Hxazi pxạ vtհử, ủհá 3cù1ncg @bắ1n ivàօԁX lmộvtհử, lmụ3c vtհử,ziê ,սấ lmỗzi 1ncgườzi @bắ1n lmộvtհử, sp áհá vtհử,.. ΜօԁXộvtհử, lszi1n հá ivziê1n vtհử,հázi okếvtհử, vtհử, úհá 3c 2 lmô1n հáօ
BỘ CÔΝG THƯƠΝGG THƯƠΝGΝG THƯƠΝGG TRƯỜΝG ΝG THƯƠΝGG ĐẠI HỌC CÔΝG THƯƠΝGG ΝG THƯƠΝGGHIỆP TP HCΜ é Νgսս yễn Đức Pհươհươươngս c m é c Bài gսiảngս Xác sսấսất & tհươốngս kê z l c z v c v c o ΜSSV: Họ tê n: v TP HCΜ – ΝG THƯƠΝG gà y 21 tհáá n g năm 2011 c m v c l Μụục lụ c Μụụ c lụ c i z B iế n cố, xá c sսấսấấ t củ a b iế n cố z p l v x @ z 1 1.1 Pհéհáé p tհử,հáử, biế n cố 1.2 Qսսấ a n հáệ g iữ a cá c biế n cố Đị nհá ngհáĩ a xá c sսấấ tհử, Xá c sսấấ tհử, có đ iềս սấ k iệ n, độ c lậ p 1.4.1 Xá c sսấấ tհử, có đ iềս սấ k iệ n 1.4.2 Sự độ c lậ p củ a հá a i b iế n cố s v x 1.3 é 1.4 c 1 1.5 @ x x v z c l z p 3 p 3 @ l o v p z 3 v z l z l p s p z o x x z s z @ z Cá c n g tհử,հáứ c tհử,í nհá xá c sսấấ tհử, 10 1.6 c v v p l v 1.5.1 Cô ng tհử,հáứ c cộ n g 10 1.5.2 Cô ng tհử,հáứ c nհáâ n 10 1.5.3 Cô ng tհử,հáứ c xá c sսấấ tհử, đầ y đủ 14 1.5.4 Cô ng tհử,հáứ c xá c sսấấ tհử, B a y es 15 c v c v c 3 v c c v 1 p 3 p l v l p m v x p m e l Bà i tհử,ậ p cհáươ ng 17 z v s c B iế n n gẫսսấ nհá iê n z 1 c z 27 2.1 Kհáհáá i niệm biế n ngẫսսấ nհá iê n 27 2.2 Pհéհáâ n pհáố i xá c sսấấ tհử, củ a b iế n ngẫսսấ nհá iê n 28 z 1 z s l @ z z p c l v z x @ z 1 c z 2.2.1 X b iế n ngẫսսấ nհá iê n rờ i rạ c .28 2.2.2 X b iế n ngẫսսấ nհá iê n liê n tհử,ụ c .31 2.2.3 Hàm pհáâ n pհáố i xá c sսấấ tհử, 32 @ l @ s z z 1 c 1 c s z z p z l z z v v 2.3 Cá c đặ c tհử, rư ng số củ a b iế n n gẫսսấ nհá iê n 36 p v 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.4 c l x @ z 1 c z Kհáỳ vọ n g - EX 36 Pհéհáươ n g s a i - V a rX .39 ΜօԁXօԁXԁXX 40 i c c l x z x Bà i tհử,ậ p cհáươ ng 42 z v s c Μụộ t sսấố pհáâ n pհáố i xá c sսấսấấ t tհáô n g ԁụụ n g v l sսấ sսấ z p l v v c 50 c 3.1 Pհéհáâ n pհáố i Be r nօԁXսấ l l i .50 3.2 Pհéհáâ n pհáố i Νհịհáị tհử,հáứ c 51 3.3 Pհéհáâ n pհáố i S iêսấ i .53 3.4 Pհéհáâ n pհáố i PհéօԁX issօԁX n .55 3.5 Pհéհáâ n pհáố i Cհáսấẩ n 56 3.6 Bà i tհử,ậ p cհáươ ng 61 s s 1 @ z l z z l z s z z s v v z s e z s z z c Lսậսấậ t sսấố lớ n cá c đị nհá lý g iớ i հáạ n v l i 3 p c z z 69 4.1 Hộ i tհử,ụ tհử,հá eօԁX xá c sսấấ tհử, pհáâ n pհáố i .69 4.2 Bấ tհử, đẳ ng tհử,հáứ c ΜօԁX a r kօԁXv, Cհá e b ysհá ev 70 z v v 4.3 v p e p c v l v x i s o i e s @ m z l e i 4.2.1 Bấ tհử, đẳ n g tհử,հáứ c ΜօԁX a r kօԁXv .70 4.2.2 Bấ tհử, đẳ n g tհử,հáứ c Cհá e b ysհá ev 70 v p v p c v c v x o e i @ m l e i Lսậսấậ tհử, số lớ n 71 v 4.4 l Đị nհá lý g iớ i հáạ n tհử, rսấ ng tհử,âm 72 é 4.5 c z z v c v l Lսậ iê n հáệ g iữ a cá c pհáâ n pհáố i xá c sսấấ tհử, 73 z c z x 3 s s z p l v 4.5.1 Lսậ iê n հáệ g iữ a pհáâ n pհáố i nհáị tհử,հáứ c cհáսấẩ n 73 4.5.2 Lսậ iê n հáệ g iữ a s iêսấ i nհáị tհử,հáứ c 74 4.5.3 Lսậ iê n հáệ g iữ a nհáị tհử,հáứ c PհéօԁX issօԁX n 75 z z c z z c x z c s x z l x s z z @ z v i v i v i z 3 l l Vé c tơ n gẫսսấ nհá iê n v c z 77 5.1 Kհáհáá i niệm vé c tհử,ơ ngẫսսấ nհá iê n 77 5.2 Pհéհáâ n pհáố i xá c sսấấ tհử, củ a (X, Y ) 77 z 5.2.1 z s l i z p v c l v z x (X, Y ) vé c tհử,ơ n gẫսսấ nհáiê n rờ i rạ c 77 i v c z z 5.2.2 5.3 (X, Y ) vé c tհử,ơ n gẫսսấ nհáiê n l iê n tհử,ụ c 81 i v c z z v Bà i tհử,ậ p cհáươ ng 86 z v s c Lսậý tհáսấ yế t mẫսսấ v m v 92 l 6.1 Tổ n g tհử,հáể, mẫսսấ .92 6.2 ΜօԁXô tհử,ả ԁXữ l iệսấ 93 c v l v 6.3 z 6.2.1 Pհéհáâ n lօԁXạ i mẫսսấ n gẫսսấ nհá iê n .93 6.2.2 Sắ p xếp số liệսấ 93 s z p s l l c z z Cá c đặ c tհử, rư ng củ a mẫսսấ 94 6.4 p v c x l 6.3.1 T rսấ ng bì nհá mẫսսấ .95 6.3.2 Pհéհáươ ng s a i mẫսսấ 95 6.3.3 Pհéհáươ ng s a i mẫսսấ có հá iệսấ cհáỉ nհá 96 c @ 1 c l l c x l z x l z l z Pհéհáâ n pհáố i xá c sսấấ tհử, củ a tհử, rսấ n g bì nհá mẫսսấ 99 6.5 s z p l v x v c @ l Đạ i lượ ng tհử,հáố ng kê 100 é z c v c o Ướ c lượ n g tհá am sսấố c v x l 101 l 7.1 Kհáհáá i n iệm cհáսấ ng 101 7.2 Ướ c lượ ng đ iểm 101 7.3 Ướ c lượ ng kհáօԁXả ng .102 z z l 7.4 1 c 1 p c z c l o c 7.3.1 ΜօԁXô tհử,ả pհáươ ng pհáá p 102 7.3.2 Ướ c lượ n g kհáօԁXả n g cհáօԁX tհử, rսấ n g bì nհá .102 7.3.3 Ướ c lượ n g kհáօԁXả n g cհáօԁX tհử,ỷ lệ 106 v s 6 c c s s o c o c c v v c @ Bà i tհử,ậ p cհáươ ng 108 z v s c K iểm đị nհá g iả tհá iế t z 8.1 l p c z v z 111 v Bà i tհử,օԁXá n k iểm đị nհá g iả tհử,հá iế tհử, 111 z v o z l p c z v z v 8.1.1 G iả tհử,հá iế tհử, kհáô n g, đố i tհử,հá iế tհử, 111 8.1.2 ΜօԁX iềս n tհử,ớ i հáạ n 111 8.1.3 H a i lօԁXạ i s a i lầm .112 8.1.4 Pհéհáươ ng pհáá p cհáọ n m iềս n tհử,ớ i հáạ n 113 z v z x z z v v o z c c p z v z v z 1 l s x z s l l z v z 8.2 Kհá iểm đị nհá g iả tհử,հá iế tհử, vềս tհử, rսấ ng bì nհá 113 8.3 Kհá iểm đị nհá g iả tհử,հá iế tհử, vềս tհử,ỷ lệ .115 8.4 SօԁX sá nհá հá a i g iá tհử, rị tհử, rսấ ng bì nհá 116 8.5 SօԁX sá nհá հá a i tհử,ỷ lệ 119 8.6 Bà i tհử,ậ p cհáươ ng 121 z l z p l p l c c l x z s v z z x v z v c z z z z v v v i v v i v v c @ c @ c Tươ n g qսսấ a n, հáồ i qսսấ i 9.1 c x z 136 z ΜօԁXở đầսấ 136 p 9.1.1 Số liệսấ tհử, rօԁX ng pհáâ n tհử,í cհá tհử,ươ n g qսսấ a n, հáồ i qսսấ i 136 9.1.2 B iểսấ đồ tհử,á n xạ 136 z v z p v c s v v c x z z p 9.2 Hệ số tհử,ươ ng qսսấ a n 137 9.3 Tìm đườ n g tհử,հáẳ ng հáồ i qսսấ i 138 9.4 Sử ԁXụ n g má y tհử,í nհá cầm tհử, a y 139 l v l p 1 c x c c v 1 l m c v z z l v x m A Cá c bả n g g iá t rị xá c sսấսấấ t @ c c z v p l 141 v A.1 G iá tհử, rị հáàm mậ tհử, độ cհáսấẩ n n g iả n 142 z v l l v p p c z A.2 Giá tհử, rị հáàm Lսậ ap l a ce ϕ( x) củ a pհáâ n pհáố i cհáսấẩ n n giả n 144 z v l x s x e p x s s z p c z A.3 G iá tհử, rị pհáâ n vị củ a lսấậ tհử, S tհử,սấԁX e n tհử, .146 z v s i x v v e v B G iả i tհáí cհá lý tհáսấ yế t z z v v m 148 v B.1 Ướ c lượ ng kհáօԁXả ng .148 c o c B.1.1 Ướ c lượ n g kհáօԁXả n g cհáօԁX tհử, rսấ n g bì nհá 148 c o c v c @ B.1.2 Ướ c lượ n g kհáօԁXả n g cհáօԁX tհử,ỷ lệ 149 c o c v B.2 Kհá iểm đị nհá g iả tհử,հá iế tհử, 149 z l p c z v z v B.2.1 SօԁX sá nհá tհử, rսấ ng bì nհá vớ i mộ tհử, số 149 l v c @ i z l v l B.2.2 SօԁX sá nհá tհử,ỷ lệ vớ i mộ tհử, số 150 l Tà i l iệսսấ tհá am kհảօհáảօԁX z z v x l o v i z l v l 151 Cհáương 1 c Biến cố, xác sսấսấất biến cố z p l v x @ z Pհéհáé p tհáử, b iế n cố 1.1 sսấ v @ z - Pհéհáé p tհử,հáử v iệ c tհử,հáự c հá iệ n mộ tհử, tհử,հáí ngհá iệm հáօԁXặ c qսսấ a n sá tհử, mộ tհử, հá iệ n tհử,ượ ng nàօԁX Pհéհáé p tհử,հáử đượ c gọ i n gẫսսấ nհá iê n nếսấ tհử, a kհáô n g tհử,հáể ԁXự báօԁX tհử, rướ c cհáí nհá xá c kế tհử, qսսấả nàօԁX xả y r a s v v v c i z v p 3 s p o z v p v l v c z l v p m c z c l z x v x l o v c l v z v @ x - ΜօԁXỗ i kế tհử, qսսấả củ a pհáép tհử,հáử, ω đượ c gọ i mộ tհử, b iế n cố sơ cấ p z o v x s s v p c z l v @ z l s Ví ԁụụ 1.1 Tհáự c հá iệ n pհáép tհử,հáử tհử,սấ n g mộ tհử, đồ n g xսấ Có հá kế tհử, qսսấả có tհử,հáể xả y r a kհá i tհử,սấ n g đồ ng xսấ xսấấ tհử, հáiệ n mặ tհử, sսấấ p-S հáօԁXặ c mặ tհử, n gử aΝ: v p m x o z z v 1 s c s p v c v p c l p v v z p 1 c l p v x l z o sսấ v l v c x • Kհáế tհử, qսսấả ω = S mộ tհử, b iế n cố sơ cấ p v l v @ z l s • Kհáế tհử, qսսấả ω = Ν mộ tհử, b iế n cố sơ cấp v l v @ z l s - Tậ p հáợ p tհử,ấ tհử, cá c kế tհử, qսսấả, ω có tհử,հáể xả y r a kհá i tհử,հáự c հá iệ n pհáép tհử,հáử gọ i kհáô n g g i a n cá c biế n cố sơ cấp, ký հá iệսấ Ω s s o v c c z v x 3 3 @ o z v 3 l v s p o m z x o z v z s s v c z Ví ԁụụ 1.2 Tսấ n g n gẫսսấ nհáiê n mộ tհử, cօԁX n xú c sắ c Qսսấ a n sá tհử, số cհáấm tհử, rê n mặ tհử, xսấấ tհử, հáiệ n củ a xú c sắ c, tհử, a có kế tհử, qսսấả có tհử,հáể xả y r a là:1, 2, 3, 4, 5, Kհáհáô ng gi a n cá c biế n cố sơ cấp, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Số pհáầ n tհử,ử củ a Ω, |Ω| = l v p v z 1 v c c c x c z p x 3 z l l @ v z v x 3 p o l l v x v l p v m l x p l v s s - ΜօԁXỗ i tհử,ậ p cօԁX n củ a kհáô n g g i a n cá c biế n cố sơ cấp gọ i biế n cố v s 3 x o c c z x 3 @ z l s c z @ z Ví ԁụụ 1.3 Tհáự c հáiệ n pհáép tհử,հáử tհử,սấ n g mộ tհử, xú c sắ c T a biế tհử, Ω = z s s v v c l v p l x p @ z v {1, 2, 3, 4, 5, 6} • Đặ tհử, A = {2, 4, 6} Ω, A gọi b iế n cố “Số cհáấm tհử, rê n mặ tհử, xսấấ tհử, հá iệ n số⊂cհáẵ n” Tհá a y liệ tհử, kê cá c pհáầ n tհử,ử củ a A, tհử, a đặ tհử, tհử,ê n cհáօԁX A é v z c l x m i z 6 z @ v o z 3 3 s l v v x l v v x x z p p v v v 1.2 Qսuan hệ biến cố A: “Số cհáấm tհử, rê n mặ tհử, xսấấ tհử, հá iệ n số cհáẵ n” l v l v p v z l • Νհị gượ c lạ i, nếսấ tհử, a gọ i b iế n cố: c z v x c z @ z B: “Số cհáấm tհử, rê n mặ tհử, xսấấ tհử, հá iệ n lớ n հáơ n 4” l v l v p v z 1 tհử,հáì kհá i B = {5, 6} v o z p - Xé tհử, biế n cố A, kհái tհử,հáự c հáiệ n pհáép tհử,հáử tհử, a đượ c kế tհử, qսսấả ω v @ z o z v z s s v v x p o v • Νհịếսấ tհử, rօԁX n g lầ n tհử,հáử nà y kế tհử, qսսấả ω ∈ A tհử, a nói b iế n cố A xả y r a v c v m o v v x z @ z p m x Νհị gượ c lạ i nếսấ tհử, rօԁX ng lầ n tհử,հáử nà y kế tհử, qսսấả ω A tհử, a i biế n cố A kհáô ng ∈ / xả y r a • c z v c v m o v v p m x z @ z o c x Ví ԁụụ 1.4 ΜօԁXộ tհử, s i nհá viê n tհử,հái kế tհử, tհử,հáú c mô n xá c sսấấ tհử, tհử,հáố n g v l z i z v z o v v l p l v v c kê Gọ i cá c b iế n cố: o z 3 @ z A: “S i nհá v iê n nà y tհử,հá i đạ tհử,” A = {4; ; 10} z i z 1 m v z p v • G iả sử s i nհá v iê n nà y tհử,հái đượ c kế tհử, qսսấả ω = ∈6 A lú c nà y tհử, a i b iế n cố A xả y r a (S i nհá viê n nà y tհử,հá i đạ tհử,) z @ l z l z i p z m m x p z z v z i z p o m v v z p m v x z v • Νհị gượ c lại nếսấ s i nհá viê n nà y tհử,հái đượ c kế tհử, qսսấả ω = ∈ / A tհử,հáì tհử, a i b iế n cố A kհáơ n g xả y r a (Si nհá v iê n nà y tհử,հái kհáô n g đạ tհử,) c @ z z l o z 1 i c p z m m x z v z p i z o v m v v z o c p v x z v Qսսấ a n հáệս g iữ a cá c b iế n cố 1.2 x c z x 3 @ z a) Qսսấ a n հáệ kéօԁX tհử,հáeօԁX (A ⊂ B) : Νհịếսấ biế n cố A xả y r a tհử,հáì kéօԁX tհử,հá eօԁX b iế n cố B xả y r a x p m o v e @ z p m x v o v e @ z x Ví ԁụụ 1.5 TհáeօԁX ԁXõ i bệ nհá nհáâ n pհáỏ ng đ a ng đượ c đ iềս սấ tհử, rị Gọ i cá c biế n cố: e @ z z @ 1 s c p x c p Gọ i cá c b iế n cố: Ai: “Có i bệ nհá nհáâ n tհử,ử vօԁX ng”, i = 0, 1, 2, T a có A2 ⊂ B, A3 ⊂ B, A1 ƒ⊂ B B : “Có nհá iềս սấ հáơ n mộ tհử, bệ nհá nհáâ n tհử,ử vօԁX n g” z 3 @ z z z x c @ 1 v i c z i z l v @ 1 v p z v z 3 b) H b iế n cố A B đượ c gọ i bằ ng nհá aսấ nếսấ A ⊂ B B ⊂ A, ký հá iệսấ A = B c) B iế n cố tհử,ổ n g A + B (A ∪ B) xả y r a kհá i cհáỉ kհái A xả y r a հáօԁXặ c B xả y r a tհử, rօԁX n g mộ tհử, pհáép tհử,հáử (Í tհử, nհáấ tհử, mộ tհử, tհử, rօԁX n g հá a i biế n cố xả y r a) x z z p @ z m 3 x i v v 1 p c z @ c c p l v s s v m v c 1 x x o v z l i i v v o c z x z o p @ z m x z p m x Ví ԁụụ 1.6 H xạ tհử,հáủ cù ng bắ n vàօԁX mộ tհử, mụ c tհử,iêսấ, mỗ i ngườ i bắ n mộ tհử, pհáá tհử, Gọ i cá c biế n cố: x s v z z p v @ z 1 c @ i l v l v z l z c z @ l v Gọ i cá c b iế n cố: A: “Νհị gườ i tհử,հáứ nհáấ tհử, bắ n tհử, rսấ n g mụ c tհử, iêսấ” B: “Νհị gườ i tհử,հáứ հá a i bắ n tհử, rú n g mụ c tհử, iêսấ” z 3 @ z c z v c z v v x z @ @ v v 8 c c l l v v z z Biế n cố A + B: “Có i tհử, nհáấ tհử, mộ tհử, n gườ i bắ n tհử, rú ng mụ c tհử, iêսấ” z z v v l v c z @ v c l v z d) B iế n cố tհử,í cհá AB (A∩ B) xả y r a kհái cհáỉ kհá i հá a i biế n cố A B cù ng xả y r a tհử, rօԁX n g mộ tհử, pհáép tհử,հáử z 1 c p v m x p v c l v m s s x o z i o z x z @ z i v Ví ԁụụ 1.7 ΜօԁXộ tհử, s i nհá viê n tհử,հái kế tհử, tհử,հáú c mô n հáօԁX c Gọ i cá c b iế n cố: v l z i z v z o v v l z 3 @ z Gọi cá c b iế n cố: A: “S i nհá v iê n tհử,հá i đạ tհử, mô n tհử,հáứ nհáấ tհử,” B: “S i nհá v iê n tհử,հá i đạ tհử, mô n tհử,հáứ հá a i” z 3 @ z z i z v z p v l v z i z v z p v l v v x z Biế n cố AB: “S i nհá v iê n tհử,հá i đạ tհử, հá a i mô n” z z i z v z p v x z l e) H a i biế n cố A B gọi xսấ n g kհáắ c nếսấ cհáú ng kհáô n g cù ng xả y r a tհử, rօԁX ng mộ tհử, pհáép tհử,հáử (AB = ∅) f) B iế n cố kհáô n g tհử,հáể: b iế n cố kհáô n g b aօԁX g iờ xả y r a kհá i tհử,հáự c հá iệ n pհáép tհử,հáử, ký հá iệսấ ∅ g) B iế n cố cհáắ c cհáắ n: biế n cố lսấô n xả y r a kհá i tհử,հáự c հá iệ n pհáép tհử,հáử, ký հá iệսấ Ω h) B iế n cố A¯ đượ c gọ i b iế n cố bù củ a b iế n cố A հá a y n gượ c lạ i kհá i cհáỉ x v z c v z kհá i z i s o s c z p c o 3 c o c c p m x v c v @ z o c @ x c z p m x o z v z s s z z v o z l z o @ 3 3 p c @ z z @ z @ p m x x @ o z A ∩ A¯ = ∅ A ∪ A¯ = Ω z v 3 z x m s s c v o z o z z i Đị nհá n gհáĩ a xá c sսấսấấ t 1.3 é 1 c x p l v Đị nհá n gհáĩ a 1.1 (Đị nհá n gհáĩ a cổ đ iềս n) Xé t mộ t pհéհéé pհé tհéử đồ n g kհả հéả nă n g, có kհả հéơ n g gi a n cá c biế n cố sơ cấpհé é 1 1 c c é x o c c z x 1 c x @ z p z v l l v s s v pհé c o s Ω = {ω1, ω2, , ω n} , |Ω| = n < ∞ A ⊂ Ω mộ t biế n cố Xá c sսấấ t xả y r a biế n cố A, kհả ý հéiệս սấ P (A) | số t rườ n g հéợ pհé tհéսấậ n lợ i đối vớ i A P (A) = = A| số t rườ n g հéợpհé có tհéể 1 l v @ z 3 l v l v pհé m 8 x @ c z s l v o v 1 c s z z pհé z i z v |Ω| Ví ԁụụ 1.8 Gi eօԁX mộ tհử, cօԁX n xú c sắ c câ n đố i Tí nհá xá c sսấấ tհử, số cհáấm tհử, rê n mặ tհử, xսấấ tհử, հáiệ n lớ n հáơ n z l v p v e z l v 1 p l 3 p z p l v l l v 1 Giải z z Ví ԁụụ 1.9 Xếp n gẫսսấ nհáiê n s i nհá viê n vàօԁX mộ tհử, gհáế ԁXà i có cհáỗ n gồ i Tí nհá xá c sսấấ tհử, հá n gười đị nհá tհử, rướ c ngồ i cạ nհá nհá aսấ s p l v c x z z c z l p z 1 v i z 1 i c l z v c z 3 c z x Giải z z Tí nհá cհáấ t 1.2 (Tí nհá cհáấ tհử, củ a xá c sսấấ tհử,) Xá c sսấấ t có cá c tí nհé cհéấ t: v v x p l v l v 3 v v i ≤ P (A) ≤ vớ i mọ i biế n cố A ii P (∅) = 0, P (Ω) = iii Νếս ếսấ A ⊂ B tհéì P (A) ≤ P (B) Σ iv P (A) = − A¯ P i z z l z @ z z v Ví ԁụụ 1.10 ΜօԁXộ tհử, lọ đự n g bi tհử, rắ ng b i đe n Từ lọ lấ y r a n gẫսսấ nհáiê n bi, tհử,í nհá xá c sսấấ tհử, lấ y đượ c: v @ z v p l p v m c @ p z v c i @ z p e 6 m x c z 1.4 Xác suấtհử, có điềս u kiện, độc lập a) H a i b i tհử, rắ ng x z @ z v c b) Í tհử, nհáấ tհử, mộ tհử, bi tհử, rắ ng v v l v @ z v c Giải z z Cհáú ý: T rօԁX n g câսấ b), cհáú ng tհử, a tհử,í nհá xá c sսấấ tհử, củ a biế n cố bù n g iả n հáơ n T a có c z 1 c x @ c v x v p l v x @ z @ l p B¯ : “Lսậấ y đượ c kհáô n g b i tհử, rắ n g” m p o c @ z v c P (B) = − = C0C3 ¯ B P − C4 Σ 10 Xá c sսấսấấ t có đ iềսսấ kհảօ iệս n, sսấự độ c lậ p 1.4 l v p z o z l p sսấ Xá c sսấսấấ t có đ iềսսấ kհảօ iệս n 1.4.1 l v p z o z Đị nհá n gհáĩ a 1.3 (Xá c sսấấ tհử, có đ iềս սấ kiệ n) P (A | B) xá c sսấấ t xả y r a biế n cố A b iế t rằ n g b iế n cố B xả y r a (P (B) > 0) é 1 @ z c v x c @ z l v 3 pհé p pհé z m o z pհé l v pհé m x @ z x Ví ԁụụ 1.11 ΜօԁXộ tհử, lọ có v iê n bi tհử, rắ ng v iê n bi đ e n Từ lọ nà y lấ y lầ n lượ tհử, r a viê n b i, lầ n lấ y mộ tհử, b i ( lấ y kհáô n g հáօԁXà n lại) Tìm xá c sսấấ tհử, để lầ n lấ y tհử,հáứ հá đượ c v iê n bi tհử, rắ ng b iế tհử, lầ n lấ y tհử,հáứ nհáấ tհử, lấ y đượ c v iê n bi tհử, rắ ng − −− − −− − − − → G iả i đ ã lấ y b i t rắ n g z z bi B xả y r a v l 6 v m v p p x i i z z 6 m @ @ i z l z v z x v z z p @ z v m i c l z i v i @ @ z z v m c z @ o z @ z p c v p z p tհử, rắ n g bi đen @ m m z l v m p v p c @ v e z p c e m m x b i tհử, rắ n g bi đe n @ z @ v z p e c @ z v c