Roi rac (Toán rời rạc KMA)

Chứng tỏ rằng trong bất kỳ một tập hợp gồm 6 lớp học nào cũng có ít nhât hailớp gặp nhau cùng một ngày, biết một tuần học từ thứ 2 đến thứ 6.17.. Có bao nhiêu quan hệ có tính phản xạ trê

BÀI TẬP TỐN RỜI RẠC CHƯƠNG Logic tốn học Bài Dùng quy tắc suy diễn, kiểm tra tính đồng cơng thức sau: a.D = (A → B) ∧ (A ∨ C) ∧ (C ∨ D) → (B ∨ D) b D = ((X1 → X2 ) ∧ (X3 → X4 ) ∧ (X1 → X3 )) → (X2 ∨ X4 ) c D = (((A ∨ B) → (C ∧ D)) ∧ (C → E) ∧ E) → A d D = ((A → B) ∧ (C → D) ∧ (B ∨ D → E) ∧ E) → (A ∧ C) e D = ((X2 ∨ X1 ) ∧ (X4 ∨ X3 ) ∧ (X2 ∨ X4 ∨ X5 ) ∧ X5 ) → X1 ∨ X3 f D = (Y → X) ∧ (Z → X) ∧ (Z1 → Z) → (Z1 → Y ) g D = (X1 ∧ (X → X ) ∧ (X → X3 ) ∧ (X4 → X5 ) ∧ (X5 → X )) → (X3 ∨ X5 ) h D = ((X1 → X2 ) → X3 ) ∧ (X3 → (X4 → X5 )) ∧ (X4 ∨ X6 ∧ (X5 → X6 )) → X1 i D = (X ∧ (X → Y ) ∧ (Z ∨ M ) ∧ (M → Y )) → Z ∨ N k.D = (((X2 → X1 )∧(X4 → X3 )∧(X1 ∧ X5 → X4 ∧ X2 )∧(X5 ∨X1 )) → (X3 → X1 ) l D = (X3 → (X1 ∨ X2 )) ∧ (X3 → X2 ) ∧ (X2 → X4 ) ∧ X → X1 ∧ X2 Bài Cho p(x, y) vị từ phụ thuộc vào hai biến x, y lấy giá trị tập {1, 2, 3} Dùng phép hội phép tuyển viết mệnh đề sau: a ∃x : p(x, 3) b ∀y : p(1, y) c ∀x∀y : p(x, y) d ∃x∃y : p(x, y) e ∃x∀y : p(x, y) f ∀x∃y : p(x, y) Bài Cho p(x, y, z) phát biểu ”x + y = z” phụ thuộc vào ba biến x, y, z lấy giá trị tập số thực R Hãy xác định giá trị chân lý mệnh đề: a ∀x∀y∃z : p(x, y, z) b ∃z∀x∀y : p(x, y, z) Bài Cho vị từ hai biến: P (x, y) = ”x2 ≥ y” Q(x, y) = ”x + < y”, x, y biến thực Cho biết giá trị chân lý mệnh đề sau: a P (2, 4) b Q(2, π) c (P (−3, 7) ∧ Q(1, 2)) → (P (−2, 1) ∧ Q(−1, −1)) d (Q(1, 1) → P (1, 1)) ∧ (P (1, 1) → Q(1, 1)) e P (2, 5) = Q(2, 5) Bài Cho vị từ hai biến P (x, y) = ”x ước y” trường M = {±1, ±, 2, } Xác định giá trị mệnh đề sau: a P (2, 3) b (∀y)P (2, y) c (∀x)P (x, x) d (∀y)(∃x)P (x, y) e (∃y)(∀x)P (x, y) f (∀x)(∀y)(P (x, y) ∨ P (y, x)) → (x = y) g (∀x)(∀y)(∀z)((P (x, y) ∨ P (y, z)) → P (x, z)) Bài Xét vị từ theo biến thực x P (x) : x2 − 5x + = Q(x) : x2 − 4x − = R(x) : x > Hãy xác định giá trị mệnh đề sau: a ∀x, P (x) → R(x) b ∀x, Q(x) → R(x) c ∃x, Q(x) → R(x) d ∃x, P (x) → R(x) Bài Cho biết giá trị mệnh đề sau x, y biến thực a (∃x)(∃y)xy = b (∃x)(∀y)xy = c (∀x)(∃y)xy = d (∀x)(∀y) sin2 x + cos2 x = sin2 y + cos2 y e (∃x)(∃y), (2x + y = 5) ∧ (x − 3y = −8) f (∃x)(∃y), (3x − y = 7) ∧ (2x + 4y = 3) Bài Áp dụng quy tắc suy diễn chứng minh mô hình suy diễn sau a (∀x)(P (x) → Q(x)) ∧ (∀x)(R(x) → F (x)) ∧ (∀x)((Q(x) ∨ F (x)) → H(x)) ∧ (∀x)H(x) → (∀x)(P (x) ∧ R(x)) trường M b ((∀x((P (x) ∨ P2 (x)) → P3 (x)) ∧ (∀x)(P (x) ∨ P4 (x) ∨ P5 (x)) ∧ (∀x)((P (x) ∧ P (x)) ∧ (P (x) → P (x))) ∧ (∀x)H(x)) → (∀x)P1 (x) trường M c (∀x(P (x)∨Q(x))∧(∃x)P (x)∧(∀x)(Q(x)∨R(x))∧(∀x)(S(x) → R(x)) → (∃x)S(x) trường M d (∀x(P (x) ∨ Q(x)) ∧ (∀x)(F (x) → R(x)) ∧ (∀x)(P (x) ∧ H(x) → F (x) ∧ Q(x)) ∧ (∀x)(P (x) → H(x)) → (∀x)(R(x) ∨ P (x)) trường M Chương Kỹ thuật đếm Bài Giải hệ thức đệ quy truy hồi tuyến tính sau: a an = 6an−1 − 11an−2 + 6an−3 , với n ≥ 3, a0 = 2, a1 = 5, a2 = 15 b an = 5an−1 − 6an−2 , với n ≥ 2, a0 = 1, a1 = c an = −4an−1 − 4an−2 , với n ≥ 2, a0 = 6, a1 = d an = 4an−1 − 4an−2 , với n ≥ 2, a0 = 0, a1 = e an = an−2 , với n ≥ 2, a0 = 1, a1 = f an = 7an−2 + 6an−3 , với n ≥ 3, a0 = 9, a1 = 10, a2 = 32 g an = 5an−2 − 4an−4 , với n ≥ 4, a0 = 3, a1 = 2, a2 = 6, a3 = Bài Giải hệ thức truy hồi đồng thời an = 3an−1 + 2bn−1 bn = an−1 + 2bn−1 với a0 = 1, b0 = Bài Giải hệ thức truy hồi đồng thời an = an−1 + bn−1 bn = an−1 − bn−1 với a0 = 1, b0 = Bài Giải hệ thức truy hồi a2 a an = n−1 a0 = a1 = an−2 b an = a3n−1 a2n−2 a0 = a1 = Bài Gọi An ma trận n × n với số đường chéo số tất vị trí cạnh phần tử đường chéo khơng tất vị trí cịn lại Tìm hệ thức truy hồi cho định thức dn An Giải hệ thức truy hồi để tìm cơng thức cho dn Bài (Tháp Hà nội) Một trò chơi xếp hình phổ cập vào cuối kỷ 19 gọi Tháp Hà nội Tương truyền rằng, tháp hà nội có đế đồng có ba cọc kim cương Trên ba cọc thượng đế để 64 đĩa vàng với đường kính giảm dần Ngày đêm nhà sư dịch chuyển đĩa sang cọc khác theo quy tắc: lần dịch chuyển đĩa, đĩa dịch chuyển từ cọc sang cọc khác bất kỳ, không để đĩa lên đĩa khác có đường kính nhỏ Với thời gian tất đĩa chuyển sang cọc khác (nếu lần dịch chuyển giây)? Bài Giả sử số tôm hùm bị đánh bắt năm trung bình cộng số bị đánh bắt hai năm trước a Hãy tìm quan hệ truy hồi cho {an }, an số tôm hùm bị đánh bắt năm thứ n b Hãy tìm an năm đầu 100 000 tơm hùm bị đánh bắt, năm thứ hai 300 000 tôm hùm bị đánh bắt Có xâu nhị phân khác có độ đài 10, bit đầu 0, bit cuối 1? Có số chẵn khác gồm 10 chữ số tạo thành hai chữ 2? Có tập có khơng q phần tử tập gồm có 10 phần tử? Một phiếu trắc nghiệm gồm 100 câu hỏi, câu hỏi có phương án trả lời a Có cách điền vào phiếu trắc nghiệm tất câu trả lời? b Có cách điền vào phiếu trắc nghiệm câu bỏ trống? Trong lớp có sinh viên, có cách chia thành hai đội? Nếu yêu cầu đội có sinh viên có cách chia? Xét tất ánh xạ từ tập A gồm k phần tử vào tập B gồm n phần tử a Có ánh xạ từ A vào B? b Có đơn ánh từ A vào B? Có tập tập gồm n phần tử? Có tập hợp {1, 2, , 11} chứa số chẵn? Có tập hợp {1, 2, , 12} chứa số lẻ? 10 Một người sử dụng máy tính có mật dài từ đến ký tự Trong ký tự chữ hay chữ số Mật phải chứa chữ số Hỏi có mật khẩu? 11 Một người mua bút, chọn bút ba màu: xanh, đỏ, vàng Hỏi có cách mua hàng? 12 Cho tập A = {1, 2, , 15} a Có tập A chứa số chẵn? b Có tập A chứa số chẵn? c Có tập có phần tử A chứa số chẵn? 13 Có byte khác nhau: a Chứa hai bit b Chứa sáu bit 14 Cho S = {1, 2, , 10} Có tập A S thỏa mãn: a |A| = b |A| = phần tử bé A 3? c |A| = phần tử bé A bé 3? 15 Cần phải có tối thiểu sinh viên ghi tên vào lớp Toán rời rạc để chắn có sinh viên đạt điểm thi thang điểm gồm bậc? 16 Chứng tỏ tập hợp gồm lớp học có nhât hai lớp gặp ngày, biết tuần học từ thứ đến thứ 17 Chứng tỏ số chọn từ tập số nguyên dương đầu tiên, chứa cặp số có tổng 10 18 Cần phải tung xúc xắc lần để có mặt xuất nhất: a lần b lần c n lần (n ≤ 4) 19 Chỉ số chọn từ tập số {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} có cặp số có tổng 20 Biết ba số a; a + k; a + 2k số nguyên tố lớn Chứng minh k chia hết cho Chương Quan hệ hai Giả sử A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6} a Tính |A × B| b Có số quan hệ A B? c Có số quan hệ hai ngơi A? d Có số quan hệ A B chứa (1, 4), (1, 5)? Trong số quan hệ đây, cho biết quan hệ có tính phản xạ, đối xứng, bắc cầu? a C tập cố định E, xét quan hệ R P(E) A, B ∈ P(E) : ARB ↔ A ∩ C = B ∩ C b Quan hệ R Z : xRy ↔ x + y chẵn c Quan hệ R Z : xRy ↔ x − y lẻ d Quan hệ R Z × Z : (a, b)R(c, d) ↔ a c e Quan hệ R Z : xRy ↔ x2 + y chẵn f Quan hệ R R : xRy ↔ sin2 x + cos2 y = 2’ Cho R quan hệ A = {1, 2, 3, 4} có ma trận biểu diễn   1 1 1      1 1  0 a Liệt kê phần tử R b R có tính chất gì: Có quan hệ có tính phản xạ tập hợp có n phần tử Cho A tập sinh viên B tập môn học Giả sử R1 tập tất cặp (a, b), a sinh viên cịn b mơn học mà a học R2 gồm tất cặp (a, b), a sinh viên cần học môn b để tốt nghiệp Xác định quan hệ R1 ∪ R2 , R1 ∩ R2 , R1 − R2 , R2 − R1 Cho R ⊂ A × A ta định nghĩa Rn (n = 1, 2, ) quy nạp sau R1 = R, Rn+1 = Rn R a Cho R = {(1, 1), (2, 1), (3, 2), (4, 3)} Tìm Rn (n = 1, 2, ) b Chứng minh tính chất: Quan hệ R tập A bắc cầu Rn ⊂ R Có quan hệ khác từ tập có m phần tử vào tập có n phần tử? Cho R ⊂ A × B Quan hệ ngược R R−1 = {(b, a) : b ∈ B, a ∈ A, (a, b) ∈ R)} Còn quan hệ bù R R = {(a, b) : (a, b) ̸∈ R} a Cho R = {(a, b) : a < b} tập số nguyên Tìm R−1 R b Cho R quan hệ tập tất tỉnh, thành phố Việt Nam xác định R = {(a, b) : a tỉnh giáp với tỉnh b} Tìm R−1 R Chứng minh rằng, R ⊂ A × A có tính đối xứng bắc cầu R có tính phản xạ Chứng minh rằng, quan hệ R tập A phản xạ quan hệ R−1 phản xạ 10 Chứng minh rằng, quan hệ R tập A phản xạ quan hệ R không phản xạ 11 Giả sử R quan hệ tập xâu chữ tiếng anh cho aRb l(a) = l(b), l(x) độ dài xâu x R có quan hệ tương đương không? 12 Các quan hệ số quan hệ tập {0, 1, 2, 3} cho quan hệ tương đương? a.R = {(0, 0); (1, 1); (2, 2); (3, 3)} b R = {(0, 0); (0, 2); (2, 0); (2, 2); (2, 3); (3, 2); (3, 3)} c R = {(0, 0); (1, 1); (1, 2); (2, 1); (2, 2); (3, 3)} d R = {(0, 0); (1, 1); (1, 3); (2, 2); (2, 3); (3, 1); (3, 2); (3, 3)} e R = {(0, 0); (0, 1); (0, 2); (1, 0); (1, 1); (1, 2); (2, 0); (2, 2); (3, 3)} 13 Giả sử A tập không rỗng f hàm có A miền xác định Trên A ta định nghĩa quan hệ R sau: ∀x, y ∈ A : xRy ↔ f (x) = f (y) a Chứng minh R quan hệ tương đương b Xác định lớp tương đương R 14 Giả sử R quan hệ A, quan hệ đối ngẫu R định nghĩa bởi: xR∗ y ↔ yRx a Quan hệ đối ngẫu R∗ gì? b Có thể nói R R = R∗ c Nếu R bắc cầu R∗ có bắc cầu khơng? Câu hỏi tương tự cho tính đối xứng, phản đối xứng 15 Cho A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5), (6, 6)} a Kiểm tra lại R quan hệ tương đương b Tìm lớp tương đương [1], [2], [3] c Tìm phân hoạch A thành lớp tương đương 16 Cho A = {1, 2, 3, 4, 5}, A xác định quan hệ R sau: ∀a, b ∈ A, aRb ↔ a + b = 2k, (k = 1, 2, ) a Chứng minh R quan hệ tương đương b Tìm phân hoạch tương đương A R sinh 17.Cho A = {1, 2, 3, 4, 5} Tìm quan hệ tương đương R A cho phân hoạch A thành lớp tương đương có dạng: A = {1, 2} ∪ {3, 4} ∪ {5} 18 Cho A = {1, 2, 3, 4, 5}, A1 = {1, 2}, A2 = {2, 3, 4}, A3 = {5} Định nghĩa quan hệ R A sau: xRy ↔ ∃i : i 3, x, y ∈ Ai R có phải quan hệ tương đương không? 19 A = {1, 2, 3, 4, 5} × {1, 2, 3, 4, 5} R quan hệ A cho: (a, b)R(c, d) ↔ a + b = c + d a Kiểm tra lại R quan hệ tương đương b Xác định lớp tương đương [(1, 3)], [(2, 4)], [(1, 1)] c Chỉ phân hoạch A thành lớp tương đương 19’ Các biểu đồ sau, biểu đồ biểu đồ Hasse? a b c e d b c a f d a a g b d b c d h f c e 20 Vẽ biểu đồ Hasse cho tập thứ tự (P(E), ⊂) a E = {1, 2} b E = {1, 2, 3} 21 Xét hai tập hợp thứ tự (A, RA ) (B, RB ) Với (a1 , b1 ), (a2 , b2 ) ∈ A × B định nghĩa: (a1 , b1 )R(a2 , b2 ) ↔ (a1 RA a2 ) ∧ (b1 RB b2 ) a Chứng minh quan hệ quan hệ thứ tự b Nếu RA , RB , thứ tự tồn phần R có thứ tự tồn phần khơng? 22 Trên tập số nguyên Z+ , ta định nghĩa quan hệ chia hết sau: ∀x, y ∈ Z+ , xRy ↔ ∃k ∈ N : y = kx a Chứng minh R quan hệ thứ tự b Xét tập hợp X = {2, 3, 5, 6, 8, 16, 15, 35, 40} Z+ Vẽ biểu đồ Hasse, tìm phần tử tối đại, tối tiểu, lớn nhất, nhỏ (nếu có) 23 Trên tập số nguyên Z+ , ta định nghĩa quan hệ chia hết sau: ∀x, y ∈ Z+ , xRy ↔ ∃k ∈ N : y = kx a Chứng minh R quan hệ thứ tự b Xét tập hợp X = {1, 3, 5, 6, 15, 30, 36, 60} Z+ Hãy liệt kê phần tử R Vẽ biểu đồ Hasse, tìm phần tử tối đại, tối tiểu, lớn nhất, nhỏ (nếu có) 24 Trên tập số nguyên Z+ , ta định nghĩa quan hệ chia hết sau: ∀x, y ∈ Z+ , xRy ↔ ∃k ∈ N : y = kx a Chứng minh R quan hệ thứ tự b Xét tập hợp X = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 12, 30, 60} Z+ Hãy liệt kê phần tử R Vẽ biểu đồ Hasse, tìm phần tử tối đại, tối tiểu, lớn nhất, nhỏ (nếu có) Chương Hàm Boole đại số Boole Bài Giả sử B đại số Boole A tập khác rỗng Với f, g ∈ B A định nghĩa ∀x ∈ A : (f ∨ g)(x) = f (x) ∨ g(x) ∀x ∈ A : (f ∧ g)(x) = f (x) ∧ g(x) ∀x ∈ A : f (x) = f (x) Chứng minh B A đại số Boole với phép toán Bài Giả sử A, B hai đại số Boole Trên A × B định nghĩa (x, y) ∨ (z, t) = (x ∨ z, y ∨ t) (x, y) ∧ (z, t) = (x ∧ z, y ∧ t) (x, y) = (x, y) Chứng minh A × B đại số Boole với phép tốn Bài Tìm dạng chuẩn tắc hàm Boole theo biến a xy + x¯z b x(y + x¯)z c xy + yz + xz d x¯ y (z + x¯y) e (x + yz)(x + zx)(z + xy) f (¯ x + yz)(¯ y + zx)(¯ z + xy) Bài Một thi có câu A, B, C với số điểm tối đa 5, 3, Nếu trả lời câu, sinh viên điểm tối đa, trả lời sai điểm Muốn đạt sinh viên phải điểm trở lên Ta liên kết với câu biến Boole a, b, c, d hàm Boole f (a, b, c) lấy giá trị sinh viên đạt sinh viên không đạt Hãy tìm dạng chuẩn tắc hàm f Bài Hãy vẽ mạch logic thực hàm Boole a (¯ x + y¯)(x + y¯)(x + y) b x¯ z + y¯ z+x c (x + z¯)(y + z¯)¯ x d x + y¯(¯ x + z) Bài Bằng phương pháp bảng Karnaugh cực tiểu hóa hàm Boole sau: f (x, y, z) = xyz + x¯ y z + x¯yz + x¯y¯z¯ + x¯y¯ z f (x, y, z) = xy¯ z + x¯ y z¯ + x¯y¯ z + x¯y¯z¯ + x¯y¯z f (x, y, z) = xyz + x¯yz + x¯ y z + x¯y¯z¯ + x¯y¯z f (x, y, z) = xyz + xy¯ z + x¯ y z¯ + x¯y¯z¯ + x¯y¯ z f (x, y, z) = xyz + x¯yz + x¯y¯ z + x¯y¯z¯ + x¯y¯z f (x, y, z) = xyz + xy¯ z + x¯yz + x¯y¯ z + x¯ y z + x¯y¯z f (x, y, z) = xy¯ z + x¯yz + x¯y¯ z + x¯ y z¯ + x¯y¯z¯ + x¯y¯z f (x, y, z) = xyz + x¯yz + x¯y¯ z + x¯ y z + x¯y¯z¯ + x¯y¯z f (x, y, z) = xyz + x¯y¯ z + x¯ y z + x¯y¯z¯ + x¯ y z¯ 10 f (x, y, z) = xyz + x¯y¯ z + xy¯ z + x¯ y z¯ + x¯y¯z Chương Lý thuyết đồ thị 1.a Có cạnh đồ thị có đỉnh, đỉnh có bậc 4? b Có thể tồn đồ thị đơn 13 đỉnh, đỉnh có bậc không? a Cho biết đỉnh đồ thị có bậc 3, 3, 2, 2, Tìm số cạnh đồ thị vẽ đồ thị b Tìm số đỉnh đồ thị quy bậc (mỗi đỉnh có bậc 4) có 10 cạnh Vẽ đồ thị Cho đồ thị đầy đủ, có n đỉnh Tìm số cạnh đồ thị Nếu đồ thị đơn G =< X, Y > có |X| = n có m cạnh đồ thị bù G =< X, U > có cạnh? Chứng minh lớp học tùy ý số học sinh mà người có số lẻ bạn thân lớp ln số chẵn Chứng minh họp tùy ý gồm từ đại biểu trở lên, ln có đại biểu mà họ có số người quen đại biểu đến dự họp Một quần đảo có n(n ≥ 2) đảo hai đảo thuộc quần đảo có số mối đường ngầm tới hịn đảo khơng nhỏ n Chứng minh từ đảo tùy ý thuộc quần đảo ta đến hịn đảo khác quần đảo đường ngầm Tìm sắc số đồ thị hình vẽ a b c d e f g h i j Hãy lập lịch thi mơn Tốn 1, Tốn 2, Toán 3, Toán 4, Tin 1, Tin 2, Tin 3, Tin với số đợt thi, biết cặp mơn sau có sinh viên thi chung: Toán Tin 2, Toán Tin 1, Toán Tin 1, Toán Tin 2, Toán Tin 2, Toán Toán 2, Toán Toán 3, Toán Toán 4, Toán Tin 4, Tin Tin Các cặp môn không xếp đợt 10 Cho đồ sau Tìm sắc số đồ b a c b a g d c f e e d d c a b 11 Có đội bóng chuyền thi đấu vịng trịn tính điểm (mỗi đội thi đấu với đội cịn lại) Chứng minh ln có xếp đội đứng theo hàng dọc, cho đội đứng sau thua đội đứng trước 12 Một nước có 10 thành phố thiết lập mạng cầu hàng khơng cho: a Mỗi thành phố có cầu hàng không nối trực tiếp với ba thành phố khác b Từ thành phố có cầu hàng khơng tới thành phố tùy ý cho đường hành trình tới đích qua thành phố khác; thành phố qua lần 13 Bản đồ thành phố mà người đưa thư cần phải qua đồ thị sau 10 Người đưa thư xuất phát từ đỉnh qua tất thành phố (cạnh) để đưa thư quay nơi xuất phát Hãy đường ngắn người đưa thư với giả thiết độ dài cạnh 14 Trình bày thuật tốn Dijsktra để tìm đường ngắn a Từ đỉnh a đến đỉnh z đồ thị có trọng số sau o h 6 s l e b p i 3 2 2 f c m a z b Từ đỉnh a đến đỉnh n đồ thị có trọng số sau 4 b a c d e 6 3 f 3 j 10 h k g l m i n 15 Các đường biểu diễn đồ thị hoàn toàn chưa trải nhựa Độ dài đường biểu thị trọng số cạnh (km) Cần phải trải nhựa đoạn để có đường trải nhựa thành phố mà độ dài đường trải nhựa tối thiểu? (mỗi thành phố đỉnh) 11 a1 50 15 70 45 a2 a4 25 30 15 20 a5 11 a3 a6 20 13 60 15 a7 a8 12 10 20 a9 a11 a10 35 16 a Dùng thuật tốn Kruskal tìm khung bé đồ thị có trọng số b c a 12 d 10 g e f 15 11 14 16 13 h i b Dùng thuật tốn Prim Kruskal tìm khung bé đồ thị có trọng số b c a d e f j g i k 12 h m 17 Cho đồ thị a 1 b c 3 e g f i h 3 d j k l a Dùng thuật toán Prim thuật toán Kruskal để tìm khung bé b Tìm khung cực đại theo thuật toán tựa Kruskal c Dùng thuật tốn Prim để tìm khung bé có chứa cạnh (e, i) cạnh (g, k) 13