phương pháp đồ thị để biện luận hệ có tham số

Lời nói đầu Chuyên đề này tôi muốn nghiên cứu thêm một phơng thức hữu hiệu để giải bài toán biện luận Hệ có chứa tham số. Đặc diểm của phơng pháp này là khi đ có 1 cách nhìn hình học thì lời giải của các bài toán sẽ đơn giản, rõ ràng.Tất nhiên, cũng giống nh mọi phơng pháp khác, phơng pháp đồ thị không phải thích hợp với mọi bài toán biện luận hệ chứa tham số. Vì vậy trong chuyên đề nhỏ này tôi muốn trình bày một số bài toán biện luận hệ mà phơng pháp đồ thị là phơng pháp hiệu quả hơn với mọi phơng pháp khác. Qua một số bài toán tôi mong rằng có thể cung cấp cho các bạn một phơng pháp không chỉ biện luận hệ chứa tham số mà có thể xử lý một lớp các bài toán dạng khác. Hơn thế nữa là giúp các bạn phát huy năng lực t duy toán. Trong chuyên đề này tôi đ sử dụng một số tài liệu của một số tác giả: Phan Huy Khải, Phan Đức Chính. Xin chân thành cảm ơn các tác giả và các thành viên trong tổ tự nhiên - Trờng DTNT Tỉnh Bắc Giang đ giúp tôi hoàn thành chuyên đề này. Bắc Giang, ngày 10-05-2008 Nguyễn thị t Phơng pháp đồ thị để biện luận hệ có tham số Phần 1: Kiến thức cần nhớ 1. Phơng trình đờng thẳng Ax+By+C = O, A 2 +B 2 = 0 + Mọi đờng thẳng Ax+By+C = Ochia mặt phẳng tọa độ ra hai phần: 1 = { (x,y) : Ax+By+C > O } 2 = { (x,y) : Ax+By+C < O } Để xác định đợc ta chỉ cần xét một miền ( thờng miền chứa gốc tọa độ ,nếu C = 0 thì ta xét miền bất kì ). VD : Xét đờng thẳng x 2y + 3 = 0 Miền gạch nằm dới đờng thẳng chứa gốc O. Thay (O,O) vào f(x,y) = x 2y + 3 .Ta có f(0,0) = 3 > 0 Miền đó là 1 miền còn lại là 2 . Nhận xét: + Nếu C > 0 thì miền chứa gốc tọa độ là 1, miền còn lại là 2 + Nếu C > 0 thì miền chứa gốc tọa độ là 2, miền còn lại là 1 2. Phơng trình đờng tròn tâm I (a,b ),bán kính R là : (x-a) 2 +(y-b) 2 = R 2 Tập hợp các điểm M (x,y ) nằm trong hình tròn đợc xác định bởi bất phơng trình :(x-a) 2 +(y-b) 2 < R 2 Tập hợp các điểm M 1 (x,y ) nằm ngoài hình tròn đợc xác định bởi bất phơng trình : (x-a) 2 +(y-b) 2 > R 2 3. Sự tiếp xúc của hai đờng cong. *. Mệnh đề 1: Hai đờng cong y = f (x) và y = g (x) tiếp xúc nhau nếu phơng trình f (x) = g (x) có nghiệm bội *. Mệnh đề 2: Hai đờng cong y = f (x) và y = g (x) tiếp xúc nhau nếu hệ phơng trình = = )()( )()( ,, xgxf xgxf có nghiệm. Khi đó nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm. Từ đó ta có một số kết quả sau: Bài toán 1: Cho pa-ra-bol y = a.x 2, .M tùy ý trên pa-ra-bol .Gọi M là hình chiếu của M trên trục hoành .Nếu tiếp tuyến của pa-ra-bol tại M cắt trục hoành tại N thì N là trung điểm của OM . Chứng minh: Gọi x 0 là hoành độ của M.Khi đó MM = a x 0 Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến MN Ta có k = y (x 0 ) = a.x 0 2 (1) Mặt khác k = tg MNM = MN MM = M N xa 0 . (2) Từ (1) và (2) ta đợc NM / = 2 0 x = 2 MO ON = NM / đpcm. Bài toán 2: Cho đng tròn (x-a) 2 +(y-b) 2 = R 2 và đờng thẳng A.x+ B.y+ C = 0 .CMR điều kiện để đờng thẳng và đờng tròn tiếp xúc nhau : R 2 (A 2 +B 2 ) = ( C + A.a +B.b) 2 Chứng minh : Thật vậy Nếu đờng thẳng và đờng tròn tiếp xúc nhau thì hệ ( ) =++ =+ 0 )( 22 2 CyBxA Rbyax Có nghiệm duy nhất =++++ =+ 0 ).().( )()( 222 bBaACbyBaxA Rbyax Đặt X = x-a ,Y = y-b , m = C + A.a +B.b Bài toán trở thành tìm điều kiện để hệ =++ =+ 0 222 mYBXA RYX (*) có nghiệm duy nhất. Có hai khả năng xảy ra +. Nếu B 0,Hệ (*) có nghiệm duy nhất nếu phơng trình X 2 + ( B mxA . ) 2 = R 2 (A 2 + B 2 )X 2 + 2Am.X +m 2 B 2 R 2 = 0 có nghiệm duy nhất. Ta có = A 2 m 2 (A 2 + B 2 ) (m 2 B 2 R 2 ) = 0. Do B 0 nên (A 2 + B 2 ) R 2 = 0 +. Nếu B = 0 (A 0 ) Khi đó từ (*) ta có Y 2 +( A m ) 2 = R 2 Rõ ràng hệ (*) có nghiệm duy nhất R 2 - ( A m ) 2 = 0 hay A 2 R 2 = m 2 hay (A 2 + B 2 )R 2 = m 2 ( B = 0 ) Vậy ta đợc điều phải chứng minh. Bài toán 3 : Cho đờng tròn )1( 222 Ryx =+ và M(x 0 :y 0 ) thuộc đờng tròn. Khi đó phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn tại M là : )2( 2 00 Ryyxx =+ Chứng minh Phơng trình tiếp tuyến với đờng tròn tại M(x 0 ;y 0 ) là )3()( 0 )( , 0 0 xxyyy x = Từ (1) ta có : 0.22 )0( , 00 =+ x yyx Nhân cả hai vế của (3) với y , (x0) ta có: )0( , 0 )0( , 0 0 2 0 xx yyxyyyyy = Ta suy ra điều phải chứng minh. * Tổng quát : Tiếp tuyến tại điểm M(x 0 ;y 0 ) của đờng tròn ( ) 22 2 )( Rbyax =+ là ( ) )4())(()( 2 00 Rbybyaxax =+ Chứng minh : Bằng cách tịnh tiến hệ đồ thị về điểm (a;b) ta có bài toán 3. 4. Các mệnh đề : Cho f(x) là hàm số liên tục trên miền D Mệnh đề 1: Phơng trình f(x) = có nghiệm khi và chỉ khi m = min f(x) max f(x) = M (1) (x D ) Ta công nhận không chứng minh. Mệnh đề 2 : 1) Bất phơng trình f(x) , x D có nghiệm khi và chỉ khi M 2) Bất phơng trình f(x) , đúng với mọi x Dkhi và chỉ khi m . Chứng minh : +) Giả sử Bất phơng trình f(x) , x D có nghiệm, tức là tồn tại x 0 D mà f(x 0 ) ta có M = max f(x) f(x 0 ) . 3) +) Đảo lại, giả sử M giả thiết phản chứng bất phơng trình f(x) , x D vô nghiệm điều này nghĩa là f(x) < , x D hay M = max f(x) với x D. Mâu thuẫn đó chứng tỏ giả thiết phản chứng là sai. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. +) Phần 2 : hiển nhiên. Mệnh đề 3 : 1)Bất phơng trình f(x) , với x D có nghiệm khi và chỉ khi m 2)Bất phơng trình f(x) , đúng với mọi x D khi và chỉ khi M . Phần 2: Bài tập loại 1: Sử dụng phơng trình đờng tròn bài 1: Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất ++ ++ )2()1( )1()1( 22 22 ayx ayx lời giải + Gọi X 1 là miền nghiệm của (1), X 1 là hình tròn tâm O 1 (0,-1) và bán kính là a (a 0) + Gọi X 2 là miền nghiệm của (2), X 2 là hình tròn tâm O 2 (-1,0) và bán kính là a + Nghiệm của hệ đ cho là phần chung của X 1 và X 2 + Từ đó suy ra hệ có nghiệm duy nhất X 1 và X 2 tiếp xúc nhau O 1 O 2 = 2 a 2 = 2 a a = 2 1 Vậy a = 2 1 là giá trị cần tìm . Bài 2 : cho hệ phơng trình : =+ =+ )2(0 )1(0 22 xyx mmyx 1. Biện luận số nghiệm của hệ theo m 2. Khi hệ có hai nghiệm là (x 1 ,y 1 ) ; (x 2 ,y 2 ) Xét đại lợng D = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 Tìm m để Dmax Lời giải : 1. Hệ =+ =+ )4( 4 1 ) 2 1 ( )3(0)1( 22 yx ymx Ta thấy (4) là đờng tròn tâm O 1 ( 2 1 ;0) bán kính 1 còn (3) là phơng trình đờng thẳng luôn qua A(1;1) +. Trớc hết ta thấy từ A có hai tiếp tuyến với đờng tròn, trục tung và tiếp tuyến ABC. Đặt 1 OAO = OAC = 2 Vậy tg 2 = 2 1 2 tg tg mà tg = OA OO 1 = 2 1 nên tg 2 = 3 4 = OC OC = 3 4 Gọi H là điểm mà đờng thẳng (3) cắt ox tìi OH là nghiệm : x-m = 0 .Vậy OH = m (*). Ta thấy số nghiệm của hệ (1), (2) là giao điểm của đờng thẳng (3) với đờng tròn (4) .Từ (*) và lập luận trên ta có : +, m< 0 hoặc m> 3 4 : hệ vô nghiệm . +, m= 0 hoặc m= 3 4 : hệ có nghiệm duy nhất. +, 0<m< 3 4 : hệ có 2 nghiệm. 2. Khi hệ có hai nghiệm là (x 1 ,y 1 ) ; (x 2 ,y 2 ) Xét hai điểm M 1 (x 1 ,y 1 ) ;M 2 (x 2 ,y 2 ) thì M 1 ; M 2 chính là giao điểm của đờng thẳng và đờng tròn .Ta có : D = 2 21 MM do đó Dmax M 1 M 2 max M 1 M qua O 1 m = 2 1 Vậy Dmax m = 2 1 . Bài 3: cho hệ phơng trình = =+ 0)3)(( )1(9 22 axxay yx (2) Biện luận số nghiệm của hệ trên theo a. Lời giải : Ta thấy (1) là phơng trình đờng tròn tâm O(o;o) và bán kính bằng 3. Còn (2) là phơng trình của 2 đờng thẳng x = a 3 và ay + x = 0. Số nghiệm của hệ là số giao điểm của đờng thẳng và đờng tròn. 1. Nếu a=0 Khi đó (2) x=0 và đó là phơng trình trục tung.Do đó hệ có 2 nghiệm (vì trục tung cắt đờng tròn (1) tại 2 điểm). 2.Nếu a>0 .Gọi (x 0 ;y 0 ) là điểm chung của 3 đờng thẳng x 2 + y 2 = 9; ay + x = 0 ; x = a 3 thì ta có = =+ =+ )5(3 )4(0 )3(9 0 00 00 ax xay yx từ (4) và (5) suy ra a 3 =-ay 0 y 0 =- 3 . Thay vaò (3) ta có a 2 =2 và a > 0 nên a = 2 Từ đó suy ra : +, Nếu a> 3 : hệ có 2 nghiệm. +, Nếu a= 3 : hệ có 3 nghiệm. +, Nếu a= 2 : hệ có 3 nghiệm. +, Nếu << 2 30 a a ; hệ có 4 nghiệm. 3. Nếu a<0 xét hoàn toàn tơng tự nh (2) ta có: +, Nếu a<- 3 : hệ có 2 nghiệm. +, Nếu a=- 3 : hệ có 3 nghiệm. +, Nếu a=- 2 : hệ có 3 nghiệm. +, Nếu << 2 03 a a ; hệ có 4 nghiệm Vậy : +, Hệ có 4 nghiệm khi << 2 30 a a +, Hệ có 3 nghiệm khi 23 == aa +, Hệ có 2 nghiệm khi a = 0 hoặc 3>a . Bài 4: Tìm a để hệ sau có nghiệm = ++ )2(2 )1(4)3( 2 22 axy yx Lời giải : Ta thấy tập hợp các điểm thỏa mn (1) là hình tròn tâm O 1 (0;-3) và bán kính bằng 2. Các điểm thỏa mn (2) là 1 pa-ra-bol y = 2ax 2 .Hệ có nghiệm khi và chỉ khi pa-ra- bol và phần hình tròn có điểm chung. Gọi x 0 là giá trị mà pa-ra-bol y = 2a 0 x 2 tiếp xúc với đờng tròn nói trên,dễ thấy hệ đ cho có nghiệm thì a a 0. Bài toán trở thành tìm a 0 để a a 0. Gọi A có hoành độ x 0 là tiếp điểm của pa-ra- bol y = 2a 0 x 2 với đờng tròn trên. Ta có A(x 0 ; 2a 0 x 0 2 ). Vẽ tiếp tuyến với pa-ra-bol tại A thì nó cũng là tiếp tuyến của đờng tròn (do chúng tiếp xúc nhau), giả sử chúng cắt trục hoành tại B thì OB = 2 0 x .Ta có : O 1 A 2 +AB 2 = O 1 B 2 = O 1 O 2 +O 1 B 2 )4 4 (4 4 0 2 0 0 2 xa x ++ = 9+ 4 2 0 x 4 a 0 2 x 2 0 = 5 x 0 2 = 0 2 5 a (a<0). Do A nằm trên đờng tròn nên x 0 2 + (2a 0 x 0 2 +3) 2 = 4 0 2 5 a = 10 - 6 5 a 0 = 16 53 . Vậy hệ đ cho có nghiệm khi a 0 < 16 53 . Bài 5. Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất =+ + 0 22 22 ayx xyx Lời giải. Hệ =+= + )2(0 )1(3)1( 22 axy yx Từ hệ hệ có nghiệm duy nhất y=x + a là tiếp tuyến của đờng tròn tâm O 1 (1,0) và bán kính 3 . Ta thấy đờng thẳng y = x = a tạo chiều dờng Ox góc 45 0 với mọi a. Có 2 giá trị của a để y = x + a tiếp xúc với đờng tròn. Ta có O 1 BC là tam giác vuông cân nên 62BOCO 11 == . 6 1 OC + = . Mặt khác OC chính là nghiệm của phơng trình x+a=0 6 1 6 1 = + = a a . Tơng tự ta có 16616 11 === aDODO . Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi 6 1 = a . Bài 6. Tìm a để hệ có hai nghiệm: =+ +=+ )2(4)( )1()1(2 2 22 yx ayx y A D C x B O 1 O 2 y x 2 2 2 O [...]... đó ta có: x0 = 2a 4 y0 = 4 x 0 = 2 a a = 1 y0 = a x +2 y =4 y =a 0 0 0 Từ đó ta kết luận: x + 2 y = 0 đồng quy 1) Nếu | a | > 2: Hệ vô nghiệm 2) Nếu | a | = 2: Hệ có 2 nghiệm 3) Nếu | a | < 2 v | a | 1 : Hệ có 4 nghiệm 4) Nếu | a | = 1: Hệ có 3 nghiệm Loại 2 Biến tham số th nh đối số B i 8 Tìm a để hệ sau có nghiệm: x 2 + (5a + 2) x + 4a 2 + 2a 0 tại duy nhất một điểm) Vậy hệ có nghiêm duy nhất với mọi a B i 20 Tìm m để hệ sau có nghiệm: 3 x 2 + 2 x 1< 0 3 x + 3 mx + 1 < 0 Lời giải Với mọi m thì x = 0 đều không l nghiệm của hệ nên hệ thơng đơng với hệ: 1< x < 0 3 x 1( I ) m> 3x hoặc 3 Xét f ( x ) = 1 0 3/2 thì hệ có nghiệm Để xem với giá trị O1 2 1 O n o của k thì độ d i 1 2 x O3 nghiệm của hệ đ cho l 2 Từ đồ thị ta nhận thấy: Do tung độ của O2 (l giao của xk+2=0 v x+k1=0)