luận văn thạc sĩ xấp xỉ nghiệm của bài toán không điểm chung tách trong không gian banach

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC NGUY™N QUANG KHU– X‡P XŸ NGHI›M CÕA B€I TON KHỈNG IšM CHUNG TCH TRONG KHỈNG GIAN BANACH LUŠN V‹N TH„C Sž TON HC Chuyản ngnh: ToĂn ựng dửng M số: 46 01 12 NGìI HìẻNG DN KHOA HC TS Trữỡng Minh Tuy¶n Th¡i Nguy¶n  2018 download by : skknchat@gmail.com ii Líi c£m ìn Tỉi xin b y tä láng bi¸t ỡn sƠu sưc án TS Trữỡng Minh Tuyản, ngữới  tên tẳnh hữợng dăn, giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp nghiản cựu  hon thnh luên vôn Tỉi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u, c¡c thƯy giĂo, cổ giĂo khoa ToĂn  Tin trữớng Ôi hồc Khoa hồcÔi hồc ThĂi Nguyản  tên tẳnh giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu tÔi Trữớng Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn S GiĂo dửc v o tÔo tnh H Giang, Ban GiĂm ốc Trung tƠm GiĂo dửc thữớng xuyản - Hữợng nghiằp tnh H Giang, cụng nhữ ton th cĂc ỗng nghiằp,  quan tƠm v tÔo iÃu kiằn thuên lủi cho tổi thỹc hiằn úng ká hoÔch hồc têp v nghi¶n cùu download by : skknchat@gmail.com iii Mưc lưc Líi cÊm ỡn ii Mởt số kỵ hiằu v viát tưt iv M Ưu Chữỡng Kián thực chuân b 1.1 Mởt số vĐn à và hẳnh hồc cĂc khæng gian Banach 1.2 nh xÔ ối ngău chuân tưc 10 1.3 Php chiáu mảtric v php chiáu têng qu¡t 14 1.3.1 Php chiáu mảtric 14 1.3.2 Ph²p chi¸u têng qu¡t 16 To¡n tû ìn i»u khỉng gian Banach 19 1.4 Chữỡng XĐp x nghiằm cừa b i to¡n khỉng iºm chung t¡ch 2.1 2.2 22 X§p x¿ nghi»m cõa b i to¡n khæng iºm chung t¡ch 22 2.1.1 Ph÷ìng phĂp chiáu co hàp 22 2.1.2 Phữỡng phĂp lai chiáu 25 31 Ùng döng 2.2.1 B i to¡n iºm cüc tiºu t¡ch 31 2.2.2 B i toĂn chĐp nhên tĂch 33 Kát luên 35 Ti liằu tham kh£o 36 download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banach iv Mët sè kỵ hiằu v viát tưt E khổng gian Banach E khổng gian ối ngău cừa R têp hủp cĂc số thỹc R+ têp cĂc số thỹc khổng Ơm php giao inf M cên dữợi úng cừa têp hủp số M sup M cên trản úng cừa têp hủp số M max M số lợn nhĐt têp hủp số M số nhọ nhĐt têp hủp số argminxX F (x) tªp c¡c iºm cüc tiºu cõa h m ∅ têp rộng x vợi mồi D(A) miÃn xĂc nh cừa to¡n tû R(A) mi·n £nh cõa to¡n tû A−1 to¡n tỷ ngữủc cừa toĂn tỷ I toĂn tỷ ỗng nhĐt Lp () khổng gian cĂc hm khÊ tẵch bêc lp khổng gian cĂc dÂy số khÊ tờng bêc E M F trản X x A A A giợi hÔn trản cừa dÂy số {xn } lim inf xn giợi hÔn dữợi cừa dÂy số {xn } xn x0 dÂy {xn } hởi tử mÔnh và xn * x0 dÂy {xn } hëi tư y¸u v· lim sup xn M p tr¶n Ω p n→∞ n→∞ x0 x0 luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banach download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banach v JE Ănh xÔ ối ngău chuân tưc trản jE Ănh xÔ ối ngău chuân tưc ỡn tr trản E () mổ un lỗi cừa khổng gian Banach ρE (τ ) mỉ un trìn cõa khỉng gian Banach F ix(T ) ho°c F (T ) tªp im bĐt ởng cừa Ănh xÔ f dữợi vi phƠn cừa hm lỗi M bao õng cừa têp hủp PC php mảtric lản C php chiáu tờng quĂt lản iC hm ch cừa têp lỗi E E E E T f M C C C luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banach download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banach Mð ¦u Cho H1 v  C H2 , v Q l cĂc têp lỗi, õng v khĂc réng cõa c¡c khỉng gian Hilbert t÷ìng ùng Cho T ∗ : H2 −→ H1 T : H1 −→ H2 l  to¡n tû li¶n hđp cõa l  mët to¡n tû tuyán tẵnh b chn v T Bi toĂn chĐp nhên tĂch (SFP) cõ dÔng nhữ sau: Tẳm mởt phƯn tỷ x∗ ∈ S = C ∩ T −1 (Q) 6= (SFP) Mổ hẳnh bi toĂn (SFP) lƯn Ưu tiản ữủc giợi thiằu v nghiản cựu bi Y Censor v T Elfving [4] cho mổ hẳnh cĂc bi toĂn ngữủc B i to¡n n y âng vai trá quan trång khæi phửc hẳnh Ênh Y hồc, iÃu khin cữớng ở xÔ tr iÃu tr bằnh ung thữ, khổi phửc t½n hi»u (xem [2], [3]) hay câ thº ¡p dưng cho viằc giÊi cĂc bi toĂn cƠn bơng kinh tá, lỵ thuyát trỏ chỡi (xem [13]) GiÊ sỷ C l mởt têp lỗi v õng cừa khổng gian Hilbert H1 Ta biát rơng têp im cỹc tiu cõa h m ch¿ iC (x) =   0, n¸u  ∞, l  arg minH1 iC (x) vi ph¥n cõa iC Ôi) Ngoi ra, A = I PC = C x ∈ C, n¸u x∈ /C Do â, ta nhên ữủc (Rockafellar [11]  ch rơng C C = (iC )1 (0), iC vợi iC l dữợi l  mët to¡n tû ìn i»u cüc cơng l  tªp khỉng iºm cõa to¡n tû ìn i»u A x¡c ành bði Do â, ta câ thº xem b i to¡n ch§p nhên tĂch (SFP) l trữớng hủp riảng cừa bi toĂn khæng iºm chung t¡ch B i to¡n khæng iºm chung t¡ch ữủc phĂt biu dÔng sau: Cho v B : H2 −→ 2H2 l  c¡c to¡n tû ìn i»u cüc Ôi v cho A : H1 2H1 T : H1 H2 l mởt toĂn tỷ tuyán tẵnh b chn Tẳm mởt phƯn tỷ
x S = A−1 (0) ∩ T −1 B −1 (0) 6= ∅ (SCNPP) Cho án Bi toĂn (SCNPP)  v ang l  chõ · thu hót nhi·u ng÷íi l m to¡n v ngoi nữợc quan tƠm nghiản cựu Mửc ẵch cừa luên vôn ny l luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banach download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banach trẳnh by lÔi cĂc kát quÊ cừa Takahashi cĂc ti liằu [14] v [15] và phữỡng phĂp chiáu co hàp v phữỡng phĂp chiáu lai ghp cho Bi to¡n (SCNPP) khỉng gian Banach Nëi dung cõa luªn vôn ữủc chia lm hai chữỡng chẵnh: Chữỡng Kián thực chuân b Trong chữỡng ny, luên vôn à cêp án mởt số vĐn à và cĐu trúc hẳnh hồc cừa cĂc khổng gian Banach nhữ khổng gian Banach lỗi Ãu, khổng gian Banach trỡn Ãu, Ănh xÔ ối ngău chuân tưc; php chiáu mảtric v php chiáu tờng quĂt; to¡n tû ìn i»u khỉng gian Banach, to¡n tû giÊi mảtric v toĂn tỷ giÊi tờng quĂt Chữỡng X§p x¿ nghi»m cõa b i to¡n khỉng iºm chung t¡ch Trong chữỡng ny luên vôn têp trung trẳnh by lÔi mët c¡ch chi ti¸t c¡c k¸t qu£ cõa Takahashi [14], [15] và cĂc phữỡng phĂp chiáu co hàp v phữỡng ph¡p chi¸u lai gh²p cho b i to¡n khỉng iºm chung t¡ch khỉng gian Banach Ngo i ra, ch÷ìng n y luên vôn cụng à cêp án hai ựng dửng cừa phữỡng phĂp chiáu lai ghp (nh lỵ 2.2) cho bi toĂn im cỹc tiu tĂch v bi toĂn chĐp nhên t¡ch luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banach download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banach Ch÷ìng Kián thực chuân b Chữỡng ny bao bỗm mửc Mửc 1.1 trẳnh by mởt số vĐn à và mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa khổng gian phÊn xÔ, khổng gian Banach lỗi Ãu, trỡn Ãu Mửc 1.2 giợi thiằu và Ănh xÔ ối ngău chuân tưc Mửc 1.3 trẳnh by và php chiáu mảtric v php chiáu tờng quĂt vợi mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa chóng Mưc 1.4 tr¼nh b y v· to¡n tû ìn i»u khæng gian Banach, to¡n tû gi£i têng qu¡t v  toĂn tỷ giÊi mảtric Nởi dung cừa chữỡng ny ữủc tham kh£o c¡c t i li»u [1, 5, 6, 8, 9, 10] 1.1 Mởt số vĐn à và hẳnh hồc c¡c khæng gian Banach Cho E l  mët khæng gian Banach v E l khổng gian ối ngău cừa nõ º cho ìn gi£n v  thuªn ti»n hìn, chóng tỉi thống nhĐt sỷ dửng kẵ hiằu chuân trản E v E ; Sỹ hởi tử mÔnh v yáu cừa dÂy lƯn lữủt ữủc kẵ hiằu l xn x v xn * x {xn } v· ph¦n tû k.k x  ch E ton bở luên vôn Trong luên vôn ny, chúng tổi thữớng xuyản sỷ dửng tẵnh chĐt dữợi Ơy cừa khổng gian Banach phÊn xÔ Mằnh · 1.1 (xem [1] trang 41) Cho E l  mët khæng gian Banach Khi â, c¡c kh¯ng ành sau l  tữỡng ữỡng: i) ii) E l khổng gian phÊn xÔ Måi d¢y bà ch°n E , ·u câ mët dÂy hởi tử yáu Mằnh à dữợi Ơy cho ta mối liản hằ giỳa têp õng v têp õng yáu khổng gian tuyán tẵnh nh chuân luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banach download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banach M»nh · 1.2 N¸u C l têp lỗi, õng v khĂc rộng cừa khổng gian khổng gian tuyán tẵnh nh chuân X , thẳ C l têp õng yáu Chựng minh cho xn * x, ng°t x v  C, Ta chùng minh b¬ng ph£n chựng GiÊ sỷ tỗn tÔi dÂy x / C tực l tỗn tÔi Theo nh lỵ tĂch cĂc têp lỗi, tỗn tÔi >0 {xn } C x X ∗ t¡ch cho hy, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, vỵi måi y ∈ C °c bi»t, ta câ hxn , x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, vỵi måi n ≥ Ngo i ra, vẳ ng thực trản, cho n , xn * x , n¶n hxn , x∗ i → hx, x i Do õ, bĐt ta nhên ữủc hx, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, i·u n y l vổ lỵ Do õ, iÃu giÊ sỷ l sai, hay C l têp õng yáu Mằnh à ữủc chựng minh Chú ỵ 1.1 Náu C l têp õng yáu, thẳ hin nhiản C l têp õng Mằnh à dữợi Ơy cho ta mởt iÃu kiằn và sỹ tỗn tÔi im cỹc tiu cừa mởt phiám hm lỗi, chẵnh thữớng, nỷa liản tửc dữợi khổng gian Banach phÊn xÔ Mằnh à 1.3 Cho C l têp lỗi, õng v khĂc rộng cừa khổng gian Banach phÊn xÔ E v  f : C −→ (−∞, ∞] l  mët h m lỗi, chẵnh thữớng, nỷa liản tửc dữợi trản C , cho f (xn ) → ∞ kxn k Khi õ, tỗn tÔi x0 dom(f ) cho f (x0 ) = inf{f (x) : x ∈ C} Chùng minh cho f (xn ) → m {xnk } vỵi °t cõa {xn } m = inf{f (x) : x ∈ C} n → ∞ cho N¸u {xn } kxnk k → ∞ Khi â, tỗn tÔi dÂy {xn } C khổng b chn, thẳ tỗn tÔi mởt dÂy Theo giÊ thiát, f (xnk ) , mƠu thuăn m 6= Do â, {xn } bà ch°n Theo M»nh · 1.1 v Mằnh à 1.2, tỗn tÔi dÂy luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banach download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banach {xnj } {xn } cõa cho x nj * x ∈ C Vẳ f l nỷa liản tửc dữợi tổpổ yáu, n¶n ta câ m ≤ f (x0 ) ≤ lim inf f (xnj ) = lim f (xn ) = m n→∞ j→∞ Do â, m = f (x0 ) Mằnh à ữủc chựng minh Tiáp theo, mửc ny chúng tổi à cêp án mởt số vĐn à cỡ bÊn và cĐu trúc hẳnh hồc cĂc khổng gian Banach, nhữ: tẵnh lỗi, tẵnh trỡn, mổ un lỗi, mổ un trỡn nh nghắa 1.1 Khổng gian Banach E ữủc gồi l lỗi cht náu vợi mồi x, y E, x 6= y m  kxk = 1, kyk = ta câ x + y < Chú ỵ 1.2 nh nghắa 1.1 cỏn cõ th phĂt biu dữợi cĂc dÔng tữỡng ữỡng E ữủc gồi l lỗi cht náu vợi mồi x, y SE thäa m¢n kx + yk = 1, suy x = y ho°c vỵi måi x, y ∈ SE v  x 6= y ta câ ktx+(1−t)yk < vỵi måi t ∈ (0, 1), â sau: Khỉng gian Banach SE = {x ∈ E : kxk = 1} M»nh · 1.4 Cho E l  mët khæng gian Banach lỗi cht Khi õ, vợi mội f E \ {0}, tỗn tÔi nhĐt phƯn tỷ x ∈ E cho kxk = v  hx, f i = kf k Chựng minh GiÊ sỷ tỗn tÔi x, y ∈ E thäa m¢n kxk = kyk = v  x 6= y cho hx, f i = hy, f i = kf k Khi â, vỵi t (0, 1), tứ tẵnh lỗi cht cừa E, ta câ kf k = thx, f i + (1 − t)hy, f i = htx + (1 − t)y, f i ≤ ktx + (1 − t)ykkf k < kf k Suy mƠu thuăn Vêy tỗn tÔi nhĐt phƯn tỷ x E cho kxk = hx, f i = kf k luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banach download by : skknchat@gmail.com v  x xn * Suy kxn k → x ta câ kxn k kxk x x xnk + 1= ≤ lim inf ≤ − δ, k→∞ kxnk k kxk kxk Vẳ l khổng gian lỗi Ãu nản tỗn tÔi suy mƠu thuăn Vêy nh nghắa 1.4 x SE , hay E Cho E fx ∈ E ∗ cho cõ tẵnh chĐt Kadec-Klee Khổng gian Banach tỗn tÔi nhĐt nh nghắa 1.5 E xn x ta cõ cho E ữủc gồi l trỡn náu vợi mội hx, fx i = kxk v  kfx k = l mởt khổng gian tuyán tẵnh nh chuân Chuân trản ữủc gồi l khÊ vi GƠteaux tÔi im x SE náu vợi mội y SE , tỗn tÔi giợi hÔn nh nghắa 1.6 a) Chuân trản d kx + tyk − kxk (kx + tyk)t=0 = lim t→0 dt t Cho E E (1.1) l  mët khæng gian tuyán tẵnh nh chuân Khi õ: ữủc gồi l khÊ vi GƠteaux náu nõ khÊ vi GƠteaux tÔi mồi x ∈ SE luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banach download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banach b) Chuân trản E ữủc gồi l khÊ vi GƠteaux Ãu náu vợi mồi (1.1) tỗn tÔi Ãu vợi mồi c) Chuân trản E d) Chuân trản vợi mồi E giợi hÔn x SE ữủc gồi l khÊ vi Frchet náu vợi mồi tỗn tÔi Ãu vợi mồi y SE x SE , giợi hÔn (1.1) y ∈ SE ÷đc gåi l  kh£ vi Frchet Ãu náu giợi hÔn (1.1) tỗn tÔi Ãu x, y SE nh lỵ 1.1 (xem [1] trang 92) Cho E l  mët khæng gian Banach Khi â, ta câ c¡c kh¯ng ành sau: a) N¸u E ∗ l khổng gian lỗi cht thẳ E l khổng gian trỡn b) Náu E l khổng gian trỡn thẳ E l khổng gian lỗi cht nh nghắa 1.7 Mổ un trìn cõa khỉng gian Banach E l  h m sè x¡c ành bði
ρE (τ ) = sup{2−1 kx + yk + kx − yk − : kxk = 1, kyk = τ } Nhªn x²t 1.2 Mỉ un trỡn cừa khổng gian Banach tửc v tông trản khoÊng Vẵ dử 1.3 [10] Náu E [0; +) E l  h m sè x¡c ành, li¶n (xem [1] trang 95) l  khỉng gian lp ho°c Lp (Ω), th¼ ta câ   (1 + τ p )1/p − < τ p , < p < 2, p ρE (τ ) = p − p−1   τ + o(τ ) < τ , p 2 nh lẵ dữợi Ơy cho ta biát và mối liản hằ giỳa mổ un trỡn cừa khổng gian Banach E vợi mổ un lỗi cừa nh lỵ 1.2 a) b) E (xem [6] trang 70) v ngữủc lÔi Cho E l mởt khổng gian Banach Khi â ta câ τε − δE (ε) : ε ∈ [0, 2]}, τ > τε ρE (τ ) = sup{ − δE ∗ (ε) : ε ∈ [0, 2]}, τ > ρE ∗ (τ ) = sup{ Nhên xt 1.3 Tứ nh lẵ 1.2, suy â ε0 (E ∗ ) ε0 (E) , ρE (τ ) ε0 (E) = sup{ε : δE (ε) = 0}, ρ0 (E) = limτ →0 τ ρ0 (E) = v  ρ0 (E ∗ ) = luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banach download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banach ành ngh¾a 1.8 Khổng gian Banach E ữủc gồi l trỡn Ãu náu ρE (τ ) = τ →0 τ lim Tø Nhên xt 1.3, ta cõ nh lỵ dữợi Ơy: nh lỵ 1.3 Cho E l mởt khổng gian Banach Khi â ta (xem [6] trang 70) câ c¡c kh¯ng ành sau: a) Náu E l khổng gian trỡn Ãu thẳ E l khổng gian lỗi Ãu; b) Náu E l khổng gian lỗi Ãu thẳ E l khổng gian trìn ·u V½ dư 1.4 Måi < p < + Ãu l khổng gian Banach lỗi Ãu v trìn ·u (xem [5] trang khỉng gian Hilbert, khỉng lp gian Lp (Ω) hay vỵi 54) Ci cịng mưc ny luên vôn giợi thiằu và giợi hÔn cừa dÂy têp hủp khổng gian Banach theo nghắa cừa Mosco [9] {Cn } Cho l mởt dÂy cĂc têp lỗi, õng v khĂc rộng cừa khổng gian Banach phÊn xÔ x s-Lin Cn v ch tỗn tÔi dÂy vợi mồi dÂy E Ta xĂc nh cĂc tªp s-Lin Cn n ≥ 1; x ∈ {yk } E w-Lsn Cn thẳ E nhữ sau: x v x n Cn hởi tử mÔnh và w-Lsn Cn v ch tỗn tÔi dÂy cho = C0 , {xn } ⊂ E v  w-Lsn Cn cõa C0 yk * x v  yk ∈ Cnk vợi mồi ữủc gồi l giợi hÔn cừa dÂy {Cnk } k ≥ {Cn } cõa{Cn } v  N¸u s-Lin Cn = theo nghắa cừa Mosco [9] v giợi hÔn ny ữủc kỵ hiằu bi C0 = M- limn Cn Chú ỵ 1.3 l mởt dÂy giÊm cĂc têp lỗi, õng cừa Ta biát rơng, náu khổng gian Banach phÊn xÔ Thêt vêy, ró rng náu vợi xn = x vỵi måi n≥1 E {Cn } C = ∩∞ n=1 Cn 6= ∅, v  x ∈ C0 thẳ x hởi tử mÔnh và thẳ s-Lin Cn v  x C0 = M- limn→∞ Cn x∈ Do õ, ta cõ w-Lsn Cn , vẳ dÂy {xn } C0 ⊂ C0 ⊂ s-Lin Cn v  w-Lsn Cn BƠy giớ ta s ch rơng C0 s-Lin Cn v tứ nh nghắa cừa s-Lin Cn , tỗn tÔi dÂy xn x, v mồi n k vợi mồi Vẳ Do õ, cho n ≥ Suy {Cn } w-Lsn Cn L§y {xn } ⊂ E , xn ∈ Cn l  mởt dÂy giÊm, nản k x C0 C0 v tứ tẵnh õng cừa v vêy C0 vỵi måi xn+k ∈ Cn Cn , x∈ s-Lin Cn , n cho vợi mồi ta nhên ữủc n1 x Cn s-Lin Cn Tiáp theo, l§y b§t ký luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banach download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banach 10 y∈ w-Lsn Cn , tø ành ngh¾a cõa w-Lsn Cn , tỗn tÔi mởt dÂy v dÂy dÂy {yk } ⊂ E {Cn }, yk * x cho yk ∈ C n k v  vỵi måi k ≥ {Cnk } cõa Tø t½nh gi£m cõa ta câ yk+p ∈ Cnk vỵi måi k ≥ k≥1 p ≥ v  V¼ Cnk Do â, (1.2), cho Ck Cnk , nản y Ck vợi mồi p → ∞, k ≥ = C nk ta nhên ữủc Suy y C0 v w-Lsn Cn y ∈ C nk v  â = C0 E l õng yáu Vêy vợi mồi C0 vợi måi k ≥ V¼ w-Lsn Cn C0 = M- limn Cn nh xÔ ối ngău chuân tưc nh nghắa 1.9 tr (1.2) l lỗi v õng, nản Tõm lÔi, ta thu ữủc s-Lin Cn 1.2 {Cn } J : X −→ 2X ∗ Cho X l  mët khổng gian tuyán tẵnh nh chuân, Ănh xÔ a xĂc ành bði J(x) = {f ∈ X ∗ : hx, f i = kxk2 , kxk = kf k} ÷đc gồi l Ănh xÔ ối ngău chuân tưc cừa Chú ỵ 1.4 a)Trong khổng gian Hilbert, Ănh xÔ ối ngău chuân tưc trũng vợi Ănh xÔ ỗng nhĐt I b) nh xÔ ối ngău chuân tưc J xÔ ỡn tr thẳ ta kỵ kiằu nõ bi Nhên xt 1.4 J(x) 6= X nõi chung l mởt Ănh xÔ a trà Khi x ∈ X, l  ¡nh j Trong khæng gian tuyán tẵnh nh chuân bĐt kẳ vợi mồi J X, ta ln câ i·u n y suy trüc ti¸p tứ hằ quÊ cừa nh lỵ Hahn - Banach Mằnh à dữợi Ơy à cêp án mởt số tẵnh chĐt ỡn giÊn cừa Ănh xÔ ối ngău chuân tưc J cừa khổng gian tuyán tẵnh nh chuân Mằnh à 1.7 (xem [1] trang 69) X Cho X l  mët khæng gian tuyán tẵnh nh chuân v J l Ănh xÔ ối ngău chuân tưc cừa nõ Khi õ, i) ii) J l mởt Ănh xÔ l, tực l J(x) = J(x), x X ; J l thuƯn nhĐt dữỡng, tùc l  J(λx) = λJ(x), ∀λ > 0, ∀x ∈ X ; luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banach download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banach 11 iii) J b chn, tực l náu D l mởt têp b chn cừa X thẳ J(D) l mởt têp hđp bà ch°n X ∗ ; iv) v) N¸u X l lỗi cht thẳ J l ỡn tr; J l  ìn trà v  li¶n tưc ·u tr¶n méi tªp bà ch°n cõa X v  ch¿ X l  khỉng gian Banach trìn ·u V½ dư 1.5 gian lp X²t khỉng gian lp , vỵi p > Vẳ khổng gian ối ngău l lỗi Ãu, nản Ănh xÔ ối ngău chuân tưc J cừa lp lq cừa khổng l ỡn tr v thĐy nõ ữủc xĂc nh nhữ sau: J(x) = náu x=θ  {ηn } ∈ lq â ηk = |k |p1 sgn(k )kxk2p náu vợi mồi x = {n } = θ, k ≥ M»nh · 1.8 GiÊ sỷ X l mởt khổng gian tuyán tẵnh nh chu©n Khi â, ta câ a) kx + yk2 ≤ kyk2 + 2hx, j(x + y)i, vỵi måi j(x + y) ∈ J(x + y), b) kx + yk2 ≥ kxk2 + 2hy, j(x)i, vỵi måi j(x) ∈ J(x), vỵi mồi x, y E Chựng minh Trữợc hát, ta ch¿ kyk2 − kxk2 ≥ 2hy − x, j(x)i, vợi mồi (1.3) x, y E Thêt vêy, ta câ kyk2 − kxk2 − 2hy − x, j(x)i = kxk2 + kyk2 − 2hy, j(x)i ≥ kxk2 + kyk2 − 2kxkkyk = (kxk − kyk)2 ≥ Suy ra, (1.3) óng a) Trong (1.3) thay x bði x + y, ta nhên ữủc iÃu phÊi chựng minh b) Trong (1.3) thay y bði x + y, ta nhªn ÷đc i·u ph£i chùng minh luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banach download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banach 12 M»nh · 1.9 Cho E l  mët khæng gian Banach trìn Khi â, hx − y, j(x) − j(y)i ≥ vỵi måi x, y ∈ E Hỡn nỳa, náu E l khổng gian lỗi cht v hx − y, j(x) − j(y)i = 0, th¼ x = y Chùng minh Vỵi måi x, y ∈ E , ta câ hx − y, j(x) − j(y)i = kxk2 − hx, j(y)i − hy, j(x)i + kyk2 ≥ kxk2 − 2kxkkyk + kyk2 = (kxk − kyk)2 Do õ, ta nhên ữủc hx y, j(x) − j(y)i ≥ vỵi måi x, y ∈ E GiÊ sỷ E l khổng gian Banach lỗi ch°t v  hx − y, j(x) − j(y)i = Khi õ, tứ cĂc Ănh giĂ trản, ta nhên ữủc hx, j(y)i = hy, j(x)i = kxk2 = kyk2 Do õ, náu x = 0, thẳ y=0 v ngữủc lÔi GiÊ sỷ kxk = kyk = d > Khi â, ta câ Theo M»nh · 1.4, ta x y h , j(x)i = h , j(x)i = kj(x)k d d x y nhên ữủc = hay x = y d d M»nh · 1.10 Cho s > v  cho E l  mët khæng gian Banach Khi õ, E l lỗi Ãu v ch tỗn tÔi mởt hm lỗi, liản tửc, tông ngt g : [0, ∞) −→ [0, ∞), g(0) = cho kx + yk2 ≥ kxk2 + 2hy, j(x)i + g(kyk) vỵi måi x, y ∈ {z ∈ E : kzk ≤ s} v  måi j(x) ∈ J(x) ành ngh¾a 1.10 Cho õ, dữợi vi phƠn cừa g g : X (, ] tÔi x0 kỵ hiằu l l mởt hm lỗi, g(x0 ) x0 dom(g) Khi v ữủc x¡c ành bði ∂g(x0 ) = {f ∈ X ∗ : g(x) − g(x0 ) ≥ hx − x0 , f i} Ta nõi g l khÊ dữợi vi phƠn tÔi x0 náu g(x0 ) 6= luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banach download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banach 13 V½ dư 1.6 måi x ∈ X Cho X l mởt khổng gian tuyán tẵnh nh chuân, g(x) = kxk2 vợi Khi õ,  0, x = 0, ∂g(x) =  {f ∈ X ∗ : hx, f i = kxk2 = kf k2 }, x 6= Thªt vªy, f ∈ ∂g(0) v  ch¿ kyk2 ≥ hy, f i, ∀y ∈ X Thay y λy bði vỵi λ > 0, ta nhên ữủc kyk2 hy, f i, ∀y ∈ X Cho λ → 0, hy, f i GiÊ sỷ ta nhên ữủc Suy ra, x 6= 0, hy, f i ≤ hy, f i = vỵi måi y ∈ X Thay y ∈ X Do â, f = vỵi måi y bi Vêy y ta thu ữủc g(0) = {0} dng kim tra ữủc rơng {f X : hx, f i = kxk2 = kf k2 } ⊂ ∂g(x) Thªt vªy, gi£ sû f ∈ X∗ thäa mÂn kxk2 = kf k2 Khi õ, vợi mồi y ∈ X, ta câ hy − x, f i = hy, f i − kxk2 ≤ kyk.kxk − kxk2 ≤ (kyk2 + kxk2 ) − kxk2 = g(y) g(x) Ngữủc lÔi, giÊ sỷ f g(x) Khi â, ta câ hy − x, f i ≤ (kyk2 − kxk2 ) vỵi måi y ∈ X Thay y = x + λz vỵi λ∈R v  z ∈ X, theo M»nh · 1.8 a), ta nhªn ÷đc 1 λhz, f i ≤ (kx + λzk2 − kxk2 ) ≤ (λ2 kzk2 + 2|λ|kxkkzk) 2 Khi > 0, (1.4) tứ (1.4), ta nhên ữủc hz, f i ≤ (λkxzk2 + 2kxkkzk) luan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banachluan.van.thac.si.xap.xi.nghiem.cua.bai.toan.khong.diem.chung.tach.trong.khong.gian.banach download by : skknchat@gmail.com