Bài 3 ptđt dang 5 điểm tm đk cho trước

rất hay, cuecj kì hay, siêu hay, rất hay, cuecj kì hay, siêu hay, rất hay, cuecj kì hay, siêu hay, rất hay, cuecj kì hay, siêu hay, rất hay, cuecj kì hay, siêu hay, rất hay, cuecj kì hay, siêu hay, rất hay, cuecj kì hay, siêu hay,

DẠNG 5A: TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

Ví DỤ 1

Tìm giao điểm của đường thẳng   :

1

2 2 3

 



  



  



với mặt phẳng   : x   y z 4 0

Lời giải

Tọa độ giao điểm của đường thẳng   và mặt phẳng   là nghiệm của hệ phương trình :

 

 

 

 

1 1

2

3 3

4

x y z





    



Thay      1 , 2 , 3 vào  4 ta được 1        t 2 2t 3 t 4 0 t 1

Với

2

2

x

z







 



Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là 2; 4; 2 

Ví DỤ 2

Trong không gian Oxyzcho đường thẳng  d : 1 2

x  y  z

và mặt cầu  S có phương trình

x  y z  x y  Tìm giao điểm của đường thẳng  d với mặt cầu  S

Lời giải

Phương trình tham số của đường thẳng  d là

2

1 2

2 3





  



   



, với t là tham số

2t  1 2t   2 3t 8.2t2 1 2 t  3 0

2

0

17

t

t







 



Với t  0 tọa độ giao điểm là 0;1; 2 

Ví DỤ 3

Tìm giao điểm của hai đường thẳng sau:

 

1

3

 



  



  



:

d     

Lời giải

Phương trình tham số của đường thẳng  d là

2 2 2

1 3



 







Xét hệ phương trình

 

 

 



   

     



    



Từ  1 và  2 ta có 2 1 1







Thay vào  3 ta thấy thỏa mãn

Vậy nghiệm của hệ phương trình là 1

1

t t

 



  

Suy ra tọa độ giao điểm là 0; 1; 4 

Ví DỤ 5

Trong không gian Oxyz, cho điểm A 1;1;6 và đường thẳng

2

2

z t

Tìm hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng

Lời giải

Gọi M 2 t;1 2 ;2t t là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng

Ta có AM 3 t; 2 ; 2t t 6 và véc tơ chỉ phương của đường thẳng là u 1; 2; 2

Ví DỤ 6

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A1; 2; 2 và đường thẳng

:

Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A qua d

Lời giải

Từ phương trình đường thẳng d ta có véc tơ chỉ phương của d là u2;1;1

Gọi H là hình chiếu của A trên d , suy ra H6 2 ;1 t t;5 t AH5 2 ; 1 t  t;3t Khi đó

AH  u AH u  2 5 2  t         1 t 3 t 0 t 2

Với t 2 thì H2; 1;3 

Gọi B là điểm đối xứng với A qua d thì H là trung điểm ABB3; 4; 4 

Ví DỤ 7

Trong không gian , cho đường thẳng và mặt phẳng

Gọi là điểm thuộc đường thẳng sao cho khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

Lời giải

Phương trình tham số của đường thẳng

Vì khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng nên

 P :x2y2z 3 0

2 3

x t





   



   



Md M M t ; 1 2 ; 2 3  t   t

 2 2

2



2

1 4 4

 

5

t t

t

     



 

            

Ví

Ví DỤ 8

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1; 1; 2 , B1; 2; 3 và đường thẳng

d     

Tìm điểm M thuộc d sao cho 2 2

28

MA MB 

Lời giải

Ta có : Md nên  t :M1t; 2t; 1 2 t

28

2

1 5 6

t t









  



6

t   , ta có 1 1 7; ; 2

Với t 1, ta có M22;3;3 

VÍ DỤ 9

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A0;1;1, B1; 2;1và đường thẳng

:

d Tìm tọa độ điểmM thuộcdsao cho diện tích tam giácMABcó giá trị nhỏ nhất

Lời giải

ĐiểmMd nênM t ; 1 t; 2 2 t Suy ra  AM t; 2 t;1 2 t ,  AB1;1; 0

Ta có AM AB,   2t1;1 2 ; 2 t t2

            

MAB

Dấu''''xảy ra khi và chỉ khi t0 Khi đó: M0; 1; 2 

Ví

Ví

VÍ DỤ 10

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD với A2;1; 1 , B3; 0;1,

2; 1; 3 

C Tìm tọa độ điểm D thuộc Oy và thể tích của tứ diện ABCD bằng 5

Lời giải

Ta có: D Oy D0; ; 0 y 

 1; 1; 2 ,  0; 2; 4  ,  0; 4; 2 ,   2; y 1;1



8

y

Tọa độ điểm D là : D0; 7; 0 ;  D 0; 8; 0

VÍ DỤ 11

Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB CD, thỏa mãn

2

CD AB và diện tích bằng 27; đỉnh A 1; 1;0 ; phương trình đường thẳng chứa cạnh CD là

x  y  z

Tìm tọa độ các điểm C; D biết hoành độ điểm B lớn hơn hoành độ điểm A

Lời giải

Đường thẳng CD qua M2; 1;3  có vec tơ chỉ phương u2; 2;1

Gọi H2 2 ; 1 2 ;3 t   t t là hình chiếu của A lên CD, ta có:

AH

Đặt AB tu 2 ; 2 ;t t t t 0x B x A t AB 2 AB4; 4; 2 B3;3; 2

u

9

6

3

6

Ví dụ 12

Trong không gian Oxyz, cho điểm A0;1;9 và mặt cầu

    2  2 2

S x  y  z  Gọi  C là giao tuyến của  S với mặt phẳng Oxy Lấy 

hai điểm M N, trên  C sao cho MN 2 5 Biết tứ diện OAMN có thể tích lớn nhất, tìm tọa độ

điểm D là giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng Oyz 

Lời giải

Mặt cầu  S có tâm I3; 4; 4, bán kính R5 Gọi r là bán kính đường tròn C  C

Gọi H là tâm đường tròn  C H3; 4;0 , IH Oxy, d I Oxy ,  4

C

r    , OH 5O nằm ngoài đường tròn  C , d A Oxy ,  9

1

3

2

OMN

Suy ra V max d O MN , max

2

      (Với K là trung điểm MN )

K M

N H

O M'

N'

Dấu bằng xảy ra khi OH MN Khi đó MN có 1 véc tơ chỉ phương là

Phương trình đường thẳng

21 4 5 28

5 0

z

  





  











5

DMN Oyz D 

DẠNG 5B: BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG

Ví dụ 13

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có

1;0; 1 , 2;1;3 , 2;1; 1

A  B C  Tìm tập hợp điểm M nằm trong mặt phẳng ABC sao cho 

d M AB d M AC

Lời giải

Ta có MABC và d M AB , d M AC , M là đường phân giác góc Acủa tam giác

ABC

+)TH1: Phân giác trong góc A

1;1; 4 , 1;1; 0 , 3 2; 2

3 2 3 2 3 2 3 2

  là véc tơ chỉ phương của đường phân giác

trong góc A, ta chọn: u1;1;1

Vậy phương trình đường phân giác trong góc A của tam giác ABC: 1 1

x  y z

+)TH 2: Phân giác ngoài góc A

1;1; 4 , 1;1; 0 , 3 2; 2

AB AC

trong góc A, ta chọn: u1;1; 2 

Vậy phương trình đường phân giác ngoài góc A của tam giác ABC: 1 1

x  y z



Vậy tập hợp điểm Mlà 2 đường thẳng có phương trình:

1

:

x y z

x y z



Ví dụ 14

Tim tập hợp các điểm cách đều 3 điểm A(1;1;1), ( 1; 2; 0) , (2; 3; 2)B  C 

Lời giải

Gọi M x y( ; ; z) là điểm cần tìm M cách đều 3 điểm A,B,C khi và chỉ khi







Vậy tập hợp điểm M trong không gian là đường giao tuyến của hai mặt phẳng Ta được đường thẳng có phương trình là:

8 3

15 7

y t

  





  



Ví dụ 15

Tìm tập hợp các điểm M cách đều hai trục tọa độ Ox,Oy và điểm A(1;1; 0)

Lời giải

Gọi M x y( ; ; z), 2 2 2

(1)





Với x y thay vào (2) ta được : 2 4 2 0 2 2

x

x

  

 



Khi đó tập hợp các điểm M là đường thẳng có phương trình :

2 2

2 2

x y

z t

  

  





hoặc

2 2

2 2

x y

z t

  

  





Với x y thay vào (2) ta được :x2 2 0 (vô nghiệm)

Vậy tập hợp điểm M là các đường thẳng có phương trình:

2 2

2 2

x y

z t

  

  





và 2 2

x y

  



  



