Toan roi rac

Toán rời rạc

HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG - - - - - - - ( - - - - - - - SÁCH HNG DN HC TP TOÁN RI RC Biên son : Ths. NGUYN DUY PHNG Lu hành ni b HÀ NI - 2006 LI GII THIU Toán ri rc là mt lnh vc nghiên cu và x lý các đi tng ri rc dùng đ đm các đi tng, và nghiên cu mi quan h gia các tp ri rc. Mt trong nhng yu t làm Toán ri rc tr nên quan trng là vic lu tr, x lý thông tin trong các h thng máy tính v bn cht là ri rc. Chính vì lý do đó, Toán hc ri rc là mt môn hc bt buc mang tính cht kinh đin ca các ngành Công ngh thông tin và in t Vin thông. Tài liu hng dn môn hc Toán hc ri rc đc xây dng cho h đào to t xa Hc vin Công ngh Bu chính Vin thông đc xây dng da trên c s kinh nghim ging dy môn hc và k tha t giáo trình “Toán hc ri rc ng dng trong tin hc” ca Kenneth Rossen. Tài liu đc trình bày thành hai phn: Phn I trình bày nhng kin thc c bn v lý thuyt t hp thông qua vic gii quyt bn bài toán c bn đó là: Bài toán đm, Bài toán tn ti, Bài toán lit kê và Bài toán ti u. Phn II trình bày nhng kin thc c bn v Lý thuyt đ th: khái nim, đnh ngha, các thut toán trên đ th, đ th Euler, đ th Hamilton. Mt s bài toán có ng dng thc tin quan trng khác ca lý thuyt đ th cng đc chú trng gii quyt đó là Bài toán tô màu đ th, Bài toán tìm đng đi ngn nht và Bài toán lung cc đi trong mng. Trong mi phn ca tài liu, chúng tôi c gng trình bày ngn gn trc tip vào bn cht ca vn đ, đng thi cài đt hu ht các thut toán bng ngôn ng lp trình C nhm đt đc hai mc tiêu chính cho ngi hc: Nâng cao t duy toán hc trong phân tích, thit k thut toán và rèn luyn k nng lp trình vi nhng thut toán phc tp. Mc dù đã rt cn trng trong quá trình biên son, tuy nhiên tài liu không tránh khi nhng thiu sót và hn ch. Chúng tôi rt mong đc s góp ý quí báu ca tt c đc gi và các bn đng nghip. Mi góp ý xin gi v: Khoa Công ngh Thông tin - Hc vin Công ngh Bu chính Vin thông. Hà Ni, tháng 05 nm 2006 Chng 1: Nhng kin thc c bn PHN I: LÝ THUYT T HP CHNG I: NHNG KIN THC C BN Ni dung chính ca chng này đ cp đn nhng kin thc c bn v logic mnh đ và lý thuyt tp hp. Bao gm: X Gii thiu tng quan v lý thuyt t hp. X Nhng kin thc c bn v logic. X Nhng kin thc c bn v lý thuyt tp hp. X Mt s ng dng ca logic và lý thuyt tp hp trong tin hc. Bn đc có th tìm thy nhng kin thc sâu hn và chi tit hn trong các tài liu [1] và [2] ca tài liu tham kho. 1.1. GII THIU CHUNG T hp là mt lnh vc quan trng ca toán hc ri rc đ cp ti nhiu vn đ khác nhau ca toán hc. Lý thuyt T hp nghiên cu vic phân b các phn t vào các tp hp. Thông thng các phn t ca tp hp là hu hn và vic phân b chúng phi tho mãn nhng điu kin nht đnh nào đó tu theo yêu cu ca bài toán nghiên cu. Mi cách phân b đc coi là mt “cu hình ca t hp”. Nguyên lý chung đ gii quyt bài toán t hp đc da trên nhng nguyên lý c s đó là nguyên lý cng, nguyên lý nhân và mt s nguyên lý khác, nhng mt đc thù không th tách ri ca toán hc t hp đó là vic chng minh và kim chng các phng pháp gii quyt bài toán không th tách ri máy tính. Nhng dng bài toán quan trng mà lý thuyt t hp đ cp đó là bài toán đm, bài toán lit kê, bài toán tn ti và bài toán ti u. Bài toán đm: đây là dng bài toán nhm tr li câu hi “có bao nhiêu cu hình tho mãn điu kin đã nêu?”. Bài toán đm đc áp dng có hiu qu vào nhng công vic mang tính cht đánh giá nh xác sut ca mt s kin, đ phc tp thut toán. Bài toán lit kê: bài toán lit kê quan tâm đn tt c các cu hình có th có đc, vì vy li gii ca nó đc biu din di dng thut toán “vét cn” tt c các cu hình. Bài toán lit kê thng đc làm nn cho nhiu bài toán khác. Hin nay, mt s bài toán tn ti, bài toán ti u, bài toán đm vn cha có cách nào gii quyt ngoài phng pháp lit kê. Phng pháp lit kê càng tr nên quan trng hn khi nó đc h tr bi các h thng máy tính. 5 Chng 1: Nhng kin thc c bn Bài toán ti u: khác vi bài toán lit kê, bài toán ti u ch quan tâm ti cu hình “tt nht” theo mt ngha nào đó. ây là mt bài toán có nhiu ng dng thc tin và lý thuyt t hp đã đóng góp mt phn đáng k trong vic xây dng các thut toán đ đa ra đc nhng mô hình ti u. Bài toán tn ti: nu nh bài toán đm thc hin đm bao nhiêu cu hình có th có, bài toán lit kê: lit kê tt c các cu hình có th có, bài toán ti u ch ra mt cu hình tt nht thì bài toán tn ti gii quyt nhng vn đ còn nghi vn ngha là ngay k c vn đ có hay không mt cu hình cng cha bit. Nhng bài toán này thng là nhng bài toán khó, vic s dng máy tính đ chng t bài toán đó tn ti hay không tn ti ít nht (hoc không) mt cu hình càng tr nên ht sc quan trng. 1.2. NHNG KIN THC C BN V LOGIC Các qui tc c bn ca Logic cho ta ý ngha chính xác ca các mnh đ. Nhng qui tc này đc s dng gia các lp lun toán hc đúng và không đúng. Vì mc tiêu c bn ca giáo trình này là trang b cho sinh viên hiu và xây dng đc nhng phng pháp lp lun toán hc đúng đn, nên chúng ta s bt đu nghiên cu toán hc ri rc bng nhng kin thc c bn ca môn logic hc. Hiu đc phng pháp lp lun toán hc có ý ngha ht sc quan trng trong tin hc. Nhng qui tc ca logic chính là công c c s đ chúng ta có th xây dng nên các ngôn ng lp trình, các mng máy tính, kim chng tính đúng đn ca chng trình và nhiu ng dng quan trng khác. 1.2.1. nh ngha & phép toán i tng nghiên cu ca logic hc là nhng mnh đ. Mt mnh đ đc hiu là mt câu khng đnh hoc đúng hoc sai ch không th va đúng va sai. Ví d: Nhng câu khng đnh sau đây là mt mnh đ: ̇ “Hà Ni là th đô ca Vit Nam.” ̇ 1 + 1 = 2 ̇ 2 + 2 = 3 Các mnh đ “Hà Ni là th đô ca Vit Nam”, “1 +1 =2 “là nhng mnh đ đúng, mnh đ “2 +2 =3” là sai. Nhng nhng câu trong ví d sau s không phi là mt mnh đ vì nó nhng câu đó không cho ta khng đnh đúng cng chng cho ta khng đnh sai. ̇ “Bây gi là my gi ?” ̇ “Hãy suy ngh điu này cho k lng” ̇ x +1 =2 ̇ x + y = z 6 Chng 1: Nhng kin thc c bn Ta ký hiu nhng ch cái A, B, C, D, p, q, r, s . . . là nhng mnh đ. Giá tr ca mt mnh đ đúng đc ký hiu là T, giá tr mnh đ sai đc ký hiu là F. Tp giá tr { T, F } còn đc gi là giá tr chân lý ca mt mnh đ. nh ngha 1. Mnh đ p tuyn vi mnh đ q (ký hiu p ∨ p) là mt mnh mà nó ch nhn giá tr T khi và ch khi ít nht mt trong hai mnh đ p, q nhn giá tr T. Mnh đ p ∨ q nhn giá tr F khi và ch khi c p, q đu nhn giá tr F. nh ngha 2. Mnh đ p hi mnh đ q (ký hiu p ∧ q ) là mt mnh đ mà nó ch nhn giá tr T khi và ch khi p, q nhn giá tr T. Mnh đ p ∧ q nhn giá tr F khi và ch khi hoc p, q, hoc c hai nhn giá tr F. nh ngha 3. Ph đnh mnh đ p (kí hiu ¬ p) là mt mnh đ nhn giá tr F khi và ch khi mnh đ p nhn giá tr T, nhn giá tr F khi và ch khi p nhn giá tr T. nh ngha 4. Mnh đ tuyn loi ca p và q, đc ký hiu là p⊕q, là mt mnh đ ch đúng khi mt trong p hoc q là đúng và sai trong các trng hp khác còn li. nh ngha 5. Mnh đ p suy ra mnh đ q (ký hiu p → q) nhn giá T khi và ch khi p nhn giá tr F hoc p và q cùng nhn giá tr T. Mnh đ p → q nhn giá tr F khi và ch khi p nhn giá tr T và q nhn giá tr F. nh ngha 6. Hai mnh đ p, q đc gi là kéo theo nhau (ký hiu: p ⇔ q) có giá tr đúng khi p và q có cùng giá tr chân lý và sai trong các trng hp khác còn li. Các phép toán: ∨ , ∧ , ¬ , ⊕ , → ,⇔ có th đc đnh ngha thông qua bng giá tr chân lý sau: Bng 1.1: Bng giá tr chân lý ca các phép toán ∨ , ∧, ¬, ⊕, →,⇔ p q p∨q p∧q ¬p p⊕q p→q p⇔q T T T T F F T T T F T F F T F F F T T F T T T F F F F F T F T T 1.2.2. S tng đng gia các mnh đ Mt vn đ ht sc quan trng trong lp lun toán hc là vic thay th này bng mt mnh đ khác có cùng giá tr chân lý. Hai mnh đ có cùng mt giá tr chân lý chúng ta có th hiu theo cách thông thng là chúng tng đng nhau v ng ngha. Do vy, ta s tip cn và phân loi các mnh đ phc hp thông qua các giá tr chân lý ca chúng. nh ngha 1. Mt mnh đ phc hp mà luôn luôn đúng vi bt k các giá tr chân lý ca các mnh đ thành phn ca nó đc gi là hng đúng (tautology). Mt mnh đ luôn luôn sai vi mi giá tr chân lý ca các mnh đ thành phn ca nó đc gi là mâu thun. 7 Chng 1: Nhng kin thc c bn Ví d: mnh đ phc hp p ∨¬ q là hng đúng, p ∧ ¬ q là mâu thun vì giá tr chân lý ca các mnh đ trên luôn luôn đúng, hoc luôn luôn sai nh đc ch ra trong bng 1.2. Bng 1.2. Ví d v mnh đ hng đúng & mnh đ mâu thun p ¬p p ∨¬q p∧¬q T F F T T T F F nh ngha 2. Hai mnh đ p, q đc gi là tng đng logic vi nhau (ký hiu: p ≡ q) khi và ch khi các ct cho giá tr chân lý ca chúng ging nhau. Hay mnh đ p→q là hng đúng. Ví d: hai mnh đ ¬ (p ∨ q) và ¬ p ∧ ¬ q là tng đng logic vì các ct giá tr chân lý ca chúng đc th hin qua bng sau: Bng 1.3. Bng giá tr chân lý đi vi ¬ (p ∨ q) và ¬p q p q p∨q ¬(p∨q) ¬p ¬q ¬p∧¬q T T F F T F T F T T T F F F F T F F T T F T F T F F F T Dùng bng giá tr chân lý đ chng minh tính tng đng logic gia hai mnh đ phc hp cho ta mt phng pháp trc quan d hiu. Tuy nhiên, vi nhng mnh đ logic phc hp có k mnh đ thì cn ti 2 k giá tr chân lý đ biu din bng giá tr chân lý. Trong nhiu trng hp chúng ta có th chng minh tính tng logic bng vic thay th mt mnh đ phc hp bng nhng tng đng logic có trc. Bng phng pháp bng chân lý, d dàng chng minh đc s tng đng ca các công thc di đây: p → q ≡ ¬ p ∨ q p ⇔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) ¬ ( ¬ p) ≡ p 8 Chng 1: Nhng kin thc c bn Bng 1.4. Bng các tng đng logic TNG NG TÊN GI p ∧ T ≡ p p ∨ F ≡ p Lut đng nht p ∨ T ≡ T p ∧ F ≡ F Lut nut p ∨ p ≡ p p ∧ p ≡ p Lut lu đng ¬(¬p) ≡ p Lut ph đnh kép p ∨ q ≡ q ∨ p p ∧ q ≡ q ∧ p Lut giao hoán (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ ( q ∨ r) (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧( q ∧ r) Lut kt hp p ∨ ( q ∧ r) ≡ (p ∨ q ) ∧ (p ∨ r) p ∧ ( q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) Lut phân phi ¬(p ∧ q ) ≡ ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q ) ≡ ¬p ∧ ¬q Lut De Morgan Ví d: Chng minh rng ¬ ( p ∧ ( ¬ q ∧ q ) là tng đng logic vi ¬ p ∧ ¬ q. Chng minh: ¬ ( p ∧ ( ¬ q ∧ q ) ≡ ¬ p ∧ ¬ ( ¬ p ∧ q ) theo lut De Morgan th 2 ≡ ¬ p ∧ [ ¬ ( ¬ p) ∨ ¬ q theo lut De Morgan th 2 ≡ ¬ p ∧ [ p ∨ ¬ q ] theo lut ph đnh kép ≡ ( ¬ p ∧ p ) ∨ ( ¬ p ∧ ¬ q) theo lut phân phi ≡ F ∨ ( ¬ p ∧ ¬ q) vì ¬ p ∧ p ≡ F ≡ ¬ p ∧ ¬ q Mnh đ đc chng minh. 1.2.3. Dng chun tc Các công thc (mnh đ) tng đng đc xem nh các biu din khác nhau ca cùng mt mnh đ.  d dàng vit các chng trình máy tính thao tác trên các công thc, chúng ta cn 9 Chng 1: Nhng kin thc c bn chun hóa các công thc, đa chúng v dng biu din chun đc gi là dng chun hi. Mt công thc đc gi là  dng chun hi nu nó là hi ca các mnh đ tuyn. Phng pháp đ bin đi mt công thc bt k v dng chun hi bng cách áp dng các th tc sau: ̇ B các phép kéo theo (→) bng cách thay (p→q) bi (¬p→q). ̇ Chuyn các phép ph đnh (¬) vào sát các ký hiu mnh đ bng cách áp dng lut De Morgan và thay ¬(¬p) bi p. ̇ Áp dng lut phân phi thay các công thc có dng (p∨(q∧r)) bi (p∨q)∧(p∨r). Ví d: Ta chun hóa công thc (p→q)∨¬(r∨¬s): (p→q)∨¬(r∨¬s) ≡ (¬p∨q) ∨(¬r∧s) ≡ ((¬p∨q)∨¬r) ∧((¬p∨q)∨s) ≡ (¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨q∨s) Nh vy công thc (p→q)∨¬(r∨¬s) đc đa v dng chun hi (¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨q∨s) 1.3. V T VÀ LNG T Trong toán hc hay trong các chng trình máy tính chúng ta rt hay gp nhng khng đnh cha phi là mt mnh đ. Nhng khng đnh đó đu có liên quan đn các bin. Chng hn khng đnh: P(x) = “x > 3” không phi là mt mnh đ nhng ti nhng giá tr c th ca x = x 0 nào đó thì P(x 0 ) li là mt mnh đ. Hoc trong nhng đon chng trình gp câu lnh: if ( x > 3 ) then x:= x +1; thì chng trình s đt giá tr c th ca bin x vào P(x), nu mnh đ P(x) cho giá tr đúng x s đc tng lên 1 bi câu lnh x:=x+1, P(x) có giá tr sai giá tr ca x đc gi nguyên sau khi thc hin câu lnh if. Chúng ta có th phân tích mi khng đnh thành hai phn ch ng và v ng (hay v t), trong câu “x ln hn 3” ta có th coi x là ch ng, “ln hn 3” là v ng, hàm P(x) đc gi là hàm mnh đ. Mt hàm mnh đ có th có mt hoc nhiu bin, giá tr chân lý ca hàm mnh đ ti nhng giá tr c th ca bin đc xác đnh nh nhng mnh đ thông thng. Ví d: Cho Q(x, y, z) là hàm mnh đ xác đnh câu x 2 = y 2 +z 2 hãy xác đnh giá tr chân lý ca các mnh đ Q (3, 2, 1), Q ( 5, 4, 3). Gii: t giá tr c th ca x , y , z vào Q(x,y,z) ta có: Q(3,2,1) là mnh đ “3 2 = 2 2 + 1 2 ” là sai do đó Q(3,2,1) là mnh đ sai. Trong đó, Q (5, 4, 3) là mnh đ “5 2 = 4 2 + 3 2 ” đúng, do đó Q(5,4,3) là mnh đ đúng. 10 Chng 1: Nhng kin thc c bn Tng quát, gi s M là mt tp hp các phn t nào đó. M thng đc gi là trng hay min xác đnh ca các phn t thuc M. Khi đó, biu thc P(x) gi là v t xác đnh trên trng M nu khi thay x bi mt phn t bt k ca trng M thì P(x) s tr thành mt mnh đ trên trng M. Khi tt c các bin ca hàm mnh đ đu đc gán nhng giá tr c th, thì mnh đ to ra s xác đnh giá tr chân lý. Tuy nhiên, có mt phng pháp quan trng khác đ bin mt hàm mnh đ thành mt mnh đ mà không cn phi kim chng mi giá tr chân lý ca hàm mnh đ tng ng vi các giá tr ca bin thuc trng đang xét. Phng pháp đó gi là s lng hoá hay lng t. Chúng ta xét hai lng t quan trng là lng t vi mi (ký hiu:∀), lng t tn ti (ký hiu:∃ ). nh ngha 1. Lng t vi mi ca P(x) ký hiu là ∀x P(x) là mt mnh đ “P(x) đúng vi mi phn t x thuc trng đang xét”. Ví d: Cho hàm mnh đ P(x) = X 2 + X + 41 là nguyên t. Xác đnh giá tr chân lý ca mnh đ ∀ P(x) vi x thuc không gian bao gm các s t nhiên [0 39]. Gii: vì P(x) đúng vi mi giá tr ca x ∈ [0 39] ⇒ ∀ P(x) là đúng. Ví d: Cho P(x) là hàm mnh đ “x + 1 > x”. Xác đnh giá tr chân lý ca mnh đ ∀ x P(x), trong không gian các s thc. Gii: vì P(x) đúng vi mi s thc x nên ∀x P(x) là đúng. nh ngha 2. Lng t tn ti ca hàm mnh đ P(x) (đc ký hiu là:∃ x P(x) ) là mt mnh đ “Tn ti mt phn t x trong không gian sao cho P(x) là đúng “. Ví d: Cho P(x) là hàm mnh đ “x > 3”. Hãy tìm giá tr chân lý ca mnh đ ∃ x P(x) trong không gian các s thc. Gii: vì P(4) là “4 > 3” đúng nên ∃ x P(x) là đúng. Ví d: Cho Q(x) là “x + 1 > x”. Hãy tìm giá tr chân lý ca mnh đ ∃ x Q(x) trong không gian các s thc. Gii: vì Q(x) sai vi mi x ∈ R nên mnh đ ∃ x Q(x) là sai. Bng 1.5: Giá tr chân lý ca lng t ∀ , ∃ ∀x P(x) P(x) đúng vi mi x Có mt giá tr ca x đ P(x) sai ∃x P(x) Có mt giá tr ca x đ P(x) đúng P(x) sai vi mi x Dch nhng câu thông thng thành biu thc logic: Dch mt câu đc phát biu bng ngôn ng t nhiên (câu hi thông thng) thành mt biu thc logic có vai trò ht sc quan trng trong xây dng các ngôn ng lp trình, chng trình dch và x lý ngôn ng t nhiên. Quá trình dch mt câu t ngôn ng t nhiên thành mt biu thc s làm mt đi tính t nhiên ca ngôn ng 11 Chng 1: Nhng kin thc c bn vì đa s các ngôn ng đu không rõ ràng, nhng mt biu thc logic li rt rõ ràng cht ch t cú pháp th hin đn ng ngha ca câu. iu này dn đn phi có mt tp hp các gi thit hp lý da trên mt hàm xác đnh ng ngha cu câu đó. Mt khi câu đã đc chuyn dch thành biu thc logic, chúng ta có th xác đnh đc giá tr chân lý ca biu thc logic, thao tác trên biu thc logic, bin đi tng đng trên biu thc logic. Chúng ta s minh ho vic dch mt câu thông thng thành biu thc logic thông qua nhng sau. Ví d dch câu “Bn không đc lái xe máy nu bn cao di 1.5 mét tr phi bn trên 18 tui” thành biu thc logic. Gii: Ta gi p là câu : Bn đc lái xe máy. q là câu : Bn cao di 1.5m. r là câu : Bn trên 18 tui. Khi đó: Câu hi trên đc dch là: (q ∧ ¬r) → ¬p Ví d: Dch câu “Tt c các sinh viên hc tin hc đu hc môn toán hc ri rc” Gii: Gi P(x) là câu “x cn hc môn toán hc ri rc” và x đc xác đnh trong không gian ca các sinh viên hc tin hc. Khi đó chúng ta có th phát biu: ∀ x P(x) Ví d: Dch câu “Có mt sinh viên  lp này ít nht đã  tt c các phòng ca ít nht mt nhà trong ký túc xá”. Gii: Gi tp sinh viên trong lp là không gian xác đnh sinh viên x, tp các nhà trong ký túc xá là không gian xác đnh cn nhà y, tp các phòng là không gian xác đnh phòng z. Ta gi P(z,y) là “z thuc y”, Q(x,z) là “x đã  z”. Khi đó ta có th phát biu: ∃ x ∃ y ∀ z (P(z,y) → Q(x,z)); 1.4. MT S NG DNG TRÊN MÁY TÍNH Các phép toán bít: Các h thng máy tính thng dùng các bit (binary digit) đ biu din thông tin. Mt bít có hai giá tr chân lý hoc 0 hoc 1. Vì giá tr chân lý ca mt biu thc logic cng có hai giá tr hoc đúng (T) hoc sai (F). Nu ta coi giá tr đúng có giá tr 1 và giá tr sai là 0 thì các phép toán vi các bít trong máy tính đc tng ng vi các liên t logic. Mt xâu bít (hoc xâu nh phân) là dãy không hoc nhiu bít. Chiu dài ca xâu là s các bít trong xâu đó. Ví d: Xâu nh 101010011 có đ dài là 9. Mt s nguyên đuc biu din nh mt xâu nh phân có đ dài 16 bít. 12