môđun M đều là ảnh đồng cấu của một A-môđun tự do, và nếu M là hữu hạn sinh, thì M cũng là ảnh đồng cấu của một A-môđun tự do có cơ sở hữu hạn Định lý 4.2.34 chỉ ra rằng với A-môđun tự do F có cơ sở S và ánh xạ i :S ,→ F là đơn cấu chính tắc, thì cho mọi A-môđun M và ánh xạ g :S →M, tồn tại duy nhất một đồng cấu h:F →M sao cho hi=g Theo định nghĩa 4.2.35, A-môđun tự do trên tập hợp S là A-môđun F với ánh xạ j :S →F, thỏa mãn rằng với bất kỳ A-môđun N và ánh xạ h:S →N, tồn tại duy nhất một đồng cấu f :F →N sao cho h=f j Cuối cùng, định lý 4.2.36 khẳng định rằng nếu (F, j) là A-môđun tự do trên tập hợp S thì
(ii) F là A-môđun tự do với cơ sở j(S).
Mệnh đề 4.2.37 Tồn tại A-môđun tự do trên một tập hợp đã cho Hơn nữa môđun này là duy nhất, sai khác một đẳng cấu.
Vành và môđun các thương
Định nghĩa 4.3.1 Dãy các A- môđun và đồng cấu : ã ã ã −→Mi−1 f i
−→M i −→ f i+1 M i+1 −→ . được gọi làkhớp tại M i nếuImf i = Kerf i+1 Dãy trên được gọi làkhớp nếu nó khớp tại mọi môđun
M i Đặc biệt, dãy0−→M 0 −→ f M là khớp khi và chỉ khi f đơn cấu và M −→ g M 00 −→0là khớp khi và chỉ khig toàn cấu.
Dãy khớp ngắn được định nghĩa là 0 → M₀ → M → M₀₀ → 0 Ví dụ, nếu N là môđun con của môđun M với i: N → M là đơn cấu chính tắc và p: M → M/N là toàn cấu chính tắc, thì ta có dãy khớp ngắn 0 → N → i M → p M/N → 0 Dãy khớp ngắn sở hữu những tính chất quan trọng.
Bổ đề 4.3.2 Dãy 0−→ M 0 −→ f M −→ g M 00 −→0 là khớp khi và chỉ khi f đơn cấu, g toàn cấu và
Trong lý thuyết đại số, một đơn cấu f : M 0 −→ M được gọi là chẻ ra nếu tồn tại một đồng cấu s : M −→ M 0 sao cho sf = 1 M 0 Tương tự, một toàn cấu g : M → M 00 được xem là chẻ ra nếu có một đồng cấu t : M 00 → M sao cho gt = 1 M 00.
Bổ đề 4.3.3 Cho toàn cấu A-môđun f :M →F Nếu F là A-môdun tự do thì f chẻ ra.
Bổ đề 4.3.4 Cho dãy khớp ngắn
Khi có các điều kiện sau đây là tương đương: (i) Đơn cấu f được chẻ ra; (ii) Toàn cấu g được chẻ ra; (iii) Tồn tại các đồng cấu s: M → M 0 và t: M 00 → M thỏa mãn sf = 1 M 0, gt = 1 M 00 và f s + tg = 1 M.
Hệ quả 4.3.5 Nếu dãy khớp ngắn 0−→M 0 −→ f M −→ g M 00 −→0 chẻ ra, thì
Bổ đề 4.3.6 Cho dãy các đồng cấuA-môđun:
Dãy đồng cấu A-môđun được coi là khớp và chẻ ra nếu và chỉ nếu tồn tại các đồng cấu M → M 0 và M 00 → M, thỏa mãn điều kiện sf = 1 M 0, gt = 1 M 00 và f s + tg = 1 M Đây là một trong những điều kiện quan trọng được nêu trong Định lý 4.3.7.
M 0 −→ f M −→ g M 00 −→0 khớp khi và chỉ khi với mọi A-môđun N, dãy sau đây khớp
−→Hom (M 0 , N). ii) Dãy các đồng cấu A-môđun
0−→N 0 −→ u N −→ v N 00 khớp khi và chỉ khi với mọi A-môdun M, dãy sau đây khớp
Bổ đề 4.3.8 (Bổ đề 5) Cho sơ đồ giao hoán của cácA-môđun với các dãy dòng khớp:
Các mệnh đề sau đây được xác nhận là đúng: i) Nếu h2 và h4 là toàn cấu, h5 là đơn cấu, thì h3 sẽ là toàn cấu ii) Nếu h2 và h4 là đơn cấu, h1 là toàn cấu, thì h3 sẽ là đơn cấu iii) Nếu h1, h2, h4 và h5 là đẳng cấu, thì h3 cũng sẽ là đẳng cấu Định lý 4.3.9 liên quan đến sơ đồ giao hoán.
N 0 N N 00 φ f ψ g h φ 0 ψ 0 với các dòng khớp. i) Nếu φ 0 là đơn cấu, ta có dãy khớp
Kerf −→ φ ¯ Kerg −→ ψ ¯ Kerh trong đó φ¯ và ψ¯ là các thu hẹp của các đồng cấu φ và ψ tương ứng. ii) Nếu ψ toàn cấu, ta có dãy khớp:
Coker h là một cấu trúc trong đó φ¯ 0 và ψ¯ 0 được hình thành từ các đồng cấu φ 0 và ψ 0 tương ứng Theo bổ đề con rắn, nếu φ 0 là đơn cấu và ψ là toàn cấu, thì tồn tại một đồng cấu δ từ Ker h đến Coker f, đảm bảo sự khớp nối trong dãy.
Vành các thương
Cho vành A và A− môđun M, tập S được gọi là tập nhân nếu nó chứa phần tử 1 và đóng dưới phép nhân với mọi phần tử s, s0 ∈ S Định lý cho biết rằng nếu có một đồng cấu vành g: A → B và S là tập nhân của A, thì mọi phần tử của g(S) là khả nghịch trong B khi và chỉ khi tồn tại một đồng cấu vành h: S^−1 A → B thỏa mãn g = hi_A Đồng thời, trong trường hợp này, đồng cấu vành h là duy nhất.
Nếu g: A→B là một đồng cấu vành với các tính chất: (i) g(s) khả nghịch trong S−1A với mọi s∈S; (ii) nếu g(a) = 0 thì tồn tại s∈S sao cho as = 0; và (iii) mọi phần tử của B đều có dạng g(s)g(s)−1 với a∈A, s∈S, thì tồn tại duy nhất một đẳng cấu vành h: S−1A→B thỏa mãn g = hiA.
Bổ đề 4.4.4 NếuI, J là các iđêan của vành A, thì: i) S −1 (I+J) =S −1 I+S −1 J. ii) S −1 (IJ) = S −1 IS −1 J. iii) S −1 (IT
S −1 I. v) S −1 (I :J) = S −1 I :S −1 J với điều kiện iđêan J hữu hạn sinh; vi) S −1 I là một idêan thật sự của vành S −1 A nếu và chỉ nếu ST
Hệ quả 4.4.5 Nếu N là căn Không của A thì S −1 N là căn Không của S −1 A.
Bổ đề 4.4.6 Cho iA :A→S −1 A, a7→a/1 là đồng cấu tự nhiên Nếu J là một iđêan của S −1 A và
I =i −1 A (J) thì I là một iđêan của A và S −1 I =J. Định lý 4.4.7. i) Nếu I là một iđêan của A, thì I ⊆ i −1 A (S −1 I) Đẳng thức xảy ra nếu I là iđêan nguyên tố và
I =∅. ii) Nếu I là iđêan nguyên tố của A thỏa mãn ST
Nếu I = ∅, thì S^(-1)I là iđêan nguyên tố của S^(-1)A Định lý 4.4.8 khẳng định rằng có một tương ứng một-một giữa các iđêan nguyên tố q của A mà thỏa mãn q ∩ S = ∅ và các iđêan nguyên tố Q của S^(-1)A Cụ thể, q được ánh xạ đến S^(-1)q và Q được ánh xạ đến i^(-1)A(Q), trong đó i_A: A → S^(-1)A là đồng cấu tự nhiên.
Hệ quả 4.4.9 Cho plà iđêan nguyên tố của A Có tương ứng 1−1 giữa các iđêan nguyên tốq của
A chứa trong p và các iđêan nguyên tố Q của S −1 A(S =A−q) như sau: q7→S −1 q, Q7→i −1 A (Q).
Môđun các thương
Cho M là A-môđun Với tập nhân S của vành A, ta có thể xây dựng môđun các thương tương tự như vành các thương ở trên.
Chúng ta định nghĩa một quan hệ tương đương ∼ trên M × S với điều kiện rằng (x, s) ∼ (y, t) nếu và chỉ nếu tồn tại u ∈ S sao cho tx - sy = 0 Các tính chất của quan hệ này bao gồm phản xạ, đối xứng và bắc cầu, điều này dễ dàng được kiểm tra.
Ký hiệu x/s đại diện cho lớp tương đương của phần tử (x, s) ∈ M × S, trong khi S −1 M là tập hợp tất cả các lớp tương đương (tập thương) của quan hệ tương đương này Tiếp theo, chúng ta sẽ xác định một cấu trúc mới.
S −1 A-môđun vành trên tậpS −1 M bằng cách xác định các phép toán như sau: x/s+y/t= (tx+sy)/st (a/s)(x/t) = (ax)/st.
Rõ ràng S −1 M với các phép toán trên là một môđun trên vành S −1 A và được gọi là môđun các thương củaM theo tập nhân S. Định lý 4.5.1.
(i) Ánh xạ S −1 : Hom A (M, N)→Hom S −1 A (S −1 M, S −1 N) với f 7→S −1 f là một đồng cấu.
(ii) Nếu M 0 −→ f M −→ g M 00 là dãy khớp các A− môđun, thì dãy sau đây cũng khớp
Hệ quả 4.5.2 Nếu 0 →M 0 −→ f M −→ g M 00 −→0 là dãy khớp các A-môđun thì dãy sau đây cũng khớp:
Bổ đề 4.5.3 Cho a, b là các iđêan của A vàN, L là các A−môđun con của A−môđunM Chúng ta có:
(iv) S −1 (ab) = S −1 aS −1 b. Định lý 4.5.4 Nếu M là A-môđun hữu hạn sinh thì:
Hệ quả 4.5.5 Cho N và P là các A-môđun con của A-môđunM Nếu P là A-môđun hữu hạn sinh thì
S −1 (N :P) =S −1 N :S −1 P. Định lý 4.5.6 Cho M là A-môđun Khi đó tồn tại duy nhất một đẳng cấu các S −1 A− môđun f :S −1 AO
Hệ quả 4.5.7 S −1 A là A− môđun phẳng.
Hệ quả 4.5.8 Cho M là A− môđun Khi đó tồn tại duy nhất một đẳng cấu các S −1 A− môđun f :S −1 MO
! , (x/s⊗y/t)7→(x⊗y)/st. Đặc biệt, nếu p là một iđêan nguyên tố của A, thì
! p Định lý 4.5.9 Cho M là A−môđun Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
(ii) M p = 0 với mọi iđêan nguyên tố p của A.
Định lý 4.5.10 khẳng định rằng, với một đồng cấu A− môđun f: M → N, các mệnh đề sau đây là tương đương: (i) f là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu), và (ii) Mm = 0 với mọi lý thuyết cực đại m của A.
(ii) fp :Mp→Np là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) với mọi iđêan nguyên tố p của A.
(iii) f m :M m →N m là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) với mọi iđêan cực đại m của A. Định lý 4.5.11 Cho M là A-môđun Khi đó các mệnh đề sau đương đương:
(ii) M p là A p -môđun phẳng với mọi iđêan nguyên tố p của A.
(iii) M m là A m -môđun phẳng với mọi iđêan cưc đại m của A. Định nghĩa 4.5.12 Giá của A-môđun M, ký hiệu Supp A (M) (hay Supp(M) ), là tập hợp được xác định như sau:
Supp A (M) ={p∈Spec(A)|M p 6= 0}. Định lý 4.5.13 Cho M là A− môđun Khi đó các khẳng định sau đây là đúng:
(i) M 6= 0 khi và chỉ khi Supp(M)6=∅.
(ii) Nếu 0 −→ M 0 −→ M −→ M 00 −→ 0 là một dãy khớp ngắn các A− môđun thì Supp(M) Supp (M 0 )S
(iv) Nếu M và N là các môđun hữu hạn sinh thì Supp (MN
(v) NếuM là một môđun hữu hạn sinh vàalà một iđêan củaAthìSupp(M/aM) =V(a+Ann(M)).
(vi) Nếu f : A → B là đồng cấu vành và M là A− môđun hữu hạn sinh, thì Supp BN−
Phân tích nguyên sơ của iđêan
Định nghĩa 4.6.1 Iđêan qcủa vành A được gọi là iđêan nguyên sơ nếuq6=A và từ xy∈q suy ra x∈qhoặc y n ∈qvới n là một số nguyên dương nào đó.
Nói cách khác,q là nguyên sơ khi và chỉ khi A/q6= 0 và mọi ước của 0 trong A/q là lũy linh. Mệnh đề 4.6.2.
1 Nếu p là iđêan nguyên sơ của vành A thì √ q là iđêan nguyên tố nhỏ nhất chứa p.
2 Nếu √ a=m là một iđêan cưc đại thì p là m− nguyên sơ Đặc biệt, lũy thừa của iđêan cưc đại m là m-nguyên sơ.
Bổ đề 4.6.3 Nếuq i là p− nguyên sơ với mọi i= 1, , n thì Tn i=1q i là p-nguyên sơ.
Bổ đề 4.6.4 Cho q là iđêan p− nguyên sơ và x∈A Khi đó các mệnh đề sau đây đúng:
(ii) Nếu x /∈q thì (q:x) là p nguyên sơ, và do đó √ q:x=p.
Nếu x không thuộc p, thì (q:x) bằng q Định nghĩa 4.6.5 nêu rõ rằng một phân tích nguyên sơ của iđêana trong vành A là sự biểu diễn của a thành giao hữu hạn của các iđêan nguyên sơ, tức là a n.
Trong lý thuyết và phân tích nguyên sơ, một iđêan được gọi là phân tích được nếu nó có thể được biểu diễn dưới dạng một phân tích nguyên sơ Phân tích nguyên sơ tối giản, với các yếu tố √q_i phân biệt và không trùng lặp, là dạng tối ưu của phân tích này Định lý 4.6.6 chỉ ra rằng nếu a là iđêan phân tích được và được viết dưới dạng a = Tn i=1 q_i, thì các iđêan p_i = √q_i là các iđêan nguyên tố, không phụ thuộc vào cách phân tích cụ thể của a Định lý 4.6.7 khẳng định rằng nếu a là iđêan phân tích được và chứa các iđêan nguyên tố p_i, thì những iđêan nguyên tố cực tiểu thuộc về a sẽ là các phần tử cực tiểu trong tập hợp các iđêan nguyên tố chứa a Cuối cùng, định lý 4.6.8 tiếp tục khẳng định rằng a có thể được phân tích thành dạng tối giản, củng cố cho khái niệm về sự tối ưu trong phân tích nguyên sơ.
[ i=1 p={x∈A |(a:x)6=a} Đặc biệt, nếu iđêan 0 là phân tích được thì tập D gồm các ước của 0 trong A là hợp của các iđêan nguyên tố thuộc về 0.
Mệnh đề 4.6.9 Cho S là tập nhân của vành A và q là iđêan p− nguyên sơ Khi đó ta có:
2 Nếu ST p=∅ thì S −1 q là S −1 p− nguyên sơ và thu hẹp của nó trongA là a.
Bổ đề 4.6.10 trình bày rằng cho S là tập nhân của vành A và a là một iđêan phân tích được Giả sử a có phân tích nguyên sơ tối giản dưới dạng a = Tn i=1 qi với pi = √ qi Nếu các số qi được sắp xếp sao cho S chia sẻ phần tử với p m+1 đến p n, nhưng không có phần tử chung với p 1 đến p m, thì có những kết luận quan trọng về mối quan hệ giữa S và các phần tử này.
. Cho P là tập iđêan nguyên tố bị cô lập thuộc vềa Đặt
Khi đóS là tập nhân và với bất kỳ iđêan nguyên tố p 0 thuộc về a, ta có: p 0 ∈X
Định lý 4.6.12 khẳng định rằng nếu a là một iđêan phân tích được và có dạng a=Tn i=1q i với phân tích nguyên sơ tối giản, thì tập hợp {p i 1 , ,p i m} là tập iđờan nguyờn tố bị cụ lập của a Trong trường hợp này, giao của các q i 1 và q i m sẽ độc lập với phân tích nguyên sơ tối giản của a, tức là q i 1 ∩ ã ã ãT q i m không giao nhau.
Hệ quả 4.6.13 Các iđêan nguyên sơ qi tương ứng với các iđêan nguyên tố tối tiểu pi thuộc về a được xác định duy nhất bởi a.
CÁC ĐIỀU KIỆN HỮU HẠN
Các điều kiện hữu hạn
Định nghĩa 5.1.1 Cho R là một vành giao hoán Một dãy của R-môđun và R-đồng cấu có dạng:
Dãy khớp 0→L−→ f M −→ g N →0 được gọi là tách được khi ảnh của f (Imf) bằng với nhân của g (Kerg) là một tổng trực tiếp của M Điều này có nghĩa là tồn tại một môđun con G của M sao cho M có thể được phân tách thành tổng trực tiếp giữa Kerg và G, tức là M = Kerg ⊕ G.
Vì vậy, một ví dụ về chuỗi khớp là:
0−→H → i M → π M/H →0 trong đóH là một môđun con củaM.ilà phép đồng cấu bao hàm và π là phép biến hình chính tắc. Một ví dụ về dãy khớp chia nhỏ là:
0−→M 1 −→ q 1 M 1 ⊕M 2 −→ p 2 M 2 −→0, trong đó M1, M2 là các R−môđun, q1 là một đơn cấu chính tắc vàp2 là phép chiếu chính tắc.
Ví dụ 5.1.2 Cho R là một đồng cấu vành và:
Dãy khớp 0−→L−→ f M −→ g N −→0 là một cấu trúc quan trọng trong lý thuyết R−môđun và R−đồng cấu Để chứng minh rằng dãy này phân tách được, cần tồn tại các R−đồng cấu h:N →M và e:M →L thỏa mãn các điều kiện: e◦f = IdL, g◦h= IdN, e◦h= 0, và f ◦e+h◦g = IdM Những điều kiện này đảm bảo rằng dãy khớp có tính chất phân tách, cho phép phân tích sâu hơn về mối quan hệ giữa các môđun.
Khái niệm tổng trực tiếp gắn liền với môđun "tự do", mà về cơ bản là môđun có lý thuyết tương tự như môđun của một cơ sở trong lý thuyết không gian vectơ Xét một môđun M trên vành giao hoán R, giả sử M được tạo bởi tập con {g λ :λ∈Λ} với một họ (g λ ) λ∈A nào đó trong M Mỗi phần tử của M có thể được biểu diễn dưới dạng m = P λ∈Λrλgλ, trong đó r λ ∈R với mọi λ∈Λ và chỉ hữu hạn r λ khác không Trong trường hợp Λ = 0, tổng rỗng được coi là 0, nhưng không phải lúc nào cũng có thể biểu diễn duy nhất như vậy Ví dụ, xem xét Z-module Z/2Z⊕Z/5Z, được tạo bởi (1 + 2Z, 0 + 5Z).
(0 + 2Z,1 + 5Z)(và không chỉ bởi(1 + 2Z,0 + 5Z) cũng không chỉ bởi(0 + 2Z,1 + 5Z)), tuy nhiên
Nếu mỗi phần tử m trong môđun M có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng m = P λ∈Λ r λ g λ, thì (g λ) λ∈Λ được gọi là một cơ sở của M và là một môđun tự do trên vành giao hoán R Định nghĩa chính thức của cơ sở môđun M là một tập hợp (e λ) λ∈Λ gồm các phần tử của M sao cho
(ii) Với mỗi m∈M có thể được viết dưới dạng m=P λ∈Λr λ e λ , trong đór λ ∈R với mọi λ∈Λ và chỉ có hữu hạnrλ khác 0.
Một R−môđun được coi là tự do khi nó sở hữu một cơ sở Đặc biệt, chính R cũng là một R−môđun tự do với cơ sở được hình thành từ phần tử 1 R Hơn nữa, R−môđun 0 cũng được xem là một R−môđun tự do, mặc dù nó có cơ sở rỗng.
Môđun M trên vành giao hoán R có một họ phần tử (eλ) λ∈Λ Họ này là một cơ sở của P λ∈Λ Reλ nếu và chỉ nếu điều kiện sau được thỏa mãn: bất kỳ họ phần tử nào (rλ) λ∈Λ của R với hầu hết các rλ bằng 0 đều có thể được áp dụng.
Mệnh đề 5.1.5 Cho R là một vành giao hoán.
Gọi (R λ ) λ∈Λ là một họ các R−môđun với R λ = R cho mọi λ ∈ Λ Khi đó, L λ∈ΛR λ trở thành một R−môđun tự do, với cơ sở (e λ ) λ∈Λ khi Λ khác rỗng Trong đó, với mỗi λ ∈ Λ, phần tử e λ ∈ L λ∈ΛR λ có phân tích trong R λ bằng 1, và tất cả các phần tử phân tích khác đều bằng không.
M gọi là một R−môđun và M là tự do khi và chỉ khi M đẳng cấu với một R−môđun thuộc loại được mô tả ở phần (i) Điều này có nghĩa là M đẳng cấu với tổng trực tiếp các bản sao của R.
Trong thực tế, nếu M có cơ sở (e λ ) λ∈Λ thì M ∼=L λ∈ΛR λ , trong đó R λ =R với mọi λ ∈Λ.
(i) Điều này là đơn giản, được xem như bài tập.
(ii) ( ⇒ ) Gọi M là R−môđun tự do có cơ sở (e λ ) λ∈Λ Trường hợp Λ = 0 là hiển nhiên, giả sử Λ6= 0 Với mỗi λ∈Λ, choRλ =R , ta định nghĩa f :M
Đối với mọi phần tử \( r_\lambda \) thuộc tập \( L \), ta có \( P \lambda \in \Lambda r_\lambda e_\lambda \) với \( \lambda \in \Lambda R_\lambda \) Điều này có nghĩa là mỗi phần tử trong \( L \) chỉ có tối đa hữu hạn thành phần khác không, cho thấy rằng \( f \) là một đồng cấu \( R \) Tập hợp \( \{e_\lambda : \lambda \in \Lambda\} \) là tập sinh của \( M \), do đó ánh xạ \( f \) là một toàn ánh Hơn nữa, vì \( (e_\lambda)_{\lambda \in \Lambda} \) là một cơ sở của \( M \), nên \( f \) cũng là một đơn ánh.
Khi nhận ra rằng M0 và M00 là R− môđun và đẳng cấu, ta có thể kết luận rằng M0 tự do nếu và chỉ nếu M00 cũng tự do, điều này được suy ra từ (i) ở trên.
Ví dụ 5.1.6 Cung cấp một chứng minh cho (5.1.5)(i)
Cơ sở trong lý thuyết không gian vectơ giúp mô tả một cách dễ dàng các ánh xạ tuyến tính giữa các không gian vectơ Tương tự, một cơ sở cho môđun tự do F trên một vành giao hoán cũng đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các cấu trúc đại số này.
R cho phép dễ dàng mô tả R− đồng cấu từ F sang các R− môđun khác.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét môđun tự do F trên vành giao hoán R với cơ sở (e λ ) λ∈Λ Đối với một R−môđun M và tập hợp các phần tử (x λ ) λ∈Λ trong M, tồn tại chính xác một đồng cấu R−môđun f :F →M sao cho f(eλ) = xλ với mọi λ∈Λ.
Thật vậy, một phép đồng cấuf được mô tả ở trên phải thỏa mãn: f P λ∈Λr λ e λ
Mỗi phần tử r λ trong tập hợp Λ có thể được biểu diễn dưới dạng λ x λ, với tất cả các phần tử của R chỉ có hữu hạn giá trị khác không Hơn nữa, việc sử dụng (e λ) λ∈Λ như một cơ sở cho F cho phép chúng ta nhận thấy rằng công thức này xác định rõ một đồng cấu R từ F đến M.
Thật thuận tiện khi có sẵn việc xây dựng một môđun tự do có một họ ký hiệu được chỉ định trước đó làm cơ sở.
Chúng ta định nghĩa một họ các ký hiệu (e λ ) với λ thuộc tập Λ, được đánh chỉ số bởi một tập không rỗng Λ R được xem là một vành giao hoán Bài viết này sẽ trình bày phương pháp xây dựng R− môđun tự do F, trong đó (eλ) với λ thuộc Λ đóng vai trò là một cơ sở cơ bản.
Tập hợp F bao gồm tất cả các biểu thức hình thức P λ∈Λr λ e λ, với điều kiện rằng r λ ∈R cho mọi λ ∈Λ và chỉ có hữu hạn số r λ khác không Chúng ta có thể xác định luật hợp thành trên F cùng với phép nhân vô hướng.
Điều kiện dây chuyền trên môđun
Chương 6 giới thiệu các nguyên tắc cơ bản của lý thuyết môđun trên các vành giao hoán, mặc dù chưa chứa nhiều nội dung toán học quan trọng, nhưng vẫn mang lại những thông tin thú vị Trong chương này, chúng ta sẽ khám phá cách mà một số "điều kiện hữu hạn" trên các môđun có thể cung cấp thông tin về cấu trúc của chúng Sự hấp dẫn của các kết quả trong chương này có thể khác nhau tùy thuộc vào sở thích cá nhân của người học, nhưng tác giả nhận thấy một số định lý được trình bày rất đáng chú ý.
Điều kiện hữu hạn đầu tiên mà chúng ta xem xét trên các môđun được gọi là "điều kiện dây chuyền" Công việc liên quan đến các khái niệm như điều kiện chuỗi tăng dần và điều kiện lớn nhất Cụ thể, một tập hợp (V) thỏa mãn điều kiện chuỗi tăng dần khi và chỉ khi nó thỏa mãn điều kiện lớn nhất, tức là bất kỳ tập con nào của V cũng chứa một phần tử cực đại Khi áp dụng những ý tưởng này cho tập S M, chúng ta nghiên cứu tất cả các môđun con của môđun M trên vành giao hoán.
M được gọi là "Noether" khi S M thỏa mãn điều kiện chuỗi tăng dần liên quan đến bao hàm, tức là khi tập có thứ tự một phần (S M ,) đáp ứng các điều kiện tương đương được đưa ra bởi G1, G2 ∈ SM.
Chúng tôi định nghĩa M là "Artin" khi S M đáp ứng điều kiện chuỗi tăng dần liên quan đến bao hàm ngược Cụ thể, tập có thứ tự một phần (S M, 1) sẽ thỏa mãn các điều kiện tương đương khi 1 được xác định bởi G1, G2 ∈ S M.
Tên "Noether" và "Artin" được đặt để tôn vinh những đóng góp quan trọng của Emmy Noether và Emil Artin trong lĩnh vực này Định nghĩa 5.2.1 xác định rằng môđun M trên vành giao hoán R được gọi là R− môđun Noether nếu nó đáp ứng các điều kiện nhất định, tương đương với các tiêu chí đã nêu.
(i) Bất cứ khi nào (G i ) i∈N là một họ các môđun con củaM sao cho
G 1 ⊆G 2 ⊆ .⊆G i ⊆G i+1 ⊆ , thì tồn tại k∈N sao cho G k =G k+i với mọii∈N.
(ii) Mọi tập hợp khác rỗng các môđun con củaM đều chứa một phần tử cực đại liên quan đến bao hàm.
Điều kiện (i) được gọi là điều kiện chuỗi tăng dần cho các tập con của M, trong khi điều kiện (ii) được xem là điều kiện tối đa cho các tập con của M.
Môđun Noether M trên vành giao hoán R có một R toàn cấu u: M → M, và cần chứng minh rằng u là một đẳng tích Gợi ý để chứng minh là Ker u ⊆ Ker(u◦u) Định nghĩa môđun Artin cho M trên vành giao hoán R yêu cầu M phải thỏa mãn các điều kiện nhất định, tương đương với các định nghĩa trước đó.
N là một họ các môđun con củaM thỏa mãn:
G 1 ⊇G 2 ⊇ .⊇G i ⊇G i+1 ⊇ . thì tồn tại k∈N sao cho Gk =Gk+i với mọii∈N.
(ii) Mỗi tập hợp khác rỗng các môđun con của M đều chứa một phần tử cực tiểu liên quan đến bao hàm.
Điều kiện (i) được gọi là điều kiện chuỗi giảm dần cho các môđun con của M, trong khi điều kiện (ii) được xem là điều kiện tối thiểu cho môđun con của môđun M.
Ví dụ 5.2.4 Gọi M là môđun Artin trên vành giao hoán R Gọi v :M →M là một đơn cấu của
M vào chính nó Chứng minh rằng v là một đẳng cấu.
Chú ý 5.2.5: Cho R là một vành giao hoán, người đọc cần hiểu rằng khi R được xem như một môđun tự nhiên, thì R là một môđun Noether nếu và chỉ nếu R là một vành Noether Điều này đơn giản vì các môđun con của R tương ứng với các ideal của R.
Vành giao hoán Artin là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết vành Định nghĩa 5.2.6 nêu rõ rằng R được coi là một vành Artin nếu nó thỏa mãn các điều kiện cụ thể, tương đương với những điều kiện đã được đề cập trước đó.
(i) Bất cứ khi nào (I i ) i∈N là một họ các iđêan R sao cho
I 1 ⊇I 2 ⊇ .⊇I i ⊇I i+1 ⊇ . thì tồn tại k∈N sao cho I k =I k+i với mọii∈N.
(ii) Mọi tập các iđêan khác rỗng của R đều chứa một phần tử tối thiểu liên quan đến bao hàm.
Tiếp theo, chúng ta xem xét một số ví dụ để cho thấy rằng các khái niệm về môđun Noether và môđun Artin là khác nhau.
Ví dụ 5.2.7 Vì Z là miền iđêan chính nên nó là một vành Noether bởi (??) Tuy nhiên, Z là một vành Artin bởi vì
Chuỗi 2Z⊃2 2 Z⊃ ⊃2 i Z⊃2 i+1 Z⊃ là một chuỗi các iđêan giảm dần hoàn toàn của Z, với mọi i∈N, ta có 2 i+1 = 2 i 2∈2 i Z Đồng thời, 2 i ∈/ 2 i+1 Z vì phương trình 2 i = 2 i+1 r với r ∈Z mâu thuẫn với thực tế rằng Z là một UFD Ví dụ này minh họa một môđun trên vành giao hoán Noether nhưng không phải là Artin.
(i) Chứng tỏ rằng một trường vừa là một vành Noether vừa là vành Artin.
(ii) Chứng tỏ rằng một Artin PID phải là một trường.
Mặc dù trong (5.2.7) có một ví dụ về vành Noether giao hoán không phải là vành Artin, chương 8 sẽ chứng minh rằng mọi vành giao hoán Artin không phải là vành Noether Để tìm ví dụ về môđun Artin không phải là vành Noether trên một vành giao hoán, chúng ta cần xem xét các môđun thay vì chỉ tập trung vào vành Định nghĩa 5.2.9 chỉ ra rằng, với môđun M trên vành giao hoán R, một môđun con G của M được gọi là iđêan thực sự khi G khác M Định nghĩa này mở rộng khái niệm "iđêan thực sự" cho các môđun trên vành giao hoán.
Ví dụ 5.2.10 Cho p là một số nguyên tố cố định, sau đó
™ là một môđun con của môđun Q/Z.
(i) G là môđun con của E(p) sinh bởi (1/p t ) +Z, với mỗi t∈N0 (sao cho G 0 = 0 );
(ii) mỗi môđun con thực sự của E(p)bằng Gi đối với i∈N 0 ; và
G 0 ⊂G 1 ⊂ .⊂G n ⊂G n+1 ⊂ , và E(p)là môđun Artin, không là môđun Noether.
Chứng minh Dễ dàng kiểm tra rằng E(p)có phải là một môđun con của Z môđunQ/Z : chúng tôi để việc kiểm tra này cho người đọc.
™ là một môđun con của E(p) sinh bởi 1/p l
Gọi H là môđun con thực sự của E(p) với H ≠ 0 Cho α ∈ H, tồn tại r ∈ Z và t ∈ N0 sao cho α = (r/p^t) + Z, với r ≠ 0 và lũy thừa cao nhất của p là hệ số nhỏ hơn p^t Hủy bỏ lũy thừa của p, ta có α = r₀ p² + Z với r₀ ∈ N và GCD(r₀, p) = 1 Nếu α₁ ∈ H và α₁ = r₁ p^{t₁} + Z với t₁ ∈ N và GCD(r₁, p) = 1, thì (1/p^{t₁}) + Z ∈ H, từ đó G_{t₁} ⊆ H Vì GCD(r₁, p^{t₁}) = 1, tồn tại a, b ∈ Z sao cho ar₁ + bp^{t₁} = 1, do đó 1 - ar₁ ∈ p^{i₁}Z.
1 p t 1 +Z= ar 1 p t 1 +Z=aα 1 ∈H như đã tuyên bố.
Bây giờ lưu ý rằngE(p) =S i∈ N 0G i và
Theo định lý, có một môđun con H thích hợp của E(p) và tồn tại một môđun lớn nhất G_i ⊆ H với i ∈ N Nếu không có môđun lớn nhất, sẽ dẫn đến mâu thuẫn rằng H = E(p) Đặt m là số nguyên lớn nhất thỏa mãn G_m = H, với G_m ⊆ H Giả sử G_m ⊂ H, ta sẽ tìm thấy một phần tử α_2 ∈ H \ G_m, có thể biểu diễn dưới dạng α_2 = r_2 p^{t_2} + Z với t_2 ∈ N và GCD(r_2, p) = 1.
Bây giờ, ta có \( t_2 > m \) với \( α_2 ∉ G_m \) Điều này dẫn đến việc chứng minh rằng \( G_{t_2} ⊆ H \), điều này mâu thuẫn với định nghĩa của \( m \) Do đó, ta có \( H = G_m \), như đã được tuyên bố (iii) Đối với \( i ∈ N_0 \), ta chứng minh rằng \( (1/p_{i+1}) + Z ∉ G_i \) Thật vậy, nếu \( (1/p_{i+1}) + Z ∈ G_i \), thì tồn tại \( r ∈ Z \) sao cho
1 p i+1 − r p i ∈Z, vì thế 1−rp∈p i+1 Z, một mẫu thuẫn Do đó
Vành giao hoán Noether
Chương này bắt đầu với các kết quả quan trọng trong lý thuyết vành giao hoán Noether, nhấn mạnh rằng một vành giao hoán R là Noether khi nó được xem như một môđun so với chính nó Nhiều kết quả về môđun Noether từ Chương 7 sẽ được áp dụng ở đây Chúng tôi đã chỉ ra rằng mọi iđêan chính trong một vành giao hoán Noether đều có phân tích nguyên sơ Chương này không chỉ nhắc lại kiến thức trước đó mà còn giới thiệu các kết quả quan trọng như Định lý Cơ sở của Hilbert và Định lý Giao điểm Krull Cuối cùng, chúng ta sẽ khám phá các vấn đề cơ bản về vành giao hoán Artin, trong đó một vành giao hoán R được coi là Artin khi và chỉ khi nó là Noether và mọi iđêan nguyên tố của R đều là cực đại.
Nhắc lại 5.3.1 Cho vành giao hoán R Khi đó R được gọi là xác định Noether nếu nó thỏa mãn các điều kiện tương đương sau:
(i) R thỏa mãn điều kiện dãy tăng các iđêan , nghĩa là nếu
I 1 ⊆I 2 ⊆ .⊆I i ⊆I i+1 ⊆ . là một dãy tăng các iđêan của R, thì tồn tạik ∈N sao cho Ik =Ik+i với mọi i∈N;
(ii) mọi tập khác rỗng các iđêan của R chứa một phần tử cực đại đối với ánh xạ nhúng;
(iii) mọi iđêan của R là hữu hạn sinh.
Tiếp theo đây, ta chỉ ra rằng các phép toán lý thuyết vành khác nhau trên các vành giao hoán Noether lại tạo ra các vành giao hoán Noether.
Bổ đề 5.3.2 xác định rằng nếu R và R' là các vành giao hoán và f: R → R' là một toàn cấu vành, thì khi R là vành Noether, R' cũng sẽ là vành Noether Đặc biệt, nếu I là một iđêan của R và R là vành Noether, thì thương vành R/I cũng sẽ là một vành giao hoán Noether.
Theo Định lý đẳng cấu cho các vành giao hoán, ta có R/Ker f ∼= R0 Nếu hai vành giao hoán đẳng cấu, một vành là Noether khi và chỉ khi vành còn lại cũng là Noether Điều này dẫn đến điều kiện đủ để chứng minh rằng R/I là Noether chỉ khi I là iđêan của R và R là vành Noether.
Một dãy tăng các iđêan của R/I sẽ có dạng
I 1 ⊆I 2 ⊆ .⊆I i ⊆I i+1 ⊆ . là một dãy tăng các iđêan của R chứa I Vì R là Noether nên tồn tại k ∈ N sao cho I k = I k+i với mọi i∈N, suy ra Ik/I =Ik+i/I với mọi i∈N Vậy R/I là Noether.
Kết quả của Bổ đề 8.3 đã được khảo sát trong bài tập 5.26, và do tầm quan trọng của kết quả này, chúng tôi sẽ cung cấp một lời giải cho bài tập đó.
Bổ đề 5.3.3 Cho R là vành giao hoán Noether và đặt S là một tập con đóng đối với phép nhân của
R Khi đó vành các thương S −1 R của R lại là Noether.
Dãy tăng các iđêan I1 ⊆ I2 ⊆ ⊆ Ii ⊆ Ii+1 ⊆ thuộc về S −1 R Ký hiệu mở rộng và thu hẹp liên quan đến phép đồng cấu vành tự nhiên f : R → S −1 R được sử dụng để mô tả mối quan hệ giữa các iđêan này.
I 1 c ⊆ I 2 c ⊆ .⊆ I i c ⊆ I i+1 c ⊆ . là một dãy tăng các iđêan của R, do đó, tồn tại k ∈ N sao cho I k c = I k+i c với mọi i ∈ N Do đó
I k ce =I k+i ce với mọi i ∈N Hơn nữa, ta có I i ce =I i với mọi i∈ N và do đó I k =I k+1 với mọi i∈N.
Từ đó ta đượcS −1 R là vành Noether.
Bổ đề 5.3.4 khẳng định rằng, nếu R và R' là hai vành giao hoán và f : R → R' là một đồng cấu vành, đồng thời R là vành Noether và R' được xem như là R−môđun theo định nghĩa của f là hữu hạn sinh, thì R' cũng sẽ là vành Noether.
Theo (5.2.22), R 0 là R−môđun Noether, và mọi iđêan của R 0 đều là R−môđun con của R 0 Điều này cho thấy R 0 thỏa mãn điều kiện dãy tăng dần của R−môđun con, tức là thỏa mãn điều kiện dãy tăng dần của các iđêan.
Bài tập 5.3.5 Chứng minh rằng vành con Z[−√
Bổ đề 5.3.6 ChoR là vành giao hoán vớiX là biến Giả sửI, J là các iđêan củaR[X]thỏaI ⊆ J. Với mọi i∈N0, tập hợp
(i) Với mọi i∈N0, tập hợpL i (I) là một iđêan của R và L i (I)⊂L i (J).
(iii) (Nhắc lại I ⊆ J) Nếu Ln(I) = Ln(J) với mọi n ∈N 0 thì I =J.
Chứng minh i) Hiển nhiên. ii) Để chứng minh điều này, ta cần chỉ ra, nếu a 0 , a 1 , , a i ∈R thỏa f =Pi j=0a j X j ∈ I, khi đó
Xf thuộc I, do đó ai ∈ Li+1(I) Theo giả thiết, I ⊆ J Giả sử I ⊂ J, sẽ tồn tại ít nhất một đa thức khác 0 nằm trong J \ I Trong số các đa thức đó, chọn đa thức có bậc nhỏ nhất là g = Pn j=0 b j X j với bn ≠ 0 Do đó, bn ∈ Ln(J) = Ln(I) và tồn tại h = bn X n + cn−1 X n−1 + + c0 ∈ I.
Dẫn đến g −h∈ J \ I và deg(g−h)≤ n−1, mâu thuẫn với định nghĩa nhỏ nhất của n Vậy
I =J. Định lý 5.3.7 [Định lý cơ bản của Hilbert] Cho R là vành giao hoán Noether, và X là biến Khi đó vành đa thức R[X] cũng là vành Noether.
I 0 ⊆ I 1 ⊆ ã ã ã ⊆ I j ⊆ I j+1 ⊆ . là dãy tăng các iđêan của R[X] Do (5.3.6) (i), (ii) ta có với mỗii∈N0,
Li(I 0 )⊆Li(I 1 )⊆ ã ã ã ⊆Li(I j )⊆Li(I j+1 )⊆ . và với mỗi j ∈N0,
VìR là Noether nghĩa là tồn tại p, q ∈N0 sao choL p (I q )là phần tử cực đại của{L i (I j ) :i, j ∈N0}. Dẫn đến, với mọi i∈N 0 với i≥p, ta có
Hơn nữa, ptuân theo điều kiện dãy tăng dần khi đó tồn tại q 0 ∈N0 sao cho với mọii= 0, , p−1,
L i (I j ) =L i (I q 0 ) với mọij ≥q 0 Đặt t=max{q, q 0 } ta có
Theo định lý, L i (I j ) = L i (I q 0 ) với mọi i ∈ N0 và mọi j ∈ N0 với j ≥ t Từ đó, ta có I j = I t cho mọi j ≥ t, cho thấy chuỗi các iđêan tăng dần trong R[X] cuối cùng sẽ ổn định Do đó, R[X] được xác định là một vành Noether.
Hệ quả 5.3.8 Cho R là vành giao hoán Noether Khi đó vành đa thức R[X 1 , , X n ] trên R với n biến X 1 , , X n cũng là Noether.
Chứng minh Điều này dễ dàng suy được từ định lý cơ bản của Hilbert (5.3.7) bởi vì nếu n > 1khi đóR[X1, , Xn] =R[X1, , Xn−1][Xn].
Bổ đề tiếp theo tập trung vào cấu trúc đại số (giao hoán) hữu hạn sinh trên vành giao hoán Noether.
Bổ đề và Định nghĩa 5.3.9 trình bày rằng cho R là một vành giao hoán và S là R−đại số giao hoán với đồng cấu vành f: R → S; tập R 0 = Imf Một R−đại số con của S được định nghĩa là vành con của S chứa R 0 = Imf Điều này cho thấy rằng f tạo ra một vành con S 0 với cấu trúc R−đại số, do đó ánh xạ nhúng i: S 0 → S là một R−đại số đồng cấu vành theo định nghĩa 5.13.
Giao họ R−đại số con khác rỗng của S cũng là một R−đại số con của S Đối với nhóm con Γ của S, R−đại số con của S sinh bởi Γ được định nghĩa là giao của tất cả R−đại số con khác rỗng của S chứa Γ, ký hiệu là R 0 [Γ] R 0 [Γ] là R−đại số con nhỏ nhất của S chứa Γ, đảm bảo rằng nó chứa mọi nhóm R−đại số con khác của S chứa Γ một cách duy nhất.
Một R−đại số con S 0 của S được gọi là hữu hạn sinh rõ ràng khi S 0 =R 0 [∆], với ∆ là một tập con hữu hạn của S Điều này có nghĩa là tồn tại các phần tử α 1 , , α n thuộc S sao cho S 0 có thể được biểu diễn dưới dạng S 0 =R 0 [α 1 , , α n ].
Bài tập 5.3.10 Cho R là vành giao hoán và S là R−đại số giao hoán với cấu trúc đồng cấu vành f :R →S; tập R 0 =Imf Đặtα 1 , , α n ∈S Chứng minh rằng R 0 [α 1 , , α n ] bằng với tập
Hệ quả 5.3.11 Cho R là vành giao hoán Noether Giả sử rằng vành giao hoán S là R−đại số hữu hạn sinh Khi đó S cũng là vành Noether.
Chứng minh Xétf :R →Slà đồng cấu vành và tậpR 0 =Imf Theo giả thiết, tồn tạiα 1 , , α n ∈S sao cho S =R 0 [α1, , αn] Theo (5.3.10), vành này bằng với
Theo định lý (5.3.8), vành đa thức giao hoán R[X₁, , Xₙ] trên R với n biến X₁, , Xₙ là một vành Noether Khi có một đồng cấu vành g: R[X₁, , Xₙ] → S mở rộng f và g(Xᵢ) = αᵢ cho mọi i = 1, , n, ta có thể định nghĩa S = R₀[α₁, , αₙ] Điều này chứng tỏ rằng g là toàn ánh, và do đó, theo định lý (5.3.2), S cũng là một vành Noether.
Chúng ta chuyển sang vành các chuỗi lũy thừa trên vành giao hoán Noether R Theo Matsumura, vành R[[X]] của tất cả các chuỗi lũy thừa hình thức của biến X với hệ số trong R cũng là Noether Do sách này nhằm chuẩn bị cho tác phẩm của Matsumura, chúng tôi không lặp lại các chứng minh ở đây, nhưng độc giả có thể tham khảo các chứng minh tại (5.3.13) bên dưới, trong đó có sử dụng một định lý thú vị của I S Cohen Định lý 5.3.12 khẳng định rằng nếu R là vành giao hoán với mọi iđêan nguyên tố hữu hạn sinh, thì R là vành Noether.