nh ngh a 1. Cho tr c m t s nuyên d ng p. Ta nói đ th G là p s c n u b ng p màu khác nhau có th tô trên các đnh m i đnh m t màu sao cho hai đnh k nhau tùy ý đ u có màu khác nhau. S p nh nh t mà đ i v i s đó đ th G là p s cđ c g i là s c s c a đ th G và kí hi u b ng γ(G).
Nh v y, s c s c a m t đ th là s màu ít nh t c n dùng đ tô trên các đnh c a đ th (m i đnh m t màu) sao cho hai đnh k nhau tùy ý đ c tô b n hai màu khác nhau.
nh nh a 2.S c l p là s màu ít nh t c n dùng đ tô trên các c nh c a đ th m i c nh m t màu sao cho hai c nh k nhau tùy ý đ c tô b ng hai màu khác nhau.
Ta có th chuy n bài toán s c l p v bài toán s c s b ng cách: i v i m i đ th G = < V, E> xây d ng đ th G’ = <V’, E’>, trong đó m i đnh thu c V’ là m t c nh c a G, còn E’ đ c xác đnh nh sau:
E’ ={ (v, v’)| u, u’ ∈ V} và hai c nh là k nhau.
Nói cách khác, ta t o đ th G‘ trong đó m i c nh c a nó tr thành m t đnh c a đ th , hai c nh k nhau trong G s có m t đ ng n i gi a hai đnh c a đ th trong G’. B ng cách này ta d dàng th y r ng s c s c a G ‘ b ng s c l p c a G. Hình 8.1 d i đây minh h a s c s c a G’ b ng s c s c a G.
1 5 1 4 3 3 4 2 6 2 5 th G=<V,E> th G’ =<V’, E’> Hình 8.1. S c s G’ b ng s c l p c a G
D i đây là m t s tính ch t c a s c s , b n đ c có th tìm th y ch ng minh chi ti t c a nó trong [3].
nh lý 1. M t chu trình đ dài l luôn có s c s b ng 3.
nh lý 2. th G =<U, V> v i ít nh t m t c nh là đ th hai s c khi và ch khi không có chu trình đ dài l .
H qu : T t c các chu trình đ dài ch n đ u có s c s b ng 2.
nh lý 3. th đ y đ v i n đnh luôn có s c s b ng n.
nh lý 4. nh lý b n màu. S màu c a đ th ph ng không bao gi l n h n 4.
Thu t toán tô màu đ th đ n:
̇ B c 1. S p x p các đnh v1, v2,..,vn theo th t gi m d n c a b c các đnh: deg(v1)≥ deg(v2)≥..≥deg(vn).
̇ B c 2. Gán màu 1: cho v1; các đnh ti p theo trong danh sách không li n k v i v1 (n u nó t n t i) và các đnh không k v i đnh có màu 1.
̇ B c 3. Gán màu 2 cho đnh ti p theo trong danh sách còn ch a đ c tô màu và các
đnh không k v i các đnh có màu 2. N u v n còn các đnh ch a đ c tô màu thì gán màu 3 cho các đnh đ u tiên ch a đ c tô màu trong danh sách và các đnh ch a tô màu không li n k v i các đnh có màu 3.
̇ B c 4. Ti p t c l p l i b c 3 cho đ n khi các đnh đã đ c tô màu.