ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ THỊ THỦY TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP TÍCH PHÂN FOURIER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2021 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ THỊ THỦY TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP TÍCH PHÂN FOURIER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2021 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ THỊ THỦY TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP TÍCH PHÂN FOURIER Ngành đào tạo: Tốn Giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THỊ NGÂN Thái Nguyên - 2021 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn TS Nguyễn Thị Ngân Các tài liệu luận văn trung thực Các kết luận văn chưa công bố luận văn thạc sĩ tác giả khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2021 Lê Thị Thủy Xác nhận Xác nhận khoa chuyên môn người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thị Ngân i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn TS Nguyễn Thị Ngân Nhân dịp xin cảm ơn Cô hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Phòng Đào tạo, Ban Chủ nhiệm khoa Tốn, Bộ mơn Giải tích Tốn Ứng dụng thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Bản luận văn chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2021 Lê Thị Thủy ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Biến đổi Fourier hàm giảm nhanh 1.1.1 Không gian S hàm giảm nhanh 1.1.2 Biến đổi Fourier hàm 1.1.3 Các tính chất biến đổi Fourier không gian S Biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm 1.2.1 Không gian S ′ hàm suy rộng tăng chậm 1.2.2 Biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm 1.2.3 Các tính chất biến đổi Fourier không gian S ′ Biến đổi Fourier tích chập Các không gian Sobolev 1.2.4 1.3 iii 1.4 1.5 1.3.1 Không gian H s (R) 1.3.2 s Các không gian Hos Ω, Ho,o (Ω), H s (Ω) 1.3.3 Định lý nhúng 10 Các không gian Sobolev vectơ 10 1.4.1 Khái niệm 10 1.4.2 Phiếm hàm tuyến tính liên tục 13 Toán tử giả vi phân vectơ 16 1.5.1 Khái niệm 16 1.5.2 Chuẩn tích vơ hướng tương đương 18 1.5.3 Nhúng compact 21 Tính giải số lớp hệ phương trình cặp tích phân Fourier 2.1 2.2 22 Tính giải số lớp hệ phương trình cặp tích phân Fourier 22 2.1.1 Tính nghiệm 23 2.1.2 Sự tồn nghiệm 24 Một số áp dụng 29 2.2.1 Hệ phương trình cặp tích phân Fourier với biểu trưng tăng- giảm 2.2.2 Hệ phương trình cặp tích phân Fourier với biểu trưng tăng 2.2.3 29 31 Hệ phương trình cặp tích phân Fourier với biểu trưng giảm iv 35 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 v Mở đầu Lí chọn đề tài Phương trình cặp tích phân hệ phương trình cặp tích phân thường xuất tốn biên phương trình vật lý tốn, tốn dị tật mơi trường, toán vết nứt, toán dải đàn hồi Trong năm qua xuất nhiều nghiên cứu phương pháp hình thức giải phương trình cặp tích phân, phương pháp chưa xét đến tính giải phương trình cặp Tính giải phương trình cặp tích phân khơng có nhiều nghiên cứu nghiên cứu phương pháp tìm lời giải hình thức phương trình cặp số nhà toán học quan tâm nghiên cứu Walton J R., Manam S.R., Popov G Ya., Nguyễn Văn Ngọc Gần kết nghiên cứu hệ phương trình cặp tích phân, tính giải số lớp hệ phương trình cặp tích phân với phép biến đổi Fourier số nhà toán học quan tâm nghiên cứu Nguyễn Văn Ngọc, Hà Tiến Ngoạn Nguyễn Thị Ngân Đề tài nghiên cứu tính giải số lớp hệ phương trình cặp tích phân với phép biến đổi Fourier với tiêu đề “Tính giải số lớp hệ phương trình cặp tích phân Fourier” Mục đích luận văn Nghiên cứu tính giải số lớp hệ phương trình cặp P⃗ (R), tích phân Fourier với dạng biểu trưng khác A(ξ) ∈ α+ P A(ξ) ∈ αo⃗ (R) Đưa số ứng dụng vào giải tốn biên phương trình điều hịa phương trình song điều hịa Nội dung luận văn Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Luận văn có chương nội dung Chương trình bày tổng quan số kiến thức biến đổi Fourier, biến đổi Fourier hàm giảm nhanh, biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm, không gian Sobolev, không gian Sobolev vectơ, toán tử giả vi phân vectơ Chương trình bày tính giải số lớp hệ phương trình cặp tích phân Fourier số ứng dụng Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số kiến thức biến đổi Fourier hàm giảm nhanh, biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm, khơng gian Sobolev vectơ, tốn tử giả vi phân vectơ Các kết tham khảo từ tài liệu [1], [2], [3], [6] 1.1 1.1.1 Biến đổi Fourier hàm giảm nhanh Không gian S hàm giảm nhanh Định nghĩa 1.1.1 Gọi S = S(R) tập hàm khả vi vô hạn φ ∈ C ∞ (R), thỏa mãn điều kiện ∥φ∥p = sup(1 + |x|)p x∈R kí hiệu D = p X k=0 |Dk φ| < ∞, p = 0, 1, 2, , m, d Dãy {∥φ∥p }k họ nửa chuẩn Dãy dx {φk } S gọi hội tụ đến hàm φ S, ∥φk − φ∥p → 0, k → ∞; p = 0, 1, 2, , m Tập hợp S với chuẩn hội tụ gọi không gian hàm giảm nhanh Ví dụ, hàm φ(x) = e−x ∈ C ∞ (R) hàm giảm nhanh Định lí 1.1.1 Tập hợp Co∞ (R) hàm khả vi vơ hạn có giá compact R trù mật S theo tôpô S 2π −∞ (1.17) j=1 ≤ 2π ∥u − um ∥⃗s ∥w∥−⃗s ∀w ∈ (Co∞ (R)n Từ (1.17) suy ra, um → u H⃗os (Ω) um → u (S′ )n Chuyển qua giới hạn (1.16) ta có ⟨u, w⟩ = ∀w ∈ (Co∞ (R \ Ω))n , tức u ∈ H⃗s (Ω) Mệnh đề chứng minh 12 Mệnh đề 1.4.2 Tập hợp (Co∞ (Ω))n trù mật H⃗os (Ω) theo chuẩn H⃗os (Ω) s Chứng minh Từ kết tập hợp Co∞ (Ω) trù mật Ho j (Ω)(j = s 1, 2, , n), nên ta có với ε > hàm uj ∈ Ho j (Ω) tồn hàm wj ∈ Co∞ (Ω) cho ε ∥uj − wj ∥sj < √ n Từ suy ∥u − w∥⃗s = n X j=1 ∥uj − wj ∥2sj !1/2 < ε Mệnh đề chứng minh 1.4.2 Phiếm hàm tuyến tính liên tục Định lí 1.4.1 Giả sử H⃗s,∗ (R) không gian đối ngẫu không gian H⃗s (R) Khi H⃗s,∗ (R) đẳng cấu với khơng gian H−⃗s (R) Ngoài ra, giá trị phiếm hàm f ∈ H−⃗s (R) phần tử u ∈ H⃗s (R) cho công thức (f , u)o = n Z X j=1 ∞ −∞ fbj (ξ)b uj (ξ)dξ, (1.18) u bj (ξ) = F [uj ](ξ), fbj (ξ) = F [fj ](ξ) Chứng minh Giả sử Φ(u) phiếm hàm liên tục không gian H⃗s (R) Do H⃗s (R) không gian Hilbert với tích vơ hướng cho cơng thức (1.14), nên theo Định lý Riesz, tồn phần tử v ∈ H⃗s (R) 13