Thông tin tài liệu
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN −−−?−−− PHAN ĐỨC TUẤN PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER VÀ ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội-2012 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN −−−?−−− PHAN ĐỨC TUẤN PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER VÀ ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 62 46 01 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS NGUYỄN MINH TUẤN Hà Nội-2012 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Danh mục ký hiệu Mở đầu Chương Phép biến đổi Hartley 1.1 Phép biến đổi Fourier 1.1.1 Phép biến đổi Fourier Rd 1.1.2 Phép biến đổi Fourier đoạn hữu hạn 1.2 Phép biến đổi Hartley 1.2.1 Phép biến đổi Hartley Rd 1.2.2 Phép biến đổi Hartley đoạn hữu hạn 13 13 13 16 20 20 38 Chương Phép biến đổi tích phân dạng Fourier đối xứng 49 2.1 Định nghĩa tính chất 49 2.2 Nguyên lý bất định Heisenberg 66 Chương Ứng dụng giải số phương trình vi phân tích phân 74 3.1 Giải phương trình vi phân 74 3.1.1 Giải phương trình vi phân thường 74 3.1.2 Giải phương trình đạo hàm riêng 79 3.2 Giải phương trình tích phân 86 3.2.1 Phương trình tích phân dạng chập với nhân Hermite 86 3.2.2 Phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel 92 Kết luận 103 Danh mục công trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 104 Tài liệu tham khảo 105 Phụ lục 110 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU d : Số nguyên dương cho trước N : tập hợp số tự nhiên Z : tập hợp số nguyên Z∗ : tập hợp Z \ {0} α : đa số xác định α = (α1 , , αd ) ∈ Nd , |α| = α1 + · · · + αd , Dxα ∂ |α| := α1 ∂x1 ∂xαd d xy : tích vơ hướng x y, xác định xy = x1 y1 + · · · + xd yd , x, y ∈ Rd , |x|2 = x21 + · · · + x2d , xα = xα1 xαd d S : không gian hàm f khả vi vô hạn Rd thỏa mãn sup sup (1 + |x|2 )m |(Dxα f )(x)| < ∞, (m = 0, 1, 2, ) |α|≤m x∈Rd L1 (E) : không gian hàm f khả tích Lebesgue E, Z với chuẩn kf k1 = |f (x)|dx E L2 (E) : không gian hàm f bình phương khả tích Lebesgue E, Z Z 2 với chuẩn kf k2 = |f (x)| dx, hf, gi = f (x)g(x)dx E E d d C0 (R ) : không gian hàm f liên tục R triệt tiêu vô với chuẩn kf k∞ = sup |f (x)| x∈Rd l2 (Z) : không gian dãy số a = {an }n∈Z thỏa mãn X X |an |2 < +∞ với chuẩn kak = |an |2 n∈Z n∈Z c0 (Z) : không gian dãy số bị chặn a = {an }n∈Z thỏa mãn lim an = với chuẩn kak = sup |an | |n|→∞ n∈Z TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Hα (x) : đa thức Hermite xác định 2 Hα (x) = (−1)|α| e|x| Dxα e−|x| Φα (x) : hàm Hermite xác định 2 Φα (x) = (−1)|α| e |x| Dxα e−|x| cas(x) : hàm Hartley xác định cas x = cos x + sin x [x] : hàm phần nguyên x TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí lựa chọn đề tài Nhiều vấn đề khoa học công nghệ đưa đến việc giải phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân Chẳng hạn, tốn tính độ lệch đứng dầm vơ hạn dẫn đến giải phương trình vi phân thường sau (xem [15]) EI du d4 u +k = W (x), −∞ < x < ∞ dx dx (0.1) Khi nghiên cứu dao động dây, màng mỏng, sóng âm, sóng tạo thủy triều, sóng đàn hồi, sóng điện trường, dẫn đến giải phương trình truyền sóng sau (xem [10, 15, 47]) ∂ 2u 2∂ u − a = ∂t2 ∂x2 (0.2) Trong học lượng tử, xung lượng hạt biểu diễn qua phương trình tích phân Fredholm sau (xem [1, 12]) Z ϕ(x) = K(x, y)ϕ(y)dy (0.3) Ω Một vấn đề đặt tìm lời giải cho phương trình vi phân, tích phân vấn đề khoa học công nghệ đưa đến Có nhiều hướng tiếp cận dựa nhiều lý thuyết toán học khác việc giải vấn đề như: điều kiện tồn nghiệm, ổn định nghiệm; giải tìm nghiệm đúng, nghiệm gần đúng, nghiệm suy rộng, v.v Trong số đó, việc sử dụng biến đổi tích phân để giải phương trình kể đời sớm liên tục phát triển tận ngày Có vai trị đặc biệt quan trọng lý thuyết phải kể đến trước hết biến đổi Fourier, Fourier sine, Fourier cosine, Hartley, biến đổi Laplace, biến đổi Mellin, sau biến đổi Hankel, Kontorovich-Lebedev, Stieltjes, Cùng với lý thuyết phép biến đổi tích phân, lý thuyết chập liên kết với biến đổi tích phân xuất vào khoảng đầu kỉ XX Tuy nhiên, trước năm 50 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com kỉ trước, khơng có nhiều chập liên kết với biến đổi tích phân xây dựng Cho đến kết Kakichev V.A (1967) Kakichev V.A., Thao N X (1998) công bố (xem [31, 33]) phương pháp kiến thiết xây dựng chập suy rộng loạt chập suy rộng liên kết với biến đổi tích phân khác đời Những năm gần đây, có nhiều báo sách ứng dụng biến đổi tích phân, chập liên kết với biến đổi tích phân cơng bố (xem [9, 11, 19, 21, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 32, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 41, 42, 44, 45, 46, 47, 50, 51, 53, 54]) Đáng ý biến đổi Fourier hữu dụng việc giải phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân lý sau (xem [15]): trước tiên, phương trình thay phương trình đại số đơn giản, cho phép tìm nghiệm biến đổi Fourier hàm Nghiệm phương trình ban đầu thu thơng qua biến đổi Fourier ngược Thứ hai, biến đổi Fourier nguồn gốc ban đầu để xác định nghiệm bản, minh họa cho ý tưởng xây dựng hàm Green sau Thứ ba, biến đổi Fourier nghiệm kết hợp với định lý chập cung cấp cách biểu diễn nghiệm tường minh cho toán biên ban đầu Các biến đổi Fourier cosine, Fourier sine Rd , Fourier, Fourier ngược biến đổi Hartley định nghĩa không gian L1 (Rd ) sau (xem [6, 7, 39, 41, 47]): Z f (y) cos(xy)dy, (Tc f )(x) := d (2π) Rd Z (Ts f )(x) := f (y) sin(xy)dy, d (2π) Rd Z (F f )(x) := f (y)e−ixy dy, d (2π) Rd Z (F −1 f )(x) := f (y)eixy dy, (0.4) d d (2π) R Z (H1 f )(x) := f (y) cas(xy)dy, d (2π) Rd Z (H2 f )(x) := f (y) cas(−xy)dy, d (2π) Rd đó, cas u := cos u + sin u Theo công thức Euler biến đổi Fourier, Fourier ngược Hartley biểu diễn tuyến tính qua hai biến TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan đổi Fourier cosine Fourier sine Rd F −1 = Tc + iTs , F = Tc − iTs , H2 = Tc − Ts H1 = Tc + Ts , Điều đưa đến cho ý tưởng xét biến đổi tích phân Ta,b = aTc + bTs , a, b ∈ C, gọi biến đổi tích phân dạng Fourier Trong số này, biến đổi Hartley có số ưu điểm định như: Chúng đóng vai trị quan trọng xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, xử lý âm (xem [6, 7, 8, 28, 37, 52]) Khi tính tốn số với hàm nhận giá trị thực biến đổi Hartley nhanh biến đổi Fourier biến đổi Hartley hàm nhận giá trị thực hàm nhận giá trị thực, biến đổi Fourier hàm nhận giá trị thực hàm nhận giá trị phức Theo Ví dụ 1.2, với hàm nhận giá trị thực √ 2π e−x x > 0, f (x) = x < 0, ảnh Fourier f hàm nhận giá trị phức (F f )(x) = , + ix ảnh Hartley f hàm nhận giá trị thực (H1 f )(x) = x+1 x−1 , (H2 f )(x) = x +1 x +1 So với biến đổi Fourier cosine, Fourier sine biến đổi Hartley khả nghịch biến đổi Fourier cosine, Fourier sine lại không khả nghịch Trong sách phép biến đổi tích phân (xem [39]), Olejniczak K J viết: "có lẽ đóng góp giá trị Hartley biến đổi tích phân đối xứng phát triển khởi đầu từ vấn đề truyền tải sóng điện thoại Mặc dù biến đổi bị lãng quên gần 40 năm, nghiên cứu lại thập kỷ qua hai nhà toán học Wang Bracewell - người tạo lý thuyết hấp dẫn đề tài này" (LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan Với lí trên, chúng tơi lựa chọn đề tài "Phép biến đổi tích phân dạng Fourier ứng dụng giải số phương trình vi phân tích phân" Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu Mục đích luận án nghiên cứu tính chất tốn tử, xây dựng chập suy rộng liên kết với biến đổi Hartley với hàm trọng Hermite khơng có hàm trọng Sử dụng chúng để giải số phương trình vi phân tích phân miền vơ hạn Song song với phương trình xác định miền vơ hạn phương trình xác định miền hữu hạn Do đó, luận án đưa hai biến đổi Hartley hữu hạn xây dựng chập liên kết với biến đổi để giải phương trình miền hữu hạn Ngồi ra, luận án cịn xét biến đổi tích phân dạng Fourier Z (T f )(x) = √ f (y)[2 cos(xy) + sin(xy)]dy, 2π R nghiên cứu đặc trưng đại số, xây dựng chập liên kết với biến đổi nguyên lý bất định Heisenberg Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu đặc trưng đại số biến đổi tích phân Từ đó, tìm biến đổi ngược ngược từ đẳng thức nhân tử hóa để xây dựng chập, chập suy rộng liên kết với biến đổi tích phân Đối với biến đổi tích phân chúng tơi xây dựng bốn chập mà nhân chúng có dạng [f (x + y) + f (x − y) + f (−x + y) − f (−x − y)]g(y), [f (x + y) + f (x − y) − f (−x + y) + f (−x − y)]g(y), [f (x + y) − f (x − y) + f (−x + y) + f (−x − y)]g(y), [−f (x + y) + f (x − y) + f (−x + y) + f (−x − y)]g(y) Do đó, tích phân có dạng Z f (±x ± y)g(y)dy, biểu diễn qua chập Nhờ vậy, đưa phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel hệ phương trình tuyến tính Từ kết đại số tuyến tính biến đổi ngược, chúng tơi đưa điều kiện cần đủ để phương trình có nghiệm công thức nghiệm tường minh 10 (LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan Cấu trúc luận án kết Luận án gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận phụ lục: Chương trình bày số tích chất biến đổi Fourier Rd biến đổi Fourier đoạn hữu hạn Xây dựng chập, chập suy rộng liên kết với biến đổi Hartley với hàm trọng Hermite khơng có hàm trọng Định nghĩa biến đổi Hartley đoạn hữu hạn xây dựng chập, chập suy rộng liên kết với biến đổi tích phân Chương đưa biến đổi tích phân dạng Fourier T Chứng minh số đặc trưng đại số như: + T biến đổi đối xứng khơng unita + T có đa thức đặc trưng PT (t) = t4 − 5t2 + + T không thỏa mãn đẳng thức Parseval + T thỏa mãn hệ thức bất định Heisenberg + T biến hàm nhận giá trị thực thành hàm nhận giá trị thực + T toán tử khả nghịch với toán tử ngược Z 1 −1 (T g)(y) = √ g(ξ)[ cos(yξ) + sin(yξ)]dξ 2π R Xây dựng chập suy rộng liên kết với biến đổi Hartley, T với hàm trọng Hermite hàm trọng Chương sử dụng kết thu Chương Chương vào giải số phương trình vi phân tích phân như: phương trình xác định độ lệch đứng dầm, phương trình xác định độ võng tĩnh dầm, phương trình truyn súng, phng trỡnh khuch tỏn, phng trỡnh Schrăodinger, phng trình tích phân dạng chập với nhân Toeplitz - Hankel, nhân chứa hàm Hermite Bên cạnh đó, chúng tơi sử dụng phần mềm Maple để giải nghiệm tường minh cho số phương trình xét Đặc biệt, với công cụ chập suy rộng liên kết với biến đổi Hartley hữu hạn mà lớp phương trình tích phân Toeplitz-Hankel sau (xem [48]) Z b λϕ(x) + [p(x − y) + q(x + y)]ϕ(y)dy = f (x), (0.5) π a giải thu nghiệm dạng chuỗi Phương trình có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác lý thuyết tán xạ, lý 11 (LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan Hệ 2.2 Nếu f, g ∈ L1 (R) biến đổi tích phân (2.11), (2.12), (2.13), (2.14) chập suy rộng liên kết với biến đổi Hartley, T thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa tương ứng Z h (f ∗ g)(x) = 2f (x + y) − f (x − y) d H2 ,T,H1 2(2π) R i + f (−x + y) + 2f (−x − y) g(y)dy, (2.11) H2 (f (f ∗ H2 ,H1 ,T g)(x) = ∗ H2 ,T,H1 g)(x) = (T f )(x)(H1 g)(x) Z h d 2(2π) f (x + y) − f (x − y) R i + 2f (−x + y) − 2f (−x − y) g(y)dy, (2.12) H2 (f (f ∗ H2 ,T,H2 g)(x) = ∗ H2 ,H1 ,T g)(x) = (H1 f )(x)(T g)(x) Z h d 2(2π) − f (x + y) + 2f (x − y) R i + 2f (−x + y) + f (−x − y) g(y)dy, (2.13) H2 (f (f ∗ H2 ,H2 ,T g)(x) = ∗ H2 ,T,H2 g)(x) = (T f )(x)(H2 g)(x) Z h d 2(2π) 2f (x + y) + 2f (x − y) R i − f (−x + y) + f (−x − y) g(y)dy, (2.14) H2 (f ∗ H2 ,H2 ,T g)(x) = (H2 f )(x)(T g)(x) Chứng minh Trong chứng minh đẳng thức nhân tử hóa (2.7), thay t −t ta nhận (2.11) Tương tự cho chập (2.12), (2.13), (2.14) Định lý 2.4 Giả sử n = r (mod 4) Nếu f, g ∈ L1 (R) biến đổi tích phân chập suy rộng liên kết với biến đổi Hartley, T với hàm trọng Hermite thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa 56 (LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan tương ứng • Trường hợp r ∈ {0, 2} r Z Z (−1) (f ∗ g)(x) = f (u)g(v) − Φn (x + u + v) + 2Φn (x + u − v) H1 ,T,H1 4π R R + Φn (x − u + v) + 2Φn (x − u − v) dudv, (2.15) Φn H1 (f Φn ∗ H1 ,T,H1 g)(x) = Φn (x)(T f )(x)(H1 g)(x) r Z Z (−1) f (u)g(v) − Φn (x + u + v) + Φn (x + u − v) (f ∗ g)(x) = H1 ,H1 ,T 4π R R + 2Φn (x − u + v) + 2Φn (x − u − v) dudv, (2.16) Φn H1 (f Φn ∗ H1 ,H1 ,T g)(x) = Φn (x)(H1 f )(x)(T g)(x) r Z Z (−1) (f ∗ g)(x) = f (u)g(v) 2Φn (x + u + v) − Φn (x + u − v) H1 ,T,H2 4π R R + 2Φn (x − u + v) + Φn (x − u − v) dudv, (2.17) Φn H1 (f Φn ∗ H1 ,T,H2 r (−1) (f ∗ g)(x) = H1 ,H2 ,T 4π Φn H1 (f g)(x) = Φn (x)(T f )(x)(H2 g)(x) Z Z f (u)g(v) 2Φn (x + u + v) + 2Φn (x + u − v) R R − Φn (x − u + v) + Φn (x − u − v) dudv, (2.18) Φn ∗ H1 ,H2 ,T g)(x) = Φn (x)(H2 f )(x)(T g)(x) • Trường hợp r ∈ {1, 3} r−1 Z Z (−1) (f ∗ g)(x) = f (u)g(v) 2Φn (x + u + v) + Φn (x + u − v) H1 ,T,H1 4π R R + 2Φn (x − u + v) − Φn (x − u − v) dudv, (2.19) Φn H1 (f Φn ∗ H1 ,T,H1 r−1 (−1) (f ∗ g)(x) = H1 ,H1 ,T 4π Φn g)(x) = Φn (x)(T f )(x)(H1 g)(x) Z Z f (u)g(v) 2Φn (x+u+v)+2Φn (x+u−v) R R + Φn (x + u − v) − Φn (x − u − v) dudv, (2.20) 57 (LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan H1 (f Φn ∗ H1 ,H1 ,T g)(x) = Φn (x)(H1 f )(x)(T g)(x) r−1 Z Z (−1) (f ∗ g)(x) = f (u)g(v) Φn (x + u + v) + 2Φn (x + u − v) H1 ,T,H2 4π R R − Φn (x − u + v) + 2Φn (x − u − v) dudv, (2.21) Φn H1 (f Φn ∗ H1 ,T,H2 g)(x) = Φn (x)(T f )(x)(H2 g)(x) r−1 Z Z (−1) (f ∗ g)(x) = f (u)g(v) Φn (x + u + v) − Φn (x + u − v) H1 ,H2 ,T 4π R R + 2Φn (x − u + v) + 2Φn (x − u − v) dudv, (2.22) Φn H1 (f Φn ∗ H1 ,H2 ,T g)(x) = Φn (x)(H2 f )(x)(T g)(x) Chứng minh • Trường hợp r ∈ {0, 2} Chứng minh chập (2.15) Trước tiên, ta (f Φn ∗ H1 ,T,H1 g) ∈ L1 (R) Thật Z Φn |(f ∗ R Z Z Z g)|(x)dx ≤ |f (u)||g(v)||Φn (x + u + v)|dudvdx H1 ,T,H1 4π R R R Z Z Z |f (u)||g(v)||Φn (x + u − v)|dudvdx + 2π ZR ZR ZR + |f (u)||g(v)||Φn (x − u + v)|dudvdx 4π ZR ZR ZR + |f (u)||g(v)||Φn (x − u − v)|dudvdx < +∞ 2π R R R Bây ta chứng minh đẳng thức nhân tử hóa Sử dụng Bổ đề 1.2, thay u −u v −v cần, ta có Φn (x)(T f )(x)(H1 g)(x) Z Z Φn (x) = f (u)g(v)[2 cos(xu) + sin(xu)] cas(xv)dudv 2π R R Z Z Φn (x) = f (u)g(v) cas x(u + v) + cas x(u − v) 4π R R + cas x(−u + v) − cas x(−u − v) dudv 58 (LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan r = (−1) Z Z Z cas(xy) 2(2π) R R f (u)g(v) − Φn (y + u + v) R + 2Φn (y + u − v) + Φn (y − u + v) + 2Φn (y − u − v) dudvdy =H1 (f Φn ∗ H1 ,T,H1 g)(x) Chập (2.15) chứng minh Chú ý phần thứ chập (2.16), (2.17), (2.18) chứng minh tương tự phép chứng minh chập (2.15) Do đó, chập sau ta chứng minh đẳng thức nhân tử hóa Chứng minh chập (2.16) Ta có Φn (x)(H1 f )(x)(T g)(x) Z Z Φn (x) = f (u)g(v) cas(xu)[2 cos(xv) + sin(xv)]dudv 2π R R Z Z Φn (x) = f (u)g(v) cas x(u + v) + cas x(u − v) 4π R R + cas x(−u + v) − cas x(−u − v) dudv Z Z r Z (−1) = cas(xy) f (u)g(v) − Φn (y + u + v) 2(2π) R R R + Φn (y + u − v) + 2Φn (y − u + v) + 2Φn (y − u − v) dudvdy =H1 (f Φn ∗ H1 ,H1 ,T g)(x) Chứng minh chập (2.17) Ta có Φn (x)(T f )(x)(H2 g)(x) Z Z Φn (x) f (u)g(v)[2 cos(xu) + sin(xu)] cas(−xv)dudv = 2π R R Z Z Φn (x) = f (u)g(v) cas x(u + v) + cas x(u − v) 4π R R − cas x(−u + v) + cas x(−u − v) dudv Z Z r Z (−1) = cas(xy) f (u)g(v) 2Φn (y + u + v) 2(2π) R R R − Φn (y + u − v) + 2Φn (y − u + v) + Φn (y − u − v) dudvdy =H1 (f Φn ∗ H1 ,T,H2 g)(x) 59 (LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan Chứng minh chập (2.18) Ta có Φn (x)(H2 f )(x)(T g)(x) Z Z Φn (x) = f (u)g(v) cas(−xu)[2 cos(xv) + sin(xv)]dudv 2π R R Z Z Φn (x) = f (u)g(v) cas x(u + v) − cas x(u − v) 4π R R + cas x(−u + v) + cas x(−u − v) dudv Z Z r Z (−1) = cas(xy) f (u)g(v) 2Φn (y + u + v) 2(2π) R R R + 2Φn (y + u − v) − Φn (y − u + v) + Φn (y − u − v) dudvdy =H1 (f Φn ∗ H1 ,H2 ,T g)(x) • Trường hợp r ∈ {1, 3}, việc chứng minh chập (2.19), (2.20), (2.21), (2.22) hoàn toàn tương tự phép chứng minh trường hợp r ∈ {0, 2} Định lý chứng minh Hệ 2.3 Giả sử n = r (mod 4) Nếu f, g ∈ L1 (R) biến đổi tích phân chập suy rộng liên kết với biến đổi Hartley, T với hàm trọng Hermite thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa tương ứng • Trường hợp r ∈ {0, 2} r Z Z (−1) (f ∗ g)(x) = f (u)g(v) 2Φn (x + u + v) + Φn (x + u − v) H2 ,T,H1 4π R R + 2Φn (x − u + v) − Φn (x − u − v) dudv, (2.23) Φn H2 (f Φn ∗ H2 ,T,H1 r (−1) (f ∗ g)(x) = H2 ,H1 ,T 4π Φn H2 (f Z Z f (u)g(v) 2Φn (x + u + v) + 2Φn (x + u − v) R R + Φn (x − u + v) − Φn (x − u − v) dudv, (2.24) Φn ∗ g)(x) = Φn (x)(T f )(x)(H1 g)(x) H2 ,H1 ,T g)(x) = Φn (x)(H1 f )(x)(T g)(x) 60 (LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan r Z Z (−1) f (u)g(v) Φn (x + u + v) + 2Φn (x + u − v) (f ∗ g)(x) = H2 ,T,H2 4π R R − Φn (x − u + v) + 2Φn (x − u − v) dudv, (2.25) Φn H2 (f (f Φn ∗ H2 ,H2 ,T Φn ∗ H2 ,T,H2 g)(x) = Φn (x)(T f )(x)(H2 g)(x) r Z Z (−1) g)(x) = f (u)g(v) Φn (x + u + v) − Φn (x + u − v) 4π R R + 2Φn (x − u + v) + 2Φn (x − u − v) dudv, (2.26) H2 (f Φn ∗ H2 ,H2 ,T g)(x) = Φn (x)(H2 f )(x)(T g)(x) • Trường hợp r ∈ {1, 3} r−1 Z Z (−1) (f ∗ g)(x) = f (u)g(v) Φn (x + u + v) − 2Φn (x + u − v) H2 ,T,H1 4π R R − Φn (x + u − v) − 2Φn (x − u − v) dudv, (2.27) Φn H2 (f Φn ∗ H2 ,T,H1 g)(x) = Φn (x)(T f )(x)(H1 g)(x) r−1 Z Z (−1) (f ∗ g)(x) = f (u)g(v) Φn (x + u + v) − Φn (x + u − v) H2 ,H1 ,T 4π R R − 2Φn (x − u + v) − 2Φn (x − u − v) dudv, (2.28) Φn H2 (f Φn ∗ H2 ,H1 ,T r−1 (−1) (f ∗ g)(x) = H2 ,T,H2 4π Φn H2 (f ∗ H2 ,T,H2 r−1 (−1) (f ∗ g)(x) = H2 ,H2 ,T 4π H2 (f g)(x) = Φn (x)(T f )(x)(H2 g)(x) Z Z f (u)g(v) −2Φn (x+u+v)−2Φn (x+u−v) R R + Φn (x − u + v) − Φn (x − u − v) dudv, (2.30) Φn ∗ Z Z f (u)g(v) −2Φn (x+u+v)+Φn (x+u−v) R R − 2Φn (x − u + v) − Φn (x − u − v) dudv, (2.29) Φn Φn g)(x) = Φn (x)(H1 f )(x)(T g)(x) H2 ,H2 ,T g)(x) = Φn (x)(H2 f )(x)(T g)(x) 61 (LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan Chứng minh Trong chứng minh đẳng thức nhân tử hóa (2.15), thay y −y sử dụng Φn (−x) = Φn (x) ta nhận (2.23) Tương tự cho chập lại Định lý sau cho phép ta mở rộng biến đổi tích phân T lên L2 (R) Định lý 2.5 (định lý Plancherel) Tồn đẳng cấu tuyến tính T : L2 (R) → L2 (R) thỏa mãn (T f ) = (T f ) với f ∈ S Chứng minh Ta biết S trù mật L2 (R) S trù mật L1 (R) Từ Định lý 2.1 suy ánh xạ liên tục f 7→ (T f ) đẳng cấu tuyến tính từ khơng gian trù mật S L2 (R) lên S Do vậy, ánh xạ f 7→ (T f ) có thác triển liên tục T : L2 (R) → L2 (R) đẳng cấu tuyến tính (xem [41]) Định lý chứng minh Nhờ tính toán tử mở rộng nên định lý Plancherel cho T phát biểu cách rõ sau: Hệ 2.4 (định lý Plancherel) Giả sử f (x) hàm thực phức thuộc không gian L2 (R) Z k T (x, k) = √ f (y) cos(xy) + sin(xy) dy 2π −k Khi đó, k → +∞, T (x, k) hội tụ theo chuẩn (−∞, ∞) tới hàm (T f )(x) L2 (R) tương ứng ta có Z k 1 f (x, k) = √ (T f )(y) cos(xy) + sin(xy) dy, 2π −k hội tụ theo chuẩn tới f (x) Chứng minh Với f ∈ L2 (R), tồn dãy {fn } ⊂ S cho kfn − f k2 → n → ∞ Mặt khác, ta có T = H1 + H2 2 Do vậy, theo Định lý 1.17, ta có kT fn − T fm k2 = k H1 (fn − fm ) + H2 (fn − fm )k2 ≤ 2kfn − fm k2 , 2 62 (LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan suy dãy {T fn } hội tụ đến hàm L2 (R), ta ký hiệu Tf Hơn nữa, fn ∈ S, nên ta có Z x Z x Z (T fn )(t)dt = √ dt fn (y)[2 cos(ty) + sin(ty)]dy 2π 0 R Z sin(xy) − cos(xy) + =√ fn (y) dy (2.31) y 2π R Qua giới hạn (2.31) n → ∞, ta Z x Z sin(xy) − cos(xy) + (Tf )(t)dt = √ dy, f (y) y 2π R hầu khắp nới R Từ đây, suy Z d sin(xy) − cos(xy) + (Tf )(x) = √ f (y) dy y 2π dx R Từ tính tốn tử T Định lý 2.5, nên ta có T f = Tf Do vậy, ta Z sin(xy) − cos(xy) + 1 d f (y) dy (2.32) (T f )(x) = √ y 2π dx R Bây với f ∈ L2 (R), ta đặt fk (x) = f (x) |x| ≤ k, fk (x) = |x| > k Từ (2.32), suy Z k sin(xy) − cos(xy) + 1 d (T fk )(x) = √ f (y) dy y 2π dx −k Z k =√ f (y)[2 cos(xy) + sin(xy)]dy = T (x, k) 2π −k Mặt khác, kT fk − T f k2 ≤ 2kfk − f k2 → k → +∞ Như vậy, T (x, k) hội tụ L2 (R) đến (T f )(x) k → +∞ Sự hội tụ f (x, k) chứng minh tương tự Hệ chứng minh Biến đổi tích phân T khơng unita nên khơng thỏa mãn đẳng thức Parseval Tuy nhiên, T có đẳng thức kiểu Parseval (sẽ chứng minh đây) Bổ đề sau dùng để chứng minh đẳng thức kiểu Parseval cho T f (x) Bổ đề 2.1 ([47, Định lý 12]) Nếu thuộc L1 (R) + |x| Z f (x + 0) + f (x − 0) sin λ(x − t) = lim dt f (t) λ→∞ π R x−t 63 (LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan Định lý 2.6 (đẳng thức kiểu Parseval) Nếu f, g ∈ L2 (R) Z Z Z (T f )(x)(T g)(x)dx = f (x)g(x)dx + f (x)g(−x)dx, R R R (2.33) Z Z Z (T −1 f )(x)(T −1 g)(x)dx = f (x)g(x)dx − f (x)g(−x)dx, R R R (2.34) Z Z (T f )(x)(T −1 g)(x)dx = f (x)g(x)dx (2.35) R R Chứng minh Sử dụng định lý Fubini Bổ đề 2.1, ta có Z Z λ (T f )(x)(T g)(x)dx (T f )(x)(T g)(x)dx = lim λ→+∞ −λ R Z λ Z dx f (y)[2 cos(xy) + sin(xy)]dy× = lim λ→+∞ 2π −λ R Z g(v)[2 cos(xv) + sin(xv)]dv R Z Z f (y)dy g(v)dv× = lim λ→+∞ 2π R R Z λ [4 cos(xy) cos(xv) + sin(xy) sin(xv)]dx −λ Z Z f (y)dy g(v)dv× = lim λ→+∞ 2π R R Z λh i cos x(y − v) + cos x(y + v) dx −λ Z Z = lim f (y)dy g(v)dv× λ→+∞ π R R sin λ(y − v) sin λ(y + v) + y−v y+v Z Z = f (y)g(y)dy + f (y)g(−y)dy R R Đẳng thức (2.33) chứng minh Đẳng thức (2.34) chứng minh hồn tồn tương tự thơng qua hệ thức 1 cos(xy) + sin(xy) cos(xv) + sin(xv) 2 = cos x(y − v) − cos x(y + v) + sin x(y + v) 8 64 (LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan Cuối cùng, ta chứng minh (2.35) Tương tự chứng minh (2.33), ta có Z Z λ −1 (T f )(x)(T −1 g)(x)dx (T f )(x)(T g)(x)dx = lim λ→+∞ −λ R Z λ Z dx [2 cos(xy) + sin(xy)]f (y)dy× = lim λ→+∞ 2π −λ R Z [ cos(xv) + sin(xv)]g(v)dv RZ2 Z = lim f (y)dy g(v)dv× λ→+∞ 2π R R Z λ [cos(xy) cos(xv) + sin(xy) sin(xv)]dx −λ Z Z Z λ = lim cos x(y − v)dx f (y)dy g(v)dv λ→+∞ 2π R −λ R Z Z sin λ(y − v) = lim dv f (y)dy g(v) λ→+∞ 2π R y − v R Z = f (y)g(y)dy R Định lý chứng minh Mệnh đề 2.2 Nếu hàm f ∈ L1 (R) có đạo hàm đến cấp hai thuộc L1 (R) (T f 00 )(x) = −x2 (T f )(x) Chứng minh Ta có T = 2+i − i −1 F+ F 2 Áp dụng Tính chất 1.2, ta thu 2+i − i −1 00 (F f 00 )(x) + (F f )(x) 2 2+i − i −1 =(ix)2 (F f )(x) + (−ix)2 (F f )(x) 2 = − x2 (T f )(x) (T f 00 )(x) = Mệnh đề chứng minh 65 (LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan 2.2 Nguyên lý bất định Heisenberg Trong học lượng tử độ bất định động lượng ∆p độ bất định tọa độ ∆x thỏa mãn hệ thức (gọi hệ thức bất định Heisenberg) |∆p||∆x| ≥ ~, đó, 2π~ = h với h số Planck Điều chứng tỏ vị trí động lượng hạt khơng xác định đồng thời Nếu vị trí hạt xác định động lượng hạt bất định ngược lại Tương tự, ký hiệu ∆E độ bất định lượng ∆t độ bất định thời gian ta có hệ thức bất định sau |∆E||∆t| ≥ ~ Nghĩa lượng hệ trạng thái bất định thời gian để hệ tồn trạng thái ngắn ngược lại Nếu f ∈ L2 (R) |f (x)|2 |(F f )(k)|2 hai nhỏ tùy ý Điều |f (x)|2 |(F f )(k)|2 tuân theo nguyên lý bất định Heisenberg (xem [15]) Định lý sau cho thấy |f (x)|2 |(T f )(ξ)|2 tuân theo nguyên lý bất định Heisenberg Định lý 2.7 (nguyên lý bất định Heisenberg) Nếu f ∈ L2 (R) Z 21 Z 21 2 2 x |f (x)| dx ≥ kf k22 , (2.36) ξ |(T f )(ξ)| dξ R R đẳng thức xảy f (x) = Ae−βx hầu khắp nơi R, β số dương Trước chứng minh nguyên lý bất định Heisenberg ta nhận thấy T không tốn tử unita nên khơng thể áp dụng Định lý 2.4 [16] để chứng minh Hơn nữa, dùng đẳng thức kiểu Parseval chứng minh dài phức tạp nhiều so với toán tử unita (xem [15, 43]) Do đó, ta sử dụng chuỗi Fourier L2 (R) để chứng minh định lý (xem [40]) Sau bổ đề hỗ trợ cho việc chứng minh nguyên lý bất định Heisenberg Cho m, n ∈ N Φn (t) ψn (t) = p √ (2n n! π) 66 (LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan Ta biết hàm ψm lập thành sở trực chuẩn L2 (R) nên hψm , ψn i = δmn , δnm ký hiệu Kronecker Với f ∈ L2 (R), g = (T f ) Từ T −1 = + 2i − 2i −1 F+ F , 4 (2.35), ta có hệ số Fourier f, g liên hệ với γm := hf, ψm i =hT f, T −1 ψm i + 2i − 2i −1 =hg, F ψm + F ψm i 4 (1 + 2i)i−m + (1 − 2i)im hg, ψm i, = (2.37) hay hg, ψm i = θm γm , θm := , m = 0, 1, (1 + 2i)i−m + (1 − 2i)im Dễ thấy (−1) m2 θm = (−1) m−1 2 θm = −θm θm+2 m = 0, (mod 4) m = 1, (mod 4), 4 m chẵn = 1 m lẻ (2.38) Bổ đề 2.2 Ta có đẳng thức ∞ Xh (2m + 1)(1 + θm )|γm |2 t |f (t)| dt + t |g(t)| dt = m=0 R R i p + m(m + 1)(1 + θm−1 θm+1 )(γm−1 γm+1 + γm−1 γm+1 ) (2.39) Z 2 Z 2 Chứng minh Ta nhắc lại công thức truy hồi hàm Hermite √ √ √ tψm (t) = m + ψm+1 (t) + m ψm−1 (t), m ∈ N (2.40) ta quy ước ψ−1 (t) = Đặt γ−1 = 0, ta có √ √ √ 2htf (t), ψm (t)i = m + γm+1 + m γm−1 67 (LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan(LUAN.an.TIEN.si).phep.bien.doi.tich.phan.dang.fourier.va.ung.dung.giai.mot.so.phuong.trinh.vi.phan.va.tich.phan Quy ước θ−1 = −1, sử dụng (2.37), (2.40) ta có √ √ √ 2htg(t), ψm (t)i = hg(t), m + ψm+1 (t) + m ψm−1 (t)i √ √ = m + 1hg(t), ψm+1 (t)i + mhg(t), ψm−1 (t)i √ √ = m + θm+1 γm+1 + m θm−1 γm−1 Như Z t2 |f (t)|2 dt = htf (t), tf (t)i R ∞ √ X
Ngày đăng: 20/12/2023, 02:54
Xem thêm:
