Trong r t nhi u bài toán t h p, đ ch ng minh s t n t i c a m t c u hình v i nh ng tính ch t cho tr c, ng i ta s d ng nguyên lý đ n gi n sau g i là nguyên lý Dirichlet.
Nguyên lý Dirichlet. N u đem x p nhi u h n n đ i t ng vào n h p thì luôn tìm đ c m t cái h p ch a không ít h n 2 đ i t ng.
Ch ng minh. Vi c ch ng minh nguyên lý trên ch c n s d ng m t l p lu n ph n ch ng
đ n gi n. Gi s không tìm đ c m t h p nào ch a không ít h n hai đ i t ng. i u đó ngh a là m i h p không ch a quá m t đ i t ng. T đó suy ra t ng các đ i t ng không v t quá n trái v i gi thi t bài toán là có nhi u h n n đ i t ng đ c x p vào chúng.
Ví d 1. Trong b t k m t nhóm có 367 ng i th nào c ng có ít nh t hai ng i có cùng ngày sinh.
Gi i: Vì m t n m có nhi u nh t 366 ngày. Nh v y, theo nguyên lý Dirichlet thì có ít nh t m t ngày có hai ng i cùng m t ngày sinh.
Ví d 2. Trong b t k 27 t ti ng Anh nào c ng đ u có ít nh t hai t cùng b t đ u b ng m t ch cái.
Gi i: Vì b ng ch cái ti ng Anh ch có 26 ch cái. Nên theo nguyên lý Dirichlet t n t i ít nh t 2 t s b t đ u b i cùng m t ch cái.
Ví d 3. Bài thi các môn h c cho sinh viên đ c ch m theo thang đi m 100. H i l p ph i có ít nh t bao nhiêu sinh viên đ có ít nh t hai sinh viên đ c nh n cùng m t đi m.
Gi i: C n có ít nh t 102 sinh viên vì thang đi m tính t 0.. 100 g m 101 s . Do v y, theo nguyên lý Diriclet mu n có 2 sinh viên nh n cùng m t đi m thì l p ph i có ít nh t là 101 +1 = 102 sinh viên.
Nguyên lý Dirichlet t ng quát. N u đem x p n đ i t ng vào k h p thì luôn tìm đ c m t h p ch a ít nh t ⎡n/k⎤ đ i t ng.
Nguyên lý trên đ c nhà toán h c ng i c Dirichlet đ xu t t th k 19 và ông đã áp d ng đ gi i nhi u bài toán t h p.
Ví d 4. Trong 100 ng i có ít nh t 9 ng i sinh nh t cùng m t tháng.
Gi i: M t n m có 12 tháng. X p t t c nh ng ng i sinh nh t vào cùng m t nhóm. Theo nguyên lý Dirichlet ta có ít nh t ⎡100/12⎤ = 9 ng i cùng sinh nh t m t tháng.
Ví d 5. Có n m lo i h c b ng khác nhau đ phát cho sinh viên. H i ph i có ít nh t bao nhiêu sinh viên đ ch c ch n có 5 ng i đ c nh n h c b ng nh nhau.
Gi i. S sinh viên ít nh t đ có 5 sinh viên cùng đ c nh n m t lo i h c b ng là s n tho mãn ⎡n/5⎤ > 5. S nguyên bé nh t tho mãn đi u ki n trên là n = 25 + 1 = 26. Nh v y ph i có ít nh t 26 sinh viên đ có ít nh t 5 sinh viên cùng đ c nh n m t lo i h c b ng.
Ví d 6. Trong m t tháng có 30 ngày m t đ i bóng chày ch i ít nh t m i ngày m t tr n, nh ng c tháng ch i không quá 45 tr n. Hãy ch ra r ng ph i tìm đ c m t giai đo n g m m t s ngày liên t c nào đó trong tháng sao cho trong giai đo n đó đ i ch i đúng 14 tr n.
Gi i: Gi s aj là s tr n thi đ u cho t i ngày th j c a đ i. Khi đó: a1, a2,..., a30
là dãy t ng c a các s nguyên d ng và 1 ≤ aj≤ 45. Suy ra dãy:
a1 + 14, a2 + 14,..., a30 + 14 c ng là dãy t ng các s nguyên d ng và 15 ≤ aj≤ 59 Nh v y, dãy 60 s nguyên d ng
a1, a2,.., a30, a1 + 14, a2 + 14,..., a30 + 14 trong đó t t c các s đ u nh h n ho c b ng 59. Theo nguyên lý Dirichlet thì ph i t n t i ít nh t hai s trong s hai s nguyên này b ng nhau. Vì các s a1, a2,..., a30 là đôi m t khác nhau và a1 + 14, a2 + 14,..., a30 + 14 c ng đôi m t khác nhau. Nên ta suy ra ph i t n t i ch s i và j sao cho ai=aj + 14. i u đó có ngh a là có đúng 14 tr n đ u trong giai đo n t ngày j + 1 đ n ngày th i.
NH NG N I DUNG C N GHI NH
B n đ c c n ghi nh m t s ki n th c quan tr ng sau:
X Nh ng nguyên lý đ m c b n: nguyên lý c ng, nguyên lý nhân & nguyên lý bù tr .
X S d ng nh ng nguyên lý c b n trong đ m các hoán v , t h p.
X Hi u ph ng pháp cách gi i quy t bài toán đ m b ng h th c truy h i.
X N m v ng cách th c qui m t bài toán đ m v nh ng bài toán con.
X Cách gi i ph bi n cho bài toán t n t i là s d ng ph ng pháp ph n ch ng ho c s d ng nguyên lý Dirichlet.
BÀI T P CH NG 2
Bài 1. Xâu thu n ngh ch đ c là m t xâu khi vi t theo th t ng c l i c ng b ng chính nó. Hãy
đ m s xâu nh phân có đ dài n là thu n ngh ch đ c.
Bài 2. Cô dâu và chú r m i b n b n đ ng thành m t hàng đ ch p nh. H i có bao nhiêu cách x p hàng n u:
a) Cô dâu đ ng c nh chú r b) Cô dâu không đ ng c nh chú r c) Cô dâu đ ng phía bên ph i chú r
Bài 3. Có bao nhiêu xâu nh phân đ dài 10 có n m s 0 li n nhau ho c n m s 1 li n nhau.
Bài 4. Có bao nhiêu xâu nh phân đ dài b ng 8 có 3 s 0 li n nhau ho c 4 s 1 li n nhau.
Bài 5. M i sinh viên l p toán h c r i r c ho c gi i toán ho c gi i tin h c ho c gi i c hai môn này. Trong l p có bao nhiêu sinh viên n u 38 ng i gi i tin (k c ng i gi i c hai môn), 23 ng i gi i toán (k c ng i gi i c hai môn), và 7 ng i gi i c hai môn.
Bài 6. Ch ng t r ng, trong n+1 s nguyên d ng không v t quá 2n t n t i ít nh t m t s chia h t cho m t s khác.
Bài 7. Ch ng minh r ng, trong dãy g m n2 + 1 s th c phân bi t đ u có m t dãy con dài n+1 ho c th c s t ng, ho c th c s gi m.
Bài 8. Gi s trong m t nhóm 6 ng i m i c p hai ho c là b n, ho c là thù. Ch ng t r ng trong nhóm có ba ng i là b n c a nhau ho c là k thù c a nhau.
Bài 9. Hãy ch ra r ng, trong 102 ng i có chi u cao khác nhau đ ng thành m t hàng có th tìm
đ c 11 ng i có chi u cao t ng d n ho c gi m d n mà không c n thay đ i th t c a h trong hàng.
Bài 10. M t đô v t tay tham gia thi đ u giành ch c vô đch trong 75 gi . M i gi anh ta thi đ u ít nh t m t tr n, nh ng toàn b anh ta không thi đ u quá 125 tr n. Ch ng t r ng, có nh ng gi liên ti p anh ta thi đ u 24 tr n.
Bài 11. M t nhân viên b t đ u làm vi c t i công ty t n m 1987 v i m c l ng kh i đi m là 50000 đô la. Hàng n m anh ta đ c nh n thêm 1000 đô la và 5% l ng c a n m tr c.
a) Hãy thi t l p h th c truy h i tính l ng c a nhân viên đó n n m sau n m 1987. b) L ng vào n m 1995 c a anh ta là bao nhiêu?
c) Hãy tìm công th c t ng minh tính l ng c a nhân viên này n n m sau n m 1987.
Bài 12. Tìm h th c truy h i cho s hoán v c a t p n ph n t . Dùng h th c truy h i đó tính hoán v c a t p n ph n t .
Bài 13. M t máy bán tem t đ ng ch nh n các đ ng xu m t đôla và các lo i t ti n 1 đôla và 5
đôla.
a) Hãy tìm h th c truy h i tính s cách đ t n đô la vào trong máy bán hàng, trong đó th t các đ ng xu, các t ti n là quan tr ng.
b) Tìm các đi u ki n đ u.
c) Có bao nhiêu cách đ t 10 đô la vào máy đ mua m t b tem.
Bài 14. Gi i các h th c truy h i v i các đi u đ u sau:
a) an = an-1 + 6an-2 v i n ≥ 2, a0 = 3, a1 = 6. b) an = 7an-1 - 6an-2 v i n ≥ 2, a0 = 2, a1 = 1. c) an = 6an-1 - 8an-2 v i n ≥ 2, a0 = 4, a1 = 10. d) an = 2an-1 - an-2 v i n ≥ 2, a0 = 4, a1 = 1. e) an = an-2 v i n ≥ 2, a0 = 5, a1 = -1. f) an = -6an-1 - 9an-2 v i n ≥ 2, a0 = 3, a1 = -3. g) an+2 = -4an+1 + 5an v i n ≥ 0, a0 = 2, a1 = 8.
Bài 15. Tìm các nghi m đ c tr ng c a h th c truy h i tuy n tính thu n nh t: a) an = 2an-1 - 2an-2
b) Tìm nghi m tho mãn h th c truy h i trên và các đi u ki n đ u a0 =1, a1 =2.
Bài 16. a) Tìm nghi m đ c tr ng c a h th c truy h i tuy n tính thu n nh t an = an-4
b) Tìm nghi m tho mãn h th c truy h i trên và các đi u ki n đ u a0=1, a1=0, a2=-1, a3=1.
Bài 17. M t báo cáo v th tr ng máy tính cá nhân cho bi t có 65000 ng i s mua modem cho máy tính c a h trong n m t i, 1 250 000 ng i s mua ít nh t m t s n ph m ph n m m. N u báo cáo này nói r ng 1.450.000 ng i s mua ho c là modem ho c là ít nh t m t s n ph m ph n m m thì s có bao nhiêu ng i s mua c modem và mua ít nh t m t s n ph m ph n m m.
Bài 18. M t trung tâm máy tính có 151 máy vi tính. Các máy c a trung tâm đ c đ t tên b i m t s nguyên d ng t 1 đ n 300 sao cho không có hai máy nào đ c đ t tên trùng nhau. Ch ng minh r ng luôn tìm đ c hai máy có tên là các s nguyên liên ti p.
Bài 19. Ch ng minh r ng trong s 10 ng i b t k bao gi c ng tìm đ c ho c hai ng i có t ng s tu i chia h t cho 16, ho c hai ng i mà hi u s tu i c a h chia h t cho 16.
Bài 20. Có 12 c u th bóng r đeo áo v i s t 1 đ n 12 đ ng t p chung thành m t vòng tròn gi a sân. Ch ng minh r ng luôn tìm đ c 3 ng i liên ti p có t ng các s trên áo là l n h n ho c b ng 20.
CH姶愛NG III: BÀI TOÁN LI烏T KÊ
i v i m t bài toán, khi ch a tìm đ c gi i thu t t t đ gi i thì li t kê là bi n pháp cu i cùng đ th c hi n v i s h tr c a máy tính. Có th nói, li t kê là ph ng pháp ph d ng nh t đ
gi i quy t m t bài toán trên máy tính. Trái l i, bài toán t n t i ch c n ch ra đ c bài toán có nghi m hay không có nghi m và th ng là nh ng bài toán khó. Nhi u bài toán t n t i đã đ c phát bi u trong nhi u th p k nh ng v n ch a đ c gi i quy t.Gi i quy t đ c chúng s thúc đ y s phát tri n c a nhi u ngành toán h c. N i dung chính c a ch ng này t p chung gi i quy t nh ng v n đ c b n sau:
X Gi i thi u bài toán li t kê.
X Gi i quy t bài toán li t kê b ng ph ng pháp sinh.
X Gi i quy t bài toán li t kê b ng ph ng pháp quay lui d a trên gi i thu t đ qui. B n đ c có th tìm th y cách gi i nhi u bài toán li t kê và bài toán t n t i hay trong các tài li u [1] và [2] trong tài li u tham kh o.