Thông tin tài liệu
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ THỊ TUYẾT NHUNG TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA MỘT HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP TÍCH PHÂN FOURIER LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Nguyên - 2016 download by : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ THỊ TUYẾT NHUNG TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA MỘT HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP TÍCH PHÂN FOURIER Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊ NGÂN Thái Nguyên - 2016 download by : skknchat@gmail.com Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2016 Người viết luận văn Lê Thị Tuyết Nhung i download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn cách hoàn chỉnh, nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình TS Nguyễn Thị Ngân Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo xin gửi lời tri ân điều cô giáo dành cho Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạmĐại học Thái Nguyên Phòng- Ban chức Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên, Quý Thầy Cô giảng dạy lớp Cao học K22 (2014- 2016) Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, người thân ln động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho suốt trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn ! Thái Nguyên, tháng năm 2016 Người viết luận văn Lê Thị Tuyết Nhung ii luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phương trình tích phân 1.2 Phương trình tích phân kỳ dị loại 1.3 Các đa thức Chebyushev 1.3.1 Đa thức Chebyushev loại 1.3.2 Đa thức Chebyushev loại hai 1.4 Hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính 1.5 Biến đổi Fourier hàm giảm nhanh 1.5.1 Không gian S hàm giảm nhanh 1.5.2 Biến đổi Fourier hàm 1.5.3 Các tính chất biến đổi Fourier không gian S 1.6 Biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm 1.6.1 Không gian S hàm suy rộng tăng chậm 1.6.2 Biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm 1.6.3 Các tính chất biến đổi Fourier không gian S 1.6.4 Biến đổi Fourier tích chập iii luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier download by : skknchat@gmail.com 3 5 11 11 11 11 12 12 13 13 14 luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier 1.7 Các không gian 1.7.1 Không gian H s (R) s (Ω), H s (Ω) 1.7.2 Các không gian Hos (Ω), Ho,o 1.7.3 Định lý nhúng 1.8 Các không gian Sobolev vectơ 1.9 Phiếm hàm tuyến tính liên tục 1.10 Toán tử giả vi phân vectơ Tính giải hệ phương trình cặp tích phân Fourier 2.1 Phát biểu toán 2.2 Đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier 2.3 Tính giải hệ phương trình cặp tích phân (2.10) 2.4 Đưa hệ phương trình cặp tích phân hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy 2.5 Đưa hệ phương trình tích phân kì dị nhân Cauchy hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính 14 14 15 16 16 18 19 22 22 22 24 27 33 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 42 iv luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier Mở đầu Phương trình cặp hệ phương trình cặp xuất giải tốn hỗn hợp vật lý toán Nhiều toán tiếp xúc lý thuyết đàn hồi, toán vết nứt, dị tật mơi trường, đưa đến việc giải phương trình cặp khác Trong tốn biên hỗn hợp phương trình điều hịa với điều kiện biên hỗn hợp cho sau: Trên cạnh y = điều kiện biên Dirichlet cho khoảng hữu hạn (a, b), cịn ngồi khoảng cho điều kiện Neumann Trên cạnh y = h điều kiện biên Neumann cho khoảng hữu hạn (a, b), cịn ngồi khoảng cho điều kiện biên Dirichlet Bài toán giải cách đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier mà phần tử đường chéo ma trận biểu trưng cấp hai, tăngmột giảm cấp Với mong muốn tìm hiểu tính giải hệ phương trình cặp tích phân xuất giải tốn biên hỗn hợp phương trình điều hịa miền hình dải, tơi chọn đề tài “Tính giải hệ phương trình cặp tích phân Fourier” Luận văn ngồi phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo gồm có hai chương nội dung Chương trình bày tổng quan số kiến thức phương trình tích phân, phương trình tích phân kì dị, hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính, đa thức Chebyushev, biến đổi Fourier hàm giảm nhanh, biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm, không gian Sobolev, không gian Sobolev vectơ, phiếm hàm tuyến tính liên tục, tốn tử giả vi phân vectơ Chương trình bày tính giải hệ phương trình cặp tích phân Fourier xuất giải tốn biên hỗn hợp phương trình luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier điều hòa Các Định lí 2.1, Định lí 2.2 chứng minh tồn nghiệm hệ phương trình cặp tích phân Fourier khơng gian Sobolev vectơ thích hợp, đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier hệ phương trình tích phân kỳ dị với nhân Cauchy, đưa tiếp hệ phương trình tích phân hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính Đánh giá hệ số hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính chứng minh hệ phương trình có nghiệm thuộc khơng gian `2 , hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính hệ tựa hồn tồn quy Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thị Ngân Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn, Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi để em hồn thành khóa học luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phương trình tích phân Định nghĩa 1.1 Phương trình tích phân phương trình mà ẩn hàm chưa biết nằm dấu tích phân Ví dụ 1.1 Với a ≤ s, t ≤ b ta có phương trình tích phân: Zb f (t) = λ K(t, s)g(s)ds, (1.1) K(t, s)g(s)ds, (1.2) (K(t, s))2 ds, (1.3) a Zb g(t) = λ a Zb g(t) = λ a Zb g(t) = f (t) + λ K(t, s)g(s)ds (1.4) a Thấy rằng: + Hàm ẩn g(t) phải tìm nằm dấu tích phân nằm ngồi dấu tích phân +Một phương trình tích phân gọi tuyến tính hàm phải tìm bậc (ví dụ phương trình (1.1) (1.2) tuyến tính cịn (1.3) khơng phải) +Bằng biến đổi thích hợp, phương trình tích phân đưa luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier dạng (A − λI)g = f , A tốn tử tích phân, A tốn tử tuyến tính phương trình tích phân tuyến tính Định nghĩa 1.2 Phương trình có dạng: Zb g(t) = f (t) + λ K(t, s)g(s)ds, a gọi phương trình Fredhom loại 2, g(t) hàm chưa biết, f (t) K(t, s) hàm cho trước, λ hàm số Phương trình có dạng: Zb f (t) = λ K(t, s)g(t)ds, a gọi phương trình Fredhom loại 1, g(t) hàm chưa biết, f (t) K(t, s) hàm cho trước, λ hàm số 1.2 Phương trình tích phân kỳ dị loại Xét phương trình tích phân kỳ dị sau π Zb ϕ(τ ) dτ = f (ξ), a < ξ < b τ −ξ (1.5) a Phương trình (1.5) trường hợp riêng quan trọng phương trình tích phân kỳ dị thường gặp nhiều tốn học Vật lý tốn Trong phương trình ta giả thiết hàm f (ξ) thỏa mãn điều kiện Holder Tùy thuộc vào dáng điệu ẩn hàm đầu mút đoạn [a, b], ta có cơng thức nghiệm sau phương trình: a Nghiệm không bị chặn hai đầu mút: Zb p (τ − a)(b − τ )f (τ ) 1 dτ + a0 , ϕ(ξ) = − p τ −ξ (ξ − a)(b − ξ) π a a < ξ < b, a0 số tùy ý luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier download by : skknchat@gmail.com (1.6) luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier 2.3 Tính giải hệ phương trình cặp tích phân (2.10) Hệ phương trình cặp tích phân (2.10) viết lại dạng sau đây: ( b (ξ)] (x) = f (x), x ∈ (a, b), pF −1 [A(ξ)u (2.11) b (ξ)] (x) = 0, p0 F −1 [u x ∈ R\(a, b), b (ξ) = F [u](ξ) = (u b1 (ξ), u b2 (ξ))T , ma f (x) = (f1 (x), f2 (x))T , u trận tanh(|ξ|h) − |ξ| cosh(|ξ|h) , A(ξ) = |ξ| tanh(|ξ|h) cosh(|ξ|h) với p p0 toán tử hạn chế tương ứng (a, b) R\(a, b) Đặt α ~ = (−1, 1)T Ta có kết sau: → − Định lý 2.1 (Sự nghiệm) [10], [11] Giả sử f ∈ H− α /2 (a, b) → − α /2 Khi nghiệm u ∈ H0 (a, b)của hệ phương trình (2.11) tồn tại, Chứng minh Để chứng minh định lý, ta chứng minh hệ phương trình hệ phương trình (2.11) có nghiệm tầm thường ( b (ξ)] (x) = 0, x ∈ (a, b), pF −1 [A(ξ)u b (ξ)] (x) = 0, p0 F −1 [u x ∈ R\(a, b) → − α /2 Từ u(x) ∈ H0 (a, b), hệ viết lại (Au)(x) = x ∈ (a, b), (2.12) b (ξ)] (x), x ∈ (a, b) (Au)(x) = pF −1 [A(ξ)u (2.13) → − → − α /2 Vì Au ∈ H− α /2 (a, b) ' (H0 (a, b))1/2 , từ (2.13) ta có Z+∞ b ] (ξ)dξ bT (ξ)F `pF −1 [Au u [Au, u] = −∞ b ], ta Vì tích phân không phụ thuộc vào cách chọn `pF −1 [Au viết thác triển dạng sau b ] = F −1 [Au b] `pF −1 [Au 24 luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier Từ ta có Z+∞ b T (ξ)A(ξ)u b (ξ)dξ [Au, u] = u (2.14) −∞ Khi từ (2.12) (2.14) ta có Z+∞ b T (ξ)A(ξ)u b (ξ)dξ = [Au, u] = u −∞ Vì o n T b (ξ)A(ξ)u b (ξ) ≥ 0, Re u suy b (ξ) = 0, u(x) = u Do hệ phương trình có nghiệm tầm thường Vậy hệ phương trình cặp (2.11) có nghiệm Định lý chứng minh Bổ đề 2.1 [10], [11] Hệ phương trình cặp (2.11) tương đương với hệ phương trình cặp sau h i −1 −1 c b pF [A(ξ)v(ξ)] (x) = f (x) − pF A(ξ)` g(ξ) (x), x ∈ (a, b), (2.15) → − α /2 b = F −1 [v] ∈ H0 (a, b) thỏa mãn v → − v + `0 g = u ∈ H α /2 (R), với `0 g thác triển tùy ý g từ R\(a, b) → R Kí hiệu h i g(ξ) (x) h(x) = f(x) − pF A(ξ)`c (2.16) Sử dụng (2.13) (2.16) ta viết lại công thức (2.15) (Av)(x) = h(x), x ∈ (a, b) (2.17) Ta thiết lập tồn nghiệm hệ phương trình cặp (2.11) → − α /2 H0 (a, b) Ta đặt 25 luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier tanh(|ξ|h) , A+ (ξ) = |ξ| |ξ| coth(|ξ|h) − cosh(|ξ|h) B(ξ) = |ξ| − − cosh(|ξ|h) cosh(|ξ|h) sinh(|ξ|h) Khi ta biểu diễn ma trận A(ξ) dạng A(ξ) = A+ (ξ) + B(ξ) Rõ − → − P→ P−→ α β − ràng A+ (ξ) ∈ , B(ξ) ∈ , β = (β1 , β2 ), βj Tích vơ + → − hướng chuẩn H α /2 (R) xác định công thức − (v, w)A+ ,→ α /2 Z+∞ F [wT ]A+ (t)F [v] (t)dt, = − kvkA+ ,→ α /2 = −∞ Z+∞ F [vT (t)]A 1/2 + (t)F [v] (t)dt −∞ Ta viết A+ v thay cho Av → − Định lý 2.2 (Sự tồn nghiệm).[10], [11] Nếu f ∈ H− α /2 (a, b) hệ → − α /2 phương trình (2.11) có nghiệm u ∈ H0 (a, b) Chứng minh Ta biểu diễn toán tử A xác định phương trình (2.17) dạng b ] , Bu = pF −1 [Bu] , u b = F [u] A+ u = pF −1 [A+ u (2.18) Chú ý rằng, hệ phương trình − −→ α /2 (A+ u)(x) = k(x), u(x) ∈ H0 (a, b), phân rã thành hai phương trình cặp phân biệt → − − α /2 −→ α /2 (a, b) theo bổ đề (2.1) Vì A−1 bị chặn từ H (a, b) → H + → − α /2 ta có Bu xác định (2.18) hoàn toàn bị chặn H0 (a, b) → → − H− α /2 (a, b) Trong trường hợp ta biểu diễn hệ phương trình cặp (2.17) dạng A+ u + Bu = f 26 luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier Hơn ta có kết sau: −1 u + A−1 + Bu = A+ f (2.19) Vì tốn tử A−1 + B hồn tồn bị chặn nên hệ phương trình (2.19) hệ phương trình Fredhom từ tính nghiệm hệ phương trình Fredhom ta suy hệ phương trình cặp có nghiệm Do → − (2.11) có nghiệm u ∈ H α /2 (a, b) Định lý chứng minh 2.4 Đưa hệ phương trình cặp tích phân hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy p Định nghĩa 2.1 Giả sử ρ(x) = (x − a)(b − x), (a < x < b) Ta gọi L2ρ±1 (a, b) không gian Hilbert hàm tích vơ hướng chuẩn xác định công thức Zb (u, v)L2ρ±1 = kukL2ρ±1 ρ±1 (x)u(x)v(x)dx, qa = (u, u)L2ρ±1 < +∞ Bổ đề 2.2 [9] Giả sử ϕ ∈ L2ρ (a, b) Kí hiệu ϕ0 thác triển - không ϕ R Khi −1 ϕ0 ∈ H0 (a, b) Trong khơng gian L2ρ±1 (a, b) ta xét tốn tử tích phân kỳ dị S(a,b) [ϕ](x) = πi Zb ϕ(t) dt, x ∈ Ω = (a, b), x−t a với tích phân hiểu theo nghĩa giá trị Cauchy Định lý 2.3 [3] Tốn tử tích phân S(a,b) [ϕ] bị chặn không gian L2ρ±1 (a, b) : S(a,b) [ϕ] (a, b) ≤ C kϕk (a, b) Lρ±1 L ρ±1 Định lý 2.4 [10], [11] Hệ phương trình cặp tích phân (2.10) b1 (ξ), u b2 (ξ)) tương đương với hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy (u 27 luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier sau (a, b): Zb Zb Zb v (t) dt + v1 (t)k11 (x − t)dt + v2 (t)k12 (x − t)dt = if1 (x), πi x − t a a a Zb Zb Zb v2 (t) dt + v1 (t)k21 (x − t)dt + v2 (t)k22 (x − t)dt = −if2 (x), πi x − t a a a v (x) ∈ L2 (a, b) ∩ H 1/2 (a, b), v (x) ∈ L2 (a, b) ⊂ H −1/2 (a, b), a < x < b, o o ρ ρ−1 (2.20) với điều kiện v2 ∈ O1 (a, b), nghĩa Zb v2 (x)dx = 0, (2.21) a dv1 (x) u1 (x) = , u2 (x) = dx Zb v2 (t)sign(x − t)dt, x ∈ R, (2.22) a 2i k11 (x) = k22 (x) = π Z∞ e−2ξh sin ξxdξ, + e−2ξh k12 (x) = −i π Z∞ sin(ξx) dξ, ξ cosh(ξh) k21 (x) = i π Z∞ ξ sin(ξx) dξ cosh(ξh) b1 ] (x) u2 (x) = F −1 [u b2 ] (x) Chứng minh Nghiệm u1 (x) = F −1 [u hệ phương trình cặp tích phân (2.10) biểu diễn dạng (2.22), hàm v2 thỏa mãn điều kiện (2.21) v1 ∈ L2ρ−1 (a, b) ∩ 1/2 −1/2 Ho (a, b), v2 (x) ∈ L2ρ (a, b) ⊂ Ho (a, b) Tác động biến đổi Fourier theo biến x vào hai vế (2.22), ta có b1 (ξ) = (−iξ)vb1 (ξ), u b2 (ξ) = u vb2 (ξ) (−iξ) 28 luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier download by : skknchat@gmail.com (2.23) luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier Thế (2.23) vào (2.10) ta thu hệ phương trình b v (ξ) (x) = if1 (x), x ∈ (a, b), F −1 sign(ξ) tanh(|ξ| h)vb1 (ξ) + ξ cosh(|ξ| h) ξ vb1 (ξ) − sign(ξ) tanh(|ξ| h)vb2 (ξ) (x) = if2 (x), x ∈ (a, b) F −1 cosh(|ξ| h) (2.24) Sử dụng công thức [2]: F −1 [sign(ξ)F [v]] (x) = πi Zb v(t)dt , v ∈ L2ρ±1 (a, b), x−t a tanh(|ξ|h) = sinh(|ξ|h) 2e−2|ξ|h =1− cosh(|ξ|h) + e−2|ξ|h Ta biến đổi vế trái phương trình thứ hệ phương trình (2.24): b v (ξ) F −1 sign(ξ) tanh(|ξ| h)vb1 (ξ) + (x) ξ cosh(|ξ| h) " # −2|ξ|h b 2e v (ξ) = F −1 sign(ξ)vb1 (ξ) − sign(ξ) (x), vb1 (ξ) + −2|ξ|h ξ cosh(|ξ|h) 1+e ta có Zb v1 (t)dt F −1 [sign(ξ)vb1 (ξ)] (x) = , πi x−t a " # Z+∞ −2|ξ|h 2e 2e−2|ξ|h −1 b F sign(ξ) v1 (ξ) (x) = vb1 (ξ)e−iξx sign(ξ)dξ −2|ξ|h −2|ξ|h 2π 1+e 1+e −∞ = −2i π Z∞ Zb v1 (t)dt a e−2ξh sin ξ(x − t)dξ + e−2ξh Đặt 2i k11 (x − t) = π Z∞ e−2ξh sin ξ(x − t)dξ, + e−2ξh suy " F −1 −2|ξ|h # 2e sign(ξ) vb1 (ξ) (x) = − + e−2|ξ|h Zb v1 (t)k11 (x − t)dt a 29 luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier Tương tự ta có F −1 Zb Z+∞ iξt −iξx e e vb2 (ξ) (x) = v2 (t)dt dξ ξ cosh(|ξ|h) 2π ξ cosh(|ξ|h) −∞ Z+∞ a = 2π Zb v2 (t)dt e−iξ(x−t) dξ ξ cosh(|ξ|h) −∞ Z+∞ a Zb cos ξ(x − t) − i sin ξ(x − t) dξ ξ cosh(|ξ|h) a −∞ Zb Z∞ −i sin ξ(x − t) = v2 (t) dξ dt π ξ cosh(|ξ|h) = 2π v2 (t)dt a Đặt −i k12 (x − t) = π Z∞ sin ξ(x − t) dξ, ξ cosh(ξh) suy b Z −1 F v2 (t) iξt−1 e dt = ξ cosh(|ξ|h) a Zb v2 (t)k12 (x − t)dt a Khi phương trình thứ hệ (2.24) trở thành πi Zb a v1 (t)dt + x−t Zb v1 (t)k11 (x − t)dt + Zb v2 (t)k12 (x − t)dt = if1 (x) a a Biến đổi tương tự vế trái phương trình thứ hai hệ phương trình (2.24), ta có: b ξ v (ξ) F −1 − sign(ξ) tanh(|ξ| h)vb2 (ξ) (x) cosh(|ξ| h) " # −2|ξ|h 2e ξ vb1 (ξ) = F −1 − sign(ξ)vb2 (ξ) + sign(ξ) vb2 (ξ) (x), cosh(|ξ| h) + e−2|ξ|h ta có Zb v2 (t)dt F −1 [sign(ξ)vb2 (ξ)] (x) = , πi x−t a 30 luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier F −1 Z∞ ξ ξ vb1 (ξ) (x) = vb1 (ξ)e−iξx dξ cosh(|ξ| h) 2π cosh(|ξ| h) −∞ = 2π Zb v1 (t)eiξt dt 2π ξ e−iξx dξ cosh(|ξ|h) −∞ a = Z+∞ Zb Z+∞ v1 (t)dt ξ e−iξ(x−t) dξ cosh(|ξ|h) −∞ Z+∞ a Zb ξ(cos ξ(x − t) − i sin ξ(x − t)) dξ cosh(|ξ|h) a −∞ b Z∞ Zb Z −i ξ sin ξ(x − t) dξ dt = − v1 (t)k21 (x − t)dt, = v1 (t) π cosh(|ξ|h) a a " # +∞ Z 2e−2|ξ|h 2e−2|ξ|h −1 F sign(ξ) v2 (ξ)e−iξx sign(ξ)dξ vb2 (ξ) (x) = −2|ξ|h −2|ξ|h 2π 1+e 1+e = 2π v1 (t)dt −∞ = 2π = π Z+∞ −∞ Zb π v2 (t)dt e−2|ξ|h −iξ(x−t) e dξ + e−2|ξ|h sign(ξ) e−2|ξ|h (cos ξ(x − t) − i sin ξ(x − t))dξ + e−2|ξ|h −∞ a −2i = π sign(ξ) −∞ Z∞ Zb v2 (ξ)sign(ξ)eiξt dt a Z∞ v2 (t)dt a = 2e−2|ξ|h −iξx e dξ + e−2|ξ|h Zb Z∞ Zb v2 (t)dt a e−2ξh sin ξ(x − t)dξ = − + e−2ξh Zb v2 (t)k22 (x − t)dt, a với 2i k22 (x − t) = k11 (x) = π Z∞ e−2ξh sin ξ(x − t)dξ, + e−2ξh k21 (x − t) = i π Z∞ ξ sin ξ(x − t) dξ cosh(ξh) 31 luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier Khi phương trình thứ hai hệ (2.24) trở thành πi Zb v2 (t) dt + x−t a Zb v1 (t)k21 (x − t)dt + a Zb v2 (t)k22 (x − t)dt = −if2 (x) a Như vậy, ta biến đổi phương trình (2.24) hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy (a, b): Zb Zb Zb v (t) dt + v1 (t)k11 (x − t)dt + v2 (t)k12 (x − t)dt = if1 (x), πi x − t a a a Zb Zb Zb v2 (t) dt + v1 (t)k21 (x − t)dt + v2 (t)k22 (x − t)dt = −if2 (x), πi x − t a a a v (x) ∈ L2 (a, b) ∩ H 1/2 (a, b), v (x) ∈ L2 (a, b) ⊂ H −1/2 (a, b), a < x < b, o o ρ ρ−1 2i k11 (x) = k22 (x) = π Z∞ e−2ξh sin ξ(x − t)dξ, + e−2ξh k12 (x) = k21 (x) = −i π i π Z∞ ∞ Z sin ξ(x − t) dξ, ξ cosh(ξh) ξ sin ξ(x − t) dξ cosh(ξh) Ngược lại, giả sử v2 nghiệm phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy (2.20) với điều kiện (2.21) Thực phép biến đổi ngược lại ta dễ dàng đưa hệ phương trình (2.20) hệ phương trình (2.24) Thay b1 (ξ), vb2 (ξ) = (−iξ)u b2 (ξ), vào hệ phương trình (2.24) ta thu vb1 (ξ) = u −iξ hai phương trình đầu hệ phương trình (2.10) Sử dụng điều kiện (2.21),(2.22) Định lý tích chập biến đổi Fourier ta nhận hệ phương trình cặp tích phân (2.10) Định lý chứng minh 32 luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier 2.5 Đưa hệ phương trình tích phân kì dị nhân Cauchy hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính Giả sử Tk (x) Uk (x) tương ứng đa thức Chebyushev loại loại hai Ta có số cơng thức sau đây: Tn (cos θ) = cos nθ, Un (cos θ) = Zb sin(n + 1)θ , sin θ (2.25) Tk [η(x)] Tj [η(x)] dx = αk δkj , ρ(x) (2.26) Uk [η(x)] Uj [η(x)] ρ(x)dx = βδkj , (2.27) Tk [η(y)] dy −2π = Um−1 [η(x)] , k = 0, 1, , (x − y)ρ(y) b − a (2.28) ρ(y)Uk−1 [η(y)] dy π(b − a) = Tk [η(x)] , k = 1, 2, , x−y (2.29) a Zb a Zb a Zb a δkj ký hiệu Kronecker π, k = 0, α= π , , k = 1, 2, π(b − a)2 , β= η(x) = 2x − (a + b) b−a Trong hệ phương trình tích phân (2.20) thay hàm v1 (t) = ρ(t)χ1 (t) χ2 (t) v2 (t) = , χ1 ∈ L2ρ (a, b), χ2 ∈ L2ρ−1 (a, b), ta thu hệ ρ(t) phương trình sau 33 luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier Zb Zb Zb ρ(t)χ (t) χ2 (t) dt + ρ(t)χ (t)k (x − t)dt + k12 (x − t)dt 11 πi x − t ρ(t) a a a = if1 (x), a < x < b, b b Z Z Zb χ (t) χ2 (t) dt + ρ(t)χ (t)k (x − t)dt + k22 (x − t)dt 21 πi ρ(t)(x − t) ρ(t) a a a = −if2 (x), a < x < b (2.30) Biểu diễn hàm χ1 (t) hàm χ2 (t) dạng chuỗi sau đây: ∞ X χ1 (t) = Aj Uj [η(t)] , (2.31) χ2 (t) = j=0 ∞ X Bj Tj [η(t)] , (2.32) j=1 Aj Bj số chưa biết, ta cịn có {Aj }∞ j=1 ∈ `2 ∞ {Bj }j=1 ∈ `2 Thế (2.31) (2.32) vào (2.30), thay đổi thứ tự lấy tích phân tổng ta thu Zb Zb ∞ ∞ X X ρ(t)U [η(t)]dt j Aj + Aj ρ(t)Uj [η(t)] k11 (x − t)dt πi j=0 x−t j=0 a a b Z ∞ X Tj [η(t)] k12 (x − t)dt = if1 (x), + Bj ρ(t) j=1 a b Z Zb ∞ ∞ X X T [η(t)]dt j Bj + Aj ρ(t)Uj [η(t)] k21 (x − t)dt πi j=1 ρ(t)(x − t) j=0 a a b Z ∞ X Tj [η(t)] + Bj k22 (x − t)dt = −if2 (x) ρ(t) j=1 a (2.33) 34 luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier Sử dụng (2.28) (2.29), từ (2.33) ta có Zb ∞ ∞ X X b − a Aj Tj+1 [η(x)] + Aj ρ(t)Uj [η(t)] k11 (x − t)dt 2π j=0 j=0 a Zb ∞ X Tj [η(t)] + Bj k12 (x − t)dt = if1 (x), ρ(t) j=1 a Zb ∞ ∞ X X −2 Bj Uj−1 [η(x)] + Aj ρ(t)Uj [η(t)] k21 (x − t)dt i(b − a) j=0 j=0 a b Z ∞ X Tj [η(t)] + B k22 (x − t)dt = −if2 (x) j ρ(t) j=1 a (2.34) Do có cơng thức (2.26) (2.27), từ (2.34) ta có kết sau Zb Zb ∞ X b − a An−1 αn + ρ(x)Tn [η(x)] ρ(t)Uj [η(t)] k11 (x − t)dt dx Aj 2i j=0 a a b b Z Z ∞ X Tj [η(t)] + B ρ(x)T [η(x)] k (x − t)dt dx j n 12 ρ(t) j=1 a a b Z = i ρ(x)Tn [η(x)] f1 (x)dx, a b Z Zb ∞ X −2 Bn+1 βn + Aj ρ(x)Un [η(x)] ρ(t)Uj [η(t)] k21 (x − t)dt dx i(b − a) j=0 a a b b Z Z ∞ X Tj [η(t)] ρ(x)Un [η(x)] + Bj k22 (x − t)dt dx ρ(t) j=1 a a b Z = −i ρ(x)Un [η(x)] f2 (x)dx a (2.35) 35 luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier Ký hiệu 2i = (b − a)αn Pnj Qnj Rnj Snj Zb i(b − a) = −2βn F1n = F2n = Zb ρ(x)Tn [η(x)] a a Zb ρ(t)Uj [η(t)] k11 (x − t)dt dx, (2.36) a Zb Zb a b Z ρ(x)Un [η(x)] a Zb ρ(x)Un [η(x)] a −2 (b − a)αn b−a −2βn ρ(x)Tn [η(x)] a 2i = (b − a)αn i(b − a) = −2βn Zb Tj [η(t)] k12 (x − t)dt dx, ρ(t) ρ(t)Uj [η(t)] k21 (x − t)dt dx, Tj [η(t)] k22 (x − t)dt dx, ρ(t) a Zb ρ(x)Tn [η(x)] f1 (x)dx, (2.37) a Zb ρ(x)Un [η(x)] f2 (x)dx (2.38) a Khi hệ phương trình (2.35) biểu diễn dạng ∞ ∞ X X A + Aj Pnj + Bj Qnj = F1n (n = 1, 2, ), n−1 j=0 Bn+1 + ∞ X j=0 Aj Rnj + j=1 ∞ X (2.39) Bj Snj = F2n (n = 0, 1, 2, ) j=1 Định lý 2.5 [5] Hệ phương trình tích phân kỳ dị (2.30) hệ vơ hạn ∞ X phương trình đại số tuyến tính (2.39) tương đương Nếu ρ(t) Aj Uj [η(t)] ∈ j=0 Ho1/2 (a, b) hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính (2.39) tương đương với hệ phương trình tích phân kỳ dị (2.20) Chứng minh Giả sử v1 (t) ∈ L2ρ (a, b), v2 (t) ∈ L2ρ−1 (a, b) nghiệm hệ phương trình tích phân kỳ dị (2.30) 36 luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier Ta có v1 (t) = ρ(t)χ1 (t) = ρ(t) v2 (t) = χ2 (t) = ρ(t) ρ(t) ∞ X Aj Uj [η(t)] , j=0 ∞ X Bj Tj [η(t)] j=1 Sử dụng biến đổi ta đưa hệ phương trình tích phân kỳ dị (2.30) v1 (t), v2 (t) hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính (2.39) ∞ {Aj }∞ j=1 {Bj }j=1 Ngược lại, ta chứng minh từ hệ phương trình (2.39) suy hệ phương trình (2.30) ∞ Giả sử {Aj }∞ j=1 ∈ `2 {Bj }j=1 ∈ `2 nghiệm hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính (2.39), ta biến đổi hệ phương trình (2.39) hệ phương trình (2.34) Sử dụng biểu thức phổ (2.28) vào hệ phương trình (2.34) ta thu hệ phương trình (2.33) Tiếp theo ta hốn vị thức tự lấy tổng tích phân, với kí hiệu (2.31), (2.32) ta thu hệ phương trình (2.30) v1 (t) Ta thay χ1 (t) = , χ2 (t) = v2 (t)ρ(t) ta thu hệ phương trình kỳ ρ(t) dị (2.20) v1 (t), v2 (t) Định lý chứng minh Ta kí hiệu Y2j+1 = Aj (j = 0, 1, 2, ), Y2j = Bj (j = 1, 2, 3, ), G2n−1 = F1n (n = 1, 2, ), G2n+2 = F2n , (n = 0, 1, 2, ), (2.40) D2n−1,2j+1 = Pnj , D2n−1,2j = Qnj , (n = 1, 2, ; j = 0, 1, ), (2.41) D2n+2,2j+1 = Rnj , D2n+2,2j = Snj , (n = 0, 1, ; j = 0, 1, ) (2.42) Khi hệ phương trình (2.39) viết dạng ∞ X Yn + Dn,j Yj = Gn , j=1 n = 1, 2, 3, 37 luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier download by : skknchat@gmail.com (2.43) luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier Bổ đề 2.3 [10], [11] Bất đẳng thức sau bất đẳng thức |Dn,j | ≤ L , (n ≥ 2, j ≥ 2), n2 j (2.44) (k) L số dương Nếu đạo hàm fm (x), m = 1, hàm liên tục [a, b] bất đẳng thức sau ln |Gn | ≤ L (n = 1, 2, ; k = 0, 1, ) nk (2.45) Chứng minh Trong biểu thức (2.36) ta sử dụng phép biến đổi biến số 1 [(b − a) cos θ + a + b] , t = [(b − a) cos ϕ + a + b] 2 x= sử dụng cơng thức (2.25), ta có Pnj = b−a 2 Zπ Zπ sin θ sin(n + 1)θdθ cos jϕk11 [σ(cos θ − cos ϕ)] dϕ, (2.46) b−a Kí hiệu tích phân cơng thức (2.46) K11 (cos θ) sử dụng phương pháp tích phân phần hai lần ta σ = σ2 K11 (cos θ) = j(j − 1) − σ2 j(j + 1) Zπ Zπ 00 sin(j − 1)ϕ sin ϕk11 [σ(cos θ − cos ϕ)] dϕ 00 sin(j + 1)ϕ sin ϕk11 [σ(cos θ − cos ϕ)] dϕ (2.47) Vì k11 (x) hàm khả vi vô hạn bị chặn [a, b], từ (2.47) ta có kết sau |K11 (cos θ)| ≤ L , (j ≥ 2) j2 Xét tích phân (11) Zπ Hnj := sin θ sin(n + 1)θK11 (cos θ)dθ 38 luan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourierluan.van.thac.si.tinh.giai.duoc.cua.mot.he.phuong.trinh.cap.tich.phan.fourier download by : skknchat@gmail.com (2.48)
Ngày đăng: 08/01/2024, 00:51
Xem thêm:
