THÔNG TIN TÀI LIỆU
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM NGUYỄN THỊ NGỌC HÂN TP HĨT U ÈI VỴI MËT LỴP PHìèNG TRNH PARABOLIC SUY BIN TĩA TUYN TNH KHặNG ặTặNặM LUN VN THC S TON HÅC Th¡i Nguy¶n - 2018 download by : skknchat@gmail.com I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM NGUYỄN THỊ NGỌC HÂN TP HĨT U ẩI VẻI MậT LẻP PHìèNG TRNH PARABOLIC SUY BIN TĩA TUYN TNH KHặNG ặTặNặM Ngnh: ToĂn giÊi tẵch M số: 46 01 02 LUN VN THC S TON HÅC Ngữới hữợng dăn khoa hồc TS.PHM TH THếY ThĂi Nguyản - 2018 download by : skknchat@gmail.com Líi cam oan Tỉi xin cam oan rơng nởi dung trẳnh by luên vôn ny l trung thỹc v khổng trũng lp vợi à ti khĂc CĂc thổng tin trẵch dăn luên vôn  ữủc ch ró nguỗn gốc ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2018 Ngữới viát luên vôn Nguyạn Th Ngồc HƠn XĂc nhên XĂc nhên cừa trững khoa ToĂn cừa ngữới hữợng dăn khoa hồc TS PhÔm Th Thừy i download by : skknchat@gmail.com Líi c£m ìn Tỉi xin b y tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi TS PhÔm Th Thừy , ngữới cổ  tên tẳnh hữợng dăn tổi suốt quĂ trẳnh nghiản cựu tổi cõ th hon thnh luên vôn Tổi xin trƠn trồng cÊm ỡn Ban GiĂm hiằu, ban lÂnh Ôo sau Ôi hồc ton th cĂc thƯy cổ giĂo Khoa ToĂn trữớng HSP ThĂi Nguyản  truyÃn thử cho tổi nhỳng kián thực quan trồng, tÔo iÃu kiằn thuên lủi v cho tổi nhỳng ỵ kián õng gõp quỵ bĂu suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn Luên vôn chưc chưn s khổng trĂnh khọi nhỳng khiám khuyát vẳ vêy rĐt mong nhên ữủc sỹ õng gõp ỵ kián cừa cĂc thƯy cổ giĂo v cĂc bÔn hồc viản luên vôn ny ữủc hon chnh hỡn Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn! ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2018 TĂc giÊ Nguyạn Th Ngồc HƠn ii download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom Mưc lưc Líi cam oan Líi c£m ỡn Mửc lửc Mởt số kỵ hiằu v viát tưt M Ưu Kián thực chuân b 1.1 Mởt số kh¡i ni»m 1.2 C¡c khæng gian h m 1.3 Tªp hót to n cưc 1.4 4 1.3.1 Mët sè kh¡i ni»m 1.3.2 Tªp hót to n cưc 1.3.3 Sỹ tỗn tÔi têp hút ton cửc 11 13 Tªp hót ·u 16 1.4.1 Têp hút Ãu cừa quĂ trẳnh ỡn tr 16 1.4.2 Têp hút Ãu cừa nỷa quĂ trẳnh a trà 18 1.5 Mởt số bĐt ng thực thữớng dũng 20 1.6 Mët sè bê · quan trång 21 iii luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom Tªp hót ·u ối vợi mởt lợp phữỡng trẳnh parabolic suy bián tỹa tuyán tẵnh khổng ổtổnổm 23 2.1 t bi toĂn 23 2.2 Sỹ tỗn tÔi nghiằm yáu 25 2.3 Sỹ tỗn tÔi têp hút Ãu 2.4 Tẵnh trỡn cừa têp hút Ãu trữớng hđp nh§t nghi»m v p=2 L2 (Ω) 2.4.1 Tªp (L2 (Ω), Lq (Ω)) 2.4.2 Tªp (L2 (Ω), D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω)) - hót ·u 27 31 35 - hút Ãu 39 Kát luên Ti liằu tham khÊo 41 42 iv luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom Mởt số kỵ hiằu v viát tt R = (−∞; +∞) : tªp Rn : khỉng gian vctỡ tuyán tẵnh thỹc n chiÃu C([a; b], Rn ) : tªp C(Ω) : l C k (Ω) : cĂc số thỹc tĐt cÊ cĂc hm liản tửc trản [a; b] v nhên giĂ tr trản khổng gian cĂc h m li¶n tưc tr¶n mi·n Ω l khỉng gian c¡c hm khÊ vi liản tửc Ãu cĐp k trản miÃn L2 ([a, b], Rm ) : C ∞ (Ω) : l têp cĂc hm khÊ tẵch bêc hai trản [a, b] v lĐy giĂ tr ữủc xĂc nh bơng \ C(Ω), C k (Ω), , vỵi gi¡ compact khỉng gian cĂc hm khÊ vi liản tửc cĐp vổ hÔn trản miÃn Vợi giĂ compact Trong õ khổng gian cĂc hm lụy thứa bêc p khÊ tẵch Lebesgue : k()kLp (Ω) |(Ω)|p dx) p , (1 ≤ p < ∞) Z =( (Ω) ∞ L (u) = {u : u → R|u l Trong â Ω C k (Ω) kN k Cc (), Cc (), , kỵ hiằu cĂc h m Lp (Ω) : l Ω khæng gian c¡c hm khÊ vi liản tửc cĐp vổ hÔn trản miÃn C0∞ (Ω) : L Rn o ÷đc Lebesgue, kukL∞ (u) < ∞} : kukL∞ (u) = ess sup |u| u v luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com Ω Rm luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom Ω0 ⊂⊂ Ω th¼ v(x) ∈ L1 (Ω0 ) Z L1loc () : tỗn tÔi L1 () : gỗm c¡c h m câ ë o Lebesgue Lploc (u) = {u : u → R|u ∈ Lp (V ), H k (u), Wpk (u)(k = 1, 2, ) l vỵi mồi |v(x)| < + V u} kỵ hiằu cĂc khæng gian Sobolev C k,β (u), C k,β (u), (k = 0, 1, , < β ≤ 1) l c¡c khæng gian Holder Ou = (ux1 , , uxn ) l v²ctì gradient cõa h m u n X Mu= uxi xi l to¡n tû Laplace cõa h m u i=1 : k¸t thóc chùng minh vi luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom M Ưu Lẵ chồn à ti CĂc phữỡng trẳnh Ôo hm riảng tián hõa xuĐt hiằn nhiÃu cĂc quĂ trẳnh cừa vêt lỵ, hõa hồc, sinh hồc Viằc nghiản cựu nhỳng lợp phữỡng trẳnh ny cõ ỵ nghắa quan trồng khoa hồc v cổng nghằ Chẵnh vẳ vêy nõ  v ang thu hút ữủc sỹ quan tƠm cừa nhiÃu nh khoa hồc trản thá giợi CĂc vĐn à t l nghiản cựu sỹ tỗn tÔi nghiằm, sỹ phử thuởc liản tửc cừa nghiằm theo dỳ kiằn  cho v cĂc tẵnh chĐt nh tẵnh cừa nghiằm cừa bi toĂn Trong ba thêp k gƯn Ơy, lỵ thuyát cĂc hằ ởng lỹc tiảu hao vổ hÔn chiÃu ữủc phĂt trin mÔnh m Lỵ thuyát ny nơm giao cừa chuyản ngnh l lỵ thuyát hằ ởng lỹc, lỵ thuyát phữỡng trẳnh vi phƠn Ôo hm riảng v lỵ thuyát phữỡng trẳnh vi phƠn thữớng Bi toĂn cỡ bÊn cừa lỵ thuyát ny l nghiản cựu sỹ tỗn tÔi v cĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa têp hút NhiÃu kát quÊ và lỵ thuyát têp hút ối vợi nhiÃu lợp phữỡng trẳnh vi phƠn Ôo hm riảng ữủc trẳnh by [8],[14] Mởt nhỳng lợp phữỡng trẳnh Ôo hm riảng ữủc nghiản cựu nhiÃu nhĐt l lợp phữỡng trẳnh parabolic Sỹ tỗn tÔi têp hút ton cửc ối vợi lợp phữỡng trẳnh v hằ phữỡng trẳnh parabolic nỷa tuyán tẵnh khổng suy bián  ữủc nghiản cựu bi nhiÃu tĂc giÊ miÃn b chn Tẵnh liản tửc cừa têp hút ton cửc ối vợi cĂc bi toĂn parabolic ữủc nghiản cựu cĂc cổng trẳnh[3], [6], [12] Cho án nay, cĂc kát quÊ và lỵ thuyát têp hút ối vợi lợp phữỡng trẳnh luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom parabolic khổng suy bián rĐt phong phú v  khĂ hon thiằn Lỵ thuyát và têp hút ton cửc ối vợi phữỡng trẳnh parabolic suy bián  ữủc nghiản cựu cho bi toĂn chựa phữỡng trẳnh parabolic suy bián cõ phƯn chẵnh dÔng 4(u) hoc div((u)O(u)) õ (0) = 0; phữỡng trẳnh parabolic suy bián chựa toĂn tỷ Grashin; phữỡng trẳnh parabolic suy bián kiu Caldiroli - Mussina CĂc kát quÊ và sỹ tỗn tÔi têp hút Ãu ữủc nghiản cựu [2], [7], [11], [9], Viằc nghiản cựu sỹ tỗn tÔi v tẵnh chĐt cừa têp hút ối vợi lợp phữỡng trẳnh parabolic suy bián l vĐn à thới sỹ, cõ ỵ nghắa khoa hồc v hùa hµn câ nhi·u ùng dưng c¡c b i toĂn thỹc tá Vợi nhỳng lẵ trản, chúng tổi lỹa chồn vĐn à trản lm nởi dung nghiản cựu luên vôn vợi tản gồi Têp hút Ãu ối vợi mởt lợp phữỡng trẳnh parabolic suy bián tỹa tuyán tẵnh khổng ổtổnổm Mửc ẵch v nhiằm vử nghiản cựu 2.1 Mửc ẵch nghiản cựu Mửc ẵch cừa luên vôn l nghiản cựu sỹ tỗn tÔi v mởt số tẵnh chĐt cừa têp hút ton cửc (bao gỗm tẵnh trỡn, Ănh giĂ số chiÃu fractal, ) ối vợi mởt lợp phữỡng trẳnh suy bián kiu Caldiroli - Mussina mi·n bà ch°n 2.2 Nhi»m vư nghi¶n cùu Tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m c¡c khỉng gian hm, têp hút ton cửc, sỹ tỗn tÔi têp hút ton cửc, số chiÃu fractal Trẳnh by kát quÊ và sỹ tỗn tÔi têp hút Ãu ối vợi mởt lợp phữỡng trẳnh parabolic suy bián tỹa tuyán tẵnh khổng ổtổnổm trản miÃn b chn Phữỡng phĂp nghiản cựu RN chựng minh sỹ tỗn tÔi v nhĐt nghiằm yáu, chúng tổi sỷ dửng phữỡng phĂp xĐp x Galerkin kát hủp vợi cĂc bờ à compact chựng minh sỹ tỗn tÔi têp hút v tẵnh trỡn cừa têp hút chúng tổi sỷ sửng phữỡng phĂp cừa lẵ thuyát hằ ởng lỹc vổ hÔn chiÃu, nõi ri¶ng l luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom v ta câ c¡c ¡nh gi¡ sau | Z T τ Z T Z | a(un , v)dt| = dt |u|p−2 udiv(ρ∇v)|dxdt, p−1 τ Ω p p Z T p0 p0 ≤C ||un ||Lp (Ω) ||v||V dt ≤ C||un ||Lp (Qτ,T ) ||v||Lp (τ,T ;V ) , τ |hf (un ), vi| ≤ ||f (un )||Lq0 Qτ,T ) ||v||Lq (Qτ,T ) , ( |hg, vi| ≤ ||g||Lq0 (Qτ,T ) ||v||Lq (Qτ,T ) , vỵi måi v ∈ Lp (τ, T ; V )∩Lq (Qτ,T ), â { 0 Lp (τ, T ; V ∗ ) + Lq (Qτ,T ) Kát hủp iÃu ny vợi (2.10) v sỷ dửng M»nh · 2.4 [2] ta thu ÷đc un → u Lp (Qτ,T ), B¥y gií ta x²t dun } bà ch°n khæng gian dt {un } â tn → t0 , vỵi l ti·n compact Lp (Qτ,T ) Do â, u ∈ L2 (τ, T ; L2 (Ω)) tn , t0 ∈ (τ, T ] Ta s³ chùng minh un (tn ) → u(t0 ) L2 (Ω) V¼ un (tn ) * u(t0 ) L2 (Ω), n¶n lim inf ||un (tn )||L2 (Ω) ≥ ||u(t0 )||L2 (Ω) n→∞ N¸u ta chùng minh ữủc thẳ un (tn ) u(t0 ) lim supn→∞ ||un (tn )||L2 (Ω) ≤ lim inf n→∞ ||u(t0 )||L2 (Ω) L2 (Ω) Ta câ ||un (t)||2L2 (Ω) ||u(t)||2L2 (Ω) vỵi måi ≤ n t + K(t − s) + (gσn (v), un (v))dv, Z ts ≤ ||u(s)||2L2 (Ω) + K(t − s) + (gσ (v), un (v))dv, s t ≤ s, t, s ∈ [τ, T ], thuëc v o Z ||un (s)||2L2 (Ω) â σ = gσ v h¬ng sè K>0 Do â, h m Z ||un (t)||2L2 (Ω) t − Kt − (gσn (v), un (v))dv, Z tτ J(t) = ||u(t)||2L2 (Ω) − Kt − (gσ (v), un (v))dv, Jn (t) = τ 29 luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com khỉng phư luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom [τ, T ] l liản tửc v khổng tông trản L2 (Ω) h¦u khp t ∈ (τ, T ), un → u L2 (τ, T ; L2 (Ω)), ta câ cho Jn (t) → J(t) Ti¸p theo ta chùng minh τ < tm < t0 Hìn núa, v¼ un (t) → u(t) L2 (τ, T ; L2 (Ω)) h¦u khp n → ∞ gσn * gσ t ∈ (τ, T ) lim supn→∞ Jn (tn ) ≤ J(t0 ) Jn (tm ) → J(tm ) v Gi£ sû Thªt vªy, °t tm < t n Vẳ Jn khổng tông, ta cõ Jn (tm ) J(t0 ) ≤ |Jn (tm ) − J(tm )| + |J(tm ) J(t0 )| Vợi bĐt kẳ > tỗn tÔi tm v n0 (tm ) cho Jn (tn ) ≤ , vỵi måi n ≥ n0 Vẳ vêy, Z lim sup ||un (t)||2L2 () n t − Kt − (gσ (v), u(v))dv τ Z t ≤ ||u(t0 )||2L2 (Ω) − Kt − (gσ (v), u(v))dv lim sup Jn (tn ) = n→∞ τ Do â, limn→∞ sup ||un (tn )||L2 (Ω) ≤ ||u(t0 )||L2 () nh lỵ 2.3.3 [1] GiÊ sỷ cĂc iÃu kiằn (H1) - (H3) ữủc thọa mÂn Khi õ hå nûa qu¡ tr¼nh a trà A {Uσ }σ∈Σ câ mët tªp hót to n cưc ·u compact L2 (Ω) Chùng minh Tø (2.7), ta câ ||un (t)||2L2 (Ω) ≤ ||u(0)||2L2 (Ω) e−(t−τ ) + K1 + K2 ||g||2L2 b = Do õ hẳnh cƯu cừa Ănh xÔ T (B) ||u(0)||2L2 (Ω) e−(t−τ ) cho UΣ (t, 0, B) B0 , Ta nh nghắa têp ton cửc +R B0 = {u ∈ L2 (Ω) : ||u|| ≤ (t, u) 7→ UΣ (t, 0, u), L2 (Ω), K R2 + } nghắa l vợi bĐt kẳ vỵi måi K = UΣ (1, 0, B0 ) ta cõ l têp hĐp thử B B(L2 ()) tỗn tÔi t T (B) Tứ Bờ à và sỹ tỗn tÔi têp hút l compact 30 luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom Hỡn nỳa, vẳ B0 l têp h§p thư, ta câ UΣ (t, τ, B) = UΣ (t, t − 1, UΣ (t − 1, τ, B)) = UT (t−1)σ (1, 0, UT (τ )σ (t − − τ, 0, B)) ⊂ UΣ (1, 0, B0 ) ⊂ K vỵi måi σ ∈ Σ, B ∈ B(L2 (Σ)), Khi â måi d¢y v t ≥ T (B, τ ) {ξn } ∈ Uσn (tn , τ, B0 ), σn ∈ Σ, tn → +∞, B ∈ B(L2 ()), l tiÃn compact Do õ, Ănh xÔ U cõ giĂ tr compact vợi bĐt kẳ Cuối cũng, ta chựng minh Ănh xÔ trản vợi mội tÔi t (σ, x) 7→ Uσ (t, τ, x) σ ∈ Σ l nûa li¶n tưc cè ành Gi£ sû i·u n y khổng úng, tực l, tỗn u0 L2 (), t ≥ τ ≥ 0, σ0 ∈ Σ, > 0, δn → 0, un ∈ Bδn (u0 ) , σn → σ0 , ξn ∈ Uσn (t, τ, un ) cho {ξn } ∈ / B (Uσ0 (t, τ, u0 )) sỹ tỗn tÔi têp hút ton cửc L2 (Ω) , ta câ v Nh÷ng theo Bê · v· ξn → ξ ∈ Uσ0 (t, τ, u0 ) (sai khĂc mởt dÂy con), iÃu ny dăn án mƠu thuăn Sỹ tỗn tÔi cừa têp hút ton cửc Ãu compact kát hủp vợi nh lẵ và têp hút Ãu cừa nỷa quĂ trẳnh a tr 2.4 Tẵnh trỡn cừa têp hút Ãu trữớng hủp nhĐt nghiằm v p = Ta x²t B i to¡n (2.1) cho tr÷íng hñp p = 2: ∂u − div(ρ(x)∇u) + f (u) = g(t, x), x ∈ Ω, t > τ, ∂t u|t=τ = uτ (x), x ∈ Ω, (2.11) u|∂Ω = 0, â lüc g uτ ∈ L2 (Ω) cho trữợc, hằ số , số hÔng phi tuyán f v ngoÔi thọa mÂn cĂc iÃu kiằn (H1) - (H3) Chúng tổi nghiản cựu Bi toĂn (2.11) õ số hÔng phi tuyán f thọa mÂn cĂc iÃu kiằn sau: 31 luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom (H21 ) f ∈ C (R, R) thäa m¢n (2.2) , v f (u) l (l > 0), v ngoÔi lỹc g (2.12) thọa mÂn thảm mởt số iÃu kiằn no õ Tữỡng tỹ nhữ nh lẵ và sỹ tỗn tÔi nhĐt nghiằm yáu, vợi iÃu kiằn (2.12) cõ th chựng minh ữủc Bi toĂn (2.11) cõ nhĐt nghiằm Vẳ vêy, ta cõ th nh nghắa mởt hồ cĂc quĂ trẳnh L2 () vợi U (t, )uτ = u(t), â cõa B i to¡n (2.11) vỵi i·u ki»n ban ¦u u(t) uτ {Uσ (t, τ )}σ∈Σ l nghiằm yáu nhĐt v ngoÔi lỹc Do tẵnh nhĐt nghiằm, ta cõ U (t + h, τ + h) = UT (h)σ (t, τ ), ∀σ ∈ Σ, t ≥ τ, τ ∈ R, h R Ta s sỷ dửng lẵ thuyát têp hút Ãu khổng gian kp ối vợi quĂ trẳnh liản tửc yáu [6] v phữỡng phĂp ữợc lữủng tiản nghiằm tiằm [10] cên nghiản cựu tẵnh trỡn cừa têp hút Ãu trữớng hủp ny Ta chựng minh mằnh à sau Mằnh à 2.4.1 Vợi cĂc giÊ thiát (H1), (H21) v (H3), hå c¡c qu¡ tr¼nh {Uσ (t, τ )}σ∈Σ sinh bði B i to¡n (2.1) tr÷íng hđp (L2 () ì , L2 ()) liản tửc yáu vợi p=2 l t , v (L2 () ì Σ, D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω)) − Chùng minh Cho trữợc v n * yáu liản tửc yáu vợi t , R, v gi£ sû uτn * uτ K½ hi»u t > τ y¸u L2 (Ω) un (t) = Uσn (t, τ )uτn T÷ìng tü chùng minh Bê · v· sü tỗn tÔi têp hút ton cửc L2 () , ÷ỵc l÷đng cõa un óng cho un (t) Cư thº l , {un } L∞ (τ, T ; L2 (Ω)) ∪ L2 (τ, T ; D01 (Ω, ρ)) ∩ Lq (τ, T ; Lq (Ω)) 32 luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com b chn luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom NhƠn cÊ hai vá cừa phữỡng trẳnh Ưu (2.11) vợi õ lĐy tẵch phƠn trản Ω, (t − τ ) dun , dt sau ta câ d d dun ||L2 (Ω) + (t − τ ) ||un ||2D01 (Ω,ρ) + (t − τ ) (t − τ )|| dtZ dt dt dun = (t − τ ) g(t) dx, dt Ω Z u â F (u) = f (s)ds Dịng b§t ¯ng thùc Cauchy Z F (un )dx Ω º ¡nh gi¡ v¸ ph£i, ta câ d d (t − τ ) ||un ||2D01 (Ω,ρ) + (t − τ ) dt dt F (un )dx ≤ (t − τ )||g(t)||2L2 (Ω) Ω Z [τ, t], τ < t ≤ T , ta câ Z Z 1 t 2 (t − τ )||un (t)||D01 (Ω,ρ) − ||un (s)||D01 (Ω,ρ) ds + (t − τ ) F (un )dx 2 τ Z tZ Z t Ω − F (un )dx ≤ (t − τ ) ||g(s)||2L2 (Ω) ds τ Ω τ L§y tẵch phƠn trản Tứ C1 |u|q C0 F (u) ≤ C3 |u|q + C0 ta câ (t − τ )||un (t)||2D01 (Ω,ρ) + C1 (t − τ )||un (t)||qLq (Ω) Z Z tZ t ≤ ||un (s)||D01 (Ω,ρ) + (C2 |u|q + C0 )dxds τ τ Ω Z t + (t − τ ) ||g(s)||2L2 (Ω) ds τ ≤ C, vỵi måi {un } l bà ch°n t > τ, {un (t)} d¢y um (t) cõa L2 (τ, T ; D01 (Ω, ρ)) ∩ Lq (τ, T ; Lq (Ω)) l bà ch°n un (t) cho D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω) um (t) * ω(t) Do õ vợi Vẳ vêy, ta lĐy mởt yáu L2 (Ω) 33 luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com vỵi t ≥ τ, luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω) v vợi t > , Theo tẵnh nhĐt nghiằm, ta câ v {Uσn (t, τ )uτn } ω l nghi»m cõa b i to¡n uτ (2.11) vỵi i·u ki»n ban ¦u L2 (Ω) â D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω) v â óng vỵi Uσm (t, τ )uτm * uσ0 (t, τ )uτ y¸u i·u n y óng cho måi d¢y cõa {Uσn (t, τ )uτn } Mằnh à 2.4.2 Vợi cĂc giÊ thiát (H1), (H2) v (H3), hå c¡c qu¡ tr¼nh {Uσ (t, τ )}σ∈Σ (L2 (Ω), D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω)) câ mët tªp Chùng minh Gi£ sû B ⊂ L2 (Ω) l bà ch°n, - h§p thư ·u uτ ∈ B, σ ∈ Σ, B0 v u = Uσ (t, τ )uτ Do â, t÷ìng tü (2.7) ,ta câ ||u(t)||2L2 (Ω) ≤ ||u(τ )||2L2 (Ω) e−(t−τ ) + C(1 − e(t ) ) + õ tÔi ||||L2b ||g||L2b , ∀σ ∈ Σ = Hω (g) T1 = T1 (B, τ ) C ||g||2L2 , −1 b 1−e Tø bĐt ng thực cuối, tỗn cho ||u(t)||2L2 () ρ0 , vỵi måit ≥ T1 , uτ ∈ B (2.13) Tø (2.7) v (2.13) , ta câ t+1 Z t (||u||2D01 (Ω,ρ) + ||u||qLq (Ω) ) ≤ C4 Z °t F (s) = vỵi måi t ≥ T1 (2.14) s f (ξ)dξ , â tø (H2), ta câ C1 |u|q − C0 ≤ F (u) ≤ C2 |u|q + C0 , Z q C1 ||u||Lq (Ω) − C0 |Ω| ≤ F (u) ≤ C2 ||u||qLq (Ω) + C0 |Ω| Ω So s¡nh vỵi (2.14) , ta câ Z t t+1 (||u||2D01 (Ω,ρ) Z + F (u) C5 vợi bĐt kẳ t T1 34 luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com (2.15) luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom ut , ta thu ÷đc Z d 1 2 ||u||L2 (Ω) + (||u||D01 (Ω,ρ) + F (u)) ≤ ||σ(t)||2L2 (Ω) + ||u(t)||2L2 (Ω) ), dt 2 Ω M°t kh¡c, nhƠn (2.1) vợi (2.16) vẳ vêy d (||u||2D01 (,) + dt F (u)) ≤ ||σ(t)||2L2 (Ω) Ω Z (2.17) Tø (2.15) v (2.17) , ¡p dưng b§t ¯ng thùc Gronwall ·u, ta câ ||u||2D01 (Ω,ρ) Z F (u) ≤ C6 + vỵi måi t ≥ T1 Ω Do â ||u(t)||2D01 (Ω,ρ) + ||u(t)||qDq (Ω) ≤ Cτ L iÃu ny cõ nghắa l tỗn tÔi mởt têp thử b chn Ãu Têp B0 vợi mồi t T1 (L2 (Ω), D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω)) - hĐp B0 cụng l têp (L2 (), L2 ()) chn Ãu ối vợi hồ cĂc quĂ trẳnh v (L2 (Ω), Lq (Ω)) {Uσ (t, τ )}σ∈Σ - hĐp thử b Theo nh lẵ 1.4.5 , chựng minh sỹ tỗn tÔi cừa mởt têp hút Ãu, ta ch cƯn chựng minh rơng {U (t, )} l compact ti»m cªn ·u 2.4.1 Tªp (L2(Ω), Lq (Ω)) - hút Ãu Ta giÊ sỷ ngoÔi lỹc g thọa mÂn i·u ki»n: (H31 )g ∈ L2n (R; L2 (Ω)), tc tành ti¸n Bê · 2.4.3 N¸u â l têp cĂc hm chuân L2loc (R; L2 ()) [10] g L2n (R; L2 ()), thẳ vợi bĐt kẳ Z lim sup γ→+∞ t≥τ vỵi måi L2n (R; L2 (Ω)) τ t τ ∈ R, e−γ(t−τ ) ||ϕ||2L2 (Ω) ds = 0, ϕ ∈ Σ 35 luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom {Uσ (t, τ )}σ∈Σ º ch¿ hå c¡c qu¡ tr¼nh l (L2 (Ω), Lq (Ω)) - compact tiằm cên Ãu, ta sỷ dửng kát quÊ sau Bờ · 2.4.4 [6] Gåi {Uσ (t, τ )}σ∈Σ l hå cĂc quĂ trẳnh trản L2 () v l (L2 (), L2 ()) - compact tiằm cên Ãu ( ối vợi ∈ Σ) Khi â {Uσ (t, τ )}σ∈Σ l (L2 (Ω), Lq (Ω)) - compact ti»m cªn ·u, {Uσ (t, )} Vợi bĐt kẳ (L2 (), Lq (Ω)) câ mët tªp > 0, τ ∈ R Z - h§p thư ·u v T = T (, B, τ ), |Uσ (t, τ )uτ |q < vợi bĐt kẳ B0 ; B L2 (), v bĐt kẳ têp b chn M = M (, B) cĂc hơng số dữỡng q < ,náu tỗn tÔi cho u B, t T, σ ∈ Σ Ω(|Uσ (t,τ )ur |≥M ) B¥y gií ta chựng minh nh lỵ 2.4.5 trẳnh [1] Vợi cĂc i·u ki»n {Uσ (t, τ )}σ∈Σ Lq (Ω) câ mët tªp (H1), (H21 ) v (H31 ), hå c¡c qu¡ (L2 (Ω), Lq (Ω)) - hót ·u Aq , compact v hót måi tªp cõa L2 (Ω) tỉpỉ cõa Lq (Ω) Hìn núa Aq = ωτ,Σ (B0 ), â B0 l tªp (L2 (Ω), Lq (Ω)) - h§p thư ·u Chùng minh Theo Bê · 2.4.4 v nh lẵ 3.9 [7], ta ch cƯn chựng minh: vỵi måi > 0, τ ∈ R hai hơng số dữỡng Z v bĐt kẳ têp b ch°n T = T (B, , τ ) v M = M (B, ), |Uσ (t, τ )uτ |q dx < vợi bĐt kẳ B L2 (), tỗn tÔi cho u B, t T, ∈ Σ Ω(|Uσ (t,τ )ur |≥M ) L§y M õ lỵn cho C1 |u|q−1 ≤ f (u) Ω1 = Ω(u(t) ≥ M ) = {x ∈ Ω : u(x, t) ≥ M } v k½ hi»u (u − M )+ = ( u−M 0, n¸u n¸u u≥M u ≤ M 36 luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom Trong Ω1 ta câ C1 (u − M )2q−2 + |σ(t)|2 + 2C1 C1 q−1 ≤ (u − M )q−1 + |σ(t)|2 , + |u| 2C1 σ(t)(u − M )q−1 + ≤ v q−1 f (u)(u − M )q−1 (u − M )q−1 + ≥ C1 |u| + C1 C1 q−1 ≥ (u − M )q−1 + |u|q−2 (u − M )q+ + |u| 2 q−2 C1 C 1M q−1 q−1 ≥ (u − M )+ |u| + (u − M )q+ 2 Nh¥n phữỡng trẳnh (2.11) vợi |(u M )+ |q1 v sỷ dửng bĐt ng thực trản, ta thu ữủc 2d ||(u − M )+ ||qLq (Ω) + 2(q − 1) q dt Z ρ(x)|∇(u − M )+ |2 |(u − M )+ |q−2 Z Ω1 Z + C1 M q−2 |(u − M )+ |q ≤ |σ|2 C Ω1 Ω1 Do â d C1 M q−2 q ||(u − M )+ ||qLq (Ω) + ||(u − M )+ ||qLq (Ω) ≤ dt Theo M»nh · 2.4.2, tỗn tÔi ||U (t, )u ||qLq () q °t k = TB , ρq > vỵi måi v TB > τ Z Ω1 q |σ|2 2C1 cho ≥ TB , uτ ∈ B ta câ ||(u − M )+ (t)||qLq (Ω) ≤ ||(u − M )+ (k)||qLq (Ω) e−λ(t−k) Z + ≤ ||(u − M )+ (k)||qLq (Ω) e−λ(t−k) + k t −λ(t−s) (e Z q 2C1 k t q 2C1 Z |σ|2 ) Ω1 e−λ(t−s) ||σ||2L2 (Ω) , 37 luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com (2.18) luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom â q 2C1 t Z k C1 M q−2 q λ= e−λ(t−s) ||σ||2L2 (Ω) ≤ T! = °t Theo Bê · 2.4.3, ta câ 2q+2 2q+3 ρq ln( ) + k, λ , σ ∈ Σ, M ≥ M1 vỵi vỵi måiM1 (2.19) â ||(u − M )+ (k)||qLq (Ω) e−λ(t−k) ≤ 2q+2 , vỵi måi t > T1 (2.20) Tø (2.18) - (2.20) , ta thu ÷đc Z |(u − M )+ |q dx ≤ Ω(u(t)≥M ) Lp lÔi cĂc bữợc trản, lĐy tỗn tÔi M2 v T2 Z 2q+1 , vỵi t > T1 , σ ∈ Σ, M ≥ M1 |(u+M )− |q−2 (u+M )− thay cho |(u−M )+ |q−1 , cho |(u + M )− |q dx ≤ Ω(u(t)≤−M ) 2q+1 , vỵi t > T2 , σ ∈ Σ, M ≥ M2 , â (u + M )− = ( u+M 0, M3 = max(M1 , M2 ), ta câ Z |(|u(t)| − M3 )|q dx ≤ u M, u M náu náu LĐy (|u(t)|M3 ) 2q+1 , vỵi t > max(T1 , T2 ), σ ∈ Σ Do â Z q ((|u(t)| − M3 ) + M3 )q Ω(|u(t)|≥2M3 ) Z Z q q ≤2 ( (|u| − M3 ) + M3q ) ZΩ(|u(t)|≥2M3 ) ZΩ(|u(t)|≥2M3 ) ≤ 2q ( (|u| − M3 )q + (|u| − M3 )q ) |u(t)| = Ω(|u(t)|≥2M3 ) Z Ω(|u(t)|≥2M3 ) ≤ 2q+1 2q+1 Ω(|u(t)|≥2M3 ) = 38 luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom 2.4.2 Tªp (L2(Ω), D01(Ω, ρ) ∩ Lq (Ω)) - hót ·u º chựng minh sỹ tỗn tÔi cừa têp giÊ sỷ ngoÔi lüc g (L2 (Ω), D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω)) - hút Ãu, ta thọa mÂn iÃu kiằn mÔnh hỡn sau: (H32 ) ||g(t)||L2 (Ω) ≤ K vỵi måi t ∈ R, v g ∈ L2b (R; L2 (Ω)) Trữợc tiản, ta chựng minh bờ à sau Bờ à 2.4.6 Dữợi cĂc iÃu kiằn (H1), (H21) v (H32),vợi mồi tªp B ⊂ L2 (Ω) bà ch°n τ ∈ R, v tỗn tÔi hơng số dữỡng T = T (B, τ ) ≥ τ cho || d (Uσ (t, τ )uτ )|t=s ||2L2 (Ω) ≤ C dt õ C ởc lêp vợi (t) theo thới gian 1d ||v||2L2 (Ω) + dt Do â v t uτ ∈ B, s ≥ T, σ ∈ Σ, σ u(t) = Uσ (t, τ )uτ Chùng minh °t lüc B vợi bĐt kẳ v t sau õ lĐy Ôo hm (2.11) vợi ngoÔi v = ut , ta ữủc 1 ρ(x)|∇v|2 ≤ l||v||2L2 (Ω) + ||σ (t)||2L2 (Ω) + ||v||2L2 (Ω) 2 Ω Z 1 1d ||v||2L2 (Ω) ≤ (l + )||v||2L2 (Ω) + ||σ (t)||2L2 (Ω) dt 2 Tø (2.15) v (2.16) , ta câ Z t+1 ||ut ||2L2 (Ω) C, t vợi t ừ lợn p dửng bĐt ¯ng thùc Gronwall ·u, ta ÷đc Z |ut |2 dx ≤ C, Ω t õ lỵn, â C ởc lêp vợi B v 39 luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom nh lỵ 2.4.7 trẳnh [1] Vợi cĂc i·u ki»n {Uσ (t, τ )}σ∈Σ Lq (Ω)) - hót ·u bà ch°n cõa v sinh bði b i to¡n (2.11) câ mët tªp A, L2 (Ω) (H1), (H21 ) compact theo tæpæ cõa D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω) D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω) (H32 ), hå c¡c qu¡ (L2 (Ω), D01 (Ω, ρ) ∩ v hót måi tªp Hìn núa, A = ωτ,Σ (B0 ), â B0 l mët tªp Chùng minh Gåi B0 (L2 (Ω), D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω)) (L2 (Ω), D01 (, ) Lq ()) l têp ch cƯn ch rơng vợi bĐt kẳ l tiÃn compact chựng minh minh cho - h§p thư ·u uτn ∈ B0 , σn ∈ Σ, tn → ∞, {Uσn (tn , τn )Uτn } D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω) {Uσn (tn , τn )uτn } - h§p thư ·u, ta Theo nh lẵ (2.4.5) , ta ch cƯn l tiÃn compact D01 (Ω, ρ) Ta chùng {Uσn (tn , τn )uτn } l d¢y Cauchy D01 (Ω, ρ) Gi£ sû {Uσn (tn , τn )uτn } l d¢y Cauchy L2 (Ω) K½ hi»u un (tn ) = Uσn (tn , τn )uτn , ta câ ||un (tn ) − um (tm )||2D01 (Ω,ρ) = hAun (tn ) − Aum (tm ), un (tn ) − um (tm )i = −h∂t un (tn ) − ∂t um (tm ), un (tn ) − um (tm )i − hf (un (tn )) − f (um (tm )), un (tn ) − um (tm )i + hσn (tn ) − σm (tm ), un (tn ) − um (tm )i ≤ ||∂t un (tn ) − ∂t um (tm )||L2 (Ω) ||un (tn ) − um (tm )||L2 (Ω) + l||un (tn ) − um (tm )||2L2 (Ω) + ||σn (tn ) − σm (tm )||L2 (Ω) ||un (tn ) − um (tm )||L2 (Ω) Theo Bê · (2.4.6) , ta câ i·u ph£i chùng minh 40 luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom Kát luên cừa luên vôn Trong luên vôn ny, chúng tổi  trẳnh by mởt số nởi dung chẵnh sau Ơy: Trẳnh by mởt số kián thực và khổng gian hm, têp hút ton cửc v sỹ tỗn tÔi têp hút ton cửc, số chiÃu fractal cõa tªp hót to n cưc, tªp hót ·u quĂ trẳnh ỡn tr v têp hút Ãu nỷa quĂ trẳnh a tr Ch sỹ tỗn tÔi nghiằm yáu, sỹ tỗn tÔi têp hút Ãu v mởt số kát quÊ và têp hút Ãu ối vợi mởt lợp phữỡng trẳnh parabolic suy bián tỹa tuyán tẵnh khổng ætænæm 41 luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom T i li»u tham kh£o [1] C.T.Anh, N.D.Binh and L.T.Thuy (2012), On uniform global attractors for a class of non-autonomous degenerate parabolic equations, Int.J.Dynamical Systems and Differential Equation, Vol 4, Nos 1/2, 35-55; invited paper on the special issue Degenerate anh Singular Parabolic and Elliptic Equations [2] C.T.Anh, N.M.Chuong and T.D.Ke (2010),Global attractors for the m-semiflow generated by a quasilinear degenerate parabolic equation, J Math Anal Appl 363, 444-453 [3] J.M Arrieta, A.N Carvalho and A Rodiriguez-Bernal (2000), Upper semicontinuity for attractors of parabolic problems with localized large diffusion and nonlinear boundary conditions, J Differential Equations 168, 533-559 [4] C T Anh and L T Thuy (2012), Global attractors for a class of semi-linear degenerate parabolic equations on RN , Bull Pol Acad Math Sci., accepted for publication [5] C.T Anh and N.V Quang (2011) , Uniform attractors for nonautonomous parabolic equation involving Grushin operator, Acta Math.Vietnm 36, no 1, 19-33 42 luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom luan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonomluan.van.thac.si.tap.hut.deu.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien.tua.tuyen.tinh.khong.otonom
Ngày đăng: 08/01/2024, 00:26
Xem thêm: