Thông tin tài liệu
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM NGặ TH THANH GII GN ểNG H PHìèNG TRNH TCH PH
N K DÀ CÕA MËT H PH×ÌNG TRNH CP TCH PH
N FOURIER LUN VN THC S TON HÅC Th¡i Nguy¶n - N«m 2015 download by : skknchat@gmail.com I HÅC THI NGUYN TRìNG I HC Sì PHM NGặ TH THANH GII GN ĨNG H PH×ÌNG TRNH TCH PH
N K DÀ CếA MậT H PHìèNG TRNH CP TCH PHN FOURIER Chuyản ng nh: TON GII TCH M¢ sè: 60.46.01.02 LUN VN THC S TON HC Hữợng dăn khoa hồc TS NGUYN TH NGN ThĂi Nguyản - Nôm 2015 download by : skknchat@gmail.com i Líi cam oan Tỉi xin cam oan r¬ng nëi dung trẳnh by luên vôn ny l trung thỹc v khỉng trịng l°p vỵi c¡c · t i kh¡c Tỉi cơng xin cam oan r¬ng måi sü gióp ï cho viằc thỹc hiằn luên vôn ny  ữủc cÊm ỡn v cĂc thổng tin trẵch dăn luên vôn  ữủc ch ró nguỗn gốc ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2015 Ngữới viát luên vôn Ngổ Th Thanh download by : skknchat@gmail.com ii Líi c£m ìn º ho n th nh ÷đc luên vôn mởt cĂch hon chnh, tổi luổn nhên ữủc sỹ hữợng dăn v giúp ù nhiằt tẳnh cừa TS Nguyạn Th NgƠn Tổi xin chƠn thnh by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án cổ giĂo v xin gỷi lới tri Ơn nhĐt cừa tổi ối vợi nhỳng iÃu cổ giĂo  dnh cho tổi Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn Ban GiĂm hiằu trữớng Ôi hồc Sữ phÔm Ôi hồc ThĂi Nguyản cĂc Phỏng- Ban chực nông cừa trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản, khoa ToĂn - trữớng Ôi hồc Sữ phÔm, cĂc Quỵ ThƯy Cổ giÊng dÔy lợp Cao hồc K21 (2013- 2015) trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản  tên tẳnh truyÃn Ôt nhỳng kián thực quỵ bĂu cụng nhữ tÔo iÃu kiằn cho tổi hon thnh khõa hồc Tổi xin gỷi lới cÊm ỡn tợi trữớng Trung hồc phờ thổng PĂc Khuổng tnh LÔng Sỡn, nỡi tổi cổng tĂc  tÔo iÃu kiằn cho tổi hon thnh khõa hồc Tổi xin cÊm ỡn gia ẳnh, bÔn b, nhỳng ngữới thƠn  luổn ởng viản, hộ trủ v tÔo mồi iÃu kiằn cho tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn Xin trƠn trồng cÊm ỡn! ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2015 Ngữới viát luên vôn Ngổ Th Thanh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier iii Mưc lưc Líi cam oan i Líi c£m ỡn ii Mửc lửc iii M Ưu 1 Kián thực chuân b 1.1 Lợp hm Holder 1.2 Gi¡ trà ch½nh cõa tẵch phƠn ký d 1.2.1 Gi¡ trà ch½nh Cauchy 1.2.2 Gi¡ trà ch½nh cừa tẵch phƠn ký d 1.3 ToĂn tỷ tẵch phƠn ký d khổng gian L2 1.3.1 Khæng gian L2ρ 1.3.2 To¡n tû t½ch ph¥n ký dà 1.4 Phữỡng trẳnh tẵch phƠn ký d loÔi mởt 1.5 C¡c a thùc Chebyushev 1.5.1 a thực Chebyushev loÔi mởt 1.5.2 a thực Chebyushev loÔi hai 1.6 Hằ vổ hÔn cĂc phữỡng trẳnh Ôi số tuyán tẵnh luan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier download by : skknchat@gmail.com 10 12 luan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier iv 1.7 Bi¸n êi Fourier cõa h m cì b£n gi£m nhanh 1.7.1 Khæng gian S cõa c¡c h m cì b£n gi£m nhanh 1.7.2 Bi¸n êi Fourier cõa c¡c h m cì b£n 1.8 Bián ời Fourier cừa hm suy rởng tông chêm 1.8.1 Khæng gian S cừa cĂc hm suy rởng tông chêm 1.8.2 Bián ời Fourier cừa hm suy rởng tông chêm 1.8.3 Bián ời Fourier cừa tẵch chêp 1.9 C¡c khæng gian Sobolev 1.9.1 Khæng gian H s(R) 1.9.2 C¡c khæng gian Hos(Ω), Ho,os (Ω), H s(Ω) 1.9.3 nh lỵ nhúng 1.10 C¡c khỉng gian Sobolev vectì 1.10.1 Kh¡i ni»m 1.11 Phi¸m hm tuyán tẵnh liản tửc 1.12 To¡n tû gi£ vi ph¥n vectì 14 14 14 15 15 16 17 17 17 18 19 19 19 21 22 Gi£i g¦n úng hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ d cừa mởt hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier 24 2.1 Tẵnh giÊi ữủc cừa hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier 2.1.1 Ph¡t biºu b i to¡n 2.1.2 ữa và hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier 2.1.3 Tẵnh giÊi ữủc cừa hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn (2.10) 2.1.4 ữa phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn ký d nhƠn Cauchy 2.1.5 ữa hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ d nhƠn Cauchy và hằ vổ hÔn cĂc phữỡng trẳnh Ôi số tuyán t½nh luan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier download by : skknchat@gmail.com 24 24 25 26 29 33 luan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier v 2.2 Gi£i g¦n óng hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ d cừa mởt hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier 38 2.2.1 ữa hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn ký d và dÔng khổng thự nguyản 38 2.2.2 Tẵnh gƯn úng nghiằm cừa mởt hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn ký dà 40 T i li»u tham kh£o luan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier download by : skknchat@gmail.com 60 luan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier M Ưu Lỵ thuyát cĂc phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ d nhƠn Cauchy  ữủc hon thiằn nỷa Ưu thá k 20 Trong ba thêp niản gƯn Ơy, nhiÃu nh toĂn hồc quan tƠm án vĐn à giÊi gƯn úng cĂc phữỡng trẳnh tẵch phƠn dÔng Z a b (t) dt + xt Z b ϕ(t)K(x, t)dt = f (x), a (1) â f (x) v K(x, t) l nhỳng hm  biát, (t) l hm cƯn tẳm Hm (nhƠn hay hÔch) K(x, t) thữớng l hm liản tửc trản hẳnh chỳ nhêt S = {(x, t) : (x, t) ∈ [a, b] × [a, b]} Phữỡng trẳnh tẵch phƠn dÔng (1) gp hƯu hát cĂc bi toĂn biản hộn hủp cừa Vêt lẵ toĂn ối vợi miÃn khổng trỡn nhữ cĂc bi toĂn và khe h, vát nựt, vát rÔn, cĂc bi toĂn và tiáp xúc cừa lẵ thuyát n hỗi CĂc phữỡng phĂp giÊi gƯn úng phữỡng trẳnh tẵch phƠn dÔng (1) bao gỗm cĂc phữỡng phĂp cƯu phữỡng trỹc tiáp, phữỡng phĂp nởi suy bơng phữỡng phĂp Lagrange, phữỡng phĂp sưp xáp thự tỹ, phữỡng phĂp a thực trỹc giao Viằc giÊi mởt số hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ d ữủc thỹc hiằn tữỡng tỹ giÊi phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ d, hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ d ữủc bián ời tứ hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn GƯn Ơy, Nguyạn Vôn Ngồc v Nguyạn Th NgƠn  quan tƠm nghiản cựu và tẵnh giÊi ữủc cừa mởt số hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier xuĐt hiằn giÊi bi toĂn biản hộn hủp cừa phữỡng trẳnh iÃu hỏa v phữỡng trẳnh song iÃu hỏa Vợi mong muốn ữủc tẳm hiu hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ d v giÊi gƯn úng hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ d, chúng tổi chồn à ti "GiÊi gƯn úng hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ d cừa mởt hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn tẵch phƠn Fourier" Luên vôn ngoi phƯn M Ưu, Kát luan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier luên, Ti liằu tham khÊo gỗm hai chữỡng nởi dung Chữỡng mởt trẳnh by tờng quan mởt số kián thực cỡ bÊn và lợp hm Holder, tẵch phƠn kẳ d, giĂ tr chẵnh cừa tẵch phƠn kẳ d, toĂn tỷ tẵch phƠn kẳ d khổng gian L2, phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ d, hằ vổ hÔn cĂc phữỡng trẳnh Ôi số tuyán tẵnh, cĂc a thực Chebyushev, bi¸n êi Fourier cõa c¡c h m cì b£n gi£m nhanh, bián ời Fourier cừa cĂc hm suy rởng tông chêm, c¡c khỉng gian Sobolev, c¡c khỉng gian Sobolev vectì, phi¸m hm tuyán tẵnh liản tửc, toĂn tỷ giÊ vi phƠn vectỡ Chữỡng hai trẳnh by cĂc kát quÊ chẵnh cừa luên vôn Mửc 2.1 trẳnh by và tẵnh giÊi ữủc cừa hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn xuĐt hiằn giÊi bi toĂn biản hộn hủp cừa phữỡng trẳnh iÃu hỏa, cĂc nh lẵ 2.1.1, nh lẵ 2.1.3 trẳnh by và tẵnh tỗn tÔi v nhĐt nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier, ữa hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier và hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ d nhƠn Cauchy, sau õ ữa hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ d nhƠn Cauchy và hằ vổ hÔn cĂc phữỡng trẳnh Ôi số tuyán tẵnh Mửc 2.2 chúng tổi thỹc hiằn giÊi gƯn úng hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn kẳ d cừa hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier vợi cĂc bữợc: ữa hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ d và dÔng khổng thự nguyản; tẵnh gƯn úng ma hÔch cừa hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ d; thỹc hiằn giÊi gƯn úng hằ vổ hÔn cĂc phữỡng trẳnh Ôi số tuyán tẵnh  ữủc "cht cửt" án N=6 , sau õ tẳm nghiằm gƯn úng cừa hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ d Luên vôn ữủc hon thnh tÔi trữớng Ôi hồc Sữ phÔm ThĂi Nguyản dữợi sỹ hữợng dăn khoa hồc cừa TS Nguyạn Th NgƠn TĂc giÊ xin ữủc by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh v sƠu sưc nhĐt tợi cổ giĂo hữợng dăn, trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản  tÔo mồi iÃu kiằn thuên lủi tĂc giÊ hon thnh ữủc khoĂ hồc cừa mẳnh luan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier Chữỡng Kián thực chuân b 1.1 Lợp hm Holder nh nghắa 1.1.1 [3] Gi£ sû L l ÷íng cong trìn v ϕ(ξ) l h m c¡c iºm phùc ξ ∈ L Nâi r¬ng h m () thọa mÂn iÃu kiằn Holder ( iÃu kiằn H) trản ữớng cong L náu vợi hai im bĐt ký 1, ξ2 ∈ L ta câ b§t ¯ng thùc λ |ϕ(ξ2 ) − ϕ(ξ1 )| < A |ξ2 − ξ1 | , (1.1) â A, λ l c¡c h¬ng sè dữỡng Náu > thẳ tứ iÃu kiằn (1.1) suy ϕ0(ξ) ≡ tr¶n L v â () const, L Vẳ vêy ta luổn luổn cho rơng < Náu = th¼ i·u ki»n Holder trð th nh i·u ki»n Lipschitz Ró rơng cng nhọ thẳ lợp hm H cng rởng Lợp hm Holder hàp nhĐt l lợp hm Lipschitz Dạ thĐy rơng, náu cĂc hm 1(), 2() thọa mÂn iÃu kiằn Holder tữỡng ựng vợi cĂc ch số 1, 2, thẳ tờng, tẵch v cÊ thữỡng (vợi iÃu kiằn mău thực khĂc khổng) cụng thọa mÂn iÃu kiằn Holder vỵi ch¿ sè λ = min(λ1 , λ2 ) Náu hm () cõ Ôo hm hỳu hÔn trản L thẳ nõ thọa mÂn iÃu kiằn Lipschitz iÃu ny ữủc suy tứ nh lỵ và số gia hỳu hÔn Ngữủc lÔi nõi chung khổng úng Thẵ dử, hm () = ||, R, thuởc lợp hm Holder trản R, khổng cõ Ôo hm tÔi = luan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier 31 Th¸ (2.23) v o (2.10) ta thu ữủc hằ phữỡng trẳnh b i sign (ξ) v (ξ) F −1 i.sign(ξ) coth(|ξ|h).vb1 (ξ) − sinh(|ξ|h) i.sign(ξ)vb1 (ξ) F −1 − sinh(|ξ|h) (x) x ∈ (a, b), = f1 (x), + i.sign(ξ) coth(|ξ|h).vb2 (ξ) (x) x ∈ (a, b) = f2 (x) (2.24) Sû dưng cỉng thùc [2] F −1 [sign(ξ).F [v]] (x) = πi Zb v(t)dt , v ∈ L2ρ±1 (a, b), x−t a v coth(|ξ|h) = e−|ξ|h cosh(|ξ|h) e|ξ|h + e−|ξ|h = |ξ|h = + , sinh(|ξ|h) e − e−|ξ|h sinh(||h) ta bián ời và trĂi cừa phữỡng trẳnh thự nhĐt cừa hằ phữỡng trẳnh (2.24) isign()vb2 () −1 F isign(ξ) coth(|ξ|h)vb1 (ξ) − (x) sinh(|ξ|h) " = F −1 e(−|ξ|h) isign(ξ)(1 + )vb1 (ξ) − isign(ξ) sinh(|ξ|h) = −iF −1 [sign(ξ)vb1 (ξ)] (x) − iF −1 " + iF −1 sign(ξ) Z b a Z b a # eiξt − v2 (t) dt (x) sinh(|ξ|h) " # e−|ξ|h sign(ξ) sinh(|ξ|h) vb1(ξ) (x) # eiξt − v2 (t) dt (x) sinh(|ξ|h) Ta câ F −1 [sign(ξ)vb1 (ξ)] (x) = πi Zb v1 (t)dt , x−t a " F −1 = # e−|ξ|h sign(ξ) sinh(|ξ|h) vb1 (ξ) (x), −i π Zb Z∞ v1 (t) a −ξh e sin ξ(x − t)dξ dt sinh(ξh) luan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier 32 °t −i l11 (x − t) = π Z∞ suy e−ξh sin ξ(x − t)dξ, sinh(ξh) " F −1 # e−|ξ|h sign(ξ) sinh(|ξ|h) vb1 (ξ) (x) = Zb v1 (t)l11 (x − t)dt a T÷ìng tü, ta câ F −1 sign(ξ) Zb iξt e −1 v2 (t) dt (x) = sinh(|ξ|h) Zb a a vỵi v2 (t)l11 (x − t)dt, Z∞ −i l12 (x − t) = π sin ξ(x − t) dξ sinh(ξh) Thüc hi»n ph²p bián ời nhữ trản ối vợi vá trĂi cừa phữỡng trẳnh thự hai cừa hằ phữỡng trẳnh (2.24) Nhữ vêy, ta bián ời phữỡng trẳnh (2.24) và hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn ký d nhƠn Cauchy trản (a, b): Zb πi a Zb πi a v1 (t)dt + x−t v2 (t)dt + x−t Zb v1 (t)l11 (x − t)dt + Zb a a Zb Zb v1 (t)l21 (x − t)dt + a vm (t) ∈ v2 (t)l12 (x − t)dt = −if1 (x), v2 (t)l22 (x − t)dt = −if2 (x), a L2ρ (a, b), m = 1, 2; a < x < b, â −i l11 (x) = l22 (x) = π Z∞ e−ξh sin(ξx)dξ, sinh(ξh) l12 (x) = l21 (x) = i π Z sin(x) d sinh(h) Ngữủc lÔi, giÊ sỷ vm, m = 1, l nghiằm cừa phữỡng trẳnh tẵch phƠn ký d nhƠn Cauchy (2.20) vợi cĂc iÃu kiằn (2.21) Thỹc hiằn php bián ời ngữủc lÔi ta dng ữa hằ phữỡng trẳnh (2.20) và hằ phữỡng trẳnh (2.24) luan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier 33 Thay vbm(ξ) = (i)ubm()(m = 1, 2), vo hằ phữỡng trẳnh (2.24) ta thu ữủc hai phữỡng trẳnh Ưu cừa hằ phữỡng tr¼nh (2.10) Sû dưng i·u ki»n (2.21), (2.22) v ành lẵ và tẵch chêp ối vợi bián ời Fourier ta nhên ữủc hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn (2.10) nh lỵ ữủc chựng minh 2.1.5 ữa hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ d nhƠn Cauchy và hằ vổ hÔn cĂc phữỡng trẳnh Ôi số tuyán tẵnh m (t) Trong hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ d (2.20) thay vm(t) = φρ(t) â φm ∈ L2ρ (a, b), m = 1, ta ữủc hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ dà sau: −1 Zb πi a X φm (t)dt + ρ(t)(x − t) k=1 Zb φk ((t)) lmk (x − t)dt = −ifm (x), ρ(t) a (2.25) φm (t) ∈ L2ρ−1 (a, b), m = 1, 2; a < x < b Ta khai triºn c¡c h m φm(t) th nh chuéi φm (t) = ∞ X (m) Aj Tj [η(t)] , (m = 1, 2), (2.26) j=1 â A(m) l cĂc hơng số chữa biát, hỡn nỳa, A(m) l2 (m = 1, 2) j j j=1 Ta d¹ r ng ch¿ r¬ng h m vm(t) = ρ−1(t)φ(t), m = 1, thäa m¢n c¡c i·u ki»n (2.21) °t n φm,N (t) = N X o∞ (m) Aj Tj [η(t)] , j=1 m,N (t) = ∞ X (m) Aj Tj [η(t)] , (m = 1, 2) j=N +1 luan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier 34 Ta câ φm(t) = φm,N (t) + m,N (t), â ||m,N (t)||2L Theo ành l½ 2.1.6 ta câ → 0, (N → ∞) ρ−1 Zb Zb φ (t) φ m m,N dt − dt πi ρ(t)(x − t) πi ρ(t)(x − t) a a Lρ Zb φm (t) − φm,N (t) dt = πi ρ(t)(x − t) a Lρ m,N (t) φm (t) − φm,N (t) =C ≤C ρ(t) ρ(t) Lρ Lρ Suy Z Z b b φ (t) φ m m,N limN →∞ dt − dt πi a ρ(t)(x − t) πi a ρ(t)(x − t) = (2.27) L2ρ Thá (2.26) vo vá trĂi cừa hằ phữỡng trẳnh (2.25), sỷ dửng kát quÊ (2.27), hoĂn v thự tỹ lĐy tẵch phƠn v tờng ta thu ữủc X (m) A πi j=1 j Zb a ∞ Tj [η(t)] dt X X (k) + A ρ(t)(x − t) j=1 k=1 j Zb Tj [η(t)] lmk (x − t)dt ρ(t) a (2.28) = −ifm (x), Sû dưng cỉng thùc (1.16), tø (2.28) ta câ ∞ ∞ X X (k) −2 X (m) A Uj−1 [η(x)] + Aj i(b − a) j=1 j j=1 k=1 b Z a Tj [η(t)] lmk (x − t)dt ρ(t) = −ifm (x), hay ∞ ∞ X X (k) −2 X (m) Aj+1 Uj [η(x)] + Aj i(b − a) j=1 j=1 k=1 Z b a Tj [η(t)] lmk (x − t)dt ρ(t) (2.29) NhƠn hai vá cừa (2.29) vợi (x)Un[(x)], sau õ lĐy tẵch phƠn trản [a, b], hoĂn v thự tỹ lĐy tẵch phƠn v tờng, sỷ dửng tẵnh chĐt trỹc giao cõa a thùc Chebyushev Uj cæng thùc (1.15), tứ hằ phữỡng trẳnh (2.29), ta = ifm (x) luan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.giai.gan.dung.he.phuong.trinh.tich.phan.ki.di.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier 35 thu ÷đc h» vỉ hÔn cĂc phữỡng trẳnh Ôi số tuyán tẵnh −(b − a)π (m) X X (k) (mk) Aj Cnj = Fn(m) , (m = 1, 2), (n = 0, 1, ) An+1 + 4i j=1 k=1 (2.30) â (mk) Cnj Zb Zb ρ(x)Un [η(x)] dx = Tj [η(t)] lmk (x − t)dt dx, ρ(t) (2.31) a a Fn(m) = −i Zb ρ(x)Un [η(x)] fm (x)dx, (m = 1, 2), (n = 0, 1, ) (2.32) a Viằc hoĂn v lĐy tẵch phƠn v tờng thỹc hiằn ữủc vẳ: t S(x) = X (m) Aj+1 Uj [η(x)] , j=1 SN (x) = N X (m) Aj+1 Uj [η(x)] , j=1 ∞ X σN (x) = (m) Aj+1 Uj [η(x)] , m = 1, j=N +1 ∞ Do {A(m) j }j=1 ∈ l2 (m = 1, 2), n¶n σN (x) → 0, N → ∞ Lρ Theo b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz ta câ kS(x) − SN (x)kL2ρ ≤ Zb b Z = ρ(x)Um [η(x)]σN (x)dx
Ngày đăng: 09/01/2024, 00:59
Xem thêm:
