(LUẬN văn THẠC sĩ) tập hút lùi đối với một lớp phương trình parabolic suy biến

đại học quốc gia hà nội tr-ờng đại học khoa häc tù nhiªn BÙI HUY BÁCH TẬP HÚT LÙI ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIN Luận văn thạc sĩ khoa học Hà nội - 2011 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com đại học quốc gia hà nội tr-ờng đại học khoa học tự nhiªn BÙI HUY BÁCH TẬP HÚT LÙI ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN Luận văn thạc sĩ khoa học Chuyờn ngnh: Toỏn gii tích Mã số: 60.46.01 Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN ĐÌNH BÌNH Hµ néi - 2011 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Danh mục kí hiệu, chữ viết tắt Lời cảm ơn Lời mở đầu Không gian hàm định nghĩa 1.1 Khơng gian hàm tốn tử 1.2 Tập hút lùi (Pullback attractors) 11 1.3 Một số bổ đề, định lý 14 1.3.1 Bổ đề Gronwall 14 1.3.2 Bổ đề Gronwall 15 Sự tồn nghiệm yếu 2.1 2.2 17 Đặt toán 17 2.1.1 Các giả thiết toán 17 2.1.2 Định nghĩa nghiệm yếu toán 18 Sự tồn nghiệm yếu toán 19 Sự tồn D− tập hút lùi Hµ (Ω) T Lp (Ω) 28 3.1 Các bổ đề 28 3.2 Định lý 37 Kết luận chung 39 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien Tài liệu tham khảo 40 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien (LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien Danh mục kí hiệu, chữ viết tắt Trong khóa luận này, ngắn gọn, ta dùng kí hiệu: |.|2 , (.,.), kukµ , ((., ))µ , làm chuẩn tích vơ hướng L2 (Ω) Hµ (Ω); tương tự, ta dùng |.|p làm chuẩn Lp (Ω) Ta thường sử dụng ký hiệu sau: ΩM = Ω(u(t) ≥ M ) = {x ∈ Ω : u(x, t) ≥ M } TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien (LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien Lời mở đầu Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận hệ động lực vấn đề quan trọng vật lý toán đại Một cách tiếp cận toán hệ động lực tán xạ phân tích tồn cấu trúc tập hút tồn cục (global attractor) Đó tập đóng, bị chặn, bất biến hút tất tập bị chặn Tập hút toàn cục chứa đựng nhiều thông tin dáng điệu tiệm cận hệ động lực xét Tuy nhiên, tập hút toàn cục áp dụng cho trường hợp ôtônôm, nhiều q trình có ngoại lực phụ thuộc vào thời gian Do đó, cần phải mở rộng khái niệm tập hút cho hệ động lực không ôtônôm Việc mở rộng nghiên cứu tập hút dẫn đến khái niệm tập hút (uniform attractor) cho trường hợp quỹ đạo nghiệm bị chặn thời gian t tiến vơ hạn, sau khái niệm tập hút lùi (pullback attractor) cho trường hợp quỹ đạo nghiệm thời gian t tiến vô hạn Trong luận văn này, tác giả nghiên cứu tồn tập hút lùi lớp phương trình parabolic suy biến:  µ  ut − ∆u − u + f (u, t) = g(t, x), x ∈ Ω, t > τ,    |x|       u|∂Ω = 0, t > τ, (0.1) u(x, τ ) = uτ (x), x ∈ Ω, với Ω miền bị chặn RN (N ≥ 3) có chứa gốc tọa độ, uτ ∈ L2 (Ω) hàm cho trước, < µ ≤ µ∗ tham số, µ∗ = ( N2−2 )2 số lớn TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien (LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien thỏa mãn bất đẳng thức Hardy: Z Z |u|2 ∗ µ |∇u|2 dx, ∀u ∈ C∞ (Ω) dx ≤ |x| Ω (0.2) Ω Trong trường hợp g ≡ hàm f có số dạng đặc biệt, toán (0.1) nghiên cứu báo [2,3,5,6,12], hay trường hợp hàm ngoại lực g(t, x) phụ thuộc vào thời gian t hàm phi tuyến f = f (u): ut − ∆u − µ u + f (u) = g(t, x), |x|2 toán (0.1) nghiên cứu báo [1] Trong đó, tác giả nghiên cứu tồn toàn cục phụ thuộc dáng điệu nghiệm phương trình vào tham số µ Trong luận văn này, tác giả tiếp tục nghiên cứu toán (0.1) trường hợp hàm ngoại lực g(t, x) hàm phi tuyến f = f (u, t) Hàm phi tuyến f ngoại lực g thỏa mãn điều kiện sau: (F) Hàm f ∈ C1 (R × [τ, ∞]) thỏa mãn: C1 |u|p − k1 (t) ≤ f (u, t)u ≤ C2 |u|p + k2 (t), p ≥ 2, k1 (t) , k2 (t) ∈ L∞ (R) , k1 (t) > 0, ∀t ∈ R, k2 (t) > 0, ∀t ∈ R, ∂f (u, t) ≥ −l, ∀u ∈ R, ∂u C(|u|pp Z − 1) ≤ F (u) ≤ C(|u|pp + 1), Ω F (u) = Ru f (r)dr, (trong trường hợp f (r, t) = f (r)), C, C1 , C2 , l số dương TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien (LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien 1,2 (R; L2 (Ω)) thỏa mãn (G) g ∈ Wloc Z0 eh1,µ s (|g(s)|22 + |g (s)|2 )ds < +∞, −∞ h1,µ giá trị riêng thứ tốn tử Aµ = −∆ − |x|µ2 Ω với điều kiện Dirichlet Để nghiên cứu tốn (0.1), ta sử dụng khơng gian Hµ (Ω), ≤ µ ≤ µ∗ , định nghĩa bao đóng C∞ (Ω) với chuẩn Z |u|2 kukµ = ( (|∇u| − µ )dx)1/2 |x| Ω Mục đích khóa luận chứng minh ln có tồn phụ T thuộc vào tham số µ D- tập hút lùi khơng gian Hµ (Ω) Lp (Ω) cho q trình mơ tả tốn (0.1) Phương pháp sử dụng khóa luận mơ tả sau: Trước tiên ta sử dụng phương pháp compact hóa [9] để chứng minh tồn tồn cục nghiệm yếu sử dụng đánh giá tiên nghiệm để b = {B(t) : t ∈ R} tồn họ D- tập hấp thụ lùi B T Hµ (Ω) Lp (Ω) cho q trình nói Do tính compact phép nhúng Hµ (Ω) ,→ L2 (Ω), q trình nói D- tiệm cận compact lùi L2 (Ω) Điều kéo theo tồn D- tập hút lùi L2 (Ω) Trong trình chứng minh tồn D- tập hút lùi Lp (Ω) T Hµ (Ω) Lp (Ω), để khắc phục khó khăn thiếu kết phép nhúng, ta sử dụng phương pháp tiệm cận đánh giá tiên nghiệm khởi đầu [11] cho phương trình ơtơnơm Cấu trúc khóa luận gồm ba chương: - Chương 1: Trình bày kiến thức sở khái niệm kết không gian tập hút lùi phương trình parabolic phi tuyến TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien (LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien tính - Chương 2: Chứng minh tồn nghiệm yếu toán (0.1) T - Chương 3: Chứng minh tồn D− tập hút lùi Hµ (Ω) Lp (Ω) (trong trường hợp f (u, t) không phụ thuộc vào t) Mặc dù cố gắng, song luận văn chắn cịn nhiều thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý thầy đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2011 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien (LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien Chương Không gian hàm định nghĩa 1.1 Không gian hàm tốn tử Với ≤ µ ≤ µ∗ , ta định nghĩa khơng gian Hµ (Ω) bao đóng C∞ (Ω) với chuẩn: Z |u|2 kukµ = ( (|∇u| − µ )dx)1/2 |x| Ω Khi Hµ (Ω) khơng gian Hilbert với tích vơ hướng Z (∇u∇v − µ < u, v >µ := uv )dx, ∀u, v ∈ Hµ (Ω) |x|2 Ω Ta biết (xem [12]) ≤ µ ≤ µ∗ ,thì Hµ (Ω) ≡ H01 (Ω) Khi µ = µ∗ , ta có bất đẳng thức Hardy-Poincare [12] Z 2 ∗ |u| (|∇u| − µ )dx ≥ C(q, Ω) kukW 1,q (Ω) , ≤ q < 2, |x| (1.1) Ω với ≤ s < 1, ≤ r < r∗ = Z (|∇u| − 2N N −2(1−s) , ∗ |u| µ )dx |x| ≥ C(s, r, Ω) kuk2W s,r (Ω) , (1.2) Ω TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien (LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien Suy λ1,µ 1∂ |u|22 + kuk2µ + C1 |u|pp − k1 (t)|Ω| ≤ |g(t)|22 + |u|2 ∂t 2λ1,µ ⇒ ∂ |u|22 + kuk2µ + 2C1 |u|pp ≤ 2k1 (t)|Ω| + |g(t)|22 + λ1,µ |u|22 ∂t λ1,µ ⇒ ∂ |u|22 + λ1,µ |u|22 ≤ 2k1 (t)|Ω| + |g(t)|22 ∂t λ1,µ Áp dụng bổ đề Gronwall, ta có |u(t)|22 ≤ e−λ1,µ (t−τ ) |uτ |22 ≤ e−λ1,µ (t−τ ) |uτ |22 + 2k1 (t) e−λ1,µ t + |Ω| + λ1,µ λ1,µ 2kk1 (t)kL∞ (R) λ1,µ e−λ1,µ t |Ω| + λ1,µ Zt eλ1,µ s |g(s)|22 ds −∞ Zt eλ1,µ s |g(s)|22 ds (2.5) −∞ 27 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien (LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien Chương Sự tồn D− tập hút lùi T p Hµ(Ω) L (Ω) Trong chương này, ta giả thiết f (u, t) không phụ thuộc vào t 3.1 Các bổ đề Nhờ định lí 2.2.2, ta định nghĩa q trình Uµ (t, τ ) : L2 (Ω) → Hµ (Ω) \ Lp (Ω), t ≥ τ Uµ (t, τ )uτ nghiệm yếu toán (0.1) phụ thuộc vào uτ liệu ban đầu thời điểm τ Ta định nghiã R tập hợp tất hàm số r : R → (0, +∞) cho lim eh1,µ t r2 (t) = 0, t→−∞ kí hiệu D = {D(t) : t ∈ R} ⊂ B(L2 (Ω)) thỏa mãn D(t) ⊂ B(r(t)) cho số hàm r(t) ∈ R, B(r(t)) hình cầu đóng L2 (Ω) với bán kính r(t) Bổ đề 3.1.1 Giả sử điều kiện (F) - (G) thỏa mãn u(t) 28 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien (LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien nghiệm yếu tốn (0.1) Khi đó, ta có với t > τ, Zt kuk2µ + |u|pp ≤ C(e−λ1,µ (t−τ ) |uτ |22 + + e−λ1,µ t eλ1,µ s |g(s)|22 ds), (3.1) −∞ C số dương Do tồn họ D− tập hấp thụ T lùi Hµ (Ω) Lp (Ω) cho q trình Uµ (t, τ ) Chứng minh Nhân (0.1) với u lấy tích phân Ω, ta có p Z Z Z λ1,µ u 1d |u|22 + kuk2µ + f (u)udx = g(t)udx = p dx g(t) dt λ1,µ Ω Ω Ω p Z λ1,µ |u| ≤ 2p |g(t)| dx λ1,µ Ω ≤ λ1,µ |g(t)|22 + |u|2 λ1,µ (3.2) Sử dụng điều kiện (F) λ1,µ |u|22 ≤ kuk2µ , ta có d |u|22 + λ1,µ |u|22 + C(kuk2µ + |u|pp ) ≤ C(1 + |g(t)|22 ) dt Rs Với F (s) = f (r)dr, theo (F) ta có Z p C(|u|p − 1) ≤ F (u) ≤ C(|u|pp + 1) (3.3) (3.4) Ω Nhân (3.3) với eλ1,µ t sử dụng (3.4) ta thu Z d λ1,µ t 2 λ1,µ t (e |u(t)|2 ) + Ce (ku (t)kµ + F (u(t))dx) ≤ C(eλ1,µ t + eλ1,µ t |g(t)|22 ) dt Ω (3.5) Tích phân (3.5) từ τ đến s ∈ [τ, t − 1] từ s đến s + 1, ta thu Z s 2 λ1,µ s λ1,µ τ λ1,µ s e |u(s)|2 ≤ e |u(τ )|2 + Ce +C eλ1,µ r |g(r)|22 , ∀s ∈ [τ, t − 1] τ (3.6) 29 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien (LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien s+1 Z C e s λ1,µ r (ku(r)k2µ Z +2 F (u(r))dx))dr Ω ≤ eλ1,µ s |u(s)|22 + C s+1 Z (eλ1,µ r + eλ1,µ r |g(r)|22 )dr s Z s λ1,µ τ λ1,µ s ≤e |uτ |2 + Ce +C (eλ1,µ r |g(r)|22 )dr τ λ1,µ (s+1) +Ce s+1 Z +C s ≤ C(e λ1,µ τ |uτ |22 +e λ1,µ t (eλ1,µ r |g(r)|22 )dr Z + τ t (3.7) (eλ1,µ r |g(r)|22 )dr) Nhân (0.1) với ut (s) lấy tích phân Ω ta có Z 1d 2 (ku(t)kµ + F (u(s))dx) |ut (s)|2 + ds Ω Z g(s)ut (s) ≤ = 1 |g(s)|22 + |ut (s)|22 , 2 (3.8) Ω e λ1,µ s |ut (s)|22 d + (eλ1,µ s (ku(t)k2µ + ds Z F (u(s))dx)) Ω λ1,µ s ≤ λ1,µ e (ku(t)k2µ Z F (u(s))dx)) + eλ1,µ s |g(s)|22 +2 (3.9) Ω Từ (3.7), (3.9) sử dụng bất đẳng thức Gronwall đều, ta có eλ1,µ t (ku(t)k2µ + Z F (u(s))dx) ≤ C(eλ1,µ τ |uτ |22 + eλ1,µ t + Zt eλ1,µ s |g(s)|22 ds) −∞ Ω (3.10) Kết hợp với (3.4), ta thu (3.1) 30 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien (LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien Từ bổ đề trên, tính compact phép nhúng Hµ (Ω) ,→ L2 (Ω), q trình nói D- tiệm cận compact lùi L2 (Ω) Điều kéo theo tồn D- tập hút lùi L2 (Ω) Mặt khác, từ bổ đề T ta thấy q trình Uµ (t, τ ) ánh xạ tập compact Hµ (Ω) Lp (Ω) T vào tập bị chặn Hµ (Ω) Lp (Ω) đó, theo bổ đề 1.2.4, q T trình Uµ (t, τ ) liên tục norm-to-weak Hµ (Ω) Lp (Ω) Vì Uµ (t, τ ) có T họ D− tập hấp thụ lùi Hµ (Ω) Lp (Ω), nên để chứng minh tồn D− tập hút lùi, ta cần chứng minh Uµ (t, τ ) D− tiệm cận compact lùi Để chứng minh Uµ (t, τ ) D− tiệm cận compact lùi Lp (Ω) ta cần sử dụng bổ đề sau: Bổ đề 3.1.2 [8] Giả sử U (t, τ ) liên tục norm-to-weak L2 (Ω), Lp (Ω), thỏa mãn hai điều kiện sau: (1) U (t, τ ) D− tiệm cận compact lùi L2 (Ω); ˆ τ0 (D, , t) ≤ t (2) Với  > 0, Bˆ ∈ D, tồn số M = M (, B) cho  Z p  p1 |U (t, τ )uτ | dx 0, τ ∈ R, s > τ y (s) + λy (s) ≤ h (s) , (3.11) giả thiết hàm y, y’, h khả tích địa phương y, h khơng âm khoảng t < s < t + r, với t ≥ τ Khi Z t+r/2 Z t+r −λ 2r −λ(t+r) y (t + r) ≤ e y (s) ds+e eλs h (s) ds r t t 31 (3.12) TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien (LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien(LUAN.van.THAC.si).tap.hut.lui.doi.voi.mot.lop.phuong.trinh.parabolic.suy.bien Bổ đề 3.1.4 Dưới điều kiện (F) - (G), q trình Uµ (t, τ ) D− tiệm cận compact lùi Lp (Ω) Chứng minh Xét điều kiện (2) Bổ đề 2.2 Từ điều kiện (F), ta chọn số M đủ lớn cho f (u) ≥ C˜1 |u|p−1 Ω2M = Ω (u (t) ≥ 2M ) = {x ∈ Ω : u (x, t) ≥ 2M } Trong phần này, ta kí hiệu   u − M, u ≥ M (u − M )+ =  , u < M Trước tiên Ω2M ta thu +
2p−2 C˜1 (u − M ) + 2C1˜ |g (t)|22 +
p−1 p−1 M) |u| + 2C˜ |g (t)|2 , (3.13)
p−1 p−1
p−1 |u| ≥ C˜1 (u − M )+ f (u) (u − M )+
p−1 p−1 C˜ M p−2
p ˜ ≥ C21 (u − M )+ |u| + (u − M )+ (3.14) g (t) (u − M )+ ≤ C˜1
p−1 (u − ≤ p−1 Ta nhân phương trình đầu (0.1) với (u − M )+ suy với < µ ≤ µ∗ , ta có p−1 p−1 p−1 du