(Luận văn thạc sĩ) môđun không bé, môđun không đối bé và áp dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HỒ THỊ MINH HƯƠNG MÔĐUN KHÔNG BÉ, MÔĐUN KHÔNG ĐỐI BÉ VÀ ÁP DỤNG h LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HỒ THỊ MINH HƯƠNG MÔĐUN KHÔNG BÉ, MÔĐUN KHÔNG ĐỐI BÉ VÀ ÁP DỤNG h Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Lê Đức Thoang Bình Định - 2020 Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu 5 10 12 Môđun không bé, môđun không đối bé 2.1 Môđun không bé 2.2 Môđun không đối bé 14 14 17 Áp dụng vào vành 3.1 Về đặc trưng vành co-H 3.2 Đặc trưng vành nửa hoàn chỉnh QF-3 21 21 30 h Kiến thức chuẩn bị 1.1 Môđun cốt yếu, đối cốt yếu 1.2 Môđun mở rộng 1.3 Môđun xạ ảnh, môđun nội xạ 1.4 Vành Artin, Vành Nơte 1.5 Vành nửa hoàn chỉnh, hoàn chỉnh 1.6 Vành Goldie vành QF KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) 40 Bảng ký hiệu : R MR ( R M ) A ≤ B( A < B) A ≤max L A≤ B A ≤e B AB A∼ =B AB L A B Z ( M) E( M), Soc( M) End( M) Hom R ( M, N ) Im( f ), Ker ( f ) Rad( M), J ( R) ann( M) : : : : : : : : : : : : : : : : : Các tập số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực, số phức (tương ứng); vành với đơn vị 6= 0; M R-môđun phải (t.ư., trái); A môđun (t.ư., thực sự) B; A môđun cực đại B; A hạng tử trực tiếp B; A môđun cốt yếu B; A môđun đối cốt yếu B; A đẳng cấu với B; A không đẳng cấu với B; tổng trực tiếp môđun A môđun B; Mô đun suy biến mô đun M; bao nội xạ, đế môđun M (tương ứng); vành tự đồng cấu mơđun M; nhóm R-đồng cấu từ M vào N; ảnh, hạt nhân đồng cấu f (tương ứng); môđun M, vành R (tương ứng); linh hóa tử mơđun M h N, Z, Q, R, C MỞ ĐẦU h Khái niệm môđun không bé môđun không đối bé khái niệm cơng cụ tiện ích cho việc nghiên cứu vành, Rayar đề xuất nghiên cứu vào năm 1971, sau Harada tiếp tục nghiên cứu thu nhiều kết có ý nghĩa áp dụng, áp dụng đặc trưng lớp vành Đây hướng nghiên cứu nhiều tác giả quan tâm Chúng chọn đề tài: MÔĐUN KHÔNG BÉ, MÔĐUN KHÔNG ĐỐI BÉ VÀ ÁP DỤNG Khái niệm môđun bé, trước nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu W W Leonard (xem [9]), M Rayar (xem [11]) Năm 1978, M Harada định nghĩa dùng khái niệm môđun không bé để nghiên cứu lớp vành Artin thu nhiều tính chất kết đẹp cho lĩnh vực lý thuyết vành Từ khái niệm mơđun khơng bé trở thành khái niệm cơng cụ tiện ích cho việc nghiên cứu vành Luận văn bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận Tài liệu tham khảo Nội dung luận văn gồm ba chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Môđun không bé, môđun không đối bé Chương 3: Áp dụng vào vành Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc đến TS Lê Đức Thoang, thầy trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn tạo điều kiện trình học tập nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn cách tốt Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng sau đại học, Khoa Tốn Thống kê trường đại học Quy Nhơn quý thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ trình học tập trường Nhân đây, tơi xin cảm ơn anh, chị học viên lớp Đại số Lý thuyết số khóa 21, gia đình bạn bè giúp đỡ, động viên suốt q trình học tập hồn thành luận văn Mặc dù cố gắng hạn chế thời gian trình độ nên bên cạnh kết đạt được, luận văn tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý thẳng thắn chân thành quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Ngày tháng năm 2020 Học viên thực Hồ Thị Minh Hương h Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niêm lý thuyết mô-đun, lý thuyết vành Các khái niệm, kết chương trình bày dựa vào [1] 1.1 Môđun cốt yếu, đối cốt yếu Định nghĩa 1.1 h (1) Môđun N R-môđun M gọi môđun cốt yếu (hay lớn) M, kí hiệu N ≤e M với mơđun khác khơng K M ta có K ∩ N 6= Có nghĩa là, ∀U ≤ M, U ∩ E = U = Khi ta nói M mở rộng cốt yếu N (2) Cho M R-môđun Môđun K M gọi đối cốt yếu ( hay bé) M với môđun X M mà X 6= M K + X 6= M Nói cách khác, môđun K gọi môđun bé M với môđun X M mà K + X = M X = M Khi ta kí hiệu: K  M Ví dụ 1.1.1 Xét Z-mơđun Z, Q ta có 2Z ≤e Z, Z ≤e Q Nếu R miền nguyên ideal phải khác không cốt yếu R R Môđun  M, môđun 2Z đối cốt yếu Z-mơđun Q Tính chất 1.1.1 (1) Cho A, B, C môđun M Khi đó: (a) Nếu A ≤ B ≤ C A ≤e M kéo theo B ≤e C (b) Nếu A ≤e M B ≤e M A ∩ B ≤e M (c) Nếu ϕ : M → N đồng cấu môđun A ≤e N ϕ−1 ( A) ≤e M (2) Cho A, B, C mơđun M Khi đó: (a) Nếu A ≤ B ≤ C BC kéo theo A M (b) Nếu A M B M A + B  M (c) Nếu ϕ : M → N đồng cấu môđun A M ϕ( A) N Hệ 1.1 Giả sử M = L I Mi B môđun M Khi phát biểu sau tương đương: (1) ( B ∩ Mi ) ≤e Mi , ∀i ∈ I (2) L I ( B ∩ Mi ) ≤e M h (3) B ≤e M Mệnh đề 1.1 Giả sử A, B, C môđun mơđun M Khi đó: (1) Nếu B ≤ C A B AC (2) A ≤ B, A ≤ M B hạng tử trực tiếp M A B 1.2 Mơđun mở rộng Định nghĩa 1.2 (1) Một R-môđun M gọi môđun mở rộng (hay CS-Môđun) môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M Tương đương, R-môđun M gọi môđun mở rộng mơđun đóng M hạng tử trực tiếp M (2) Một R-môđun M gọi mở rộng (uniform-extending) môđun cốt yếu hạng tử trực tiếp M (3) Một môđun M gọi môđun FI-mở rộng với N E M 0 tồn hạng tử trực tiếp N ≤⊕ M cho N ≤e N Định lý 1.1 Cho M R-mơđun Khi đó, điều kiện sau tương đương: (1) M môđun mở rộng (2) Mỗi mơđun N M có phân tích M = M1 N ≤ M1 N + M2 ≤e M L M2 cho (3) Mỗi mơđun đóng M hạng tử trực tiếp Hệ 1.2 Một R-mơđun M khơng phân tích mở rộng M môđun Định lý 1.2 Nếu M môđun mở rộng M = M1 môđun mở rộng L M2 M1 , M2 h Nhận xét 1.1 Mọi hạng tử trực tiếp môđun mở rộng (uniformextending) môđun mở rộng (uniform-extending) Ví dụ 1.2.1 (1) Mỗi mơđun nửa hồn chỉnh mở rộng, mơđun hạng tử trực tiếp (2) Mỗi mơđun mở rộng, môđun khác cốt yếu L Định lý 1.3 Cho M = M1 M2 với M1 , M2 mơđun mở rộng Khi đó, M môđun mở rộng môđun đóng K ⊂ M với K ∩ M1 = K ∩ M2 = hạng tử trực tiếp M L Mệnh đề 1.2 Cho M = M1 M2 với M1 , M2 môđun mở rộng Nếu M1 M2 -nội xạ M2 M1 -nội xạ M mơđun mở rộng Mệnh đề 1.3 Cho M R-mơđun có chiều uniform hữu hạn Nếu M mơđun mở rộng M = n L i =1 Mi , với Mi môđun u dim( M) = n Mệnh đề 1.4 Cho M môđun chuỗi với chuỗi hợp thành ⊂ U ⊂ L V ⊂ M Khi đóM (U/V ) khơng mơđun mở rộng 1.3 Môđun xạ ảnh, môđun nội xạ Định nghĩa 1.3 R-môđun P gọi xạ ảnh với đồng cấu f : P −→ B toàn cấu g : A −→ B R-môđun tồn đồng cấu h : P −→ A cho g◦ h = f Có nghĩa, biểu đồ sau giao hoán P ∃h A  g / f  /0 B Định nghĩa 1.4 R-môđun Q gọi nội xạ với đồng cấu f : A −→ Q đơn cấu g : A −→ B R-môđun tồn đồng cấu h : B −→ Q cho h◦ g = f Có nghĩa, biểu đồ sau giao hoán g /A /B f   ∃h Q h Định lý 1.4 (Tiêu chuẩn Baer) R-môđun Q nội xạ với iđêan phải U R R đồng cấu f : U −→ Q tồn đồng cấu h : R R −→ Q cho h◦ i = f với i : U −→ R phép nhúng tắc Có nghĩa, biểu đồ sau giao hốn /U f   i / R ∃h Q Định nghĩa 1.5 Đơn cấu ϕ : A R −→ CR gọi cốt yếu Imϕ môđun cốt yếu C Định nghĩa 1.6 Cho R-môđun A, đơn cấu α : A −→ Q gọi bao nội xạ A Q môđun nội xạ α đơn cấu cốt yếu Kí hiệu E( A) Ví dụ 1.3.1 Đơn cấu tắc i : ZZ −→ QZ bao nội xạ Z QZ nội xạ ZZ môđun cốt yếu QZ Bổ đề 1.1 Đối với R-môđun vành R