ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - BÙI THỊ HẰNG MƠ MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ LÝ THUYẾT SỐ, ĐẠI SỐ, GIẢI TÍCH VÀ PHẦN MỀM GEOGEBRA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 download by : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - BÙI THỊ HẰNG MƠ MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ LÝ THUYẾT SỐ, ĐẠI SỐ, GIẢI TÍCH VÀ PHẦN MỀM GEOGEBRA Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS TẠ DUY PHƢỢNG THÁI NGUYÊN - 2019 download by : skknchat@gmail.com Mưc lưc Ch÷ìng MËT SÈ LNH CÌ BN CÕA GEOGEBRA TRONG TNH TON SÈ HÅC, LÞ THUYT SÈ, I SÈ V GII TCH 1.1 C i °t v sû dưng ph¦n m·m Geogebra 1.1.1 Giợi thiằu phƯn mÃmGeogebra 5 1.1.2 C i °t ph¦n m·m 1.1.3 Mởt số chực nông chẵnh 1.1.4 Mët sè h m to¡n håc Geogebra 1.2 Mët sè l»nh cỡ bÊn cừa Geogebra số hồc v lỵ thuyát số 1.2.1 CĂc lằnh liản quan án số nguy¶n tè 1.2.2 CĂc lằnh liản quan án ph²p chia v sè d÷ 11 1.2.3 CĂc lằnh và Ôi lữủng trung b¼nh 21 1.2.4 C¡c c¥u l»nh Lægic 22 1.2.5 Geogebra vợi Ôi số 23 1.2.6 Geogebra vợi GiÊi tẵch 33 Ch÷ìng SÛ DƯNG GEOGEBRA TRONG MËT SÈ CHUYN LÞ THUYT SÈ, I SÈ, GII TCH 40 2.1 PhƠn tẵch mởt số thứa số nguy¶n tè 40 2.1.1 T¼m sè nguyản tố dÔng 1000 01 40 2.1.2 Kim tra số nguyản tố Mersenne dÔng 2p 51 n 2.1.3 Kim tra số nguyản tố Fermat dÔng 22 + 55 2.1.4 Ph¥n tẵch cĂc số dÔng An = p2 p3 pn thøa sè nguy¶n tè 57 2.2 PhƠn tẵch a thực thnh nhƠn tû 60 download by : skknchat@gmail.com 2.3 V ỗ th hm số 67 2.4 T½nh t½ch ph¥n 83 2.4.1 Tẵnh tẵch phƠn trản Geogebra 83 2.4.2 Và mởt phữỡng Ăn dÔy tẵch phƠn xĂc ành 91 T i li»u tham kh£o download by : skknchat@gmail.com 99 LI NI U Do nhỳng ữu im vữủt trởi (miạn phẵ, cõ ci t tiáng Viằt, phừ hƯu hát chữỡng trẳnh toĂn phờ thổng v Ôi hồc, giao diằn thƠn thiằn, ), bra Geoge- khoÊng 10 nôm tr lÔi Ơy  ữủc phờ bián tÔi Viằt Nam NhiÃu giĂo viản  sỷ dửng Geogebra thiát ká bi giÊng, viát cĂc sĂng kián kinh nghiằm v cĂc chuyản à Tuy nhiản, chữa cõ mởt sĂch no viát Geogebra, cĂc ti liằu trản mÔng thữớng têp trung vo hữợng dăn sỷ dửng Geogebra, chữa cõ nhiÃu bi viát v ti liằu mang tẵnh chuyản sƠu Mửc ẵch cừa Luên vôn ny l thuyát minh tẵnh hiằu quÊ cừa Geogebra và giÊi quyát mởt số vĐn à cừa Số hồc v Lẵ thuyát số, Ôi số v GiÊi tẵch Luên vôn gỗm hai Chữỡng Chữỡng têp hủp mởt sè l»nh cì b£n cõa Geogebra Sè håc v Lẵ thuyát số, Ôi số v GiÊi tẵch, nhơm thuên tiằn cho Chữỡng Mc dũ chữa liằt kả Ưy ừ cĂc lằnh v chữa minh hồa hát cĂc khÊ nông sỷ dửng Geogebra Số hồc v Lẵ thuyát số, Ôi số v GiÊi tẵch, chúng tổi cụng hi vồng Chữỡng l ti liằu cõ ẵch v thuên tiằn cho nhỳng mợi bưt Ưu lm quen vợi Chữỡng gỗm bốn chuyản à Chuyản à minh håa kh£ n«ng sû dưng Geogebra ch¿ mët l»nh ifactor cừa Geogebra tẳm hiu v giÊi quyát mởt số giÊ thuyát và số nguyản tố Chuyản à minh håa kh£ n«ng sû dưng ch¿ mët l»nh factor cõa Geogebra phƠn tẵch a thực thứa số Cõ th coi Geogebra nhữ mởt cổng cử thẵ nghiằm tẳm quy luêt phƠn tẵch mởt số thứa số nguyản tố hoc phƠn tẵch mởt a thực thứa số Chuyản à minh hồa khÊ nông sỷ dửng Geogebra dÔy v hồc phƯn Hm số v ỗ th, mởt phƯn quan trồng Chữỡng trẳnh toĂn phờ thổng Chuyản à minh hồa khÊ nông tẵnh cĂc tẵch phƠn khõ ch bơng mởt lằnh download by : skknchat@gmail.com TichPhƠn cừa Geogebra ỗng thới chúng tổi cụng nảu khÊ nông khai thĂc Geogebra v Maple dÔy khĂi niằm tẵch phƠn xĂc nh Trong suốt quĂ trẳnh hồc têp, nghiản cựu v hon thnh luên vôn, tổi  nhên ữủc nhiÃu sỹ giúp ù cừa cĂc thƯy cổ, cĂc anh ch v gia ẳnh Vợi tĐt cÊ tĐm lỏng chƠn thnh, tổi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi PGS TS TÔ Duy Phữủng ngữới  tên tẳnh giúp ù, ch bÊo, hữợng dăn tổi thỹc hiằn nghiản cựu, gõp ỵ v sỷa chỳa tổi hon thiằn luên vôn ny Tổi xin chƠn thnh cĂm ỡn cĂc ThƯy, Cổ giĂo Trữớng Ôi hồc Khoa hồc Ôi hồc ThĂi Nguyản  tên tẳnh truyÃn Ôt cho tổi kián thực suốt hai nôm hồc têp, l nÃn tÊng cho tổi quĂ trẳnh nghiản cựu luên vôn, l hnh trang quỵ bĂu theo tỉi st cc íi Tỉi xin b y tä láng biát ỡn sƠu sưc nhĐt án gia ẳnh thƠn yảu cừa tổi, nhỳng ngữới  luổn tổi, ừng hë ëng vi¶n v l ché düa vúng chc º tổi yản tƠm hồc têp hon thnh khõa hồc ny Cuối tổi xin kẵnh chúc quỵ ThƯy, Cổ, Anh, Ch v gia ẳnh dỗi sực khọe, thnh cổng sü nghi»p! Tỉi xin ch¥n th nh c¡m ìn! download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebra Ch÷ìng MËT SÈ LNH CÌ BN CÕA GEOGEBRA TRONG TNH TON SÈ HÅC, LÞ THUYT SÈ, I SÈ V GII TCH 1.1 C i °t v sỷ dửng phƯn mÃm Geogebra 1.1.1 Giợi thiằu phƯn m·mGeogebra Geogebra l ph¦n m·m c lüc trđ gióp gi£ng dÔy, hồc têp v nghiản cựu toĂn hồc Geogebra cõ th thỹc hiằn ữủc hƯu hát cĂc tẵnh toĂn toĂn hồc chữỡng trẳnh toĂn phờ thổng v Ôi hồc (số hồc, Ôi số, giÊi tẵch, hẳnh hồc, toĂn thống kả, .), õ rĐt tiằn dũng giÊng dÔy v hồc têp, c biằt giÊng dÔy v hồc têp theo chữỡng trẳnh v sĂch giĂo khoa mợi vợi nh hữợng phĂt trin nông lỹc, khuyán khẵch hồc sinh tỹ hồc, tỹ nghiản cựu Mởt nhỳng ữu im nời trởi cừa Geogebra l phƯn mÃm miạn phẵ, v câ thº chuyºn êi ngỉn ngú, th½ dư, tø tiáng Anh sang tiáng Viằt hoc ngữủc lÔi, ci t v thao tĂc ỡn giÊn, thuên tiằn Cõ th lản mÔng tÊi Geogebra, tẳm hiu ci t v sỷ dửng qua c¡c b i vi¸t (ti¸ng Vi»t ho°c ti¸ng Anh) ho°c qua cĂc ti liằu trẵch dăn cuối luên vôn Geogebra  ữủc giợi thiằu Viằt Nam khoÊng 10 nôm tr lÔi Ơy, v  ữủc nhiÃu giĂo viản (tứ lợp án lợp 12 v Ôi hồc) sỷ döng b i gi£ng, download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebra luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebra thüc hi»n c¡c s¡ng ki¸n kinh nghi»m gi£ng dÔy, Ôt hiằu quÊ tốt Cõ th sỷ dửng Geogebra v hẳnh ởng, v ỗ th, tẵnh toĂn hoc thỹc hiằn cĂc thao tĂc toĂn hồc phực tÔp (phƠn tẵch mởt số thứa số nguyản tố, phƠn tẵch a thùc thøa sè, ìn gi£n biºu thùc, t½nh Ôo hm, tẵch phƠn, lêp bÊng thống kả, .) m khổng mĐt nhiÃu thới gian Geogebra cụng  ữủc ữa vo Chữỡng trẳnh Tin hồc Trung hồc Cỡ s Vợi Geogebra, cõ th hữợng dăn hồc sinh lm cĂc nghiản cựu nhọ nhữ tẳm hiu mởt số giÊ thuyát v· sè nguy¶n tè, ho°c c¡c tr£i nghi»m quan h» giỳa toĂn hồc v thỹc tá Thẵ dử, cõ th sỷ dửng gõi lằnh thống kả khÊo sĂt trẳnh ở hồc têp cừa hồc sinh mởt trữớng, ở tuời trung bẳnh cừa dƠn số mởt xÂ, vỵi nhúng dú li»u thüc v b£ng dú li»u lỵn, 1.1.2 Ci t phƯn mÃm ã Vo http://www.geogebra.org/download º t£i ph¦n m·m v· m¡y Sau c i t, chồn Run, GeoGebra s ởng chữỡng trẳnh v hiằn giao diằn nhữ hẳnh dữợi ã Chuyn sang ngổn ngỳ khĂc, vẵ dử, tứ tiáng Anh sang tiáng Viằt: nh¡y Options tr¶n cỉng cư (menu), chån Language, chån R-Z, chồn Vietnamese/Tiáng Viằt ữủc giao diằn tiáng Viằt nhữ hẳnh dữợi vo download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebra luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebra 1.1.3 Mởt số chực nông chẵnh ã Chồn mổi trữớng lm viằc: Khi ởng chữỡng trẳnh s xuĐt hiằn b£ng phèi c£nh dịng º lüa chån mỉi tr÷íng l m viằc gỗm: Ôi số v ỗ th; Hẳnh hồc; V ỗ hồa 3D; XĂc suĐt thống kả, Mổi trữớng lm viằc ữủc mc nh luên vôn l Ôi số v ỗ th Ta cõ th cho ân/hiằn bÊng phối cÊnh bơng cĂch click chuởt vo biu tữủng mụi tản cÔnh phÊi cừa cỷa sờ chồn lÔi mởt mổi trữớng lm viằc khĂc Trong chá ở cõ Nhêp lằnh Ôi số v ỗ th dữợi cừa cỷa sờ dũng nhêp lằnh trỹc tiáp v hẳnh, tẵnh toĂn (Hẳnh dữợi) download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebra luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebra Geogebra câ thº l m ÷đc kh¡ nhiÃu viằc: số hồc, giÊi tẵch, hẳnh hồc, thống kả v xĂc suĐt c biằt, ữu im nời trởi cừa Geogebra l vai trá cõa nâ trđ gióp gi£ng dÔy hẳnh hồc mởt cĂch trỹc quan, hẳnh hồc ởng, cho php v hẳnh, v thiát diằn v xoay, tẳm qu tẵch, Luên vôn têp trung trẳnh by cĂc lằnh cỡ bÊn cừa Geogebra Số hồc, Lỵ thuyát số, Ôi số v GiÊi tẵch Sỷ dửng Geogebra hẳnh hồc hoc xĂc suĐt thống kả cõ th xem cĂc ti liằu trẵch dăn cuối luên vôn 1.1.4 Mët sè h m to¡n håc Geogebra √ sqrt(x) : Côn bêc hai cừa x ( x) abs(x) : Trà tuy»t èi cõa x (|x|) floor(x) : Hm sn, hm phƯn nguyản (số nguyản lợn nhĐt khổng vữủt quĂ x) Vẵ dử: floor(3.14) = 3; floor(− 2) = −2 ceil(x) : H m tr¦n (sè nguyản nhọ nhĐt lợn hỡn hoc bơng x) Vẵ dö: ceil(3.14) = 4; ceil(− 2) = −1 round(x) : L m trán mët sè tỵi mët sè sè  xĂc nh Vẵ dử: a Lm trỏn số 23, 7825 án hai chỳ số thêp phƠn: round(23.7855, 2) = 23.79 b L m trán sè 21, ¸n mët trẵ thêp phƠn và trĂi cừa dĐu thêp phƠn: round(21.5, −1) = 20 exp(x) : ex 7a lg(x) : lổgarit thêp phƠn (l log10 x ) 7b ln(x) : Lỉgarit tü nhi¶n (l lỉgarit cì sè e) H m sè l÷đng gi¡c: sin(x), cos(x), tan(x), cot(x) ex − e−x sinh(x) := −x x e +e 10 cosh(x) := sinh(x) 11 tanh(x) := cosh(x) download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebra luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebra 53 C¡c số dÔng trản ữủc gồi l số Mersenne, tực l số dÔng 2p 1, õ p l số nguyản tố Nhữ vêy, 211 l hủp số, cỏn 2521 l số nguyản tố Ngữới ta  tẳm thĐy khĂ nhiÃu số nguyản tố Mersenne: 22 − 1, 23 − 1, 25 − 1, 27 − 1, 213 − 1, 217 − 1, 219 − 1, 231 1, 261 1, Nôm 1953 lƯn Ưu tiản mĂy tẵnh giúp giÊi quyát mởt giÊ thuyát số hồc: bơng mĂy tẵnh ngữới ta  tẳm ữủc cĂc số nguyản tố Mersenne cõ dÔng 2p 1, vỵi p = 521, 607, 1279, 2203, 2281 download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebra luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebra 54 Vi»c t¼m sè nguyản tố Mersenne ữủc coi l rĐt khõ trữợc Ơy Hiằn nay, nhớ mĂy tẵnh v chữỡng trẳnh GIMPS, (Great Internet Mersenne Prime Search), ngữới ta  tẳm ữủc số nguyản tố Mersenne lợn nhĐt (cõ l) l số Mersenne thự 51 ( ữủc tẳm vo ngy 21122018) l 2(82.589.933)1, câ 24.862.048 sè (xem: https://www.mersenne.org/ ) Gi£ thuy¸t câ vổ số cĂc số nguyản tố Mersenne dÔng 2p văn chữa ữủc chựng minh CĂc số nguyản tố Mersenne quan trồng vẳ nõ liản quan mêt thiát tợi cĂc vĐn à khĂc cừa số hồc nhữ số hon chnh, mêt m khõa cổng khai, Dũng Geogebra, vợi p = 521, 607, 1279, 2203, 2281, ch mĐt mởt phút, ta tẳm ữủc cĂc số nguyản tố khĂ lợn, thẵ dử, 22281 l mởt số nguyản tố vợi khoÊng 700 chỳ số! Sỷ dửng mĂy tẵnh CASIO fx-580VNX Vẵ dử 2.3 PhƠn tẵch số 1, − 1, − 1, 2 − 1, 211 − 1, 213 − 1, 217 − 1, 219 − 1, 223 − 1, 229 − 1, 231 − 1, 237 − thøa số nguyản tố án p = 37 thẳ mĂy tẵnh CASIO fx-580VNX khổng phƠn tẵch ữủc Số 231 = (2147483647) DĐu () nõi rơng CASIO fx-580VNX khổng biát sè â l sè nguy¶n tè hay khỉng download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebra luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebra 55 2.1.3 Kiºm tra sè nguy¶n tố Fermat dÔng 22n + Sỷ dửng phƯn mÃm Geogebra Vẵ dử 2.4 Sỷ dửng lằnh ifactor phƠn tẵch sè 22n + thøa sè nguy¶n tè â n = 1, 2, 3, , 18 sè Fecma ) câ mët làch sû kh¡ thó và: download by : skknchat@gmail.com n CĂc số dÔng Fn = 22 + ( ÷đc gåi l luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebra luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebra 56 n Fecma (1601 − 1665) kh¯ng ành r¬ng: måi sè 22 + Ãu l số nguyản tố vợi mồi n iÃu ny óng vỵi n = 0, 1, 2, 3, Tuy nhiản, nôm 1732 Euler  ch vợi n = thẳ số Fecma l hủp số (nhữ ta thĐy trản) Ta cỏn thĐy l vợi n = thẳ số Fecma cụng l hủp số Số nguyản tố Fecma quan trồng vẳ nõ liản quan án nhiÃu b i to¡n, th½ dư, b i to¡n düng a gi¡c ·u nởi tiáp ữớng trỏn Ta cõ nh lỵ Gauss-Wantzel : i·u ki»n t câ v õ º mët a gi¡c Ãu n cÔnh cõ th v ữủc bơng thữợc thng v compa l n bơng tẵch số cừa mởt lu thứa cừa vợi mởt số bĐt ký cĂc số nguyản tố Fermat khĂc Hiằn nay, số Fecmat văn ang ữủc nghiản cựu Mc dũ  chựng minh ữủc khoÊng 70 số l số Fermat, văn chữa tẳm số nguyản tố Fermat no mợi, ngoi số  biát: F0 , F1 , F2 , F3 , F4 Sû dưng m¡y t½nh Casio fx-580VNX V½ dư 2.5 PhƠn tẵch số + thứa số nguy¶n tè â n = 1, 2, 3, 4, 5, 2n V½ dư 2.6 : Kiºm tra kh¯ng ành cõa Euler: a thùc n + n + 41 nhên cĂc giĂ tr nguyản tố khĂc vợi n = 0, 1, , 39 v l hñp sè n = 40 Trữợc tiản ta nh nghắa hm f bơng lằnh := , sau õ phƠn tẵch thứa số nhữ bÊng dữợi Ơy download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebra luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebra 57 Bơng mởt lằnh ifactor(f(n)), ta thĐy: n thay ời tứ án 100 thẳ ch câ 14 hñp sè l f (40), f (41), f (44), f (49), f (56), f (65), f (76), f (81), f (82), f (84), f (87), f (89), f (91), f (96), cĂc f (n) cỏn lÔi Ãu l số nguyản tố Thêt l mởt a thực hiám! Mởt "cõa hi¸m" núa l : a thùc x2 − 79x + 1601 nhên cĂc giĂ tr nguyản tố (khổng phÊi tĐt c£ kh¡c ) vỵi x = 0, 1, , 79 v l hđp sè n = 80 Nhªn x²t: C¡c a thùc n + n + 41 v x2 79x + 1601 cụng giúp gủi ỵ trÊ lới mởt phƯn cƠu họi (chữa cõ trÊ lới): Tỗn tÔi hay khổng a thực bêc lợn hỡn cõ hằ số l cĂc số nguyản nhên vổ số giĂ tr l cĂc số nguyản tố 2.1.4 PhƠn tẵch cĂc số dÔng An = p2p3 pn thứa số nguyản tố (hiằu cừa tẵch cĂc số nguyản tố liản tiáp v 2, õ pk l số nguy¶n tè thù k , p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, p4 = 7, p5 = 11, , l số nguyản tố vợi mồi n.) Vẵ dử 2.7 Sỷ dửng lằnh ifactor phƠn tẵch cĂc số dÔng A n = p2 p3 pn − thøa sè nguy¶n tè download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebra luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebra 58 download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebra luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebra 59 Trong TÔp chẵ ToĂn hồc v Tuời tr (xem: Tuyn têp 30 nôm tÔp chẵ THTT, NXB GiĂo dửc, 1997, trang 343), G.S LÔi ực Thnh viát:"Bơng cĂch thỷ, ta thĐy rơng cĂc sè A3, A4, A5, A6, A7 ·u l sè nguy¶n tè Câ l³ thû vỵi mët v i gi¡ trà núa cừa n ta s tẳm ữủc mởt hủp số Tuy nhiản muốn kim tra A8 cƯn lm 300 php chia v kiºm tra A9 c¦n 1300 ph²p chia, tùc l mĐt vi buời lm Geogebra, nhữ trản ta thĐy A8, A9 l số nguyản tố, A10 l hủp số Hỡn nỳa, vợi Geogebra, ch mĐt vi phút kim tra: 21 số Ưu tẵnh." Dũng thẳ A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A11, A13, A16, A20 l cĂc số nguyản tố, cĂc An cỏn lÔi l hủp sè Sû dưng m¡y t½nh Casio fx-580VNX V½ dư 2.8 Sỷ dửng lằnh ifactor phƠn tẵch cĂc số sau Ơy thøa sè nguy¶n tè: ∗ − 2; ∗ ∗ − 2; ∗ ∗ ∗ 11 − 2; ∗ ∗ ∗ 11 ∗ 13 − 2; ∗ ∗ ∗ 11 ∗ 13 ∗ 17 − 2; ∗ ∗ ∗ 11 ∗ 13 ∗ 17 ∗ 19 − 2; ∗ ∗ ∗ 11 ∗ 13 ∗ 17 ∗ 19 ∗ 23 − 2; ∗ ∗ ∗ 11 ∗ 13 ∗ 17 ∗ 19 ∗ 23 ∗ 29 − 2; ∗ ∗ ∗ 11 ∗ 13 ∗ 17 ∗ 19 ∗ 23 ∗ 29 ∗ 31 − download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebra luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebra 60 K¸t luên Nhữ mởt cổng cử thẵ nghiằm, Geogebra trủ giúp ưc lỹc khổng ch dÔy v hồc, m cỏn cõ th ữủc sỷ dửng nghiản cựu nhơm giÊi quyát nhỳng cƠu họi m 2.2 PhƠn tẵch a thực thnh nhƠn tỷ PhƠn tẵch a thực thnh nhƠn tỷ PhƠn tẵch a thực thnh nhƠn tỷ (ra thứa số) l: Bián ời a thực õ thnh mởt tẵch cừa nhúng ìn thùc, a thùc C¥u l»nh : factor a Phữỡng phĂp thảm bợt mởt hÔng tỷ Ta thảm hay bợt mởt hÔng tỷ vo a thực  cho lm xuĐt hiằn n nhõm số hÔng m ta cõ th phƠn tẵch ữủc thnh nhƠn tỷ chung bơng cĂc phữỡng phĂp: t nhƠn tỷ chung, dũng hơng ng thực, Vẵ dử 2.9 (Chuyản ToĂn, HSP H Nëi, 1992 - 1993, váng 3) Sû döng l»nh factor phƠn tẵch a thực x + x + thnh nh¥n tû 10 Gi£i x10 + x5 + = x10 + x9 − x9 + x8 − x8 + x7 − x7 + x6 − x6 + x5 + x5 − x5 + x4 − x4 + x3 − download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebra luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebra 61 2 x +x −x +x−x+1 = (x10 + x9 + x8 ) − (x9 + x8 + x7 ) + (x7 + x6 + x5 ) − (x6 + x5 + x4 ) + (x5 + x4 + x3 ) − (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1) = x8 (x2 + x + 1) − x7 (x2 + x + 1) + x5 (x2 + x + 1) − x4 (x2 + x + 1) + x3 (x2 + x + 1) − x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x8 − x7 + x5 − x4 + x3 − x + 1) V½ dư 2.10: Sỷ dửng lằnh factor phƠn tẵch a thực x + x5 + th nh nh¥n tû Gi£i x7 + x5 + = x7 + x6 + x5 − x6 − x5 − x4 + x5 + x4 + x3 − x3 − x2 − x + x2 + x + = x5 (x2 + x + 1) − x4 (x2 + x + 1) + x3 (x2 + x + 1) − x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x5 − x4 + x3 − x + 1) Vẵ dử 2.11 : Sỷ dửng lằnh factor phƠn tẵch a thùc x + x4 + th nh nh¥n tû Gi£i x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 − x3 − x2 − x + x2 + x + = x3 (x2 + x + 1) − x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 − x + 1) download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebra luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebra 62 Vẵ dử 2.12: Sỷ dửng lằnh factor phƠn tẵch a thùc x + x + th nh nh¥n tỷ GiÊi Thảm bợt x + x3 + x2 º °t nh¥n tû chung: x5 + x + = x5 + x + + x4 + x3 + x2 − x4 − x3 − x2 = x3 (x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) − x2 (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 − x2 + 1) Quan s¡t cĂc vẵ dử trản, Geogebra gủi ỵ: Khi gp bi toĂn phƠn tẵch thnh nhƠn tỷ dÔng x3m+1 + x3n+2 + ta thảm bợt cĂc hÔng tỷ tứ bêc cao nhĐt trứ i án x (bêc nhĐt) cho tờng số cĂc hÔng tỷ a thực mợi l mởt cừa Sau õ nhõm ba hÔng tû mët cho méi nhâm câ x2 + x + DÔng ny phƠn tẵch luổn cõ k¸t qu£ l (x2 + x + 1).Q(x) Chùng minh: Vợi m, n l cĂc số tỹ nhiản, ta cõ: x3m+1 + x3n+2 + = [x3m+1 − x] + [x3n+2 − x2 ] + (x2 + x + 1) ThĐy rơng: 1) x3m+1 x = x[(x3 )m 1] chia hát cho x3 1, v vẳ x3 − chia h¸t cho x2 + x + nản x3m+1 x chia hát cho x2 + x + 2) x3n+2 − x2 = x2 [(x3 )n 1] chia hát cho x3 1, v vẳ x3 − chia h¸t cho x2 + x + nản x3n+2 x2 chia hát cho x2 + x + Tø â suy [x3m+1 − x] + [x3n+2 − x2 ] + (x2 + x + 1) chia h¸t cho x2 + x + 1, hay x3m+1 + x3n+2 + chia h¸t cho x2 + x + Ta công câ nhúng b i to¡n kh¡c phƠn tẵch a thực thnh nhƠn tỷ x2 + x + 1, nhữ bi toĂn dữợi Ơy Vẵ dử 2.13 ( à thi HSG lợp 8, huyằn Gia Bẳnh, 2012 - 2013) Sỷ dửng lằnh factor phƠn tẵch a thực x + 2008x + 2007x + 2008 th nh nh¥n tû download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebra luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebra 63 Gi£i x4 + 2008x2 + 2007x + 2008 = x4 + x2 + 2007x2 + 2007x + 2007 + = x4 + x2 + + 2007(x2 + x + 1) = (x2 + 1)2 − x2 + 2007(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 − x + 1) + 2007(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 − x + 2008) b Ph÷ìng phĂp dũng hơng ng thực Vẵ dử 2.14 ( à thi HSG cĐp miÃn Bưc, lƯn thự 6, 1966 - 1967) Sỷ dửng lằnh factor phƠn tẵch a thực a16 + a8 b8 + b16 th nh nh¥n tû Gi£i a16 + a8 b8 + b16 = (a8 )2 + 2a8 b8 + (b8 )2 − a8 b8 = (a8 + b8 )2 − (a4 b4 )2 = (a8 + b8 + a4 b4 )(a8 + b8 − a4 b4 ) (1) Tiáp tửc phƠn tẵch nhƠn tỷ (a8 + b8 + a4 b4 ) theo cĂch thảm bợt nhữ trản ta câ: (a8 + b8 + a4 b4 ) = (a4 + b4 + a2 b2 )(a4 + b4 − a2 b2 ) (2) LÔi phƠn tẵch (a4 + b4 + a2 b2 ) thnh nhƠn tỷ nhữ trản ta câ: (a4 + b4 + a2 b2 ) = (a2 + b2 + ab)(a2 + b2 − ab) (3) Tø (1), (2), (3) ta câ k¸t qu£: a16 + a8 b8 + b16 = (a8 + b8 − a4 b4 )(a4 + b4 − a2 b2 )(a2 + b2 + ab)(a2 + b2 − ab) download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebra luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebra c Phèi hđp nhi·u ph÷ìng ph¡p 64 - °t nhƠn tỷ chung - Dũng hơng ng thực - Nhõm nhiÃu hÔng tỷ Vẵ dử 2.15: Sỷ dửng lằnh factor phƠn tẵch a thực x 6x + 12x 14x + th nh nh¥n tû Gi£i x4 − 6x3 + 12x2 − 14x + = x4 − 2x3 + 3x2 − 4x3 + 8x2 − 12x + x2 − 2x + = x2 (x2 − 2x + 3) − 4x(x2 − 2x + 3) + (x2 − 2x + 3) = (x2 − 2x + 3)(x2 − 4x + 1) V½ dư 2.16 ( · thi HSG lỵp 8, Bc Giang, 2012-2013) Sû dưng l»nh factor phƠn tẵch a thực 2a3 + 7a2 b + 7ab2 + 2b3 th nh nh¥n tû Gi£i 2a3 + 7a2 b + 7ab2 + 2b3 = 2(a3 + b3 ) + 7ab(a + b) = 2(a + b)(a2 − ab + b2 ) + 7ab(a + b) = (a + b)(2a2 + 2b2 + 5ab) = (a + b)(2a2 + 4ab + 2b2 + ab) = (a + b)[2a(a + 2b) + b(b + 2a)] = (a + b)(a + 2b)(2a + b) Vẵ dử 2.17 (HSG cĐp miÃn Bưc, lƯn thự 8, 1968-1969) PhƠn tẵch a thực sau th nh nh¥n tû: bc(a + d)(b − c) − ac(b + d)(a − c) + ab(c + d)(a − b) Sû döng l»nh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebra factor: luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebra 65 Gi£i bc(a + d)(b − c) − ac(b + d)(a − c) + ab(c + d)(a − b) = bc(ab + bd − ac − cd) − ac(ab + ad − bc − cd) + ab(ac + ad − bc − bd) = ab2 c + cb2 d − abc2 − bc2 d − a2 bc − a2 cd + abc2 + ac2 d + a2 bc + a2 bd − ab2 c − ab2 d = b2 cd − bc2 d − a2 cd + ac2 d + a2 bd − ab2 d = bcd(b − c) + a2 d(b − c) − ad(b2 − c2 ) = bcd(b − c) + a2 d(b − c) − ad(b − c)(b + c) = (b − c)[bcd + a2 d − ad(b + c)] = (b − c)(bcd + a2 d − abd − acd) = (b − c)[ad(a − c) − bd(b − c)] = (b − c)(a − c)(ad − bd) = (b − c)(a − c)(a b)d d Phữỡng phĂp tĂch hÔng tỷ phƠn tẵch mởt a thực thnh nhƠn tỷ ta phƠn tẵch mởt hÔng tỷ thnh tờng cừa nhiÃu hÔng tỷ thẵch hủp rỗi tián hnh nhõm nhỳng số hÔng m ta cõ th phƠn tẵch thnh nhƠn tỷ bơng phữỡng phĂp dũng hơng ng thực, t nhƠn tỷ chung, Cõ th cõ nhiÃu cĂch tĂch hÔng tỷ thnh nhiÃu hÔng tỷ giÊi quyát mởt bi toĂn Vẵ dử 2.18: Sỷ dửng lằnh factor phƠn tẵch a thực sau thnh nhƠn tû x2 (y − z) + y (z − x) + z (x − y) Gi£i download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebra luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebra 66 2 2 x (y − z) + y (z − x) + z (x − y) = x (y − z) + y [(y − x) + (z − y)] + z (x − y) = x2 (y − z) + y (y − x) + y (z − y) + z (x − y) = [x2 (y − z) − y (y − z)] + [y (y − x) − z (y − x)] = (y −z)(x2 −y )+(y −x)(y −z ) = (y −z)(x+y)(x−y)−x−y)(y +z)(y −z) = (x − y)(y − z)[(x + y) − (y + z)] = (x − y)(y − z)(x + y − y − z) = (x − y)(y − z)(x − z) iºm quan trồng nhĐt cừa bi ny l phÊi tĂch ữủc hÔng tỷ ban Ưu thnh tờng (hoc hiằu) cừa hai hÔng tỷ cỏn lÔi, rỗi sau õ kho lo bián ời xuĐt hiằn cĂc nhƠn tỷ chung, tứ õ s phƠn tẵch ữủc thnh nhƠn tỷ e Phữỡng phĂp t ân phử Vẵ dử 2.19: Sỷ dửng lằnh factor phƠn tẵch a thực sau thnh nhƠn tỷ 3x6 − 4x5 + 2x4 − 8x3 − 4x + + 2x2 Gi£i + 3+ ) x x x 1 = x3 [3(x3 + ) − 4(x2 + ) + 2(x + ) − 8] x x x 1 1 °t x + = t ⇒ t2 = (x + )2 = x2 + + ⇒ x2 + = t2 − x x x x 3 1 1 3 t = (x + ) = x + 3x + + = x + + 3(x + ) ⇒ x3 + = t3 − 3t x x x x x x 3x6 − 4x5 + 2x4 − 8x3 − 4x + + 2x2 = x3 (3x3 − 4x2 + 2x − − Thay x + 1 = t; x2 + = t2 − 2; x3 + = t3 − 3t x x x Ta câ: x3 [3(t3 − 3t) − 4(t2 − 2) + 2t − 8] = x3 (3t3 − 9t − 4t2 + + 2t − 8) = x3 (3t3 − 4t2 − 7t) = x3 t(3t2 − 4t − 7) = x3 t[(3t2 − 3) − (4t + 4)] = x3 t[3(t − 1)(t + 1) − 4(t + 1)] = x3 t(t + 1)(3t − − 4) = x3 t(t + 1)(3t − 7) download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebra luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebra 67 Thay t = x + ta ÷đc x 1 x3 (x + )(3x + − 7)(x + + 1) = x(x2 + 1)(3x2 + − 7x)(x + + 1) x x x x 2 = (x + 1)(3x − 7x + 3)(x + x + 1) Vẵ dử 2.20: Sỷ dửng lằnh factor phƠn tẵch a thùc (x−y) +(y−z) +(z−x) th nh nh¥n tû Gi£i P = (x − y)3 + (y − z)3 + (z − x)3 °t x − y = a; y − z = b; z − x = c ⇒a+b+c=0 ⇒ a + b = −c ⇒ (a + b)3 = −c3 ⇒ a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 + c3 = ⇒ a3 + b3 + c3 = −3ab(a + b) ⇒ a3 + b3 + c3 = −3ab(−c) (v¼ a + b = −c) ⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc hay (x − y)3 + (y − z)3 + (z − x)3 = 3(x − y)(y − z)(z − x) Vªy P = 3(x − y)(y − z)(z − x) 2.3 V³ ỗ th hm số Vẵ dử 2.21 V ỗ th cõa h m sè: y = x − 3x − Bữợc 1: M Geogebra trản mn hẳnh tỹ ởng hiºn thà: download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebraluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.ly.thuyet.so.dai.so.giai.tich.va.phan.mem.geogebra 3