phương pháp đồ thị

Sáng kiến kinh nghiệm - Ph ơng Pháp đồ thị A. phơng pháp I) Biện luận ph ơng trình bằng đồ thị: 1) Cho ph ơng trình: F(x, m) = 0 (1) , m là tham số. Biến đổi phơng trình (1) về dạng f(x) = g(m) (2) Trong cùng hệ trục Oxy, vẽ 2 đờng (C): y = f(x) và đờng thẳng : y = g(m) Số hoành độ giao điểm của (C) và là số nghiệm của phơng trình (1) 2) Chú ý: a) Đờng thẳng có ba dạng sau: : y = g(m) là đờng thẳng // trục Ox : y = kx + m là đờng thẳng có hệ số góc k : y = m(x - x 0 ) + y 0 là đờng thẳng quay quanh một điểm cố định A(x 0 ; y 0 ) b) Nếu F(x; m) = 0 có nghiệm x thoả mãn điều kiện x Ta chỉ vẽ đờng (C): y = f(x) với x [; ] Biện luận theo m chọn nghiệm thuộc đoạn [; ] c) Nếu phải đặt ẩn phụ, ta biện luận để tìm ẩn số phụ, sau đó biện luận để tìm m. II) Đồ thị của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối. 1) Dạng tổng quát: Xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối Dựa vào định nghĩa: < = 0A nếuA- 0A nếuA A để bỏ giá trị tuyệt đối Viết hàm số về dạng đợc cho bởi nhiều công thức Khảo sát hàm số ứng với từng công thức. Lập bảng biến thiên chung rồi vẽ đồ thị hàm số. 2) Các điều cần nhớ: Các phép biến đổi chính trong phần này là phép đối xứng qua các trục toạ độ. Cơ sở của nó là các nhận xét sau đây: Hai điểm (x; y) và (x; -y) đối xứng nhau qua trục hoành. Hai điểm (x; y) và (-x; y) đối xứng nhau qua trục tung. Hai điểm (x; y) và (-x; -y) đối xứng nhau qua gốc toạ độ O. Đồ thị hàm số y = f(x) và đồ thị hàm số y = -f(x) đối xứng nhau qua trục hoành. 3) Các dạng đồ thị có chứa giá trị tuyệt đối th ờng gặp: a) Dạng đồ thị (C 1 ) của hàm số: y = ( ) xf Trang:1 Sáng kiến kinh nghiệm - Ph ơng Pháp đồ thị Ta có: y = ( ) xf = ( ) ( ) ( ) ( ) < 0xf nếuxf- 0xf nếuxf Vẽ đồ thị (C): y = f(x) Đồ thị (C 1 ) gồm 2 phần: Các phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành (f(x) 0) Phần đối xứng của đồ thị (C) nằm phía dới trục hoành qua Ox. b) Dạng đồ thị (C 2 ) của hàm số: y = ( ) xf Ta có y = ( ) xf = ( ) ( ) < 0 x nếux-f 0x nếuxf Vẽ đồ thị (C): y = f(x) Đồ thị (C 2 ) gồm 2 phần: Các phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung (hay phần đồ thị (C) ứng với x >0) Phần đối xứng của phần đồ thị trên trục Oy. c) Dạng đồ thị (C 3 ) của hàm số: ( ) xfy = Ta có: ( ) xfy = ( ) ( ) = xfy xf 0 (Do đó ( ) xfy = đợc coi là hàm đa trị của y theo x) Vẽ đồ thị (C) của hàm y = f(x) Đồ thị (C 3 ) gồm hai phần: Phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành. Phần đối xứng của phần đồ thị trên qua trục Ox. d) Dạng đồ thị của hàm số: y = ( ) ( ) xg xf Ta có: y = ( ) ( ) xg xf = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) < 0xf nếu xf - 0xf nếu xg xg xf Vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = ( ) ( ) xg xf Đồ thị (C 4 ) gồm hai phần: Phần đồ thị của (C) ứng với f(x) 0 Phần đồ thị của (C) ứng với f(x) < 0 qua trục hoành. e) Dạng đồ thị (C 5 ) của hàm số: y = ( ) ( ) xg xf Các bớc làm tơng tự nh phần d) Chú ý: g(x) 0. f) Dạng đồ thị (C 6 ) của đồ thị hàm số: y = ( ) ( ) xgxf + Trang:2 Sáng kiến kinh nghiệm - Ph ơng Pháp đồ thị Ta có: y = ( ) ( ) xgxf + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) <+ + 0xf u nếxgxf- 0xf u nếxgxf đồ thị (C 6 ) gồm hai phần: Phần đồ thị của hàm số: y = f(x) + g(x) ứng với f(x) 0 Phần đồ thị của hàm số: y = -f(x) + g(x) ứng với f(x) < 0 Mở rộng: Vẽ đồ thị hàm số: y = ( ) ( ) ( ) ( ) xgxfxfxf k ++++ 21 Ta vẽ đồ thị trên các khoảng mà ở đó biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối không đổi dấu. g) Dạng đồ thị (C 7 ) của hàm số: y = ( ) xf Ta vẽ đồ thị (C): y = f(x) Sau đó vẽ đồ thị (C 2 ) của hàm số: y = f( x ) Tiếp đó thực hiện cách vẽ đồ thị (C 1 ) của hàm số: y = ( ) xf . Tóm lại ta thực hiện dần các bớc nh sau: y = f(x) y = f( x ) y = ( ) xf B. các bài tập mẫu: ài số 1: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = x 4 - 2x 2 - 1 b) Với những giá trị nào của m thì phơng trình: 12 24 xx = log 2 m có 6 nghiệm phân biệt? Giải: TXĐ: D = R. Hàm chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng. Sự biến thiên: Chiều biến thiên: y' = 4x 3 - 4x y' = 0 4x(x 2 - 1) = 0 = = = = 2 1 1 0 y y x x Bảng xét dấu y': x - -1 0 1 + y' - 0 + 0 - 0 + Hàm số đồng biến trên các khoảng: (- ; -1) (0; 1) Hàm số nghịch biến trên các khoảng: (-1; 0); (1; + ) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x CĐ = 1 và y CĐ = -2 Hàm số đạt cực tiểu tại x CT = 0 và y CĐ = -1 Giới hạn: = x lim Đồ thị hàm số không có tiệm cận. Trang:3 Sáng kiến kinh nghiệm - Ph ơng Pháp đồ thị Tính lồi lõm và điểm uốn: y" = 12x 2 - 4 = 0 x = 3 3 y = - 9 14 x - - 3 3 3 3 + y" + 0 - 0 + Đồ thị hsố lõm lồi lõm Bảng biến thiên: x - -1 - 3 3 0 3 3 1 + y' - 0 + + 0 - - 0 + y + CT U 1 - 9 14 CĐ U 2 - 9 14 CT + Vẽ đồ thị: Giao với trục Ox: y = 0 x 4 - 2x 2 - 1 = 0 x = 21 + Giao với trục Oy: x = 0 y = -1 Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng Các điểm khác: (2; 7) (1; -2) 9 14 ; 3 3 b) Phơng trình: mxx 2 24 log12 = có 6 nghiệm phân biệt khi đồ thị hàm số: y = 12 24 xx cắt đờng thẳng y = log 2 m tại 6 điểm phân biệt Vẽ đồ thị (C 1 ) của hàm số: y = 12 24 xx Ta có: y = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) < = 0xf nếuxf- 0xf nếuxf xf Trang:4 Sáng kiến kinh nghiệm - Ph ơng Pháp đồ thị Vậy đồ thị (C 1 ) gồm hai phần: Phần đồ thị (C) ứng với f(x) 0 có nghĩa là phân đồ thị nằm phía trên trục Ox Phần đồ thị đối xứng (C) nằm phía dới trục hoành. Vẽ đờng thẳng D: y = log 2 m; D // Ox và cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng log 2 m Nhìn vào đồ thị: ta có kết quả: đờng thẳng D cắt đồ thị (C 1 ) tại 6 điểm 1 < log 2 m < 2 2 < m < 4 KL: Vậy phơng trình: mxx 2 24 log12 = có 6 nghiệm phân biệt 2 < m < 4 Bài số 2: Cho hàm số: y = f(x) = 1 2 x x a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Vẽ đồ thị (C 1 ) của hàm số: y = f 1 (x) = 1 2 x x (Vẽ hình riêng) c) Dùng đồ thị (C 1 ) để biện luận theo tham số m số nghiệm x thuộc đoạn [-1; 2] của phơng trình: ( ) 01 = mxm (*) (ĐH QG HN - 1999) Giải: a) TXĐ: D = R \ {1} Sự biện thiên: Chiều biến thiên: y' = - ( ) 0 1 2 2 < x , x D hàm số luôn nghịch biến với x 1. Cực trị: Hàm số không có cực trị. Giới hạn: Trang:5 Sáng kiến kinh nghiệm - Ph ơng Pháp đồ thị = = 1 2 limlim 11 x x y xx = = ++ 1 2 limlim 11 x x y xx đờng thẳng x = 1 là tiệm cận đứng 2 1 2 limlim = = x x y xx đờng thẳng y = 2 là tiệm cận ngang Bảng biến thiên: x - 1 + y' - - y 2 - + 2 Vẽ đồ thị: Giao với trục Ox: (0; 0) Giao với trục Oy: (0; 0) Các điểm khác: (2; 4); 3 4 ;2 ; (3; 3); 2; 2 1 Nhận xét: Đố thị nhận giao điểm I(1; 2) của 2 đờng tiệm cận làm tâm đối xứng b) Suy ra đồ thị (C 1 ): y = ( ) 1 2 = x x xf Ta có y = ( ) < = 0 x u nế x-1 2x - 1x 0,x u nế 1 2 x x xf Nhận xét: Đây là hàm chẵn nên đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng Đồ thị (C 1 ) gồm hai phần: Phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy. Trang:6 Sáng kiến kinh nghiệm - Ph ơng Pháp đồ thị Phần đối xứng của đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy qua trục Oy Chú ý: Lấy đối xứng cả đờng tiệm cận đứng qua trục Oy ta đợc đờng thẳng x = -1. Vẽ đồ thị (C 1 ): c) Ta có: ( ) 01 = mxm 02 = mxxm ( ) xxm 21 = m x x = 1 2 (*) với 1x Vì nếu 1=x thì m - 2 - m = -2 = 0 (Vô lý) phơng trình không có nghiệm bằng 1 Số nghiệm của phơng trình (*) [-1; 2] là số hoành đô giao điểm của đồ thị (C 1 ) với đờng thẳng d: y = , ta có d // Ox; với x [-1; 2] Nhìn vào đồ tịh ta có kết quả: Nếu m < 0 thì phơng trình (*) có 2 nghiệm đơn. Nếu 0 < m < 4 thì phơng trình (*) vô nghiệm Nếu m = 0 thì phơng trình (*) có 1 nghiệm kép Nếu m > 4 thì phơng trình (*) có 1 nghiệm đơn Bài số 3: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = -x 3 + 3x b) Từ đó suy ra đồ thị (C 1 ) của hàm số: xxy 3 3 += Giải: a) TXĐ: D = R Sự biến thiên: Chiều biến thiên: y' = -3x 2 + 3 = -3(x 2 - 1) y' = 0 = = = = 2 2 1 1 y y x x Xét dấu y': Trang:7 Sáng kiến kinh nghiệm - Ph ơng Pháp đồ thị x - -1 1 + y' - 0 + 0 - Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1) Hàm số nghịch biến trên (- ; -1) ; (1; + ) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x CĐ = 1 y CĐ = 2 Hàm số đạt cực đại tại x CT = -1 y CT = -2 Giới hạn: ( ) =+= xxy xx 3limlim 3 đồ thị không có tiệm cận. Tính lồi lõm và điểm uốn: y" = -6x ; y" = 0 x = 0 y = 0 Bảng xét dấu y" x - 0 + y" + 0 - Đồ thị h.số Lõm Đ.uốn O(0; 0) Lồi Bảng biến thiên: x - -1 0 1 + y' - 0 + + 0 - y + CT -2 0 Đ.U 2 CĐ - Vẽ đồ thị: Giao với Ox: ( ) ( ) 0;3;0;3 Giao vơi Oy: (0; 0) Các điểm khác: (-2; 2); (2; -2) (1; 2); (-1; -2) Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn O(0; 0) làm tâm đối xứng. b) Vẽ đồ thị: xxy 3 3 += Ta có: ( ) ( ) ( ) = = 0xf xfy xfy Đồ thị hàm số (C 1 ) gồm 2 phần: Trang:8 Sáng kiến kinh nghiệm - Ph ơng Pháp đồ thị Phần đồ thị của (C) nằm phía trên trục hoành Phần đối xứng của phần đồ thị (C) nằm trên trục Ox qua trục Ox Bài số 4: ĐHKT QDân - 1999 Cho hàm số: y = ( ) 2 1 2 + x x a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình: (x - 1) 2 = 2m 2+x Giải: Ta có y = x - 4 + 2 9 +x a) TXĐ: D = R\{-2} Sự biến thiên: Chiều biến thiên: y ' = 1 - ( ) 2 9 +x y' = 0 (x + 2) 2 = 9 = = 5 1 x x Lập bảng xét dấu y': x - -5 -2 1 + y' + 0 - - 0 + Hàm số đồng biến trên các khoảng (- ; -5); (1; + ) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-5; -2); (-2; 1) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x CĐ = -5 và y CĐ = -12 Hàm số đạt cực tiểu tại x CT = 1 và y CT = 0 Giới hạn: Trang:9 Sáng kiến kinh nghiệm - Ph ơng Pháp đồ thị ( ) = + = 2 1 limlim 2 22 x x y xx x = -2 là phơng trình của đờng tiệm cận đứng ( ) [ ] 0 2 9 lim4lim = + = x xy xx y = x - 4 là phơng trình đờng tiệm cận xiên Bảng biến thiên: x - -5 -2 1 + y' + 0 - - 0 + y - -12 CĐ - + 0 CT + Vẽ đồ thị: Nhận xét: Đồ thị hàm số đi qua các điểm (1; 0); 2 1 ;0 ; (-5; -12); 2 3 ;4 và nhận giao điểm I(-2; -6) của hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng b) Ta có: ( ) 221 2 += xmx (*) ( ) m x x 2 2 1 2 = + (*), x -2 Nếu x = -2 thì (*) 9 = 2m m = 2 9 Nếu x -2 thì số nghiệm của phơng trình (*) là số hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số: y = ( ) 2 1 2 + x x và đờng thẳng y = 2m Vẽ đồ thị (C 1 ): y = ( ) 2 1 2 + x x Trang:10 [...]... (-1; -16), (4; 4), (2; 2) b) Vẽ đồ thị (C1) + 0 CT của hàm số: 3 2 y = x 6x + 9 x 3 2 Vẽ đồ thị (C2): y = x 6 x + 9 x = f ( x ) Nếu x 0 f ( x) Ta có f ( x ) = Nếu x 0 f ( x) Đồ thị (C2) gồm hai phần: Phần đồ thị (C) ứng với x 0 Phần đối xứng của phần đồ thị trên qua trục Oy Vẽ xong đồ thị (C2) thì vẽ đồ thị (C1) Vậy đồ thị (C1) chính là đồ thị (C2) và đồ thị (C1) ứng với f(x) 0 x Trang:17... lim = x Đồ thị hàm số không có tiệm cận Tính lỗi lõm và điểm uốn: y" = 6x - 12 y" = 0 x = 2 y = 0 Xét dấu y": x - 2 y" 0 + Đồ thị lỗi trên khoảng (- ; 2) Đồ thị lõm trên khoảng (2; + ) Đồ thị có điểm uốn là I(2; 2) Bảng biến thiên: Trang:16 + + Sáng kiến kinh nghiệm - Phơng Pháp đồ thị - 1 2 3 + 0 0 + 4 CĐ 2 x y' y - + U Vẽ đồ thị: Giao với Ox: (0; 0), (3; 0) Giao với Oy: (0; 0) Đồ thị nhận... dạng: y1 = x + 1 + - 1 2 Đồ thị (C2) là nhánh () Vậy đồ thị (C*) gồm hai phần: Phần đồ thị (C1) Phần đồ thị (C2) c) phơng trình: 1 x +1 + = m có x 1 ba nghiệm phân biệt đồ thị (C*) cắt đờng thẳng d: y = m tại 3 điểm phân biệt Vẽ đờng thẳng D: y = m, với D là đờng thẳng // Ox cắt Oy tại điểm có tung độ bằng m Trang:15 Sáng kiến kinh nghiệm - Phơng Pháp đồ thị Nhìn vào đồ thị ta thấy: đờng thẳng...Sáng kiến kinh nghiệm - Phơng Pháp đồ thị ( x 1) 2 nếu x > - 2 ( x 1) 2 x + 2 Ta có: y = = 2 x+2 ( x 1) nếu x < - 2 x + 2 Vậy đồ thị (C1) gồm 2 phần: Phần đồ thị (C) ứng với x > -2 Phần đồ thị đối xứng của đồ thị (C) ứng với x < -2 qua trục Ox Đờng thẳng y = 2m là đờng thẳng song song trục Ox cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng 2m Vậy nhìn vào đồ thị ta có kết quả: 1 Nếu 2m < 1 m... thiên và vẽ đồ thị của hàm số Trang:18 Sáng kiến kinh nghiệm - Phơng Pháp đồ thị b) Suy ra đồ thị hàm số: y = x 4 + 3 x 2 5 c) Biện luận số nghiệm phơng trình: -x4 + 3x2 - 5 + m = 0 Bài4: x+2 Cho hàm số: y = x2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Dùng đồ thị biện luận phơng trình: x 2 log 2 5m = x + 2 Bài5: 1 Cho hàm số: y = x + 3 + x +1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm... - -1 CT Vẽ đồ thị: Trang:12 Giao với trục Ox: (1; 0) và 1 ;0 2 Giao với trục Oy: (0; -1) đồ thị nhận giao điểm I(-1; -5) của hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng Sáng kiến kinh nghiệm - Phơng Pháp đồ thị x 1 ( 2 x + 1) = f ( x) x +1 ( x 1)( 2 x + 1) Nếu x 1 x 1 ( 2 x + 1) x +1 = Ta có: y = x +1 (1 x )( 2 x + 1) Nếu x < 1 x +1 Vậy đồ thị (C) của hàm số gồm 2 phần: Phần đồ thị (C-1) ứng... y' + 0 0 0 1 - + 2 0 + + + CĐ y - - 4 CT Vẽ đồ thị: Giao với trục Ox và Oy: (0; 0) Đồ thị đi qua các điểm khác: 1 ; 1 ; 1; 1 ; (2; 2 2 2 4) Nhận xét: đồ thị nhận giao điểm I(1; 2) của hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng Giao với trục Ox và Oy: (0; 0) Trang:14 Sáng kiến kinh nghiệm - Phơng Pháp đồ thị b) Vẽ (C*): y = x + 1 + 1 x 1 (*) 1 x 1 Vậy đồ thị là phần của (C) tơng ứng với x -1 1 Với... phơng trình (*) có 4 nghiệm phân biệt Bài số 5 ĐHY Dợc TPHCM - 93 2 x 2 + mx + m Cho (Cm) là đồ thị hàm số: y = x +1 Vẽ đồ thị (C-1) ứng với m = -1 Từ đó suy ra đồ thị (C) của hàm số: x 1 ( 2 x + 1) y= x +1 Giải: 2 2x x 1 2 Với m = -1 ta đợc y = = 2x 3 + x +1 x +1 Trang:11 Sáng kiến kinh nghiệm - Phơng Pháp đồ thị TXĐ: D = R\{-1} Sự biến thiên: Chiều biến thiên: y' = 2 - 2 ( x + 1) 2 x = 0 y' =... x 2 + 3x + 3 Cho hàm số: y = x+2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Từ đó suy ra đồ x 2 + 3x + 3 thị (C1) của hàm số: y = (Vẽ hình riêng) x+2 x 2 + 3x + 3 b) Biện luận theo m số nghiệm phơng trình: = 2m bằng đồ x+2 thị Bài2: ĐHSP Vinh - Khối A,B - 2001 x2 x 1 Cho hàm số: y = x +1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình: x2... )( 2 x + 1) Nếu x < 1 x +1 Vậy đồ thị (C) của hàm số gồm 2 phần: Phần đồ thị (C-1) ứng với x 1 Phần đối xứng của đồ thị (C-1) ứng với x < 1 qua trục hoành Vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = Bài số 6: ĐH Mở HN - 99 1 x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 1 b) Vẽ đồ thị (C*) của hàm số y = x + 1 + x 1 c) Tìm tất cả giá trị của m để phơng trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 1 x +1 + =m . xf xf Đồ thị (C 2 ) gồm hai phần: Phần đồ thị (C) ứng với x 0 Phần đối xứng của phần đồ thị trên qua trục Oy Vẽ xong đồ thị (C 2 ) thì vẽ đồ thị (C 1 ) Vậy đồ thị (C 1 ) chính là đồ thị. nếu xg xg xf Vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = ( ) ( ) xg xf Đồ thị (C 4 ) gồm hai phần: Phần đồ thị của (C) ứng với f(x) 0 Phần đồ thị của (C) ứng với f(x) < 0 qua trục hoành. e) Dạng đồ thị (C 5 ). - y + - 2 1 Đồ thị (C 2 ) là nhánh (). Vậy đồ thị (C * ) gồm hai phần: Phần đồ thị (C 1 ) Phần đồ thị (C 2 ) c) phơng trình: 1 1 1 ++ x x = m có ba nghiệm phân biệt đồ thị (C * ) cắt