Luận văn thạc sĩ: Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân đối với bài toán biên cho phương trình song điều hòa trên miền hình dải

Luận văn thạc sĩ: Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân đối với bài toán biên cho phương trình song điều hòa trên miền hình dảiLuận văn thạc sĩ: Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân đối với bài toán biên cho phương trình song điều hòa trên miền hình dảiLuận văn thạc sĩ: Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân đối với bài toán biên cho phương trình song điều hòa trên miền hình dảiLuận văn thạc sĩ: Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân đối với bài toán biên cho phương trình song điều hòa trên miền hình dảiLuận văn thạc sĩ: Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân đối với bài toán biên cho phương trình song điều hòa trên miền hình dảiLuận văn thạc sĩ: Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân đối với bài toán biên cho phương trình song điều hòa trên miền hình dảiLuận văn thạc sĩ: Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân đối với bài toán biên cho phương trình song điều hòa trên miền hình dảiLuận văn thạc sĩ: Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân đối với bài toán biên cho phương trình song điều hòa trên miền hình dảiLuận văn thạc sĩ: Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân đối với bài toán biên cho phương trình song điều hòa trên miền hình dảiLuận văn thạc sĩ: Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân đối với bài toán biên cho phương trình song điều hòa trên miền hình dảiLuận văn thạc sĩ: Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân đối với bài toán biên cho phương trình song điều hòa trên miền hình dảiLuận văn thạc sĩ: Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân đối với bài toán biên cho phương trình song điều hòa trên miền hình dảiLuận văn thạc sĩ: Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân đối với bài toán biên cho phương trình song điều hòa trên miền hình dảiLuận văn thạc sĩ: Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân đối với bài toán biên cho phương trình song điều hòa trên miền hình dảiLuận văn thạc sĩ: Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân đối với bài toán biên cho phương trình song điều hòa trên miền hình dảiLuận văn thạc sĩ: Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân đối với bài toán biên cho phương trình song điều hòa trên miền hình dải

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐẶNG THỊ THU HIỀN TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP TÍCH PHÂN ĐỐI VỚI BÀI TỐN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HỊA TRÊN MIỀN HÌNH DẢI Ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ NGÂN THÁI NGUYÊN - 2019 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan, cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn TS Nguyễn Thị Ngân Nội dung luận văn trung thực, không chép Tôi cam đoan nguồn tài liệu tham khảo trích dẫn đầy đủ, giúp đỡ để thực luận văn cảm ơn Thái Nguyên, tháng năm 2019 Tác giả ĐẶNG THỊ THU HIỀN i Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn tốt nghiệp kết thúc khóa học, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới Trường Đại học Sư Phạm- Đại học Thái Nguyên tạo cho chúng tơi có mơi trường học tập, nghiên cứu tuyệt vời Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thị Ngân, trực tiếp hướng dẫn, truyền đạt kinh nghiệm quý báu cho suốt trình thực luận văn Xin gửi lời cảm ơn đến tập thể giảng viên Khoa Toán - Trường Đại học Sư Phạm Thái Nguyên, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Viện Toán học tận tình giảng dạy tạo điều kiện cho chúng tơi q trình học thực luận văn tốt nghiệp Do thời gian kiến thức chuyên môn thân hạn chế nên luận văn tơi khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2019 Tác giả ĐẶNG THỊ THU HIỀN ii Mục lục Lời nói đầu Chương 1 Kiến thức sở 1.1 Hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính 1.2 Biến đổi Fourier 1.3 Không gian hàm 1.3.1 Không gian H s (R), H s (Ω), Hos (Ω) 1.3.2 Các không gian Sobolev véc tơ 1.4 Toán tử giả vi phân Chương Tính giải hệ phương trình cặp tích phân tốn biên cho phương trình song điều hịa miền hình dải 2.1 Đặt tốn 11 11 2.2 Tính giải hệ phương trình cặp tích phân 16 2.3 Biến đổi hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính 23 2.3.1 Biến đổi hệ phương trình tích phân với hạch logarit 24 2.3.2 Biến đổi hệ phương trình vơ hạn đại số tuyến tính 26 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 iii Lời nói đầu Bài tốn biên cho phương trình song điều hịa miền hình dải nhiều tác giả giới nghiên cứu đến V B Zelentsov trình bày vấn đề đĩa Kirchhoff - Love chưa thực miền hình dải, dấu hiệu bao hàm cứng nối với biên đĩa biên khác đĩa cố định Bài tốn đưa tốn tìm nghiệm tích - chập phương trình tích phân loại khoảng hữu hạn với hạch Từ tính chất hạch phương trình tích phân ta suy nghiệm phương trình khơng kì dị khả tích A I Fridman S D Eidelman xét số tốn biên cho phương trình song điều hịa miền hình dải Gần đây, định lý tính cho nghiệm khơng âm tốn chứng minh Mục đích đề tài nghiên cứu tốn biên cho phương trình song điều hịa miền hình dải Bài tốn biên miền hình dải với giả thiết giới hạn y = 0, y = h với điều kiện ngàm cho khoảng |x| a điều kiện gối tựa |x| > a Sử dụng phép biến đổi Fourier đưa tốn biên phương trình song điều hịa miền hình dải hệ phương trình cặp tích phân Nghiên cứu tính tồn nghiệm hệ phương trình cặp tích phân thiết lập khơng gian Sobolev Ngồi luận văn đưa phương pháp biến đổi hệ phương trình cặp tích phân hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính Luận văn bao gồm: Mở đầu, hai chương nội dung, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày số kiến thức sở khơng gian hàm tốn tử giả vi phân, hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính Chương 2: Tính giải hệ phương trình cặp tích phân tốn biên cho phương trình song điều hịa miền hình dải Đưa phương pháp biến đổi hệ phương trình cặp tích phân hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính Thái Nguyên, tháng năm 2019 Tác giả ĐẶNG THỊ THU HIỀN Chương Kiến thức sở Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức sở hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính, biến đổi Fourier, khơng gian hàm tốn tử giả vi phân 1.1 Hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính Định nghĩa 1.1 [6] Hệ phương trình có dạng ∞ X xi = ci,k xk + bi (i = 1, 2, ), (1.1) k=1 số xi xác định trước, gọi hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính Khi ta thay xi , i = 1, vào vế phải (1.1) chuỗi hội tụ đồng thời thỏa mãn đẳng thức xi , i = 1, gọi nghiệm hệ (1.1) Định nghĩa 1.2 [3] Hệ vô hạn (1.1) gọi quy ∞ X |ci,k | < (i = 1, 2, ), (1.2) k=1 gọi hồn tồn quy ∞ X |ci,k | − θ < 1, < θ < 1, (i = 1, 2, ) (1.3) k=1 Nếu bất đẳng thức (1.2) (hoặc (1.3)) với i = N + 1, N + 2, , hệ (1.1) gọi tựa tựa quy (hoặc tựa hồn tồn quy) 1.2 Biến đổi Fourier Định nghĩa 1.3 [4],[5] Kí hiệu S = S(R) khơng gian hàm bản, F phép biến đổi Fourier xác định Z∞ gb(ζ) = F [g](ζ) = g(x)eixζ dx, −∞ Định nghĩa 1.4 [4],[5] Kí hiệu S = S(R) không gian hàm suy rộng, F −1 phép biến đổi Fourier ngược xác định g˘(ζ) = F −1 [g](ζ) = 2π Z∞ g(x)e−ixζ dx −∞ Ký hiệu < g, ψ > giá trị hàm suy rộng g ∈ S hàm ψ ∈ S, (g, ψ) :=< g, ψ > 1.3 1.3.1 Không gian hàm Không gian H s (R), H s (Ω), Hos (Ω) Định nghĩa 1.5 [5] Cho H s := H s (R)(s ∈ R) không gian Sobolev Slobodeskii định nghĩa bao đóng tập hợp Co∞ (R) hàm vi phân vô hạn với chuẩn xác định ||v||s := h Z∞ s (1 + ζ ) |vb(ζ)| dζ i1/2 < ∞, vb = F [v] (1.4) −∞ Không gian H s khơng gian Hilbert với tích vơ hướng sau Z∞ (u, v)s := b(ζ)vb(ζ)dζ (1 + ζ )s u (1.5) −∞ Định nghĩa 1.6 [5] Giả sử Ω khoảng hệ khoảng không giao R Không gian H s (R) bao gồm hàm v(x) với giá Ω kí hiệu Hos (Ω) định nghĩa chuẩn C0∞ (Ω) Định nghĩa 1.7 [5] Giả sử h ∈ H s (R) Hạn chế h Ω kí hiệu hΩ , ta có hhΩ , λi = hh, λi với λ ∈ C0∞ (Ω) Tập hợp hạn chế hàm thuộc H s (R) Ω kí hiệu H s (Ω) Chuẩn H s (Ω) xác định công thức ||h||Hs (Ω) = inf ||lh||s , l cận lấy theo thác triển lh ∈ H s (R), h ∈ H s (Ω) 1.3.2 Các không gian Sobolev véc tơ Giả sử X không gian tơpơ tuyến tính Ta kí hiệu X X tích trực tiếp hai khơng gian Tơpơ X xác định tôpô thường tích trực tiếp Ta dùng chữ in đậm để biểu thị hàm véc tơ ma trận Kí hiệu véc tơ v = (v1 , v2 ), (S0 )2 = S × S S2 = S × S, Với v ∈ (S )2 , ψ ∈ S , ta đặt < v,ψ >= X < vi , ψi > i=1 Biến đổi Fourier biến đổi Fourier ngược véc tơ v ∈ (S )2 véc tơ b = F ±1 [v] = (F ±1 [v1 ], F ±1 [v2 ])T , xác định đẳng thức v < F [v], ψ >=< v, F [ψ] >, < F −1 [v], ψ >= < v, F [ψ](−x) >, ψ ∈ S 2π (1.6) Giả sử H si , Hosi (Ω), H si (Ω) khơng gian Sobolev, i = 1, 2, Ω khoảng hệ khoảng không giao R Ta đặt ~s = (s1 , s2 )T , H~s = H s1 × H s2 , H~os (Ω) = Hos1 (Ω) × Hos2 (Ω), H~s (Ω) = H s1 (Ω) × H s2 (Ω) Tích vơ hướng chuẩn H ~s Ho~s (Ω) xác định công thức 2 X 1/2 X (u,v)~s = (ui , vi )si , ||v||~s = ||vi ||si , i=1 i=1 ||vi ||si (ui , vi )si xác định công thức (1.4) (1.5) Chuẩn H~s (Ω) định nghĩa công thức ||v||H~s (Ω) := X i=1 inf li ||li vi ||2si 1/2 , li toán tử suy rộng vi ∈ H si (Ω) từ Ω vào R Định lý 1.1 [1] Giả sử Ω ⊂ R, v = (v1 , v2 )T ∈ H~s (Ω), g ∈ H−~s (Ω) lg = (l1 g1 , l2 g2 )T thác triển g từ Ω đến R thuộc vào H−~s (R) Khi tích phân [g, v] := (lg, v)o := Z∞ X [ lc i gi (ζ)vi (ζ)dζ, (1.7) i=1 −∞ không phụ thuộc vào việc chọn thác triển lg Do đó, cơng thức xác định hàm tuyến tính H~os (Ω) Ngược lại, với hàm tuyến tính Ψ(v) liên tục H~os (Ω) tồn g ∈ H−~s (Ω) cho Ψ(v) = [v, g] ||Ψ|| = ||g||H−~s (Ω) Chứng minh Lấy l’g thác triển khác hàm g Khi ta có lg - lg’ = Ω, tức ∀z ∈ (Co∞ (Ω))2 (lg − l’g,z)o = 0, (1.8) Do (Co∞ (Ω))2 tập trù mật H~so (Ω), nên từ (1.8) ta có (lg - l’g,v)o = 0, ∀u ∈ H~os (Ω), Tức (l’g,v)o = (lg,v)o Do đó, tích phân (1.7) khơng phụ thuộc vào cách chọn mở rộng lg Từ đó, |(lg,v)o | ||v||~s ||lg||−~s = 0, x ∈ R\(−a, a), (2.4)  ∂Φ   = g2 (x), x ∈ (−a, a), ∂y y=h  M [Φ] = 0, x ∈ R\(−a, a), (2.5) y=0 y=h ∂ 2Φ ∂ 2Φ + θ 2, M [Φ] = M [Φ](x, y) = ∂y ∂x < θ < (2.6) Bài toán biên miền hình dải với giả thiết y = 0, y = h với điều kiện ngàm cho khoảng |x| a điều kiện gối tựa |x| > a Hiển nhiên, M [Φ] mômen lực uốn với trục Oy Sử dụng biến đổi Fourier với biến số x phương trình song điều hồ (2.1), ta đạt 2b b y) d4 Φ(ζ, d Φ(ζ, y) b y) = 0, − 2ζ + ζ Φ(ζ, dy dy (2.7) b y) = Fx [Φ(x, y)](ζ) biến đổi Fourier x hàm Φ(ζ, Φ(x, y) Lời giải tổng quát phương trình vi phân (2.7) với ζ 6= biểu diễn b y) = G1 (ζ) cosh(|ζ|y) + G2 (ζ)y cosh(|ζ|y) + G3 (ζ) sinh(|ζ|y) Φ(ζ, + G4 (ζ)y sinh(|ζ|y), (2.8) G1 (ζ), G2 (ζ), G3 (ζ), G4 (ζ) hàm tuỳ ý với biến số ζ Giá trị b y) biểu diễn Φ(0, b y) = lim Φ(ζ, b y) Φ(0, ζ→0 12 (2.9) Sử dụng đổi Fourier điều kiện (2.9), (2.2) (2.8) ta có b 0) = G1 (ζ) = pb1 (ζ), Φ(ζ, (2.10) b h) = G1 (ζ) cosh(|ζ|h) + G2 (ζ)h cosh(|ζ|h) + G3 (ζ) sinh(|ζ|h) Φ(ζ, + G4 (ζ)h sinh(|ζ|h) = pb2 (ζ) Tức c[Φ](ζ, 0) = Φ b yy (ζ, 0) − θζ Φ(ζ, b 0) = (1 − θ)ζ G1 (ζ) + 2|ζ|G4 (ζ), vb1 (ζ) = M (2.11) c[Φ](ζ, h) = Φ b yy (ζ, h) − θζ Φ(ζ, b h) = (1 − θ)ζ cosh(|ζ|h)G1 (ζ) vb2 (ζ) = M + [2|ζ| sinh(|ζ|h) + (1 − θ)ζ h cosh(|ζ|h)]G2 (ζ) + (1 − θ)ζ sinh(|ζ|h)G3 (ζ) + [2|ζ| cosh(|ζ|h) + (1 − θ)ζ h sinh(|ζ|h)]G4 (ζ) (2.12) Từ biểu thức (2.10) - (2.12) ta biểu diễn hàm chưa biết b1 (ζ), u b2 (ζ), pb1 (ζ), pb2 (ζ) Với G1 (ζ), G2 (ζ), G3 (ζ), G4 (ζ) theo giới hạn u ζ 6= 0, sau số bước biến đổi, ta có G1 (ζ) = pb1 (ζ), (2.13) vb1 (1 − θ)|ζ|pb1 (ζ) G4 (ζ) = − , (2.14) 2|ζ| cosh(|ζ|h) vb2 (ζ) G2 (ζ) = − vb1 (ζ) + 2|ζ| sinh(|λ|h) 2|ζ| sinh(|ζ|h) (1 − θ)|ζ| (1 − θ)|ζ| cosh(|ζ|h) pb1 (ξ) − pb2 (ζ), (2.15) + sinh(|ζ|h) sinh(|ζ|h) h cosh(|ζ|h) h b v (ζ) − vb2 (ζ) G3 (ζ) = 2|ζ| sinh2 (|ζ|h) 2|ζ| sinh2 (|ζ|h) sinh(2|ζ|h) + (1 − θ)|ζ|h (1 − θ)|ζ|h cosh(|ζ|h) + sinh(|ζ|h) b − p (ζ) + pb2 (ζ) sinh2 (|ζ|h) sinh2 (|ζ|h) (2.16) Thế (2.13) - (2.16) vào (2.8) ta đạt   h sinh(|ζ|y) − y sinh(|ζ|h) cosh(|ζ|(h − y)) b y) = vb1 (ζ) Φ(ζ, 2|ζ| sinh2 (|ζ|h) 13  y cosh(|ζ|y) sinh(|ζ|h) − h sinh(|ζ|y) cosh(|ζ|h) + vb2 (ζ) 2|ζ| sinh2 (|ζ|h)   sinh(|ζ|h) sinh(|ζ|(h − y)) + pb1 (ζ) sinh2 (|ζ|h)   (1 − θ)|ζ|[y sinh(|ζ|h) cosh(|ζ|(h − y)) − h sinh(|ζ|y)] + pb1 (ζ) sinh2 (|ζ|h)   (1 − θ)|ζ|(h − y) sinh(|ζ|y) cosh(|ζ|h) + pb2 (ζ) sinh2 (|ζ|h)   sinh(|ζ|y) sinh(|ζ|h) − (1 − θ)y|ζ| sinh(|ζ|(h − y)) (2.17) + pb2 (ζ) sinh2 (|ζ|h)  Từ (2.17), ta có O(|ζ|e−|ζ|(h−y) ), |ζ| → ∞, (2.18) nữa, từ (2.9) ta có b y) = α1 (y) lim vb1 (ζ) + α2 (y) lim vb2 (ζ) + α3 (y) lim pb1 (ζ) + α4 (y) lim pb2 (ζ), Φ(0, ζ→0 ζ→0 ζ→0 ζ→0 y(h2 − y ) + 3y(h − y)2 , α1 (y) = − 12h y(y − h2 ) α2 (y) = , 6h h−y α3 (y) = , h y α4 (y) = h Thế (2.13) - (2.16) vào quan hệ sau b 0) dΦ(ζ, = |ζ|G3 (ζ) + G2 (ζ), dy b h) dΦ(ζ, = [G1 (ζ)|ζ| + G4 (ζ)] sinh(|ζ|h) + [G3 (ζ)|ζ| + G2 (ζ)] cosh(|ζ|h) dy + G2 (ζ)|ζ|y sinh(|ζ|h) + G4 (ζ)|ζ|h cosh(|ζ|h), 14 ta b 0) dΦ(ζ, = −a11 (ζ)vb1 (ζ) − a12 (ζ)vb2 (ζ) − a1 (ζ)pb1 (ζ) + a2 (ζ)pb2 (ζ), (2.19) dy b h) dΦ(ζ, = −a21 (ζ)vb1 (ζ) − a22 (ζ)vb2 (ζ) − a2 (ζ pb1 (ζ) + a1 (ζ)pb2 (ζ), (2.20) dy |ζ|[(1 + θ) sinh(|ζ|h) cosh(|ζ|h) + (1 − θ)|ζ|h] , sinh2 (|ζ|h) |ζ|[(1 + θ) sinh(|ζ|h) + (1 − θ)|ζ|h cosh(|ζ|h)] a2 (ζ) = , sinh2 (|ζ|h) sinh(|ζ|h) cosh(|ζ|h) − |ζ|h , a11 (ζ) = a22 (ζ) 2|ζ| sinh2 (|ζ| sinh2 (|ζ|h)) |ζ|h cosh(|ζ|h) − sinh(|ζ|h) a21 (ζ) = a12 (ζ) 2|ζ| sinh2 (|ζ| sinh2 (|ζ|h)) a1 (ζ) = (2.21) (2.22) (2.23) (2.24) Để xác định hàm chưa biết vb1 (ζ) vb2 (ζ), sử dụng đồng thời điều kiện (2.4) (2.5) Thoả mãn điều kiện từ (2.11), (2.12), (2.19) (2.20), ta có hệ phương trình cặp tích phân với vb1 (ζ), vb2 (ζ) : ( b(ζ)](x) = g e(x), x ∈ (−a, a) F −1 [A(ζ)v b(ζ)](x) = 0, F −1 [v x ∈ R\(−a, a), (2.25) v1 (x) = M [Φ](x, 0), v2 (x) = M [Φ](x, h), v(x) = (v1 (x), v2 (x))T , (2.26) b(ζ) = F [v(x)](ζ), g e(x) = (ge1 (x), ge2 (x))T , v (2.27) ge1 (x) = −g1 (x) − F −1 [a1 (ζ)pb1 (ζ)](x) + F −1 [a2 (ζ)pb2 (ζ)](x), (2.28) ge2 (x) = g2 (x) + F −1 [a2 (ζ)pb1 (ζ)](x) − F −1 [a1 (ζ)pb2 (ζ)](x),   a11 (ζ) a12 (ζ) A(ζ) = a21 (ζ) a22 (ζ) (2.29) 15 (2.30) 2.2 Tính giải hệ phương trình cặp tích phân Hệ (2.25) [3] viết lại dạng ( b(ζ)](x) = g e(x), rF −1 [A(ζ)v b(ζ)](x) = 0, r0 v := r0 F −1 [v x ∈ (−a, a), x ∈ R\(−a, a), (2.31) e(x) = (g1 (x), g2 (x))T , v b(ζ) = F [v](ζ) = tốn tử F −1 hiểu g (vb1 (ζ), vb2 (ζ))T , Khi đó, ta có Bổ đề 2.1 [3] Ma trận A(ζ) định nghĩa công thức (2.23), (2.24) , (2.30) gọi xác định dương, với ζ 6= P α Từ ta có A(ζ) ∈ −~ α ~ = (1, 1)T o , Bổ đề 2.2 [3]Giả sử a1 (ζ), a2 (ζ), a11 (ζ) a12 (ζ) xác định công thức (2.21) (2.22) (2.23), (2.24) Khi a11 (−ζ) = a11 (ζ) > 0, a12 (−ζ) = a12 (ζ) > 0, ∀ζ 6= 0, a1 (−ζ) = a1 (ζ) > 0, a2 (−ζ) = a2 (ζ) > 0, ∀ζ 6= h h a11 (0) = lim a11 (ζ) = , a12 (0) = lim a12 (ζ) = , ζ→0 ζ→0 1 a1 (0) = lim D1 (ζ) = , a2 (0) = lim a2 (ζ) = ζ→0 ζ→0 h h lim a11 (ζ) = , lim a12 (ζ) = 0, h→∞ 2|ζ| h→∞ (1 + θ)|ζ lim a1 (ζ) = , lim a2 (ζ) = h→∞ h→∞ (i) (ii) (iii) Từ kết Bổ đề 1.1 Bổ đề , kết hợp biểu thức từ (2.21) đến (2.24) ta có biểu thức sau −1 a11 (ζ) = a22 (ζ) ∈ σ+ ∩ C(R), a1 (ζ) ∈ σ+ ∩ C(R), a12 (ζ) = a21 (ζ) a2 (ζ) ∈ σ −β ∩ C(R), 16 ∀β > (2.32) (2.33) ... Chương Tính giải hệ phương trình cặp tích phân tốn biên cho phương trình song điều hịa miền hình dải Trong chương này, chúng tơi trình bày tính giải hệ phương trình cặp tích phân phương pháp đưa hệ. .. 2.2 Tính giải hệ phương trình cặp tích phân 16 2.3 Biến đổi hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính 23 2.3.1 Biến đổi hệ phương trình tích phân với hạch logarit 24 2.3.2 Biến đổi hệ phương. .. lý tính cho nghiệm khơng âm tốn chứng minh Mục đích đề tài nghiên cứu toán biên cho phương trình song điều hịa miền hình dải Bài tốn biên miền hình dải với giả thiết giới hạn y = 0, y = h với điều