luận văn thạc sĩ xấp xỉ nghiệm của một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân ba cấp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÀNH TRUNG XẤP XỈ NGHIỆM CỦA MỘT LỚP BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN BA CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trương Minh Tuyên Thái Nguyên – 2017 download by : skknchat@gmail.com ii Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Trương Minh Tuyên Qua thời gian nghiên cứu học tập trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên tác giả học tập nhiều kiến thức chuyên ngành phục vụ cho công tác giảng dạy nghiên cứu thân Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn TS Trương Minh Tuyên dành nhiều thời gian hướng dẫn bảo tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn tới thầy Ban giám hiệu, thầy khoa Tốn - Tin phòng chức trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới bạn lớp K9HY, bạn bè người thân gia đình động viên, giúp đỡ tơi suốt thời gian qua download by : skknchat@gmail.com iii Mục lục Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu viết tắt iv Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số đặc trưng không gian Hilbert 1.2 Bài tốn tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn 10 1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển 15 1.4 Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 18 1.5 Một số bổ đề bổ trợ 21 Chương Xấp xỉ nghiệm lớp bất đẳng thức biến phân ba cấp 23 2.1 Phát biểu toán 23 2.2 Thuật toán 26 Kết luận Tài liệu tham khảo download by : skknchat@gmail.com 49 50 iv Một số ký hiệu viết tắt H không gian Hilbert X khơng gian Banach h., i tích vơ hướng H k.k chuẩn H ∪ phép hợp ∩ phép giao R+ tập số thực khơng âm I tốn tử đồng ∅ tập rỗng ∀x với x ∃x tồn x αn & α0 dãy số thực {αn } hội tụ giảm α0 xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.cap Mở đầu Bài toán "Bất đẳng thức biến phân" nảy sinh trình nghiên cứu giải toán thực tế tốn cân kinh tế, tài chính, tốn mạng giao thơng, lý thuyết trị chơi, phương trình vật lý toán Bài toán giới thiệu lần Hartman P.và Stampacchia G vào năm 1966 tài liệu [6] Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian hữu hạn chiều, vơ hạn chiều với ứng dụng giới thiệu chi tiết sách "An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications" D.Kinderlehrer Stampacchia G xuất năm 1980 [7] Từ đó, toán bất đẳng thức biên phân nghiên cứu phát triển mạnh mẽ, thu hút sự quan tâm nhiều người làm tốn ngồi nước Một hướng nghiên cứu quan trọng toán bất đẳng thức biến phân việc xây dựng phương pháp giải Có nhiều phương pháp giải đề suất phương pháp gradient, gradient tăng cường hay phương pháp điểm bất động Bài toán bất đẳng thức biến phân có dạng: Tìm phần tử x∗ ∈ C, cho hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C, F ánh xạ liên tục từ không gian Hilbert H vào nó, C tập lồi đóng H Bài tốn có ý nghĩa quan trọng việc giải tốn tối ưu lồi có ràng buộc trường hợp đặc biệt toán chấp nhận lồi tiếng Khi tập chấp nhận C tập nghiệm toán khác (tập điểm bất động ánh xạ không giãn, tập khơng điểm tốn tử đơn điệu, tập nghiệm bất đẳng thức biến phân khác ) tốn cịn gọi tốn bất đẳng thức biến phân hai cấp Trong trường hợp kỳ ta xem C tập điểm bất động phép chiếu mêtric PC từ H lên C, tốn ln xem toán bất đẳng thức biến phân luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.cap download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.cap tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn PC Như nói tốn bất đẳng thức biến phân nói chung hay toán bất đẳng thức biến phân hai cấp nói riêng đóng vai trị quan trọng lĩnh vực giải tích phi tuyến Trong năm gần đây, toán bất đẳng thức biến phân ba cấp V I(A2 , V I(C, A1 )) với C tập nghiệm toán khác chủ đề quan trọng lĩnh vực tối ưu hóa Lớp tốn thu hút đơng đảo người làm tốn ngồi nước quan tâm nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày lại kết Ceng L.C., Ansari Q.H., Petrusel A Yao J.C tài liệu [4] kết hợp phương pháp lặp Mann, phương pháp xấp xỉ gắn kết phương pháp đường dốc cho toán bất đẳng thức biến phân ba cấp, với miền chấp nhận tập nghiệm bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn Nội dung luận văn chia làm hai chương Chương trình bày số tính chất đặc trưng khơng gian Hilbert thực, tốn tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn, toán bất đẳng thức biến phân cổ điển với tốn liên quan khơng gian hữu hạn chiều Rn , toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert cuối số bổ đề bổ trợ cần sử dụng đến chứng minh định lý đề cập Chương luận văn Chương luận văn trình bày thuật toán Ceng L.C., Ansari Q.H., Petrusel A Yao J.C tài liệu [4] với ba định lý (với giả thiết khác đặt lên dãy tham số) hội tụ mạnh thuật toán nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân ba cấp khơng gian Hilbert luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.cap download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.cap Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương bao gồm năm mục Mục 1.1 đề cập đến số đặc trưng không gian Hilbert thực, Mục 1.2 giới thiệu sơ lược số kết tốn tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn Mục 1.3 trình bày tốn bất đẳng thức biến phân cổ điển không gian hữu hạn chiều Rn toán liên quan, Mục 1.4 giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert Mục 1.5 trình bày số bổ đề cần sử dụng đến Chương luận văn Nội dung chương phần lớn tham khảo từ tài liệu [2] [3] 1.1 Một số đặc trưng không gian Hilbert Ta giả thiết H không gian Hilbert thực với tích vơ hướng kí hiệu h., i chuẩn kí hiệu k.k Mệnh đề 1.1 (Bất đẳng thức Schwars) Trong không gian Hilbert thực H ta ln có bất đẳng thức sau: |hx, yi| ≤ kxk.kyk, với x, y ∈ H Chứng minh Nếu y = bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên Nếu y 6= 0, từ tính chất tích vơ hướng, ta có hx + ty, x + tyi ≥ 0, luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.cap download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.cap với t ∈ R Suy kyk2 t2 + 2hx, yit + kxk2 ≥ ∀t ∈ R Điều xảy |hx, yi|2 ≤ kxk2 kyk2 Từ ta nhận điều phải chứng minh Mệnh đề 1.2 (Đẳng thức hình bình hành) Trong khơng gian Hilbert thực H ta ln có đẳng thức sau: kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ), với x, y ∈ H Chứng minh Ta ln có kx + yk2 = kxk2 + 2hxx, yi + kyk2 , kx − yk2 = kxk2 − 2hxx, yi + kyk2 Cộng hai đẳng thức ta nhận điều phải chứng minh Mệnh đề 1.3 Trong không gian Hilbert thực H ta ln có đẳng thức sau kx − yk2 + kx − zk2 = ky − zk2 + 2hx − y, x − zi, với x, y, z ∈ H Chứng minh Thật vậy, ta có ky − zk2 + 2hx − y, x − zi = hy, yi + hz, zi + 2hx, xi − 2hx, zi − 2hx, yi = [hx, xi − 2hx, yi + hy, yi] + [hx, xi − 2hx, zi + hz, zi] = kx − yk2 + kx − zk2 Vậy ta điều phải chứng minh luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.cap download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.cap Mệnh đề 1.4 Cho H không gian Hilbert thực Khi đó, với x, y ∈ H λ ∈ [0, 1], ta có kλx + (1 − λ)yk2 = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)kx − yk2 (1.1) Chứng minh Ta có kλx + (1 − λ)yk2 = λ2 kxk2 + 2λ(1 − λ)hx, yi + (1 − λ)2 kyk2 = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)(kxk2 − 2hx, yi + kyk2 ) = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)kx − yk2 Ta điều phải chứng minh Mệnh đề 1.5 Trong không gian Hilbert thực H, ta ln có kx + yk2 ≤ kxk2 + 2hy, x + yi với x, y ∈ H Chứng minh Với x, y ∈ H, ta có kx + yk2 = kxk2 + 2hx, yi + kyk2 ≤ kxk2 + 2hx, yi + 2kyk2 = kxk2 + 2hy, x + yi Mệnh đề chứng minh Nhắc lại rằng, dãy {xn } không gian Hilbert H gọi hội tụ yếu phần tử x ∈ H, lim hxn , yi = hx, yi, n→∞ với y ∈ H Từ tính liên tục tích vơ hướng, suy xn → x, xn * x Tuy nhiên, điều ngược lại không Chẳng hạn xét không gian  P∞ 2 l2 = {xn } ⊂ R : n=1 |xn | < ∞ {en } ⊂ l , cho en = (0, , 0, , 0, , 0, ), vị trí thứ n luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.cap download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.cap với n ≥ Khi đó, en * 0, n → ∞ Thật vậy, với y ∈ H, từ bất đẳng thức Bessel, ta có ∞ X |hen , yi|2 < kyk2 < ∞ n=1 Suy limn→∞ hen , yi = 0, tức en * Tuy nhiên, {en } khơng hội tụ 0, ken k = với n ≥ Ta biết không gian Hilbert H thỏa mãn điều kiện Opial, tính chất thể mệnh đề đây: Mệnh đề 1.6 Cho H không gian Hilbert thực {xn } ⊂ H dãy thỏa mãn điều kiện xn * x, n → ∞ Khi đó, với y ∈ H y 6= x, ta có lim inf kxn − xk < lim inf kxn − yk n→∞ n→∞ (1.2) Chứng minh Vì xn * x, nên {xn } bị chặn Ta có kxn − yk2 = kxn − xk2 + kx − yk2 + 2hxn − x, x − yi > kxn − xk2 + 2hxn − x, x − yi Vì x 6= y, nên lim inf kxn − yk2 > lim inf kxn − xk2 + 2hxn − x, x − yi n→∞ n→∞ = lim inf kxn − xk2 n→∞ Do đó, ta nhận lim inf kxn − xk < lim inf kxn − yk n→∞ n→∞ Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 1.7 Mọi khơng gian Hilbert thực H có tính chất Kadec-Klee, tức {xn } ⊂ H dãy H thỏa mãn điều kiện xn * x kxn k → kxk, xn → x, n → ∞ luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.cap download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.cap 28 + |(1 − βn+1 − γn+1 ) − (1 − βn − γn )|kTn+1 xn+1 k + (1 − βn − γn )kTn+1 xn+1 − Tn xn k ≤| βn+1 − βn | kxn+1 k + βn kxn+1 − xn k+ | γn+1 − γn | kf (xn+1 )k + γn ρkxn+1 − xn k + (| βn+1 − βn | + | γn+1 − γn |)kTn+1 xn+1 k + (1 − βn − γn )[kxn+1 − xn k+ | λn − λn+1 | kA1 xn k] ≤ (| βn+1 − βn | + | γn+1 − γn |)kxn+1 k + βn kxn+1 − xn k + (| βn+1 − βn | + | γn+1 − γn |)kf (xn+1 )k + γn ρkxn+1 − xn k + (| βn+1 − βn | + | γn+1 − γn |)kTn+1 xn+1 k + (1 − βn − γn )[kxn+1 − xn k+ | λn − λn+1 | kA1 xn k] = [1 − γn (1 − ρ)]kxn+1 − xn k + (1 − βn − γn ) | λn − λn+1 | kA1 xn k + (| βn+1 − βn | + | γn+1 − γn |)(kxn+1 k + kf (xn+1 )k + kTn+1 xn+1 k) ≤ [1 − γn (1 − ρ)]kxn+1 − xn k + (| βn+1 − βn | + | γn+1 − γn | + | λn+1 − λn |)M1 Từ Bổ đề 1.2 bất đẳng thức trên, với n ≥ ta có kxn+1 − xn k = kT (αn ,µn ) yn − T (αn−1 ,µn−1 ) yn−1 k ≤ kT (αn ,µn ) yn − T (αn ,µn ) yn−1 k + kT (αn ,µn ) yn−1 − T (αn−1 ,µn−1 ) yn−1 k ≤ (1 − αn τn )kyn − yn−1 k+ | αn µn − αn−1 µn−1 | kA2 yn−1 k ≤ (1 − αn τn ){[1 − γn−1 (1 − ρ)]kxn − xn−1 k + (| βn − βn−1 | + | γn − γn−1 | + | λn − λn−1 |)M1 } + |αn µn − αn−1 µn−1 |kA2 yn−1 k ≤ [1 − γn−1 (1 − ρ)]kxn − xn−1 k + (| βn − βn−1 | + | γn − γn−1 | + | λn − λn−1 |)M1 + | αn µn − αn−1 µn−1 | M2 , τn = − p − µn (2η − µn κ2 ) ∈ (0, 1] xác định Bổ đề 1.2 M2 = sup kA2 yn k < ∞ n≥0 luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.cap download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.capluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.mot.lop.bai.toan.bat.dang.thuc.bien.phan.ba.cap 29 Vì vậy, với n ≥ 1, ta nhận kxn+1 − xn k kxn − xn−1 k ≤ [1 − γn−1 (1 − ρ)] λn λn | βn − βn−1 | + | γn − γn−1 | + | λn − λn−1 | + M1 λn | αn µn − αn−1 µn−1 | M2 + λn kxn − xn−1 k = [1 − γn−1 (1 − ρ)] λ   n−1 kxn − xn−1 k kxn − xn−1 k − + [1 − γn−1 (1 − ρ)] λn λn−1 | βn − βn−1 | + | γn − γn−1 | + | λn − λn−1 | + M1 λn | αn µn − αn−1 µn−1 | + M2 λn kxn − xn−1 k ≤ [1 − γn−1 (1 − ρ)] + M3 − λn−1 λn λn−1 | γn − γn−1 | + | λn − λn−1 | + M3 λn | βn − βn−1 | + | αn µn − αn−1 µn−1 | + M3 λn kxn − xn−1 k = [1 − γn−1 (1 − ρ)] λn−1 M3 1