luận văn thạc sĩ môđun không bé môđun không đối bé và áp dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HỒ THỊ MINH HƯƠNG MÔĐUN KHÔNG BÉ, MÔĐUN KHÔNG ĐỐI BÉ VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - 2020 download by : skknchat@gmail.com BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HỒ THỊ MINH HƯƠNG MÔĐUN KHÔNG BÉ, MÔĐUN KHÔNG ĐỐI BÉ VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Lê Đức Thoang Bình Định - 2020 download by : skknchat@gmail.com Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Môđun cốt yếu, đối cốt yếu 1.2 Môđun mở rộng 1.3 Môđun xạ ảnh, môđun nội xạ 1.4 Vành Artin, Vành Nơte 1.5 Vành nửa hoàn chỉnh, hoàn chỉnh 1.6 Vành Goldie vành QF 5 10 12 Môđun không bé, môđun không đối bé 2.1 Môđun không bé 2.2 Môđun không đối bé 14 14 17 Áp dụng vào vành 3.1 Về đặc trưng vành co-H 3.2 Đặc trưng vành nửa hoàn chỉnh QF-3 21 21 30 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) 40 download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dung Bảng ký hiệu N, Z, Q, R, C : R MR ( R M ) A ≤ B( A < B) A ≤max L A≤ B A ≤e B AB A∼ =B AB L A B Z ( M) E( M), Soc( M) End( M) Hom R ( M, N ) Im( f ), Ker ( f ) Rad( M), J ( R) ann( M) : : : : : : : : : : : : : : : : : Các tập số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực, số phức (tương ứng); vành với đơn vị 6= 0; M R-môđun phải (t.ư., trái); A môđun (t.ư., thực sự) B; A môđun cực đại B; A hạng tử trực tiếp B; A môđun cốt yếu B; A môđun đối cốt yếu B; A đẳng cấu với B; A không đẳng cấu với B; tổng trực tiếp môđun A môđun B; Mô đun suy biến mô đun M; bao nội xạ, đế môđun M (tương ứng); vành tự đồng cấu môđun M; nhóm R-đồng cấu từ M vào N; ảnh, hạt nhân đồng cấu f (tương ứng); mơđun M, vành R (tương ứng); linh hóa tử môđun M luan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dung download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dung MỞ ĐẦU Khái niệm môđun không bé môđun không đối bé khái niệm công cụ tiện ích cho việc nghiên cứu vành, Rayar đề xuất nghiên cứu vào năm 1971, sau Harada tiếp tục nghiên cứu thu nhiều kết có ý nghĩa áp dụng, áp dụng đặc trưng lớp vành Đây hướng nghiên cứu nhiều tác giả quan tâm Chúng tơi chọn đề tài: MƠĐUN KHƠNG BÉ, MƠĐUN KHƠNG ĐỐI BÉ VÀ ÁP DỤNG Khái niệm môđun bé, trước nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu W W Leonard (xem [9]), M Rayar (xem [11]) Năm 1978, M Harada định nghĩa dùng khái niệm môđun không bé để nghiên cứu lớp vành Artin thu nhiều tính chất kết đẹp cho lĩnh vực lý thuyết vành Từ khái niệm mơđun không bé trở thành khái niệm công cụ tiện ích cho việc nghiên cứu vành Luận văn bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận Tài liệu tham khảo Nội dung luận văn gồm ba chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Môđun không bé, môđun không đối bé Chương 3: Áp dụng vào vành Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc đến TS Lê Đức Thoang, thầy trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn tạo điều kiện trình học tập nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn cách tốt Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng sau đại học, Khoa Toán Thống kê trường đại học Quy Nhơn quý thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tơi q trình học tập trường Nhân đây, xin cảm ơn anh, chị học viên lớp Đại số Lý thuyết số khóa 21, gia đình luan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dung download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dung bạn bè giúp đỡ, động viên suốt q trình học tập hồn thành luận văn Mặc dù cố gắng hạn chế thời gian trình độ nên bên cạnh kết đạt được, luận văn tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý thẳng thắn chân thành quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Ngày tháng năm 2020 Học viên thực Hồ Thị Minh Hương luan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dung download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dung Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niêm lý thuyết mô-đun, lý thuyết vành Các khái niệm, kết chương trình bày dựa vào [1] 1.1 Mơđun cốt yếu, đối cốt yếu Định nghĩa 1.1 (1) Môđun N R-môđun M gọi môđun cốt yếu (hay lớn) M, kí hiệu N ≤e M với môđun khác không K M ta có K ∩ N 6= Có nghĩa là, ∀U ≤ M, U ∩ E = U = Khi ta nói M mở rộng cốt yếu N (2) Cho M R-môđun Môđun K M gọi đối cốt yếu ( hay bé) M với môđun X M mà X 6= M K + X 6= M Nói cách khác, mơđun K gọi môđun bé M với môđun X M mà K + X = M X = M Khi ta kí hiệu: K  M Ví dụ 1.1.1 Xét Z-mơđun Z, Q ta có 2Z ≤e Z, Z ≤e Q Nếu R miền ngun ideal phải khác khơng cốt yếu R R Môđun  M, môđun 2Z đối cốt yếu Z-môđun Q Tính chất 1.1.1 (1) Cho A, B, C mơđun M Khi đó: luan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dung download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dung (a) Nếu A ≤ B ≤ C A ≤e M kéo theo B ≤e C (b) Nếu A ≤e M B ≤e M A ∩ B ≤e M (c) Nếu ϕ : M → N đồng cấu môđun A ≤e N ϕ−1 ( A) ≤e M (2) Cho A, B, C mơđun M Khi đó: (a) Nếu A ≤ B ≤ C BC kéo theo A M (b) Nếu A M B M A + B  M (c) Nếu ϕ : M → N đồng cấu môđun A M ϕ( A) N Hệ 1.1 Giả sử M = L I Mi B môđun M Khi phát biểu sau tương đương: (1) ( B ∩ Mi ) ≤e Mi , ∀i ∈ I (2) L I ( B ∩ Mi ) ≤e M (3) B ≤e M Mệnh đề 1.1 Giả sử A, B, C môđun môđun M Khi đó: (1) Nếu B ≤ C A B AC (2) A ≤ B, A ≤ M B hạng tử trực tiếp M A B 1.2 Môđun mở rộng Định nghĩa 1.2 (1) Một R-môđun M gọi môđun mở rộng (hay CS-Môđun) môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M Tương đương, R-môđun M gọi môđun mở rộng mơđun đóng M hạng tử trực tiếp M (2) Một R-môđun M gọi mở rộng (uniform-extending) môđun cốt yếu hạng tử trực tiếp M luan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dung download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dung (3) Một môđun M gọi môđun FI-mở rộng với N E M 0 tồn hạng tử trực tiếp N ≤⊕ M cho N ≤e N Định lý 1.1 Cho M R-môđun Khi đó, điều kiện sau tương đương: (1) M môđun mở rộng (2) Mỗi môđun N M có phân tích M = M1 N ≤ M1 N + M2 ≤e M L M2 cho (3) Mỗi mơđun đóng M hạng tử trực tiếp Hệ 1.2 Một R-mơđun M khơng phân tích mở rộng M môđun Định lý 1.2 Nếu M môđun mở rộng M = M1 mơđun mở rộng L M2 M1 , M2 Nhận xét 1.1 Mọi hạng tử trực tiếp môđun mở rộng (uniformextending) môđun mở rộng (uniform-extending) Ví dụ 1.2.1 (1) Mỗi mơđun nửa hồn chỉnh mở rộng, mơđun hạng tử trực tiếp (2) Mỗi môđun mở rộng, mơđun khác cốt yếu L Định lý 1.3 Cho M = M1 M2 với M1 , M2 môđun mở rộng Khi đó, M mơđun mở rộng mơđun đóng K ⊂ M với K ∩ M1 = K ∩ M2 = hạng tử trực tiếp M L Mệnh đề 1.2 Cho M = M1 M2 với M1 , M2 môđun mở rộng Nếu M1 M2 -nội xạ M2 M1 -nội xạ M môđun mở rộng Mệnh đề 1.3 Cho M R-môđun có chiều uniform hữu hạn Nếu M mơđun mở rộng M = n L i =1 Mi , với Mi môđun u dim( M) = n Mệnh đề 1.4 Cho M môđun chuỗi với chuỗi hợp thành ⊂ U ⊂ L V ⊂ M Khi đóM (U/V ) khơng môđun mở rộng luan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dung download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dung 1.3 Môđun xạ ảnh, môđun nội xạ Định nghĩa 1.3 R-môđun P gọi xạ ảnh với đồng cấu f : P −→ B toàn cấu g : A −→ B R-môđun tồn đồng cấu h : P −→ A cho g◦ h = f Có nghĩa, biểu đồ sau giao hoán P ∃h A  g /  f /0 B Định nghĩa 1.4 R-môđun Q gọi nội xạ với đồng cấu f : A −→ Q đơn cấu g : A −→ B R-môđun tồn đồng cấu h : B −→ Q cho h◦ g = f Có nghĩa, biểu đồ sau giao hốn g /A /B f   ∃h Q Định lý 1.4 (Tiêu chuẩn Baer) R-môđun Q nội xạ với iđêan phải U R R đồng cấu f : U −→ Q tồn đồng cấu h : R R −→ Q cho h◦ i = f với i : U −→ R phép nhúng tắc Có nghĩa, biểu đồ sau giao hoán /U f   i / R ∃h Q Định nghĩa 1.5 Đơn cấu ϕ : A R −→ CR gọi cốt yếu Imϕ môđun cốt yếu C Định nghĩa 1.6 Cho R-môđun A, đơn cấu α : A −→ Q gọi bao nội xạ A Q môđun nội xạ α đơn cấu cốt yếu Kí hiệu E( A) Ví dụ 1.3.1 Đơn cấu tắc i : ZZ −→ QZ bao nội xạ Z QZ nội xạ ZZ môđun cốt yếu QZ Bổ đề 1.1 Đối với R-mơđun vành R luan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dung download by : skknchat@gmail.com  b a, b, c ∈ Q; d ∈ J ,  c  #  b a, b, c ∈ Q; d ∈ J  c (3.1) (3.2) (3.3) Khi đó, (i) T vành QF (ii) V vành H co− H (phải trái) (iii) W vành H trái co− H phải Tuy nhiên, W không vành H phải không co− H trái (iv) V, W không vành QF Ta có, vành QF vành co-H hai phía quan hệ H co- H sau • co− H phải ⇒ H trái; • co− H phải 6= H phải Kết đây, đưa Harada, cho cấu trúc vành nửa hoàn chỉnh thỏa mãn điều kiện (∗)∗ luan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dung download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dung 23 Định lý 3.1 ([7], Định lý 3.6) Cho vành R nửa hồn chỉnh Khi R thỏa mãn điều kiện (∗)∗ M M M M M R R = e1 R ··· ek R f1 R ··· f l R,  {e1 , , ek } ∪ f , , f l tập đầy đủ lũy đẳng nguyên thủy trực giao R cho điều kiện sau thỏa mãn: (i) k ≥ với i ∈ [1, k ], ei R nội xạ (ii) Với f j tồn ei , i = 1, , k, cho f i R ei R (iii) Với i, ≤ i ≤ k, tồn số nguyên ti cho ei J t mô-đun xạ ảnh với t ≤ ti ei J ti +1 mô-đun suy biến, tức J = J ( R) Chứng minh Giả sử (∗)∗ xảy Khi đó, tồn tập tập đầy đủ lũy linh nguyên thủy {ei } cho ei R nội xạ Đặt e = ei eK môđun nội xạ thực eR Khi eR ⊃ eJ ⊃ eK Vì eR eK ⊂ Z (eR) nên eJ môđun xạ ảnh, theo Mệnh đề 2.8 Ta có eJ ' f R eJ môđun cực đại eJ Do vậy, có dây chuyền eR ⊃ eJ ⊃ eJ ⊃ · · · ⊃ eJ t ⊃ eK với eJ i nội xạ, i = 1, , t Nếu eJ i ' eJ j đẳng cấu mở rộng lên đẳng cấu eR Do i = j Điều rằng, tìm giá trị m cho eJ m xạ ảnh eJ m+1 đối bé, tức suy biến Nếu f j R khơng nội xạ f j R chứa ei R Do f j R ∼ = ei J ti Ngược lại, gọi M môđun khơng đối bé Khi đó, tồn m ∈ M lũy linh nguyên thủy g cho gmR đối bé Vì gR nên mgR ' eR gR ' ei J t Do vậy, có biểu đồ giao hốn / / mgR  ei ∼ = } t J M h  ei R luan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dung download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dung 24 Khi đó, tìm đồng cấu h : M −→ ei R ei R nội xạ Vì Imh ⊇ ei J t ei R ⊃ ei J ⊃ eJ ⊃ · · · dây chuyền Imh = ei J ti xạ ảnh Từ đây, ta thấy M chứa môđun xạ ảnh đẳng cấu với ei J ti tổng trực tiếp Trong [10], Oshiro đưa đặc trưng vành co− H sau Định lý 3.2 ([10], Định lý 3.18) Cho vành R Khi đó, điều kiện sau tương đương (i) R vành co-H phải (ii) Mọi R−môđun phải xạ ảnh mô-đun CS (iii) Họ R−mơđun phải xạ ảnh đóng phép lấy mở rộng cốt yếu Như biết, khái niệm môđun CS mở rộng thực khái niệm môđun nội xạ Kết hợp kết Định lý 1.6 Định lý 3.2 thấy lớp vành co− H mở rộng đẹp lớp vành QF Bổ đề 3.1 Cho R vành hoàn chỉnh trái, CS phải thỏa mãn R−môđun 2−sinh xạ ảnh suy biến Khi R vành QF − phải Hơn nữa, R thỏa mãn điều kiện (∗)∗ Chứng minh [Xem [13], Bổ đề 2.1.4] Kết cho mơ tả vành hồn chỉnh trái thỏa mãn điều kiện (∗)∗ Định lý 3.3 ([13], Mệnh đề 2.1.5) Cho vành hoàn chỉnh trái R Khi đó, phát biểu sau tương đương (i) R thỏa mãn điều kiện (∗) (ii) R R L R R mô-đun CS luan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dung download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dung 25 (ii)’ Mọi R−môđun phải 2−sinh tổng trực tiếp mô-đun xạ ảnh mô-đun suy biến (k) (iii) R R mô-đun CS với k ∈ N (iii)’ Mọi R−môđun phải hữu hạn sinh tổng trực tiếp mô-đun xạ ảnh mô-đun suy biến (iv) R vành CS phải R−môđun phải 2−sinh trực tiếp suy biến Chứng minh Theo [[8], Bổ đề 3], ta nhận ii ⇔ (ii)’ iii ⇔ (iii)’ i ⇔ (iii) Giả sử R vành hoàn chỉnh trái thỏa mãn điều kiện (∗) Trước hết, ta chứng minh R R có chiều Goldie hữu hạn Gọi {e1 , , en } tạp đầy đủ lũy đẳng nguyên thủy trực giao R Ta có R R = e1 R M e2 R M ··· M en R Đặt e = ei gọi U môđun eR Xét mô-đun eR/U, eR/U mô-đun không đối bé eR/U = M1 /U M M2 /U, với M1 /U mô-đun xạ ảnh không tầm thường, theo điều kiện (∗)∗ Khi đó, M1 /U ∼ = (eR/U ) / ( M2 /U ) ∼ = eR/M2 nên eR/M2 xạ ảnh Từ suy M2 hạng tử trực tiếp eR, điều mâu thuẫn với eR iđêan không phân tích Do eR/U mơ-đun đối bé, hay nói cách khác eR/U mơ-đun suy biến Suy U ≤e eR ei R iđêan với i Do đó, R R có chiều Goldie hữu hạn (k) Giả sử B hạng tử trực tiếp R R Khi đó, B có chiều Goldie hữu hạn t ≤ kn Như vậy, dãy B1 > B2 > · · · (k) hạng tử trực tiếp R R có hữu hạn phần tử phân biệt (k) Giả sử M mô-đun R R Xét tập hợp   L (k) 0 S = M M ≤ M ≤ RR luan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dung download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dung 26 (k) Vì R R có chiều Goldie hữu hạn nên ta suy S có phần tử cực tiểu, ta gọi phần tử M∗ Chúng ta chứng minh M ≤e M∗ Thật vậy, giả sử M mơđun cốt yếu M∗ Khi đó, M∗ /M môđun không đối bé (không suy biến) Theo (i), ta có C = M∗ /M chứa hạng tử trực tiếp xạ ảnh không tầm thường Vậy C = M1 /M M M2 /M, với M1 /M mơđun xạ ảnh khơng tầm thường Ta có
M∗ /M2 ∼ = M∗ /M / ( M2 /M) ∼ = M1 /M, L mô-đun xạ ảnh Do M∗ = M2 D với D∼ = M1 /M môđun L xạ ảnh không tầm thường Vậy M ≤ M2 ≤ M∗ với M2 6= M∗ Điều mâu thuẫn với tính cực tiểu M∗ S Vậy, ta có M ≤e M∗ , (k) suy R R môđun CS iii ⇔ (ii) Rõ ràng ii ⇔ (iv) Với giả thiết (ii), dễ thấy R R môđun CS Gọi U R−môđun 2−sinh Nếu U mơđun khơng suy biến U 6= Z (U ) Theo [[11], Mệnh đề 2.4], ta có U môđung không đối bé Mặt khác, theo (ii)’, ta có U − U1 M U2 , với U1 mơđun xạ ảnh khơng tầm thường Vì U mơđun khơng phân tích nên suy U2 = U = U1 môđun xạ ảnh iv ⇔ (i) Theo Bổ đề 3.1 Kết cho đặc trưng vành co− H vành hoàn chỉnh phải trái Định lý 3.4 ([13], Định lý 2.1.6) Cho vành R Các phát biểu sau tương đương (i) R vành co− H phải (ii) R vành hoàn chỉnh phải trái, thỏa mãn ACC linh hóa tử phải, đồng thời thỏa mãn điều kiện tương đương sau: luan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dungluan.van.thac.si.modun.khong.be.modun.khong.doi.be.va.ap.dung download by : skknchat@gmail.com