(Luận văn thạc sĩ) môđun không xoắn trên vành giao hoán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Thị Vân Anh MƠĐUN KHƠNG XOẮN TRÊN VÀNH GIAO HỐN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Thị Vân Anh MƠĐUN KHƠNG XOẮN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Trần Huyên Thành phố Hồ Chí Minh - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn tơi thực hướng dẫn TS Trần Huyên Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số kết quả, nội dung từ sách, tạp chí liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm luận văn Lời cảm ơn Trong suốt q trình học tập hồn thành luận văn, nhận giúp đỡ hướng dẫn nhiệt tình thầy cơ, đồng nghiệp bạn cao học toán K26 Đầu tiên, xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến TS Trần Huyên, người thầy tâm huyết giảng dạy người tận tình, giúp đỡ, hướng dẫn tơi q trình hồn thành luận văn Với lịng kính trọng biết ơn, tơi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến: Các thầy cô khoa Toán - Tin Trường Đại học Sư phạm TP.HCM GS.TS Bùi Xuân Hải, GS.TSKH Nguyễn Tự Cường trực tiếp trang bị cho kiến thức làm tảng cho trình nghiên cứu hồn thành luận văn Ban giám hiệu, phịng Đào tạo sau đại học, khoa Toán - Tin trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập, hồn thành bảo vệ luận vặn Các thầy Hội đồng Bảo vệ luận văn thạc sĩ đọc, đóng góp ý kiến, nhận xét đánh giá luận văn Cuối xin dành lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè người ln động viên, giúp đỡ tơi q trình hồn thành luận văn TP Hồ Chí Minh, tháng 03 năm 2018 Trần Thị Vân Anh MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một vài khái niệm kết lý thuyết môđun 1.2 Dãy khớp 1.3 Các hàm tử đồng điều CHƯƠNG 2: MÔĐUN KHÔNG XOẮN TRÊN VÀNH GIAO HỐN 19 2.1 Mơđun khơng xoắn miền ngun 19 2.2 Mơđun khơng xoắn vành giao hốn 25 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU : Tập số ngun : Mơđun sinh tập S S Hom  X , Y  : Tập hợp tất đồng cấu môđun từ X vào Y F(S) : Môđun tự có sở S A  B : Tổng trực tiếp hai môđun A B X : Mơđun tích trực tiếp họ môđun X i  i X i : Môđun tổng trực tiếp họ môđun X i  X Y : Tích tenxơ R  mơđun phải f  g : Tích tenxơ đồng cấu R  môđun TorR   A, B   n : Tích xoắn n  chiều R  môđun trái B ExtR  A, B  : Tích n mở rộng R  chiều R X R  môđun trái Y f g R  môđun phảiA R  môđun phải A R  môđun trái B Tor  A, B  : Tích xoắn R chiều R môđun phải A R  môđun trái B Ext  A, B  : Tích mở rộng R  mơđun trái B R ■ : Kết thúc chứng minh chiều R môđun phải A MỞ ĐẦU Khái niệm môđun không xoắn xác định trước hết miền ngun, có vai trị quan trọng lý thuyết mơđun số ngành tốn học khác Việc mở rộng khái niệm lên vành tổng quát miền nguyên điều thực cần thiết Ở đây, dừng lại mức độ xây dựng môđun không xoắn vành giao hoán Với đối tượng phạm vi nghiên cứu môđun không xoắn miền nguyên vành giao hốn Ngồi phần mở đầu kết luận, luận văn trình bày thành hai chương: Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong phần này, giới thiệu kiến thức lý thuyết môđun đại số đồng điều cần thiết cho trình bày nội dung triển khai chương Chương 2: MÔĐUN KHÔNG XOẮN TRÊN VÀNH GIAO HỐN Trước hết, chúng tơi giới thiệu mơđun khơng xoắn miền nguyên, trình bày kết liên quan đến khái niệm mối liên hệ với khái niệm khác lý thuyết mô đun sau: môđun con, mơđun thương, tích trực tiếp, tổng trực tiếp, mơđun xạ ảnh, môđun dẹt, Tiếp theo đánh giá đặc trưng môđun không xoắn miền nguyên, đưa cách thể khác đặc trưng dạng ngôn ngữ tổng quát hơn, để đưa khả mở rộng cho khái niệm vành giao hoán CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1.1 Một vài khái niệm kết lý thuyết môđun Mục giới thiệu vài khái niệm kết lý thuyết môđun cần thiết cho trình bày sau 1.1.1 Mơđun tự Cho môđun X , tập S  X gọi hệ sinh X S   X Nói cách khác, S hệ sinh X với phần tử x  X x  r s  r s   r s 1 với r , r , , r  R n 2 n n s , s, , s n  S , tức x biểu thị dạng tổ hợp tuyến tính S Tập hợp S  X gọi độc lập tuyến tính phần tử 0 X có cách biểu thị dạng tổ hợp tuyến tính S , tổ hợp tuyến tính tầm thường với tất độc lập tuyến tính r1 s1  r2 s2   rn S sn 0 hệ tử Nói cách khác,  r2    r1  rn 0 S  Khi X khơng độc lập tuyến tính, ta nói S phụ thuộc tuyến tính Một hệ sinh S mơđun X đồng thời hệ độc lập tuyến tính gọi sở môđun X Định nghĩa 1.1.1.1 ([1], trang 48) Mơđun X có sở mơđun tự Định lý 1.1.1.2 ([1],Định lý , trang 48) Tập S {ss i }iI phần tử môđun X sở X phần tử x  X có cách biểu thị tuyến tính qua S Nghĩa với phần tử x  X cách biểu thị x  r1 s1  r2 s2   rn sn với r1 , r2 , , rn  R s1 , s2 , , sn S Định lý 1.1.1.3 ([1], Định lý 2, trang 49) Nếu f : X  Y đẳng cấu môđun X mơđun tự Y mơđun tự Hơn nữa, S sở X f ( S ) sở Y Định lý 1.1.1.4 ([1],Định lý 3, trang 49) Tổng trực tiếp môđun tự môđun tự Định lý 1.1.1.5 ([1],Định lý 4, trang 51) R môđun X tự X đẳng cấu với tổng trực tiếp họ vành hệ tử Định R lý 1.1.1.6 ([1],Định lý 6, trang 53) Mỗi môđun X đẳng cấu với môđun thương môđun tự Ta xét mơđun tự F ( X ) sinh tập X Khi ánh xạ đồng 1X : X  X mở rộng tới đồng cấu  : F (X)X hiển nhiên  tồn cấu X  F(X) ker Định lý 1.1.1.7 ([1], Định lý 7, trang 53) Môđun môđun tự vành mơđun tự 1.1.2 Mơđun xạ ảnh Môđun P gọi môđun xạ ảnh với Định nghĩa 1.1.2.1 ([1], trang 72) toàn cấu  : B C , đồng cấu f : P  C , tồn đồng cấu  : P  B , cho f   Định lý 1.1.2.2 ([1], Định lý 1, trang 73) Định lý 1.1.2.3 ([1],Định lý 2, trang73) Mỗi môđun tự X môđun xạ ảnh Tổng trực tiếp họ môđun P   Pi xạ iI ảnh môđun thành phần Pi Định lý 1.1.2.4 ([1], Định lý 4, trang 76) xạ ảnh Khi R vành chính, mơđun P xạ ảnh P môđun tự 1.1.3 Môđun nội xạ Định nghĩa 1.1.3.1 ([1], trang 77) đơn cấu  : A  B , đồng cấu f Môđun J gọi môđun nội xạ với :AJ , tồn đồng cấu f : B  J , cho f  f  Bởi  đơn cấu nên ta xem A  B , f xem mở rộng f B Vì lý có người ta xem môđun nội xạ J môđun cho phép mở rộng đồng cấu f : A  J thành đồng cấu f : B  J , môđun BA Định lý 1.1.3.2 ([1], Định lý 5, trang 77) (Tiêu chuẩn Baer) R môđun J nội xạ với Iđêan trái I R đồng cấu f : I  J , luôn tồn phần tử q  J cho với   I , ta có: f (  )  q Nói cách khác đồng cấu f : I  J mở rộng tới đồng cấu f : R  J Định lý 1.1.3.3 ([1], Định lý 8, trang 81) Tích trực tiếp họ môđun J   Jk k K nội xạ môđun thành phần J k nội xạ 1.1.4 Môđun chia Định nghĩa 1.1.4.1 ([1], trang 58) Cho R miền ngun X R mơđun Khi X môđun chia với x  X  R * ln có y  X cho x  y Khi R vành giao hốn có đơn vị tích hai phần tử khác Định nghĩa mơđun chia vành giao hoán ta loại tất phần tử ước sau: r   xác định Cho R vành giao hốn  R Linh hóa tử ký hiệu      r  R: 0 Định nghĩa 1.1.4.2 Môđun A gọi môđun chia với  R thỏa r  a  ta ln a  có A