(LUẬN văn THẠC sĩ) một số phương pháp xây dựng độ đo và tích phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ HUỆ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội, Năm 2014 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ HUỆ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán Mã số: 60.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS PHAN VIẾT THƯ Hà Nội, Năm 2014 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Mở đầu Lời cảm ơn Bảng kí hiệu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm 1.2 Nới rộng độ đo 10 1.2.1 Phương pháp nới rộng độ đo Lebesgue 11 1.2.2 Độ đo Lebesgue độ đo Lebesgue- Stieltjes 13 1.2.3 Độ đo Hausdorff không gian Metric 14 1.3 Hàm đo 15 1.4 Các khái niệm giải tích hàm 17 1.4.1 Định lý Stone –Weierstrass 17 1.4.2 Các lớp đơn điệu hàm số 19 Tích phân theo quan điểm lý thuyết độ đo 21 2.1 Tích phân Lebesgue trìu tượng 21 2.2 Chuyển giới hạn dấu tích phân Lebesgue 24 2.3 Tích phân Riemann tích phân Lebesgue R 29 2.3.1 31 Một số tính chất tích phân Tích phân: Cách tiếp cận theo giải tích hàm 3.1 34 Tích phân sơ cấp trung bình Daniell 34 3.1.1 35 Tích phân Daniell TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 3.1.2 Trung bình Daniell 37 3.1.3 Các định lý hội tụ theo trung bình 41 3.2 Mở rộng tích phân 44 3.3 Tính đo Daniell 47 3.3.1 Tính đo 48 3.3.2 Tính đo không gian mêtric 52 3.4 Sự tương đương khả tích Daniell khả tích Lebesgue-Caratheodory 53 3.5 Tính chất Maximality Tài liệu tham khảo 59 63 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan Mở đầu Lý thuyết độ đo tích phân tảng xây dựng cho nhiều môn khoa học chuyên ngành như: Lý thuyết xác suất, giải tích hàm Ở chương trình đào tạo đại học, cao học bước đầu nghiên cứu lý thuyết độ đo, tích phân Trong luận văn sử dụng kết độ đo tích phân bậc Đại học Cao học để nghiên cứu sâu Tích phân theo quan điểm độ đo Ngồi ra, luận văn tập trung nghiên cứu cách tiếp cận tích phân theo quan điểm giải tích hàm Ta biết lớp hàm khả tích Riemann hẹp bao gồm hàm số mà tập điểm gián đoạn bỏ qua đựơc Cịn hàm số đo tổng qt nói chung khơng khả tích Riemann (ví dụ hàm số Dirichlet) Để vượt qua hạn chế ấy, Lebesgue chia miền lấy tích phân thành tập nhỏ, tập bao gồm điểm ứng với giá trị gần f (x), theo quan điểm Lebesgue xây dụng khái niệm tích phân tổng quát hơn, áp dụng cho tất hàm số đo bị chặn Ngoài ra, chuyển giới hạn dấu tích phân tích phân Lebesgue khơng cần đòi hỏi khắt khe điều kiện hội tụ tích phân Riemann, từ đưa nhiều kết quan trọng tính hội tụ đơn điệu, hội tụ bị làm trội Tuy nhiên, muốn mở rộng định nghĩa tích phân vào lĩnh vực phức tạp xét tính tuyến tính, tích phân khơng gian Banach tích phân Lebesgue gặp khó khăn Do đó, luận văn tập trung nghiên cứu phương pháp tiếp cận tích phân giải tích hàm, sử dụng tính tuyến tính cấu trúc (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan liên tục tích phân sơ cấp để xây dựng tích phân Daniell I ∗ (f ) = inf I ∗ (h) : h ∈ E ↑ , f ≤ h  Khi I ∗ có tính chất như: I ∗ hàm khơng giảm; I ∗ tuyến tính; I ∗ hàm σ - cộng tính Ngồi ra, tương ứng với tích phân I ∗ trung bình Daniell Ω k.k∗ : R → [0, ∞] cho f 7→ I ∗ (|f |) với tính chất tính tuyệt đối, tính cộng tính đếm Các đinh lý hội tụ đơn điệu, hội tụ bị trội theo trung bình dễ dàng chứng minh Điều đặc biệt tích phân Daniell xây dựng tích phân trước định nghĩa khái niệm độ đo Khi đó, độ đo Lebesgue đạt tích phân hàm tiêu Các tính chất σ – cộng tính, tính đo tập Borel hệ tích phân Tính đo Daniell mơ tả cấu trúc địa phương q trình khả tích Daniell sử dụng tích phân Daniell dễ dàng chứng minh định lý biểu diễn Riesz cho phiếm hàm tuyến tính bị chặn không gian C(X) hàm liên tục khơng gian tơpơ compact X Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia làm ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức độ đo, mở rộng độ đo kiến thức giải tích hàm làm sở để xây dựng nội dung chương Chương 2: Tích phân theo quan điểm độ đo Chương trình bày cách xây dựng tích phân hàm đo - tích phân Lesbegue, định lý chuyển giới hạn dấu tích phân, tích phân Riemann tích phân Lebesgue R số tính chất tích phân Chương 3: Tích phân: Tiếp cận giải tích hàm Chương phần luận văn, trình bày cách xây dựng tích phân Daniell, trung (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan bình Daniell tính chất, khái niệm đo Daniell, tương đương khả tích Lebesgue khả tích Daniell, tính chất maximality trung bình Daniell (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Phan Viết Thư người tận tình hướng dẫn tác giả Cùng tồn thể thầy giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, thầy tổ môn "Lý thuyết xác suất thống kê toán học" trường Đại học Khoa học Tự Nhiên tận tình dạy bảo tác giả suốt trình học tập trường Đồng thời tác giả gửi lời cảm ơn tới đồng nghiệp Khoa Khoa học Cơ bản, ban giám hiệu trường Đại học Sao Đỏ giúp đỡ tạo điều kiện tốt để tác giả hồn thành khóa học Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên cổ vũ, động viên, giúp đỡ tác giả Cảm ơn bạn lớp góp ý giúp đỡ tác giả luận văn Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học hạn chế ngoại ngữ, thời gian nên làm luận văn khơng tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận góp ý ý kiến phản biện q thầy bạn đọc Hà nội, tháng 08 năm 2014 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Huệ (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan Bảng kí hiệu Mµ : Tập tất tập µ - đo M([a, b]): σ - đại số Lebesgue sinh [a, b] MR : Lớp hàm thực đo M: Lớp tập đo Ω M(k.k): Tập hợp tất trung bình E trùng với k.k E+ L1 (Ω, F, µ): Tập hợp hàm khả tích Lebesgue Ω L1 (k.k): Tập hợp hàm khả tích trung bình k.k Cho E dàn véctơ đóng với phép chặt cụt dàn vành đó: E : Bao đóng E u E : Bao đóng E E ↑ := h ∈ R : ∃ {φn } ⊂ E thỏa mãn h = supn φn  E Σ : Giao tất dàn đóng chứa E dàn đóng bé chứa E F: σ - đại số tập Ω n o Ω F := f ∈ R : kf k < ∞ dàn véctơ đóng với phép chặt cụt ( x ∈ A hàm tiêu tập A 1A (x) := x ∈ /A (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan Chương Kiến thức chuẩn bị Chương hệ thống lại kiến thức độ đo, phương pháp nới rộng độ đo, hàm đo được, định lý Stone –Weierstrass, định lý lớp hàm thực Các kiến thức sử dụng nhiều chương sau Các nội dung phần tác giả tham khảo chủ yếu tài liệu [1], [3], [4], [6], [8] 1.1 Các khái niệm Định nghĩa 1.1 Một tập hợp F Ω đại số (i) ∅ ∈ F (ii) Nếu A ∈ F Ac = Ω\A ∈ F (iii) Nếu A, B ∈ F A ∪ B ∈ F F gọi σ - đại số thỏa mãn (i), (ii) điều kiện ∞ S (iii)’ Nếu Ai ∈ F Ai ∈ F i=1 Nếu F σ - đại số cặp (Ω, F) gọi không gian đo Định nghĩa 1.2 Tập hợp S tập Ω gọi nửa vành nếu: (i) ∅ ∈ S (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (iii) Tồn hàm g µ – khả tích E cho: ∂t (x, t) ≤ g (x) với t ∈ [a, b] Khi đó, hàm số t 7→ F (t) = R f (x, t) dµ (x) khả vi [a, b] ta có: E d dF (t) = dt dt Z Z E Chứng minh Ta có ∂f ∂t df (x, t) dµ (x) dt f (x, t) dµ (x) = (x, t) = lim hàm đo theo x Suy E f (x,tn )−f (x,t) ,x tn −t tn →t ∂f ∂t ∈ E Nhưng ϕn (x) = f (x,tn )−f (x,t) tn −t (x, t) đo với t ∈ [a, b] Áp dụng định lý số gia hữu hạn f (x, t) − f (x, t0 ) = (t − t0 ) ∂f (x, θ) ∂t Ta có: |f (x, t)| ≤ |f (x, t0 )| + (t − t0 ) g (x) Suy x 7→ f (x, t) µ - khả tích (giả thiết (ii) (iii)) với t ∈ [a, b] Mà F (tn ) − F (t) = tn − t Z f (tn ) − f (t) dµ (x) tn − t E Theo (iii), ta áp dụng định lý hội tụ bị làm trội f (tn ) − f (t) tn − t ≤ g (x) Suy điều phải chứng minh Định lý 2.12 (Tính khả tích Riemann) Với điều kiện sau: (i) t 7→ f (x, t) liên tục [a, b] với x ∈ E (ii)Tồn g µ – khả tích E cho: |f (x, t)| ≤ g (x) 32 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan Khi đó, hàm số t 7→ F (t) = Rb R [ a f (x, t) dµ (x)]dt = E R Rb [ E f (x, t) dt]dµ (x) a Chứng minh Các tích phân theo t tích phân Riemann Đặt h hàm định nghĩa E × [a, b] bởi: Zt (x, t) 7→ h (x, t) = f (x, s) ds a Khi ∂h ∂t = f (x, t) (vì f : t 7→ f (x, t) liên tục) Do tích phân Riemann tồn tại, giới hạn dãy tổng Riemann Suy ánh xạ x 7→ h (x, t) đo với t ∈ [a, b] Mặt khác |f (x, t)| ≤ g (x), suy |h (x, t)| ≤ (b − a) g (x) nên x 7→ h (x, t) µ – khả tích với t ∈ [a, b] Đặt H : t 7→ H (t) = R h (x, t) dµ (x), áp E dụng H với định lý trước: Z dH (t) = dt ∂h (x, t) dµ (x) = ∂t E Z f (x, t) dµ (x) = F (t) E Từ đó, ta nhận được: Zb Z F (t) dt = H (b) − H (a) = a (h (x, b) − h (x, a)) dµ (x) E Zb F (t) dt = a Zb Z [ E f (x, t) dt]dµ (x) a 33 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan Chương Tích phân: Cách tiếp cận theo giải tích hàm Cách tiếp cận tích phân trực tiếp Daniell sử dụng tuyến tính cấu trúc liên tục tích phân sơ cấp Phương pháp Daniell mở rộng tích phân sơ cấp tới tập lớn hàm mà tính tuyến tính hội tụ bị trội thỏa mãn Ngược lại, tính đo định nghĩa từ tính chất địa phương tích phân Điều kiện cắt Caratheodory đo nhận hệ mở rộng tích phân biểu diễn lý thuyết độ đo suy dễ dàng 3.1 Tích phân sơ cấp trung bình Daniell Cho Ω tập hợp, E tập không rỗng hàm thực bị chặn Ω dàn véctơ đóng với phép chặt cụt vành Định nghĩa 3.1 (i) Một tích phân sơ cấp I E phiếm hàm tuyến tính giá trị thực E (ii) Tích phân sơ cấp I dương I (f ) ≥ ≤ f ∈ E (iii) Tích phân sơ cấp I δ - liên tục I (fn ) & E fn & 34 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan Tính chất: Tính chất δ - liên tục tương đương với (i) (σ - liên tục) Nếu φn ≤ φn+1 ∈ E φ = supn φn ∈ E I (φn ) % I (φ) P (ii) (σ - cộng tính) Nếu ≤ ϕn ∈ E P ϕn ∈ E I( φn ) = n n P I (φn ) n Ví dụ 3.1 Các ví dụ sau tích phân sơ cấp, liên tục, dương theo định nghĩa 3.1 (1) Giả sử R vành tập Ω µ : R → [0, ∞) hàm σ - hữu hạn R Cho E tập hợp tất hàm thực đơn giản Khi đó, phiếm n n P P hàm I : φ = ak 1{φ=ak } 7→ ak µ {φ = ak } tích phân sơ cấp dương δ k=1 k=1 liên tục (2) Xét Ω=[a,b] E tập hợp hàm bậc thang I tích phân Riemann Rb I : f → f a 3.1.1 Tích phân Daniell Giả thiết khơng gian bao (E ,I ) tích phân sơ cấp cố định tập Ω theo định nghĩa 3.1 Kí hiệu E ↑ tập hợp tất hàm giá trị thực suy rộng h cho tồn dãy {φn } ⊂ E thỏa mãn h = sup φn Nếu E dàn, ta thay φn dãy tăng n W n φk k=1 Bổ đề 3.1 Giả sử E dàn véctơ Khi đó, khơng gian E ↑ đóng đối với: (i) Phép cộng (ii) Nhân với vô hướng không âm (iii) inf hữu hạn (iv) sup đếm 35 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan Định nghĩa 3.2 Tích phân hàm h ∈ E ↑ định nghĩa I ∗ (h) = sup {I (φ) : φ ∈ E, φ ≤ h} (3.1) Tích phân hàm giá trị thực mở rộng f Ω định nghĩa I ∗ (f ) = inf I ∗ (h) : h ∈ E ↑ , f ≤ h  (3.2) Rõ ràng I ∗ (φ) = I (φ) φ ∈ E Sự biểu diễn (3.1) (3.2) trùng E ↑ Tiếp theo đặc tính I ∗ Định lý 3.1 Giả sử E dàn véctơ Thì tích phân Daniell I ∗ có tính chất sau: (i) I ∗ khơng giảm dương (ii) Nếu {hn } ⊂ E ↑ dãy khơng giảm I ∗ (hn ) % I ∗ (sup hn ) n (iii) I ∗ tuyến tính E ↑ P P (iv) I ∗ σ - cộng tính tức là, fn ≥ I ∗ ( fn ) ≤ I ∗ (fn ) n n Chứng minh (i) Tính đơn điệu tăng chứng tỏ trực tiếp từ 3.1 3.2 Tính dương hệ bổ đề 3.1 (ii) tuyến tính I E (ii) Giả sử hn % h ∈ E ↑ sup I ∗ (hn ) ≤ I ∗ (h) theo tính đơn điệu tăng n I ∗ Với n, cho {φm,n } ⊂ E với φm,n % hn đặt ψk = max {φm,n : ≤ n, m ≤ k} Nếu a < I ∗ (h), cho φ ≤ h ∈ E cho a < I (φ) E ϕk = ψk ∧ φ ≤ hk ϕk % φ Từ (E , I ) σ - hữu hạn ta có a < I (φ) = lim I (ϕk ) ≤ lim I ∗ (hk ) k k Do I ∗ (h) ≤ lim I ∗ (hk ) Ta kết luận I ∗ (h) = lim I ∗ (hk ) k k 36 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.xay.dung.do.do.va.tich.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com