Tiểu luận Đại số đại cương: Môđun Artin

Tiểu luận Đại số đại cương: Môđun Artin có nội dung trình bày lí thuyết cơ bản về môđun, môđun con, môđun thương và giải một số bài tập liên quan đến môđun artin. Mời các bạn cùng tham khảo!

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA TOÁN HỌC TIỂU LUẬN ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG MÔĐUN ARTIN Thầy giáo hướng dẫn Sinh viên thực GS.TS LÊ VĂN THUYẾT PHAN HỮU HIỆU MSSV: 19S1011009 Huế, 6-2021 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN HỌC MƠĐUN ARTIN TIỂU LUẬN ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG Thầy giáo hướng dẫn GS.TS LÊ VĂN THUYẾT Huế, 6-2021 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI GIỚI THIỆU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun, môđun con, môđun thương 1.1.1 Môđun 1.1.2 Môđun 1.1.3 Môđun thương 1.2 Đồng cấu môđun, tự đồng cấu môđun 1.3 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp 10 1.3.1 Tích trực tiếp 10 1.3.2 Tổng trực tiếp 10 Chương MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MÔĐUN ARTIN 12 KẾT LUẬN 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 20 LỜI CẢM ƠN Trong q trình nghiên cứu thực tiểu luận: “Mơđun Artin” với cố gắng, nỗ lực thân, nhận hướng dẫn giúp đỡ tận tình Giáo sư - Tiến sĩ Lê Văn Thuyết, người trực tiếp giảng dạy hướng dẫn tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ q trình thực đề tài, đồng thời tơi nhận giúp đỡ, động viên thầy cô giáo bạn sinh viên khoa Tốn Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn Giáo sư - Tiến sĩ Lê Văn Thuyết giúp đỡ hướng dẫn tận tình để tơi hồn thành tốt tiểu luận Tơi xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán, thầy cô giáo bạn sinh viên khoa tạo điều kiện, giúp đỡ tơi hồn thành tiểu luận Do thời gian lực thân hạn chế Hơn lần làm quen với việc làm tiểu luận nên không tránh khỏi thiếu sót Rất mong góp ý quý thầy giáo, cô giáo bạn Xin chân thành cám ơn! Thừa Thiên Huế, tháng 06 năm 2021 Người thực 3 LỜI GIỚI THIỆU Trong phát triển toán học đại, Đại số môn học quan trọng, sở tiên đề cho phát triển đại số đại Ngày nhu cầu học hỏi tốn học nói chung mơn Đại số nói riêng sinh viên khoa Tốn ngày tăng Để sâu nghiên cứu môn Đại số cần có hiểu biết cách sâu sắc cấu trúc đại số Trong đối tượng chủ yếu Đại số cấu trúc mơđun Vì tiểu luận tơi tập trung trình bày "Mơđun Artin" với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu mơn Đại số Nội dung tiểu luận gồm hai chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong phần nhắc lại số định nghĩa môđun, môđun con, môđun sinh tập, môđun thương, đồng cấu, tự đồng cấu, tích trực tiếp tổng trực tiếp trình bày số tính chất phần có liên quan đến mơđun Artin Chương Trình bày cách giải số tập liên quan đến môđun Artin Trong phần tơi trình bày tổng cộng tập liên quan đến môđun Artin 4 CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.1.1 Môđun, môđun con, môđun thương Mơđun Định nghĩa 1.1.1 Cho R vành có đơn vị 1R = 0R ; R - môđun trái (hay cịn gọi mơđun trái R) nhóm Abel cộng M với ánh xạ f :R×M →M (a, x) → f (a, x) = ax gọi phép nhân với vô hướng, thỏa mãn điều kiện: a(x + y) = ax + ay (a + b)x = ax + bx (ab)x = a(bx) 1R x = x với a, b ∈ R x, y ∈ M Định nghĩa 1.1.2 Tương tự, ta có định nghĩa cho R - mơđun phải (hay cịn gọi mơđun phải R) nhóm Abel cộng M với ánh xạ f :M ×R→M (x, a) → f (x, a) = xa gọi phép nhân với vô hướng, thỏa mãn điều kiện: (x + y)a = xa + ya x(a + b) = xa + xb x(ab) = (xa)b x1R = x với a, b ∈ R x, y ∈ M Về kí hiệu M R - môđun trái (phải) ta kí hiệu R M (MR ) để rõ vành sở R cần thiết Nếu không ta nói mơđun thay cho mơđun phải Ví dụ 1.1.3 (i) Mỗi nhóm cộng Abel M coi Z - mơđun (ii) Nếu K trường K - mơđun khơng gian vectơ trường K (iii) Mỗi iđêan phải vành R - R - môđun Đặc biệt, iđêan R R - môđun thân R R - môđun 1.1.2 Môđun Định nghĩa 1.1.4 Cho M R - môđun phải Tập N M gọi môđun M N môđun R với phép cộng phép nhân với vô hướng M hạn chế N Ví dụ 1.1.5 (i) Mỗi R - môđun M chứa hai môđun tầm thường thân M môđun {0} Môđun N M gọi môđun thực N = {0} N = M (ii) Cho R - môđun M x phần tử M Khi tập con: xR = {xr | r ∈ R} môđun M Nó cịn gọi mơđun xyclic sinh phần tử x (iii) Mọi nhóm nhóm Abel M Z - môđun M (iv) Mọi iđêan vành R có đơn vị 1R = 0R môđun R Bổ đề cho ta để cách kiểm tra môđun hiệu Bổ đề 1.1.1 Cho M R - môđun phải Nếu N tập khác rỗng M điều kiện sau tương đương: (i) N môđun M (ii) ∀x, y ∈ N, ∀r ∈ R : x + y ∈ N, xr ∈ N (iii) ∀x, y ∈ N, ∀r, s ∈ R : xr + ys ∈ N Mệnh đề 1.1.2 Giao họ môđun của R môđun M môđun M Định nghĩa 1.1.6 Cho X tập R - môđun M Môđun bé N chứa X gọi môđun sinh X X gọi tập sinh hay hệ sinh N , kí hiệu N = |X) Trong trường hợp N = M ta nói X hệ sinh M hay M sinh X Nếu M có hệ sinh hữu hạn ta nói M R - môđun hữu hạn sinh Môđun sinh phần tử mơđun xyclic Định nghĩa 1.1.7 Cho A môđun thực R - mơđun M Khi A mơđun cực đại M A = M khơng chứa mơđun thực M Một cách tương tự, cho A môđun thực R - môđun M Khi A mơđun cực tiểu M A = {0} khơng chứa môđun thực M Mệnh đề 1.1.3 Nếu A, B môđun R - môđun M với A ⊂ B Khi với mơđun C M ta có: (C + A) ∩ B = (C ∩ B) + A Chứng minh - Với x ∈ (C + A) ∩ B , ta có:     x ∈ C + A ∃a ∈ A, c ∈ C : x = c + a ⇒ ⇒c+a=b   x ∈ B ∃b ∈ B :x=b ⇒c=b−a∈B   c ∈ C ⇒ c ∈ C ∩ B ⇒ x = c + a ∈ (C ∩ B) + A  c ∈ B Do (C + A) ∩ B ⊂ (C ∩ B) + A - Với x ∈ (C ∩B)+A, đó: ∃n ∈ C ∩B, a ∈ A cho: x = n+a     n ∈ B n ∈ C ⇒ x = n + a ∈ B; ⇒ x = n + a ∈ C + A   a ∈ B a ∈ A Suy ra: x ∈ (C + A) ∩ B Do (C + A) ∩ B ⊃ (C ∩ B) + A Vậy (C + A) ∩ B = (C ∩ B) + A 1.1.3 Môđun thương Cho M R - mơđun, N mơđun M Khi đó: M/N = {x + N : x ∈ M } nhóm thương, nhóm Abel với phép cộng: (x + N ) + (y + N ) = (x + y) + N với x + N , y + N ∈ M/N Trên M/N xác định phép nhân vô hướng sau: a(x + N ) = ax + N với a ∈ R, x + N ∈ M/N Thì phép nhân vô hướng thoả mãn điều kiện tích vơ hướng Định nghĩa 1.1.8 Cho M R - môđun, N môđun M Khi R - mơđun M/N , với phép cộng phép nhân vô hướng xác định gọi môđun thương R - môđun M mơđun N Ví dụ 1.1.9 (i) Xét mơđun nZ Z - mơđun Z Khi ta có mơđun thương Z nZ là: Z/nZ = {0, 1, , n − 1} (ii) Cho I iđêan hai phía vành R có đơn vị 1R = 0R Khi R/I vừa có cấu trúc vành thương vành R iđêan I , vừa có cấu trúc mơđun thương R - môđun R môđun I 1.2 Đồng cấu môđun, tự đồng cấu môđun Định nghĩa 1.2.1 Cho hai môđun M, N R - môđun Khi đó, ánh xạ f : M → N thỏa mãn f (x + y) = f (x) + f (y) f (xa) = f (x)a với x, y ∈ M , a ∈ R, goi đồng cấu R - môđun từ M vào N Nếu N = M f gọi tự đồng cấu M Nếu đồng cấu f đơn ánh, tồn ánh, song ánh tương ứng gọi đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Ví dụ 1.2.2 (i) Cho N mơđun R - mơđun M , ta có mơđun thương M/N Khi quy tắc: f : M → M/N x → p(x) = x = x + N đồng cấu R - môđun Hơn nữa, p toàn cấu, gọi phép chiếu tắc Tồn cấu có Kerp = N (ii) Với môđun N R - môđun M , ánh xạ cho bởi: i:N →M x → i(x) = x đơn cấu R - mơđun, gọi phép nhúng tắc từ N vào M Mệnh đề 1.2.1 Cho đồng cấu môđun f : M → N U, V tương ứng mơđun M, N Khi đó: (i) f (U ) môđun N (ii) f −1 (V ) môđun M 10 Nhận xét 1.2.3 Im(f ) Ker(f ) môđun tương ứng N, M 1.3 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp 1.3.1 Tích trực tiếp Cho họ R - môđun (Mi )i∈I ; xét tích Descartes họ Mi = {(xi )i∈I | xi ∈ Mi } i∈I Mi ta định nghĩa phép cộng phép nhân vô hướng sau: Trên i∈I (xi )i∈I + (yi )i∈I = (xi + yi )i∈I (xi )i∈I a = (xi a)i∈I với (xi )i∈I , (yi )i∈I ∈ Mi , a ∈ R i∈I Mi R - môđun gọi tích trực tiếp họ Định nghĩa 1.3.1 i∈I R - môđun (Mi )i∈I Nếu Mi = M với i ∈ I ta kí hiệu Mi i∈I MI 1.3.2 Tổng trực tiếp Định nghĩa 1.3.2 (xi )i∈I ∈ Mi gọi có giá hữu hạn xi = i∈I tất trừ số hữu hạn i ∈ I Mi | (xi )i∈I có giá hữu hạn} tập Đặt ⊕ Mi = {(xi )i∈I ∈ i∈I i∈I Mi i∈I Khi với (xi )i∈I , (yi )i∈I ∈ ⊕ Mi , a, b ∈ R, (xi )i∈I (yi )i∈I có i∈I giá hữu hạn, nên (xi )i∈I a + (yi )i∈I b = (xi a + yi b)i∈I 11 có giá hữu hạn Do đó: (xi )i∈I a + (yi )i∈I b ∈ ⊕ Mi i∈I Vậy ⊕ Mi R - môđun i∈I Mi i∈I Định nghĩa 1.3.3 ⊕ Mi R - môđun gọi tổng trực tiếp họ i∈I R - môđun (Mi )i∈I Nếu Mi = M với i ∈ I ta kí hiệu ⊕ Mi i∈I M (I) Nhận xét 1.3.4 Nếu I = {1, 2, , n} ⊕ Mi = i∈I Mi i∈I 12 CHƯƠNG MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MÔĐUN ARTIN Định nghĩa 2.0.1 Một R - môđun M gọi môđun Artin tập khác rỗng môđun M ln chứa phần tử cực tiểu theo quan hệ bao hàm Bài tập 2.1 Chứng minh môđun M Artin dãy giảm mơđun nó: M0 ⊃ M1 ⊃ M2 ⊃ dừng, tức có số n cho Mn = Mn+1 = Lời giải (⇒) Giả sử M0 ⊃ M1 ⊃ M2 ⊃ dãy giảm môđun M Vì M mơđun Artin nên tập {Mi | i ≥ 0} môđun M có phần tử cực tiểu, chẳng hạn Mn , Mk = Mn , ∀k ≥ n (theo tính chất mơđun cực tiểu) (⇐) Giả sử S tập khác rỗng mơđun M S khơng có phần tử cực tiểu Vì S = ∅ nên ta chọn mơđun M0 ∈ S Khi đó, M0 không cực tiểu nên tồn M1 môđun thực M0 Cứ tiếp tục thế, ta tồn dãy giảm M0 ⊃ M1 ⊃ M2 ⊃ không dừng môđun M (mâu thuẫn) 13 Bài tập 2.2 Giả sử N môđun M Chứng minh M Artin môđun N M/N Artin Lời giải (⇒) Giả sử M môđun Artin Trước hết, ta chứng minh N mơđun Artin Thật vậy, tập hợp khác rỗng môđun N tập hợp khác rỗng môđun M nên tập hợp có phần tử cực tiểu Do N mơđun Artin Tiếp theo ta chứng minh M/N môđun Artin Giả sử M0 ⊃ M1 ⊃ M2 ⊃ dãy giảm môđun môđun M/N Xét phép chiếu tắc: p : M → M/N Khi tồn dãy giảm môđun M N0 ⊃ N1 ⊃ N2 ⊃ cho p(Ni ) = Mi , với i ≥ Nhưng M mơđun Artin nên dãy N0 ⊃ N1 ⊃ N2 ⊃ dãy dừng tức tồn số n cho Nn = Nn+1 = , từ suy tồn số n cho p(Nn ) = p(Nn+1 ) = hay Mn = Mn+1 = Do M/N mơđun Artin (⇐) Giả sử N M/N môđun Artin Xét dãy giảm mơđun M : M0 ⊃ M1 ⊃ M2 ⊃ Khi ta có dãy giảm tương ứng môđun N : M0 ∩ N ⊃ M1 ∩ N ⊃ M2 ∩ N ⊃ Và dãy giảm tương ứng môđun M/N : p(M0 ) ⊃ p(M1 ) ⊃ p(M2 ) ⊃ 14 với p phép chiếu tắc Do N M/N mơđun Artin nên tồn hai số n1 n2 cho Mn1 ∩ N = Mn1 +1 ∩ N p(Mn2 ) = p(Mn2 +1 ) Đặt n = max (n1 , n2 ) Khi Mn ∩ N = Mn+1 ∩ N p(Mn ) = p(Mn+1 ) Từ p(Mn ) = p(Mn+1 ) ta suy Mn + N = Mn+1 + N Theo mệnh đề 1.1.3, ta có: Mn = (Mn + N ) ∩ Mn = Mn = (Mn+1 + N ) ∩ Mn = Mn+1 ∩ (N + Mn ) = Mn+1 ∩ (N + Mn+1 ) = Mn+1 = Do M mơđun Artin Bài tập 2.3 Chứng minh Z-môđun Z không Artin Lời giải Để chứng minh Z-môđun Z không Artin ta dãy giảm môđun ZZ cho dãy không dừng Thật vậy, với a ∈ Z, a ∈ / {0, ±1}, ta có dãy giảm khơng dừng mơđun ZZ là: aZ ⊃ a2 Z ⊃ a3 Z ⊃ Do Z-mơđun Z khơng Artin Bài tập 2.4 Các ví dụ mơđun Artin Lời giải Trước tiên ta chấp nhận mệnh đề sau: Mệnh đề 2.4.1 Dãy môđun môđun M : M = M0 ⊃ M1 ⊃ M2 ⊃ ⊃ Mn = 15 (bao hàm ngặt) dãy thoả mãn khơng có mơđun M bổ sung vào dãy Mi−1 /Mi đơn (i) Mọi mơđun đơn (nghĩa khơng có mơđun ngồi nó) mơđun Artin (ii) Mọi không gian vectơ hữu hạn chiều trường môđun Artin Thật vậy, giả sử VK không gian vectơ hữu hạn chiều trường K {x1 , x2 , , xn } sở Khi đó: V ⊃ x1 K + x2 K + + xn K ⊃ ⊃ x1 K + x2 K ⊃ x1 K ⊃ dãy môđun V Vì x1 K+ +xi K mơđun cực đại môđun x1 K+ +xi+1 K nên (x1 K + + xi+1 K)/(x1 K + + xi K) mơđun đơn Do VK môđun Artin Mặt khác, VK không gian vectơ vơ hạn chiều khơng mơđun Artin a | a ∈ Z, i ∈ N}, tức Q tập pi hợp tất số hữu tỉ mà mẫu số lũy thừa p (bao gồm p0 = 1) (iii) Cho p số nguyên tố Qp = { Như Qp nhóm (xem nhóm cộng) Q Z ⊂ Qp Khi đó: Z - mơđun Qp mơđun Artin Ta tham khảo chứng minh sau Giả sử i + Z môđun Z - môđun Qp sinh phần tử p + Z ∈ Qp /Z ta xét dãy môđun Qp /Z: pi 0⊂ 1 + Z ⊂ + Z ⊂ + Z ⊂ p p p Để chứng minh Artin ta dãy chứa tất 16 mơđun thực Qp /Z Từ suy tập không rỗng môđun Qp /Z có mơđun nhỏ a Trước hết ta có nhận xét (a, p) = i + Z = i + Z (∗) p p Thật vậy, a p nguyên tố nên tồn m, n ∈ Z cho: am + pi n = 1 am am 1 a Từ i − i = n ∈ Z ⇒ i + Z = i + Z ⇒ i + Z ⊂ i + Z p p p p p p a a Vì i Z ⊂ i Z nên i + Z ⊂ i + Z Do nhận xét p p p p chứng minh Bây B mơđun Qp /Z xảy trường hợp: Trường hợp 1: Đối với n ∈ N tồn i ∈ N cho i ≥ n a + Z ∈ B , (a, p) = Khi từ (∗) suy B = Qp /Z với pi x + Z ∈ B pi a Trường hợp 2: Tồn i ∈ N cực tìm i + Z ∈ B với p (a, p) = a Khi từ (∗) suy ra: i + Z = i + Z = B p p Bài tập 2.5 Chứng minh tích trực tiếp họ hữu hạn môđun Artin môđun họ Artin Lời giải Khơng tính tổng qt ta xét tích trực tiếp hai mơđun Giả sử M = N × P N ∼ = N × {0} P ∼ = M/N × {0}, với N mơđun M Vì N mơđun M Nên theo tập 2.2 ta được: M Artin N P Artin 17 Bài tập 2.6 Giả sử h tự đồng cấu môđun Artin M Chứng minh h đơn cấu h đẳng cấu Lời giải Giả sử h : M → M tự đồng cấu R - môđun Artin M h đơn cấu Ta có dãy giảm mơđun M là: M ⊃ h(M ) ⊃ h2 (M ) ⊃ h3 (M ) ⊃ Do M môđun Artin nên dãy phải dừng, tức tồn số n cho hn (M ) = hn+1 (M ) = (1) Bây ta chứng minh h toàn cấu Thật vậy, với a ∈ M , theo (1) ta được: hn (a) ∈ hn+1 (M ) tồn b ∈ M cho: hn (a) = hn+1 (b) = hn (h(a)) Vì h đơn cấu nên hn đơn cấu Do a = h(b) Tức với a ∈ M tồn b ∈ M cho h(a) = b Suy h tồn cấu Do h đẳng cấu Bài tập 2.7 Vành R có đơn vị 1R gọi vành Artin phải R môđun phải R Artin Cho ví dụ vành Artin phải Lời giải (i) Mọi trường vành Artin (ii) Tất vành có hữu hạn iđêan vành Artin, ví dụ vành Z/nZ với n số nguyên 18 (iii) Với n ≥ 1, vành ma trận vuông Mn (R) vành R Artin phải vành Artin phải (iv) Với K trường Khi mơđun thương K[t]/tn vành Artin với số nguyên dương n (v) Vành số nguyên Z vành Artin Z khơng phải Z - môđun Artin 19 KẾT LUẬN Qua trình tìm hiểu tài liệu, tơi vừa ơn tập lại kiến thức cấu trúc môđun, vừa tìm hiểu thêm mơđun Artin, đưa ví dụ mơđun Artin, vành Artin chứng minh số tính chất môđun Artin thông qua việc giải tập Qua q trình tìm hiểu, tơi nhận thấy bước đầu thành công việc thực tiểu luận Tơi bước đầu tìm hiểu thêm vấn đề nằm ngồi chương trình học tập Đây tảng giúp tơi thực tiểu luận hay khóa luận sau Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn Giáo sư - Tiến sĩ Lê Văn Thuyết, ban chủ nhiệm khoa Tốn, thầy giáo bạn sinh viên khoa tạo điều kiện, giúp đỡ tơi hồn thành tiểu luận Mặc dù cố gắng thời gian chuẩn bị chưa nhiều lần đầu làm quen với việc làm tiểu luận nên khơng thể tránh khỏi sai sót Rất mong góp ý thầy bạn 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Tiến Quang - Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lí thuyết mơđun vành, NXB Giáo dục [2] Dương Quốc Việt (2017), Cơ sở lí thuyết Module, NXB Đại học Sư phạm [3] Văn Nam - Phan Văn Thiện (2012), Đại số đại cương nâng cao, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế [4] F Kasch (1982), Modules und Rings, Academic Press [5] Wikipedia (2021), [Artinian ring, https://en.wikipedia.org/wiki/ Artinian_ring]  ... sắc cấu trúc đại số Trong đối tượng chủ yếu Đại số cấu trúc mơđun Vì tiểu luận tơi tập trung trình bày "Mơđun Artin" với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu môn Đại số Nội dung tiểu luận gồm hai... MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MÔĐUN ARTIN Định nghĩa 2.0.1 Một R - môđun M gọi môđun Artin tập khác rỗng mơđun M ln chứa phần tử cực tiểu theo quan hệ bao hàm Bài tập 2.1 Chứng minh môđun M Artin dãy giảm môđun. .. đại, Đại số môn học quan trọng, sở tiên đề cho phát triển đại số đại Ngày nhu cầu học hỏi toán học nói chung mơn Đại số nói riêng sinh viên khoa Toán ngày tăng Để sâu nghiên cứu mơn Đại số cần