luận văn thạc sĩ một số phương pháp xây dựng độ đo và tích phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ HUỆ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội, Năm 2014 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ HUỆ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán Mã số: 60.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS PHAN VIẾT THƯ Hà Nội, Năm 2014 z Mục lục Mở đầu Lời cảm ơn Bảng kí hiệu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm 1.2 Nới rộng độ đo 10 1.2.1 Phương pháp nới rộng độ đo Lebesgue 11 1.2.2 Độ đo Lebesgue độ đo Lebesgue- Stieltjes 13 1.2.3 Độ đo Hausdorff không gian Metric 14 1.3 Hàm đo 15 1.4 Các khái niệm giải tích hàm 17 1.4.1 Định lý Stone –Weierstrass 17 1.4.2 Các lớp đơn điệu hàm số 19 Tích phân theo quan điểm lý thuyết độ đo 21 2.1 Tích phân Lebesgue trìu tượng 21 2.2 Chuyển giới hạn dấu tích phân Lebesgue 24 2.3 Tích phân Riemann tích phân Lebesgue R 29 2.3.1 31 Một số tính chất tích phân Tích phân: Cách tiếp cận theo giải tích hàm 3.1 34 Tích phân sơ cấp trung bình Daniell 34 3.1.1 35 Tích phân Daniell z 3.1.2 Trung bình Daniell 37 3.1.3 Các định lý hội tụ theo trung bình 41 3.2 Mở rộng tích phân 44 3.3 Tính đo Daniell 47 3.3.1 Tính đo 48 3.3.2 Tính đo khơng gian mêtric 52 3.4 Sự tương đương khả tích Daniell khả tích Lebesgue-Caratheodory 53 3.5 Tính chất Maximality Tài liệu tham khảo 59 63 z luan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan Mở đầu Lý thuyết độ đo tích phân tảng xây dựng cho nhiều môn khoa học chuyên ngành như: Lý thuyết xác suất, giải tích hàm Ở chương trình đào tạo đại học, cao học bước đầu nghiên cứu lý thuyết độ đo, tích phân Trong luận văn sử dụng kết độ đo tích phân bậc Đại học Cao học để nghiên cứu sâu Tích phân theo quan điểm độ đo Ngồi ra, luận văn tập trung nghiên cứu cách tiếp cận tích phân theo quan điểm giải tích hàm Ta biết lớp hàm khả tích Riemann hẹp bao gồm hàm số mà tập điểm gián đoạn bỏ qua đựơc Cịn hàm số đo tổng qt nói chung khơng khả tích Riemann (ví dụ hàm số Dirichlet) Để vượt qua hạn chế ấy, Lebesgue chia miền lấy tích phân thành tập nhỏ, tập bao gồm điểm ứng với giá trị gần f (x), theo quan điểm Lebesgue xây dụng khái niệm tích phân tổng quát hơn, áp dụng cho tất hàm số đo bị chặn Ngoài ra, chuyển giới hạn dấu tích phân tích phân Lebesgue khơng cần đòi hỏi khắt khe điều kiện hội tụ tích phân Riemann, từ đưa nhiều kết quan trọng tính hội tụ đơn điệu, hội tụ bị làm trội Tuy nhiên, muốn mở rộng định nghĩa tích phân vào lĩnh vực phức tạp xét tính tuyến tính, tích phân khơng gian Banach tích phân Lebesgue gặp khó khăn Do đó, luận văn tập trung nghiên cứu phương pháp tiếp cận tích phân giải tích hàm, sử dụng tính tuyến tính cấu trúc luan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan z luan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan liên tục tích phân sơ cấp để xây dựng tích phân Daniell I ∗ (f ) = inf I ∗ (h) : h ∈ E ↑ , f ≤ h  Khi I ∗ có tính chất như: I ∗ hàm không giảm; I ∗ tuyến tính; I ∗ hàm σ - cộng tính Ngồi ra, tương ứng với tích phân I ∗ trung bình Daniell Ω k.k∗ : R → [0, ∞] cho f 7→ I ∗ (|f |) với tính chất tính tuyệt đối, tính cộng tính đếm Các đinh lý hội tụ đơn điệu, hội tụ bị trội theo trung bình dễ dàng chứng minh Điều đặc biệt tích phân Daniell xây dựng tích phân trước định nghĩa khái niệm độ đo Khi đó, độ đo Lebesgue đạt tích phân hàm tiêu Các tính chất σ – cộng tính, tính đo tập Borel hệ tích phân Tính đo Daniell mơ tả cấu trúc địa phương q trình khả tích Daniell sử dụng tích phân Daniell dễ dàng chứng minh định lý biểu diễn Riesz cho phiếm hàm tuyến tính bị chặn khơng gian C(X) hàm liên tục không gian tôpô compact X Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia làm ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức độ đo, mở rộng độ đo kiến thức giải tích hàm làm sở để xây dựng nội dung chương Chương 2: Tích phân theo quan điểm độ đo Chương trình bày cách xây dựng tích phân hàm đo - tích phân Lesbegue, định lý chuyển giới hạn dấu tích phân, tích phân Riemann tích phân Lebesgue R số tính chất tích phân Chương 3: Tích phân: Tiếp cận giải tích hàm Chương phần luận văn, trình bày cách xây dựng tích phân Daniell, trung luan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan z luan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan bình Daniell tính chất, khái niệm đo Daniell, tương đương khả tích Lebesgue khả tích Daniell, tính chất maximality trung bình Daniell luan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan z luan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Phan Viết Thư người tận tình hướng dẫn tác giả Cùng tồn thể thầy giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, thầy cô tổ môn "Lý thuyết xác suất thống kê toán học" trường Đại học Khoa học Tự Nhiên tận tình dạy bảo tác giả suốt trình học tập trường Đồng thời tác giả gửi lời cảm ơn tới đồng nghiệp Khoa Khoa học Cơ bản, ban giám hiệu trường Đại học Sao Đỏ giúp đỡ tạo điều kiện tốt để tác giả hoàn thành khóa học Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên cổ vũ, động viên, giúp đỡ tác giả Cảm ơn bạn lớp góp ý giúp đỡ tác giả luận văn Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học hạn chế ngoại ngữ, thời gian nên làm luận văn không tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận góp ý ý kiến phản biện q thầy cô bạn đọc Hà nội, tháng 08 năm 2014 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Huệ luan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan z luan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan Bảng kí hiệu Mµ : Tập tất tập µ - đo M([a, b]): σ - đại số Lebesgue sinh [a, b] MR : Lớp hàm thực đo M: Lớp tập đo Ω M(k.k): Tập hợp tất trung bình E trùng với k.k E+ L1 (Ω, F, µ): Tập hợp hàm khả tích Lebesgue Ω L1 (k.k): Tập hợp hàm khả tích trung bình k.k Cho E dàn véctơ đóng với phép chặt cụt dàn vành đó: E : Bao đóng E u E : Bao đóng E E ↑ := h ∈ R : ∃ {φn } ⊂ E thỏa mãn h = supn φn  E Σ : Giao tất dàn đóng chứa E dàn đóng bé chứa E F: σ - đại số tập Ω n o Ω F := f ∈ R : kf k < ∞ dàn véctơ đóng với phép chặt cụt ( x ∈ A hàm tiêu tập A 1A (x) := x ∈ /A luan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan z luan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan Chương Kiến thức chuẩn bị Chương hệ thống lại kiến thức độ đo, phương pháp nới rộng độ đo, hàm đo được, định lý Stone –Weierstrass, định lý lớp hàm thực Các kiến thức sử dụng nhiều chương sau Các nội dung phần tác giả tham khảo chủ yếu tài liệu [1], [3], [4], [6], [8] 1.1 Các khái niệm Định nghĩa 1.1 Một tập hợp F Ω đại số (i) ∅ ∈ F (ii) Nếu A ∈ F Ac = Ω\A ∈ F (iii) Nếu A, B ∈ F A ∪ B ∈ F F gọi σ - đại số thỏa mãn (i), (ii) điều kiện ∞ S (iii)’ Nếu Ai ∈ F Ai ∈ F i=1 Nếu F σ - đại số cặp (Ω, F) gọi khơng gian đo Định nghĩa 1.2 Tập hợp S tập Ω gọi nửa vành nếu: (i) ∅ ∈ S luan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phanluan.van.thac.si.mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan z