(Luận văn thạc sĩ) môđun phụ đối hữu hạn và môđun h – phụ đối hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HÀ THỊ PHƯƠNG THẢO VỀ MÔĐUN PHỤ ĐỐI HỮU HẠN VÀ MÔĐUN H- PHỤ ĐỐI HỮU HẠN h LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HÀ THỊ PHƯƠNG THẢO VỀ MÔĐUN PHỤ ĐỐI HỮU HẠN VÀ MÔĐUN H- PHỤ ĐỐI HỮU HẠN h Chuyên ngành : Mã số : Đại số lí thuyết số 8460104 Người hướng dẫn : Tiến sĩ Mai Quý Năm Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn với đề tài: Về môđun phụ đối hữu hạn mơđun H- phụ đối hữu hạn cơng trình nghiên cứu khoa học hướng dẫn TS Mai Quý Năm không chép Các kết trình bày luận văn trích dẫn nguồn gốc rõ ràng Bình Định, ngày 26 tháng 08 năm 2019 Học viên thực h Hà Thị Phương Thảo Lời cảm ơn Lời xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy TS MAI QUÝ NĂM, người trực tiếp hướng dẫn, dẫn tận tình giải đáp thắc mắc suốt q trình tơi hồn thành luận văn Đồng thời xin bày tỏ biết ơn sâu sắc đến thầy khoa Tốn thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn bảo, truyền dạy cho tơi kiến thức bổ ích suốt năm theo học trường, lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, phòng Đào tạo sau đại học tạo điều kiện thuận lợi cho học viên khác Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, người ủng hộ cổ vũ tinh thần giúp tơi có động lực để hồn thành luận văn cách tốt h Trong trình làm luận văn, thời gian có hạn lực, kiến thức thân cịn hạn chế nên khơng trách khỏi sai sót, kính mong thầy bảo độc giả đóng góp ý kiến để giúp luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Lời mở đầu Cho M R-môđun N , L hai môđun M Người ta gọi N phần phụ L M N cực tiểu theo quan hệ bao hàm tập môđun A M thỏa mãn A + L = M Một môđun M gọi môđun phần phụ hay nói tắt phần phụ phần phụ mơđun M Phần phụ xuất lần cơng trình nghiên cứu E.A Mares (1966) mơđun vành nửa hồn chỉnh tiếp tục nghiên cứu F Kasch Mares quan hệ với phủ xạ ảnh môđun Phần phụ môđun không thiết tồn tồn phần phụ quan hệ chặt chẽ với tồn phủ xạ ảnh Một môđun M h gọi môđun phụ môđun có phần phụ Lớp mơđun phụ mở rộng thực lớp môđun nâng- lớp môđun quan trọng quan tâm nghiên cứu rộng rãi nhiều chục năm qua Một điều rõ ràng hạng tử trực tiếp môđun M phần phụ, điều ngược lại nói chung khơng trường hợp tổng qt Bởi lẽ đó, phần phụ khảo sát theo ý tưởng xấp xỉ đồng với hạng tử trực tiếp Điều dẫn đến khái niệm môđun H-phụ định nghĩa sau: Môđun M goị H-phụ với môđun A M , tồn hạng tử trực tiếp D M cho với môđun X M , M = A + X M =A + D Từ định nghĩa dễ dàng chứng minh M H-phụ mơđun M có phần phụ hạng tử trực tiếp M , vậy, M mơđun phụ Các tính chất mơđun phụ mơđun H-phụ tìm thấy [8; 11; 13; 15; 18; 21] Vào năm 2001, R Alizade cộng [1] giới thiệu khái niệm môđun phụ đối hữu hạn - dạng tổng qt hóa mơđun phụ Một môđun N môđun M gọi đối hữu hạn (cofinite) môđun thương M/N hữu hạn sinh, M gọi môđun phụ đối hữu hạn (cofinitely supplemented module) môđun đối hữu hạn M có phần phụ Rõ ràng môđun phụ phụ đối hữu hạn Theo hướng này, vào năm 2007, M.T.Kosan [12] định nghĩa khảo sát môđun H-phụ đối hữu hạn tổng qt hóa mơđun Hphụ điều kiện tương tự hạn chế cho môđun đối hữu hạn Các môđun H-phụ đối hữu hạn tiếp tục nghiên cứu Y.Talebi cộng [17] (2013) h Như biết, phần phụ mơđun phụ có quan hệ chặt chẽ với tồn phủ xạ ảnh Bởi vậy, cách tự nhiên, môđun phụ mơđun H-phụ sử dụng khảo sát vành hồn chỉnh nửa hoàn chỉnh Tương tự, Y.Talebi [17] nghiên cứu lớp vành với tính chất đặc trưng cho H-phụ đối hữu hạn Xuất phát từ nội dung trình bày đây, chúng tơi lựa chọn đề tài luận văn thạc sĩ " Về môđun phụ đối hữu hạn môđun H-phụ đối hữu hạn" Mục tiêu đề tài tổng hợp trình bày với chứng minh chi tiết kết môđun phụ đối hữu hạn môđun H-phụ đối hữu hạn từ tài liệu tham khảo [1], [2], [11], [12], [16] [17] Đồng thời, nghiên cứu, phát nhằm bổ sung kết lớp môđun mối quan hệ chúng với lớp môđun phụ Nội dung luận văn trình bày chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số khái niệm kết liên quan đến nội dung luận văn Chương 2: Môđun phụ đối hữu hạn Chúng giới thiệu định nghĩa số kết môđun phụ đối hữu hạn môđun phụ yếu đối hữu hạn Chương 3: Môđun H-phụ đối hữu hạn ứng dụng Chúng tơi trình bày định nghĩa số kết môđun H-phụ, môđun H-phụ đối hữu hạn ứng dụng vào đặc trưng vành h Mục lục Lời mở đầu Bảng kí hiệu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Môđun nhỏ, môđun hổng môđun 1.2 Môđun phụ môđun phụ yếu, phần phụ yếu 1.3 Một vài lớp môđun 10 h 1.1 MÔĐUN PHỤ ĐỐI HỮU HẠN 14 2.1 Môđun phụ đối hữu hạn 14 2.2 Môđun phụ yếu đối hữu hạn 25 MÔĐUN H- PHỤ ĐỐI HỮU HẠN VÀ ỨNG DỤNG 36 3.1 Môđun H- phụ 36 3.2 Môđun H- phụ đối hữu hạn ứng dụng 48 Kết luận 66 Tài liệu tham khảo 67 Bảng kí hiệu Mơđun  Mơđun nhỏ ( hay đối cốt yếu) Soc(M ) Đế môđun M ⊆e Môđun cốt yếu ( hay lớn) Rad(M ) Căn môđun M Rad(R), J ac(R), J (R) Căn Jacobson vành R Bao nội xạ môđun M ⊆⊕ Hạng tử trực tiếp Ker(f ) Hạt nhân đồng cấu f Im(f ) Ảnh đồng cấu f EndR (M ) Vành tự đồng cấu môđun M Môđun ⊕-phụ Môđun trực tiếp phụ cws- môđun Môđun phụ yếu đối hữu hạn h E(M ) Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương trình bày số khái niệm kết liên quan đến nội dung luận văn trích dẫn từ tài liệu [8], [15], [16], [21] h 1.1 Môđun nhỏ, môđun hổng môđun Định nghĩa 1.1.1 Một môđun A môđun M gọi nhỏ M với mơđun B 6= M ta có A + B 6= M Một cách tương đương, A + B = M kéo theo B = M Khi ta kí hiệu A  M Mệnh đề 1.1.2 ([21]; 19.3) Cho K, L M R-mơđun, (1) Nếu K ⊂ L ⊆ M L  M K  M L/K  M/K (2) Nếu Ki  M , (1 ≤ i ≤ n) K1 + K2 + Kn  M (3) Nếu K ⊂ L ⊆ M L hạng tử trực tiếp M K  M K  L