Đang tải... (xem toàn văn)
Định nghĩa và tính chất2.Biểu diễn quan hệ3.Quan hệ tương đương.. Khi đó, quan hệ S được diễn đạt là: S là quan hệ vợ chồng trên A hay xSy nếu như x là vợ của y.Cho p là số nguyên dương
Chương III Cấu trúc đại số Quan hệ Định nghĩa tính chất 2.Biểu diễn quan hệ 3.Quan hệ tương đương Đồng dư Phép toán số học Zn 4.Quan hệ thứ tự Biểu đồ Hasse Quan hệ RELATIONS 1 Định nghĩa Ví dụ A = tập sinh viên; B = lớp học R = {(a, b) | sinh viên a học lớp b} Quan hệ hai từ tập A đến tập B tập tích Descartess R A x B Chúng ta viết a R b thay cho (a, b) R Quan hệ từ A đến gọi quan hệ A R = { (a1, b1), (a1, b3), (a3, b3) } Chú ý: Thông thường tập ℛ cho thuộc tính P Tức là: ℛ = { (x,y) ∈X | (x,y) có tính chất P} 3 4 Ví dụ ℛ : xℛ y ⟺ x ⋮ y (x chia hết cho y) ∀x,y ∈ℕ ℛ : xℛ y ⟺ (x, y) = ( x y nguyên tố nhau) ∀x,y ∈ℤ Nếu A tập người hành tinh A cho quan hệ S = {(x;y) ∈A | x vợ y} Khi đó, quan hệ S diễn đạt là: S quan hệ vợ chồng A hay xSy x vợ y Cho p số nguyên dương cố định Ta xác định quan hệ S ℤ sau S = { (x;y) ∈ℤ | (x y) chia hết cho p} Quan hệ quan hệ đồng dư theo modulo p Ví dụ Cho A = {1, 2, 3, 4}, R = {(a, b) | a ước b} Khi R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4,4)} 4 5 Quan hệ Z phản xạ a a với a Z Quan hệ > Z khơng phản xạ > Quan hệ “ | ” (“ước số”) Z + phản xạ số Tính chất a Tính phản xạ Định nghĩa Quan hệ R A gọi phản xạ nếu: (a, a) R với ∀ a A nguyên a ước Chú ý Quan hệ R tập A phản xạ chứa đường chéo A × A : = {(a, a); a A} Ví dụ Trên tập A = {1, 2, 3, 4}, quan hệ: R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)} không phản xạ (3, 3) R1 R2 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 4)} phản xạ (1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) R2 7 8 Quan hệ“ | ” (“ước số”) Z + khơng đối xứng b Tính đối xứng Định nghĩa Quan hệ R A gọi đối xứng nếu: a A, b A: (a R b) (b R a) c Tính phản đối xứng Định nghĩa Quan hệ R gọi phản xứng a A, b A: (a R b) (b R a) (a = b) Tuy nhiên có tính phản xứng (a | b) (b | a) (a = b) Chú ý Quan hệ R A đối xứng đối xứng qua đường chéo A × A Quan hệ R phản xứng có phần tử nằm đường chéo đối xứng qua A × A Ví dụ Quan hệ R1 = {(1,1), (1,2), (2,1)} tập A = {1, 2, 3, 4} đối xứng Quan hệ Z không đối xứng Tuy nhiên phản xứng (a b) (b a) (a = b) 3 2 1 9 4 * * * 10 10 d Tính bắc cầu Tóm lại Định nghĩa Quan hệ R A có tính bắc cầu (truyền) nếu: a A, b A, c A: (a R b) (b R c) (a R c) Với ℛ quan hệ hai ngơi tập X, ℛ gọi có: Tính phản xạ: aℛa, ∀ a ∈ X Tính đối xứng: aℛb bℛa ∀a,b ∈ X Tính phản đối xứng: aℛb bℛa a ≡ b ∀a,b ∈ X Tính bắc cầu: aℛb bℛc aℛc ∀a,b,c ∈ X Ví dụ Quan hệ R = {(1,1), (1,2), (2,1), (2, 2), (1, 3), (2, 3)} tập A = {1, 2, 3, 4} có tính bắc cầu Quan hệ “|”trên Z có tính bắc cầu (a b) (b c) (a c) (a | b) (b | c) (a | c) 11 11 12 12 Định nghĩa: Quan hệ R tập A gọi tương đương có tính chất phản xạ, đối xứng bắc cầu : Quan hệ tương đương Ví dụ: Cho S = {sinh viên lớp}, gọi R = {(a,b): a có họ với b} Hỏi? R phản xạ? Yes R đối xứng? Yes R bắc cầu? Yes Ví dụ Quan hệ R chuỗi ký tự xác định aRb a b có độ dài Khi R quan hệ tương đương Ví dụ Cho R quan hệ R cho aRb a – b nguyên Khi R quan hệ tương đương Thật vậy: Dễ thấy R có tính chất phản xạ, đối xứng, cịn tính bắc cầu: a - b nguyên, b - c nguyên Suy : a - c = (a - b) + (b - c) nguyên Mọi sinh viên có họ thuộc nhóm 13 13 14 14 Lớp tương đương Ví dụ Cho m số nguyên dương R quan hệ Z cho aRb a – b chia hết cho m, R quan hệ tương đương - Rõ ràng quan hệ có tính phản xạ đối xứng - Cho a, b, c cho a – b b – c chia hết cho m, a – c = a – b + b – c chia hết cho m Suy R có tính chất bắc cầu - Quan hệ gọi đồng dư modulo m viết: Định nghĩa Cho R quan hệ tương đương A phần tử a A Lớp tương đương chứa a ký hiệu [a]R [a] tập [a]R = {b A| b R a} Ví dụ Tìm lớp tương đương modulo chứa 1? Giải Lớp tương đương modulo chứa gồm tất số nguyên a chia hết cho Do [0]8 ={ …, – 16, – 8, 0, 8, 16, … } Tương tự [1]8 = {a | a chia dư 1} = { …, – 15, – 7, 1, 9, 17, … } a b (mod m) thay aRb 15 15 16 16 Chú ý Trong ví dụ cuối, lớp tương đương [0]8 [1]8 rời Tổng quát, có: Chú ý Cho {A1, A2, … } phân hoạch A thành tập không rỗng, rời Khi có quan hệ tương đương A cho Ai lớp tương đương Định lý Cho R quan hệ tương đương tập A a, b A, Khi (i) a R b [a]R = [b]R (ii) [a]R [b]R [a]R [b]R = A4 A3 A5 b Thật với a, b A, ta đặt a R b có tập Ai cho a, b Ai Dễ dàng chứng minh R quan hệ tương đương A [a]R = Ai a Ai Chú ý Các lớp tương đương theo quan hệ tương đương A tạo nên phân họach A, nghĩa chúng chia tập A thành tập rời 17 17 a A2 A1 18 18 Ví dụ Cho m số nguyên dương, có m lớp đồng dư modulo m [0]m , [1]m , …, [m – 1]m Chúng lập thành phân họach Z thành tập rời Chú ý rằng: [0]m = [m]m = [2m]m = … [1]m = [m + 1]m = [2m +1]m = … ………………………………… [m – 1]m = [2m – 1]m = [3m – 1]m = … Mỗi lớp tương đương gọi số nguyên modulo m Tập hợp số nguyên modulo m ký hiệu Zm Zm = {[0]m , [1]m , …, [m – 1]m} 19 19 Định nghĩa: Cho m số nguyên dương, ta định nghĩa hai phép tốn “ + ” “ × “ Zm sau [a ]m + [b]m = [a + b]m [a ]m [b]m = [a b]m Định lý Các phép tốn nói định nghĩa tốt, tức là: Nếu a c (mod m) b d (mod m), thì: a + b (c + d) (mod m) a b c d (mod m) Ví dụ (mod 5) 11 (mod 5) Ta có: + 11 (2 + 1) (mod 5) = (mod 5) × 11 (2 × 1) (mod 5) = (mod 5) 20 20 Chú ý: Các phép toán “ + ” “ × “ Zm có tính chất phép tốn Z Ví dụ: nhóm 𝑍 = {[0], [1], …, [7]} thì: 16 thuộc lớp [0], 27 thuộc lớp [3] [1] + [3] = [4] thuộc lớp [1] 11 thuộc lớp [3] + 11 = 20 thuộc lớp [4] [1] [3] = [3] 9.11 = 99 thuộc lớp [3] [a ]m + [b]m = [b]m + [a]m [a ]m + ([b]m + [c ]m) = ([a]m + [b]m) + [c]m [a ]m + [0]m = [a]m [a ]m + [m – a]m = [0]m , Ta viết – [a]m = [m – a]m [a ]m [b]m = [b]m [a ]m [a ]m ([b]m [c ]m) = ([a]m [b]m) [c]m [a ]m [1]m = [a]m [a ]m ([b]m + [c ]m) = [a]m [b]m + [a]m [c]m 21 21 22 22 Ví dụ “ Phương trình bậc nhất” Zm Mỗi chữ mã hóa cách cộng thêm Chẳng hạn A mã hóa chữ tương ứng với [0]26 + [3]26 = [3]26, nghĩa D Tương tự B mã hóa chữ tương ứng với [1]26 + [3]26 = [4]26, nghĩa E, … cuối Z mã hóa chữ tương ứng với [25]26 + [3]26 = [2]26 nghĩa C Bức thư “MEET YOU IN THE PARK” mã sau MEET YOU IN THE PAR K 12 4 19 24 14 20 13 19 15 17 10 [x]m + [a]m = [b]m với [a]m [b]m cho trước, có nghiệm nhất: [x]m = [b ]m – [a]m = [b – a]m Cho m = 26, phương trình [x]26 + [3]26 = [b]26 có nghiệm với [b]26 Z26 Do [x]26 [x]26 + [3]26 song ánh từ Z26 vào Sử dụng song ánh thu mã hóa Caesar: Mỗi chữ tiếng Anh thay phần tử Z26: A [0]26 , B [1]26 , …, Z [25]26 Ta viết đơn giản: A 0, B 1, …, Z 25 23 23 15 7 22 17 23 11 16 22 10 18 20 13 P HHW B R X L Q WKH SD U N 24 24 Trước hết chọn a khả nghịch Z26 tức tồn a’ Z26 cho: Để giải mã, ta dùng ánh xạ ngược: [x]26 [x]26 – [3]26 = [x – 3]26 P H H W tương ứng với: 15 7 22 Lấy ảnh qua ánh xạ ngược: 12 4 19 Ta thu chữ mã là: MEET [a]26 [a’ ]26 = [a a’ ]26 = [1]26 Chúng ta viết [a’ ]26 = [a]26–1 tồn Nghiệm phương trình: [a]26 [x]26 = [c]26 [x]26 = [a]26–1 [c]26 = [a’c]26 là: Chúng ta nói nghiệm phương trình Mã hóa cịn q đơn giản, dễ dàng bị bẻ khóa Chúng ta tổng quát mã Caesar cách sử dụng ánh xạ f : [x]26 [ax + b]26 a b số chọn cho f song ánh a x c (mod 26) x a’c (mod 26) là: 25 25 26 26 Ánh xạ ngược f xác định Quan hệ thứ tự [x]26 [a’(x – b)]26 Định nghĩa: Quan hệ R tập A quan hệ thứ tự (thứ tự) có tính chất phản xạ, phản xứng bắc cầu Ví dụ Cho a = b = 3, nghịch đảo [7]26 [15]26 [7]26 [15]26 = [105]26 = [1]26 Người ta thường ký hiệu quan hệ thứ tự Cặp (A, ) đựợc gọi tập thứ tự hay poset Bây M mã hóa sau: [12]26 [7 12 + 3]26 = [87]26 = [9]26 nghĩa mã hóa I Ngược lại I giải mã sau Phản xạ: a a Phản đối xứng: (a b) (b a) (a = b) [9]26 [15 (9 – 3) ]26 = [90]26 = [12]26 Bắc cầu: (a b) (b c) (a nghĩa tương ứng với M 27 27 28 28 Ví dụ 1: Quan hệ ước số “ | ”trên tập số nguyên dương quan hệ thứ tự hay không?, nghĩa (Z+, | ) poset? Trả lời: • Phản xạ? Có x | x x = 1.x • Bắc cầu? Có a | b nghĩa b = ka, b | c nghĩa c = jb Khi c = j(ka) = (jk)a hay a | c • Phản xứng? Có a | b nghĩa b = ka, b | a nghĩa a = jb Khi a = jka Suy j = k = 1, nghĩa a = b Ví dụ 2: (Z, | ) poset? Trả lời: Khơng vi phạm tính phản xứng: 3|-3, -3|3 ≠ -3 Ví dụ 3: Trong (𝒫(S), ), 𝒫(S) tập tất tập S, poset? Trả lời: • Phản xạ? A A, A (S) Có • Bắc cầu? A B, B C A C Có • Phản xứng? Có 29 29 c) A B, B A A B 30 30 Quan hệ thứ tự tồn phần Ví dụ 4: a) Trong ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, quan hệ “x ≤ y” quan hệ thứ tự (poset) b) Nhưng quan hệ nhỏ thực “x < y” quan hệ thứ vi phạm tính phản xạ c) Trong ℕ, quan hệ “x ⋮ y” quan hệ thứ tự (poset) Định nghĩa: Các phần tử a b poset (S, ) gọi so sánh a b hay b a Trái lại ta nói a b khơng so sánh Cho (S, ), hai phần tử tùy ý S so sánh với ta gọi tập thứ tự tồn phần Ta nói thứ tự tồn phần hay thứ tự tuyến tính S Quan hệ thứ tự khơng tồn phần gọi quan hệ thứ tự phận 31 31 32 32 Thứ tự từ điển Ví dụ 1: Các tập: ( ℕ,≤), (ℤ, ≤), (ℚ, ≤), (ℝ, ≤) toàn phần Định nghĩa: Trên tập chuỗi bit có độ dài n ta định nghĩa thứ tự sau: a1a2…an b1b2…bn bi, i Ví dụ 2: Quan hệ ước số “ | ”trên tập hợp số ngun dương khơng thứ tự tồn phần, số không so sánh Với thứ tự chuỗi 0110 1000 không so sánh với Chúng ta nói chuỗi lớn Ví dụ 3: Các tập: (ℕ, ⋮) ( (X), ⊂ ) phận (nếu X có nhiều phần tử) Trong tin học thường sử dụng thứ tự tồn phần chuỗi bit Đó thứ tự từ điển 33 33 34 34 Cho ( A, ) tập thứ tự (B, ’), (C, ’) hai tập thứ tự toàn phần Ta định nghĩa thứ tự A B C sau : Cho tập hữu hạn (ta gọi bảng chữ cái) Tập hợp chuỗi , ký hiệu *, xác định bởi: *, chuỗi rỗng Nếu x , w *, wx *, wx kết nối w với x (a1 , b1 , c1) (a2, b2 , c2) nếu: a1 < a2 (a1 = a2 b1 b2) (a1 = a2 b1 = b2 c1 c2 Dễ dàng thấy thứ tự toàn phần A B Ta gọi thứ tự từ điển Ví dụ: Chẳng hạn = {a, b, c} Thế thì: * = {, a, b, c, aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc, aaa, aab,…} Chú ý A B tốt ’, tương ứng A B tốt thứ tự Chúng ta mở rộng định nghĩa cho tích Descartess hữu hạn tập thứ tự toàn phần 35 35 36 36 Giả sử thứ tự tồn phần , ta định nghĩa thứ tự toàn phần * sau: Chúng ta kiểm tra thứ tự tịan phần * Ta gọi thứ tự từ điển * Cho s = a1 a2 … am t = b1 b2 … bn hai chuỗi * Chú ý: Nếu bảng chữ tiếng Anh với thứ tự: a < b < … < z, thứ tự nói thứ tự thông thường từ từ điển Khi s t nếu: Hoặc = bi i m ,tức là: t = a1 a2 … am bm +1 bm +2 … bn Hoặc tồn k < m cho: = bi với i k ak+1 < bk+1 , nghĩa là: Ví dụ: discreet discrete discreet discrete s = a1 a2 … ak ak +1 ak +2 … am t = a1 a2 … ak bk +1 bk +2 … bn discreet discreetness e t discreet discreetness 37 37 38 38 Biểu đồ Hasse Ví dụ Nếu = {0, 1} với < 1, thứ tự toàn phần tập tất chuỗi bit * Mỗi poset biễu diễn đồ thị đặc biệt ta gọi biểu đồ Hasse Để định nghĩa biểu đồ Hasse cần khái niệm phần tử trội trội trực tiếp Ta có Định nghĩa: Phần tử b poset (S, ) gọi phần tử trội phần tử a S a b 0110 10 Chúng ta nói a trội b Phần tử b gọi trội trực tiếp a b trội a, không tồn trội c cho 0110 01100 a c b, a c b 39 39 40 40 Ta định nghĩa Biểu đồ Hasse poset (S, ) đồ thị: Ví dụ: Biểu đồ Hasse poset ({1,2,3,4}, ) vẽ sau Mỗi phần tử S biễu diễn điểm mặt phẳng Nếu b trội trực tiếp a vẽ cung từ a đến b b d a e a b d, a c Chú ý Chúng ta không vẽ mũi tên với qui ước cung từ lên c 41 41 42 42 Ví dụ: Xét U12 1,2,3, 4,6,12 Ví dụ: Biểu đồ Hasse P({a,b,c}) biểu đồ Hasse chuỗi bit độ dài với thứ tự từ điển {a,b,c} {a,b} {a} a Biểu đồ Hasse ( U12 , ) vẽ sau: 111 {a,c} {b} {b,c} 110 {c} 100 011 101 010 b Biểu đồ Hasse ( U12 , | ) là: 001 000 Hai đồ thị tương tự nhau!!! 43 43 44 44 Chú ý: Trong poset S hữu hạn, phần tử tối đại phần tử tối tiểu luôn tồn Thật vậy, xuất phát từ điểm a0 S Nếu a0 khơng tối tiểu, tồn a1 a0, tiếp tục tìm phần tử tối tiểu Phần tử tối đại phần tử tối tiểu Xét poset có biểu đồ Hasse đây: Mỗi đỉnh màu đỏ tối đại Mỗi đỉnh màu xanh tối tiểu Khơng có cung xuất phát từ điểm tối đại Khơng có cung kết thúc điểm tối tiểu Phần tử tối đại tìm phương pháp tương tự a0 a1 a2 45 45 46 Ví dụ 1: Tìm phần tử tối đại, tối tiểu poset ({2, 4, 5, 10, 12, 20, 25}, | ) ? 12 Ví dụ Tìm phần tử tối đại, tối tiểu poset chuỗi bit độ dài 3? Lời giải: Từ biểu đồ Hasse, thấy 111 phần tử tối đại 000 phần tử tối tiểu 20 10 25 111 phần tử lớn 000 phần tử nhỏ theo nghĩa: Lời giải: Từ biểu đồ Hasse, thấy 12, 20, 25 phần tử tối đại; 2, phần tử tối tiểu 000 abc 111 Nhận xét: Phần tử tối đại, tối tiểu poset khơng 111 110 100 011 101 010 001 với chuỗi abc 000 47 47 46 48 48 Chúng ta có định lý Chặn trên, chặn Định lý: Trong poset hữu hạn, có phần tử tối đại phần tử lớn Tương tự cho phần tử nhỏ Chứng minh: Giả sử g phần tử tối đại Lấy a phần tử bất kỳ, tồn phần tử tối đại m cho: a m a Vì g nên m = g , ta có: a g m Định nghĩa: Cho (S, ) poset A S Phần tử chặn A phần tử x S (có thể thuộc A không) cho a A, a x Phần tử chặn A phần tử x S cho a A, x a g Ví dụ: Phần tử chặn {g, j} a a c Tại b? l Như g phần tử lớn Chứng minh tương tự cho phần tử nhỏ l g b d e f h i j 49 49 50 50 Chặn nhỏ (nếu có ) A = {a, b} ký hiệu a b Định nghĩa: Cho (S, ) poset A S Chặn nhỏ A phần tử chặn x A cho chặn y A, ta có y x Chặn lớn A phần tử chặn x A cho chặn y A,ta có: y x a Ví dụ: Chặn nhỏ {i, j} d Ví dụ: Chặn chung lớn của{a, b} gì? c g e f h i Chặn lớn (nếu có) A = {a, b} ký hiệu a b a b Ví dụ: i j = d d Ví dụ: b c = f c e j g h b d f j i 51 51 52 52 Topological Sorting Topological Sorting Consider the problem of getting dressed Recall that every finite non-empty poset has at least one minimal element a1 Precedence constraints are modeled by a poset in which a b if and only if you must put on a before b shoes shoes socks belt jacket jeans swter uwear shirt jwlry In what order will you get dressed while respecting constraints? socks jacket jeans swter uwear shirt jwlry E.g shirt is a minimal element Now the new set after we remove a1 is still a poset In other words, we will find a new total order so that a is a lower bound of b if a b 53 53 belt 54 54 This process continues until all elements are removed Topological Sorting We obtain a new order of the elements satisfying the given constraints: a1, a2, …, am Let a2 be a minimal of the new poset shoes socks belt shoes jacket jeans swter uwear shirt jwlry E.g underwear is a new minimal element socks belt jacket jeans swter uwear shirt The arrangement of the given poset in the new total order a1, a2, … compatible with the old order is called the Topological sorting Now every element of this new poset cannot be a proper lower bound of a1 and a2 in the original poset 55 55 56 56 Bài tập Bài tập Khảo sát tính chất quan hệ R sau Xét xem quan hệ R quan hệ tương đương Tìm lớp tương đương cho quan hệ tương đương a) x, y R, xRy x2 + 2x = y2 + 2y; b) x, y R, xRy x2 + 2x y2 + 2y; c) x, y R, xRy d) x, y R+, Khảo sát tính chất quan hệ sau a) x, y Z, xRy xy; b) x, y R, xRy x = y hay x < y + c) x, y R, xRy x = y hay x < y - d) (x, y); (z, t) Z2, (x, y) (z, t) x z hay (x = z y t); e) (x, y); (z, t) Z2, (x, y) (z, t) x < z hay (x = z y t); x3 – x2y – 3x = y3 – xy2 – 3y; xRy x3 – x2y – x = y3 – xy2 – y 57 57 58 58 Bài tập Bài tập Xét quan hệ R Z định bởi: Xét tập mẫu tự A = {a, b, c} với x, y Z, xRy n Z, x = y2n a) Chứng minh R quan hệ tương đương b)Trong số lớp tương đương , , 3, có lớp phân biệt ? c) Câu hỏi tương tự câu hỏi b) cho lớp a < b < c : s1 = ccbac s2 = abccaa theo thứ tự từ điển Hỏi có chuỗi ký tự s gồm ký tự thỏa s2 s s1? 6,7,21,24,25,35,42,48 59 59 jwlry 60 60 10 Bài tập Bài tập ĐỀ THI NĂM 2006 Xét thứ tự “”trên tập P(S)các tập tập S ={1,2,3,4,5}trong AB A tập B Tìm thứ tự toàn phần “ ≤ ”trên P(S) cho với A, B P(S), AB A≤ B Tổng qt hố cho trường hợp S có n phần tử Đề 2007.Có dãy bit có độ dài 15 cho 00001 s 011, “ ” thứ tự từ điển 61 61 62 62 11