Skkn toán 8 ứng dụng hệ thức viet giải toán bậc hai

Trong giai đoạn hiện nay, môn Toán ởTrung học cơ sở có một vai trò rất quan trọng, một mặt hệ thống hóa kiến thức,kỹ năng và thái độ mà học sinh đã lĩnh hội và hình thàn

TRƯỜNG THCS THỤY AN

ỨNG DỤNG

HỆ THỨC VI-ÉT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẬC HAI

Lĩnh vực/môn: Toán

Cấp học: Trung học cơ sở

Tên tác giả: Kiều Thị Thủy

Đơn vị công tác: Trường THCS Thụy An

Chức vụ: Giáo viên

Năm học: 2021-2022

NỘI DUNG Trang

1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TRẠNG DẠY HỌC MÔN

TOÁN Ở TRƯỜNG THCS THỤY AN.

2

1.2 Thực trạng dạy học môn Toán ở trường Trung học cơ sở

Thụy An.

2

2 GIẢI PHÁP THỰC HIỆN ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT

ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẬC HAI

4

2.2 Lập phương trình bậc hai 6

2.4 Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình 8

2.5 Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai

nghiệm này không phụ thuộc vào tham số

10

2.6 Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa

nghiệm

11

2.7 Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai 14

2.8 Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm 14

PHẦN THỨ NHẤT: ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lí do đề xuất sáng kiến kinh nghiệm

Toán học là một môn khoa học tự nhiên có tính lôgic và chính xác cao,

được ứng dụng nhiều trong cuộc sống Trong giai đoạn hiện nay, môn Toán ở

Trung học cơ sở có một vai trò rất quan trọng, một mặt hệ thống hóa kiến thức,

kỹ năng và thái độ mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành ở bậc tiểu học, mặtkhác còn góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và thái độ cần thiết đểtiếp tục lên Trung học phổ thông, Trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đivào các lĩnh vực lao động sản xuất

Chương trình Toán Trung học cơ sở khẳng định quá trình dạy học là quátrình giáo viên tổ chức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức và kỹnăng Mặt khác muốn nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hìnhthành cho học sinh những kiến thức cơ bản, tìm tòi đủ cách giải bài toán để pháthuy tính tích cực của học sinh, tìm tòi, mở rộng kiến thức Qua quá trình trựctiếp giảng dạy Toán 9, ôn thi học sinh giỏi và ôn luyện thi vào Trung học phổthông tôi thấy có rất nhiều phương trình bậc hai để giải được cần áp dụng ứngdụng của hệ thức Vi-ét trong khi đó nội dung này trong chương trình sách giáokhoa có thời lượng rất ít (02 tiết) giáo viên khó có thể truyền đạt hết dược cácứng dụng của hệ thức Vi-ét, còn phía học sinh các em ít có điều kiện, thời giantìm hiểu thêm sách tham khảo nên sẽ gặp khó khăn trong quá trình làm bài tập

Vì vậy tôi rất trăn trở việc làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập cho các

em học sinh, giúp các em nắm được hệ thức Vi-ét và biết vận dụng tốt các ứngdụng vào giải phương trình bậc hai, giúp học sinh tự tin hơn trong các kỳ thituyển sinh vào Trung học phổ thông do đó tôi đã chọn đề tài: “Ứng dụng hệ thứcVi-ét để giải các bài toán bậc hai” để nghiên cứu

2 Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm

Từ thực tế giảng dạy bộ môn Toán lớp 9 tại trường, tôi đã tổng hợp đượcmột số ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán bậc hai giúp học sinh bổsung, nâng cao kiến Từ đó học sinh có thể giải thành thạo các bài toán bậc haitrong các kỳ thi tuyển sinh vào Trung học phổ thông

3 Đối tượng nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm

Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán bậc hai

4 Phạm vi nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm

- Học sinh lớp 9A trường Trung học cơ sở Thụy An – huyện Ba Vì – thànhphố Hà Nội năm học 2021 - 2022

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu tài liệu; Phương pháp trao đổi, thảo luận;

Phương pháp thực nghiệm sư phạm; Phương pháp kiểm tra, đánh giá

PHẦN THỨ HAI: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TRẠNG DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG THCS THỤY AN.

1.1 Cơ sở lí luận

Theo luật giáo dục sửa đổi năm 2019 trong điều 29 có ghi: “Mục tiêu củagiáo dục Trung học cơ sở là nhằm củng cố và phát triển kết quả của giáo dụctiểu học, bảo đảm cho học sinh có trình độ học vấn phổ thông nền tảng, hiểu biếtcần thiết tối thiểu về kỹ thuật và hướng nghiệp để tiếp tục học trung học phổthông hoặc chương trình giáo dục nghề nghiệp”

Để khắc phục mục tiêu trên, nội dung chương trình Trung học cơ sở mớiđược thiết kế theo hướng tinh giảm lý thuyết hàn lâm, tăng tính thực tiễn, thựchành bảo đảm vừa sức, khả thi, giảm số tiết học trên lớp, tăng thời gian tự học

và hoạt động ngoại khóa

Trong chương trình lớp 9, Hệ thức Vi-ét và ứng dụng được dạy trong 2 tiết:Tiết 01(lý thuyết): học sinh tìm hiểu định lý Vi-ét và ứng dụng định lí đểnhẩm nghiệm của phương trình bậc hai, lập phương trình bậc hai và tìm hai sốbiết tổng và tích của chúng

Tiết 02(luyện tập): học sinh được làm các bài tập củng cố tiết lý thuyết vừahọc

Theo phân bố nội dung kiến thức như trên, học sinh được học định lý Vi-étnhưng không có nhiều thời gian đi sâu khai thác các ứng dụng của hệ thức Vi-ét

do đó các em hiểu và vận dụng hệ thức Vi-ét còn chưa thành thạo, linh hoạt vìvậy giáo viên dạy cần phải bồi dưỡng, bổ sung thêm kiến thức, hướng dẫn họcsinh tự học, tìm hiểu thêm kiến thức phần này

1.2 Thực trạng dạy học môn Toán ở trường Trung học cơ sở Thụy An

1.2.1 Thuận lợi

Giáo viên truyền đạt nhiệt tình đầy đủ kiến thức trong chương trình Họcsinh nhận biết được những kiến thức cơ bản và đã hoàn thành Trung học cơ sở;Nhà trường có tổ chức dạy phụ đạo cho học sinh yếu, kém Nhờ vậy họcsinh đã có nhiều tiến bộ;

Tôi đã được trực tiếp đứng lớp giảng dạy môn Toán khối 9 được 6 năm, bồidưỡng học sinh giỏi lớp 9 và ôn tập, nâng cao kiến thức cho học sinh thi tuyểnvào lớp 10 nên tôi thấy được sự cần thiết phải thực hiện đề tài: “Ứng dụng hệthức Vi-ét để giải các bài toán bậc hai”;

Trong quá trình giảng dạy tôi luôn trao đổi, thảo luận với đồng nghiệp vàđược các đồng nghiệp góp ý kiến;

Học sinh ham tìm hiểu, tìm tòi nâng cao kiến thức

1.2.2 Khó khăn

Thời lượng phân bố dạy phần này còn ít, cụ thể ở chương trình lớp 9 chỉ có

2 tiết (1 tiết lý thuyết, 1 tiết luyện tập) Do vậy việc khai thác hết các ứng dụngcủa hệ thức Vi-ét vào giải phương trình bậc hai còn nhiều hạn chế

Hầu hết số học sinh của trường là học sinh vùng quê, bố mẹ làm nôngnghiệp Do đó các em ít được chú trọng nâng cao kiến thức

Số học sinh tự giác tìm tòi kiến thức, tham khảo tài liệu… để nâng cao kiếnthức chưa nhiều nên số lượng học sinh giỏi Toán còn thấp

1.2.3 Kết quả khảo sát trước khi thực hiện đề tài này ở lớp 9C năm học 2020 – 2021.

Trong quá trình dạy học tôi nhận thấy nếu giáo viên không tổng hợp hếtcác ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán bậc hai và chưa chú trọng hướngdẫn các em tự học, tự tìm hiểu mở rộng kiến qua các sách tham khảo thì các emchỉ biết đến các dạng bài tập đơn giản trong sách giáo khoa, còn gặp dạng bàitập khác sách giáo khoa, hoặc bài toán thi vào Trung học phổ thông thì lúngtúng, không giải được dẫn đến kết quả học tập chưa cao, sau đây là minh chứngkết quả năm học 2020- 2021 khi chưa áp dụng đề tài

Trong phạm vi đề tài này, tôi xin giới thiệu “Ứng dụng hệ thức Vi-ét đểgiải các bài toán bậc hai” với mong muốn sẽ giúp học sinh có thêm kiến thức đểtự tin hơn trong quá trình học tập và tham dự các kỳ thi tuyển

2 GIẢI PHÁP THỰC HIỆN MỘT SỐ ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẬC HAI

Trước hết, Giáo viên cần truyền đạt các lý thuyết ở trong chương trình cho học sinh nắm được định lý Vi-ét:

Cho phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0),

3 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng;

4 Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình;

5 Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hainghiệm này không phụ thuộc vào tham số;

6 Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm;

7 Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai;

8 Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm;

2.1 Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

*Dạng đặc biệt: Xét phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (*)

a/ Nếu cho x = 1 thay vào (*), ta có: a.12 + b.1 + c = 0 hay a+ b + c = 0Như vậy: phương trình có một nghiệm x1 = 1 và nghiệm kia là x2 =

c a

b/ Nếu cho x = -1 thay vào (*), ta có: a (-1)2 +b (-1) + c = 0 hay a- b + c = 0Như vậy: phương trình có một nghiệm x1 = -1 và nghiệm kia là x2 =

c a

*Ví dụ: Dùng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của các phương trình sau

a/ 3x2 + 5x + 2 = 0 (1)

b/ 8x2 + 3x - 11 = 0 (2)

Giải: Ta thấy

Phương trình (1) có dạng a- b + c = 3 - 5 + 2 = 0, nên có một nghiệm

x1 = -1 và nghiệm kia là x2 =

c a



=

2 3



Vậy phương trình (1) có nghiệm là x1 = -1; x2 =

2 3



x1 = 1 và nghiệm kia là x2 =

11 8

c a





Vậy phương trình (1) có nghiệm là x1 = 1; x2 =

11 8



*Bài tập áp dụng (Bài 37d,e,f Sách bài tập toán 9 tập 2 trang 43, 44)

Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau

d/ (5 + √2¿x2 + (5 -√2¿x – 10 = 0 (Đáp án: x1 = 1; x2 =

10(5 2) 23

 

)e/13x2 -32x - 116 = 0; (Đáp án: x1 = -1; x2 =

nghiệm của phương trình

phương trình có hai nghiệm và một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia

Giải:

a/ Ta thay x1 = 7 vào phương trình x2 + mx - 35 = 0, ta được:

72 + m.7 - 35 = 0 => m = -2

Theo hệ thức Vi-ét: x1. x2 = -35 suy ra: x2 = 1

35 35

5 7

Với x 2 5 thì x 1 10 Suy ra: m = x1 + x2 = 5 + 10 = 15

Với x 2 5 thì x 1 10 Suy ra: m = x1 + x2 = (- 5) + (-10) = -15

*Bài tập áp dụng

a/ Phương trình 4x2 + 3x – m2 + 3m = 0 có một nghiệm x1 = -2 Tìm m vànghiệm kia (Đáp án: m1 = -2; m2 = 5; x2 = 54 )

b/ Phương trình 3x2 – 2(m-3) x + 5 = 0 có một nghiệm x1 = 13 Tìm m vànghiệm kia.(Đáp án: m = 11; x2 = 5)

2.2 Lập phương trình bậc hai

2.2.1 Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x 1, x 2

*Ví dụ: Cho x1 = 3; x2 = 2 Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệmtrên

*Bài tập áp dụng (Bài 42a,b,c Sách bài tập toán 9 tập 2 trang 44):

Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm

*Bài tập áp dụng:

1/ Cho phương trình 3x2 + 5x - 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Khônggiải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:

4

1 1

y x và y2 x24 (Đáp số: y2 727y 1 0)3/ Cho phương trình: x2 - 2x – m2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Hãylập phương trình bậc hai có hai nghiệm y1; y2 sao cho:

a/ y1 x1  3 và y2 x2  3 (Đáp số:y2 4y 3 m2 0)

b/ y1  2x1  1 và y2  2x2  1 (Đáp số: y2  2y (4m2 3) 0 )

2.3 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm củaphương trình: x2 – Sx + P = 0 (đk: S2 - 4P ≥ 0)

*Ví dụ: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4.

Giải: Vì: S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4

Nên a, b là hai nghiệm của phương trình: x2 -(-3) x +(– 4) = 0

 x2 + 3x – 4 = 0 Giải phương trình trên ta được x1 = 1 và x2 = - 4

Vậy nếu a = 1 thì b = - 4

nếu a = - 4 thì b = 1

*Bài tập áp dụng (Bài 2c,d trang 72 sách Kiến thức cơ bản và nâng cao

Toán 9 tập hai) Tìm hai số x, y trong các trường hợp sau:

c/ x - y = 5 và x.y = 66(Đáp án: x = 11; y = 6; x = -6; y = -11)

Điều quan trọng nhất đối với các bài toán dạng này là phải biết biến đổi

biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng hai nghiệm S và tích hainghiệm P để áp dụng hệ thức Vi-ét rồi tính giá trị của biểu thức

2.4.1 Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện: x 1 + x 2 và x 1. x 2

*Bài tập áp dụng:

Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau:

x x  x  x  x x x  x x x  )

2.4.2 Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm

*Ví dụ: Cho phương trình: x2 + 2x - 5 = 0, Không giải phương trình, hãytính: a/ x12 x22; b/ 1 2

*Bài tập áp dụng:

1/ Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:a/  2 22

1 2

x x

(Đáp án: 1156)b/

Để làm các bài toán dạng này, ta làm lần lượt theo các bước sau

(thường là a ≠ 0 và  ≥ 0 hoặc ’ ≥ 0)

Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 và P = x1 x2 theo tham số

Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 Từ đó đưa ra hệthức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2

*Ví dụ 1: Cho phương trình: (m - 1) x2 - 2mx + m - 4 = 0 có 2 nghiệm x1 và

x2 Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho chúngkhông phụ thuộc vào m

A = 3(x1+ x2) + 2 x1 x2 - 8 không phụ thuộc giá trị của m.

1

m

m m

m 

Do đó biểu thức A không phụ thuộc giá trị của m

Bài tập áp dụng:

Cho phương trình: x2 – (m + 2) x + (2m - 1) = 0 có 2 nghiệm x1 và x2 Hãylập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho x1 và x2

2.6 Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm

(thường là a ≠ 0 và ≥ 0 hoặc ’ ≥ 0)

Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình(có ẩn là tham số)

Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm

*Ví dụ 1: Cho phương trình: mx2 – 6(m - 1) x + 9(m – 3) = 0 Tìm giá trịcủa tham số m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: x1 x2 x x1 2

m

m m

Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác so với bài tập ở ví dụ

1 và ví dụ 2 ở chỗ:

+ Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm x1 x2và tíchnghiệm x x1 2 nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức Vi-ét để tìm tham số m.+ Còn trong 2 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn nhưvậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi vềbiểu thức có chứa tổng nghiệm x1 x2và tích nghiệm x x1 2rồi từ đó vận dụngtương tự cách làm đã trình bày ở ví dụ 1 và ví dụ 2

.

m

m m

Thế (1) vào (2) ta đưa về phương trình:

m2 + 127m - 128 = 0 m1 = 1 (thỏa mãn điều kiện);

m2 = -128(thỏa mãn điều kiện)

Bài 2:

3 1

0 32 15

2.7 Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm…

Ta lập bảng xét dấu sau:

*Ví dụ: Xác định tham số m sao cho phương trình:

x2 – (3m + 1) x + 2(m2 – m – 6) = 0 có 2 nghiệm trái dấu

Giải:

Để phương trình trên có hai nghiệm trái dấu thì:

     

2 2

3 1 4.2 6 0

7 0 0

Vậy với   2 m 3 thì phương trình trên có hai nghiệm trái dấu

Bài tập áp dụng:

1/ Xác định tham số m sao cho phương trình:

mx2 – 2(m + 2) x + 3(m - 2) = 0 có 2 nghiệm cùng dấu

có 2 nghiệm âm

2.8 Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 + (2m - 1) x + m = 0 Gọi x1 và x2 là cácnghiệm của phương trình Tìm m để: A = x12x22 6x x1 2 có giá trị nhỏ nhất.Giải:

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

1 2

1 2

2 1