luận văn thạc sĩ tập hút lùi đối với một lớp phương trình parabolic suy biến

đại học quốc gia hà nội tr-ờng đại học khoa häc tù nhiªn BÙI HUY BÁCH TẬP HÚT LÙI ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIN Luận văn thạc sĩ khoa học Hà nội - 2011 z đại học quốc gia hà nội tr-ờng đại học khoa học tự nhiên BÙI HUY BÁCH TẬP HÚT LÙI ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHNG TRèNH PARABOLIC SUY BIN Luận văn thạc sĩ khoa häc Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01 Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN ĐÌNH BÌNH Hµ néi - 2011 z Mục lục Danh mục kí hiệu, chữ viết tắt Lời cảm ơn Lời mở đầu Không gian hàm định nghĩa 1.1 Khơng gian hàm tốn tử 1.2 Tập hút lùi (Pullback attractors) 11 1.3 Một số bổ đề, định lý 14 1.3.1 Bổ đề Gronwall 14 1.3.2 Bổ đề Gronwall 15 Sự tồn nghiệm yếu 2.1 2.2 17 Đặt toán 17 2.1.1 Các giả thiết toán 17 2.1.2 Định nghĩa nghiệm yếu toán 18 Sự tồn nghiệm yếu toán 19 Sự tồn D− tập hút lùi Hµ (Ω) T Lp (Ω) 28 3.1 Các bổ đề 28 3.2 Định lý 37 Kết luận chung 39 z luan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien Tài liệu tham khảo 40 z luan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien luan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien Danh mục kí hiệu, chữ viết tắt Trong khóa luận này, ngắn gọn, ta dùng kí hiệu: |.|2 , (.,.), kukµ , ((., ))µ , làm chuẩn tích vơ hướng L2 (Ω) Hµ (Ω); tương tự, ta dùng |.|p làm chuẩn Lp (Ω) Ta thường sử dụng ký hiệu sau: ΩM = Ω(u(t) ≥ M ) = {x ∈ Ω : u(x, t) ≥ M } z luan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien luan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien Lời mở đầu Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận hệ động lực vấn đề quan trọng vật lý toán đại Một cách tiếp cận toán hệ động lực tán xạ phân tích tồn cấu trúc tập hút toàn cục (global attractor) Đó tập đóng, bị chặn, bất biến hút tất tập bị chặn Tập hút tồn cục chứa đựng nhiều thơng tin dáng điệu tiệm cận hệ động lực xét Tuy nhiên, tập hút toàn cục áp dụng cho trường hợp ơtơnơm, nhiều q trình có ngoại lực phụ thuộc vào thời gian Do đó, cần phải mở rộng khái niệm tập hút cho hệ động lực không ôtônôm Việc mở rộng nghiên cứu tập hút dẫn đến khái niệm tập hút (uniform attractor) cho trường hợp quỹ đạo nghiệm bị chặn thời gian t tiến vô hạn, sau khái niệm tập hút lùi (pullback attractor) cho trường hợp quỹ đạo nghiệm thời gian t tiến vô hạn Trong luận văn này, tác giả nghiên cứu tồn tập hút lùi lớp phương trình parabolic suy biến:  µ  ut − ∆u − u + f (u, t) = g(t, x), x ∈ Ω, t > τ,    |x|       u|∂Ω = 0, t > τ, (0.1) u(x, τ ) = uτ (x), x ∈ Ω, với Ω miền bị chặn RN (N ≥ 3) có chứa gốc tọa độ, uτ ∈ L2 (Ω) hàm cho trước, < µ ≤ µ∗ tham số, µ∗ = ( N2−2 )2 số lớn z luan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien luan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien thỏa mãn bất đẳng thức Hardy: Z Z |u|2 ∗ µ |∇u|2 dx, ∀u ∈ C∞ (Ω) dx ≤ |x| Ω (0.2) Ω Trong trường hợp g ≡ hàm f có số dạng đặc biệt, toán (0.1) nghiên cứu báo [2,3,5,6,12], hay trường hợp hàm ngoại lực g(t, x) phụ thuộc vào thời gian t hàm phi tuyến f = f (u): ut − ∆u − µ u + f (u) = g(t, x), |x|2 toán (0.1) nghiên cứu báo [1] Trong đó, tác giả nghiên cứu tồn toàn cục phụ thuộc dáng điệu nghiệm phương trình vào tham số µ Trong luận văn này, tác giả tiếp tục nghiên cứu toán (0.1) trường hợp hàm ngoại lực g(t, x) hàm phi tuyến f = f (u, t) Hàm phi tuyến f ngoại lực g thỏa mãn điều kiện sau: (F) Hàm f ∈ C1 (R × [τ, ∞]) thỏa mãn: C1 |u|p − k1 (t) ≤ f (u, t)u ≤ C2 |u|p + k2 (t), p ≥ 2, k1 (t) , k2 (t) ∈ L∞ (R) , k1 (t) > 0, ∀t ∈ R, k2 (t) > 0, ∀t ∈ R, ∂f (u, t) ≥ −l, ∀u ∈ R, ∂u C(|u|pp Z − 1) ≤ F (u) ≤ C(|u|pp + 1), Ω F (u) = Ru f (r)dr, (trong trường hợp f (r, t) = f (r)), C, C1 , C2 , l số dương z luan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien luan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien 1,2 (R; L2 (Ω)) thỏa mãn (G) g ∈ Wloc Z0 eh1,µ s (|g(s)|22 + |g (s)|2 )ds < +∞, −∞ h1,µ giá trị riêng thứ tốn tử Aµ = −∆ − |x|µ2 Ω với điều kiện Dirichlet Để nghiên cứu toán (0.1), ta sử dụng khơng gian Hµ (Ω), ≤ µ ≤ µ∗ , định nghĩa bao đóng C∞ (Ω) với chuẩn Z |u|2 kukµ = ( (|∇u| − µ )dx)1/2 |x| Ω Mục đích khóa luận chứng minh ln có tồn phụ T thuộc vào tham số µ D- tập hút lùi không gian Hµ (Ω) Lp (Ω) cho q trình mơ tả toán (0.1) Phương pháp sử dụng khóa luận mơ tả sau: Trước tiên ta sử dụng phương pháp compact hóa [9] để chứng minh tồn toàn cục nghiệm yếu sử dụng đánh giá tiên nghiệm để b = {B(t) : t ∈ R} tồn họ D- tập hấp thụ lùi B T Hµ (Ω) Lp (Ω) cho q trình nói Do tính compact phép nhúng Hµ (Ω) ,→ L2 (Ω), q trình nói D- tiệm cận compact lùi L2 (Ω) Điều kéo theo tồn D- tập hút lùi L2 (Ω) Trong trình chứng minh tồn D- tập hút lùi Lp (Ω) T Hµ (Ω) Lp (Ω), để khắc phục khó khăn thiếu kết phép nhúng, ta sử dụng phương pháp tiệm cận đánh giá tiên nghiệm khởi đầu [11] cho phương trình ơtơnơm Cấu trúc khóa luận gồm ba chương: - Chương 1: Trình bày kiến thức sở khái niệm kết không gian tập hút lùi phương trình parabolic phi tuyến z luan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien luan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien tính - Chương 2: Chứng minh tồn nghiệm yếu toán (0.1) T - Chương 3: Chứng minh tồn D− tập hút lùi Hµ (Ω) Lp (Ω) (trong trường hợp f (u, t) không phụ thuộc vào t) Mặc dù cố gắng, song luận văn chắn cịn nhiều thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý thầy đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2011 z luan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien luan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien Chương Không gian hàm định nghĩa 1.1 Khơng gian hàm tốn tử Với ≤ µ ≤ µ∗ , ta định nghĩa khơng gian Hµ (Ω) bao đóng C∞ (Ω) với chuẩn: Z |u|2 kukµ = ( (|∇u| − µ )dx)1/2 |x| Ω Khi Hµ (Ω) khơng gian Hilbert với tích vơ hướng Z (∇u∇v − µ < u, v >µ := uv )dx, ∀u, v ∈ Hµ (Ω) |x|2 Ω Ta biết (xem [12]) ≤ µ ≤ µ∗ ,thì Hµ (Ω) ≡ H01 (Ω) Khi µ = µ∗ , ta có bất đẳng thức Hardy-Poincare [12] Z 2 ∗ |u| (|∇u| − µ )dx ≥ C(q, Ω) kukW 1,q (Ω) , ≤ q < 2, |x| (1.1) Ω với ≤ s < 1, ≤ r < r∗ = Z (|∇u| − 2N N −2(1−s) , ∗ |u| µ )dx |x| ≥ C(s, r, Ω) kuk2W s,r (Ω) , Ω z luan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bienluan.van.thac.si.tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien (1.2)