(Luận văn thạc sĩ) môđun không xoắn trên vành giao hoán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Thị Vân Anh MƠĐUN KHƠNG XOẮN TRÊN VÀNH GIAO HỐN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 Luan van BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Thị Vân Anh MƠĐUN KHƠNG XOẮN TRÊN VÀNH GIAO HỐN Chun ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Trần Huyên Thành phố Hồ Chí Minh - 2018 Luan van LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn tơi thực hướng dẫn TS Trần Huyên Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số kết quả, nội dung từ sách, tạp chí liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm luận văn Luan van Lời cảm ơn Trong suốt trình học tập hồn thành luận văn, tơi nhận giúp đỡ hướng dẫn nhiệt tình thầy cơ, đồng nghiệp bạn cao học tốn K26 Đầu tiên, tơi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến TS Trần Huyên, người thầy tâm huyết giảng dạy người tận tình, giúp đỡ, hướng dẫn tơi q trình hồn thành luận văn Với lịng kính trọng biết ơn, xin gởi lời cảm ơn chân thành đến: Các thầy khoa Tốn - Tin Trường Đại học Sư phạm TP.HCM GS.TS Bùi Xuân Hải, GS.TSKH Nguyễn Tự Cường trực tiếp trang bị cho kiến thức làm tảng cho q trình nghiên cứu hồn thành luận văn Ban giám hiệu, phịng Đào tạo sau đại học, khoa Tốn - Tin trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho q trình học tập, hồn thành bảo vệ luận vặn Các thầy cô Hội đồng Bảo vệ luận văn thạc sĩ đọc, đóng góp ý kiến, nhận xét đánh giá luận văn Cuối xin dành lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè người động viên, giúp đỡ q trình hồn thành luận văn TP Hồ Chí Minh, tháng 03 năm 2018 Trần Thị Vân Anh Luan van MỤC LỤC MỞ ĐẦU .1 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .2 1.1 Một vài khái niệm kết lý thuyết môđun 1.2 Dãy khớp .5 1.3 Các hàm tử đồng điều CHƯƠNG 2: MÔĐUN KHƠNG XOẮN TRÊN VÀNH GIAO HỐN 19 2.1 Môđun không xoắn miền nguyên 19 2.2 Môđun không xoắn vành giao hoán .25 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 Luan van DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU : Tập số nguyên : Môđun sinh tập S S Hom  X , Y  : Tập hợp tất đồng cấu môđun từ X vào Y F (S ) : Môđun tự có sở S A B : Tổng trực tiếp hai môđun A B X : Mơđun tích trực tiếp họ môđun  X i  i Xi : Môđun tổng trực tiếp họ môđun  X i  X Y : Tích tenxơ R  mơđun phải X R  môđun trái Y f g : Tích tenxơ đồng cấu R  môđun f g TorRn  A, B  : Tích xoắn n  chiều R R  môđun phải A R  môđun trái B Ext Rn  A, B  : Tích mở rộng R  chiều R  môđun phải A R  môđun trái B Tor  A, B  : Tích xoắn R  chiều R  môđun phải A R  môđun trái B Ext  A, B  : Tích mở rộng R  chiều R  môđun phải A R  môđun trái B ■ : Kết thúc chứng minh Luan van MỞ ĐẦU Khái niệm môđun không xoắn xác định trước hết miền nguyên, có vai trị quan trọng lý thuyết mơđun số ngành toán học khác Việc mở rộng khái niệm lên vành tổng quát miền nguyên điều thực cần thiết Ở đây, dừng lại mức độ xây dựng môđun khơng xoắn vành giao hốn Với đối tượng phạm vi nghiên cứu môđun không xoắn miền ngun vành giao hốn Ngồi phần mở đầu kết luận, luận văn trình bày thành hai chương: Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong phần này, giới thiệu kiến thức lý thuyết môđun đại số đồng điều cần thiết cho trình bày nội dung triển khai chương Chương 2: MÔĐUN KHÔNG XOẮN TRÊN VÀNH GIAO HỐN Trước hết, chúng tơi giới thiệu mơđun khơng xoắn miền ngun, trình bày kết liên quan đến khái niệm mối liên hệ với khái niệm khác lý thuyết mô đun sau: mơđun con, mơđun thương, tích trực tiếp, tổng trực tiếp, môđun xạ ảnh, môđun dẹt, Tiếp theo đánh giá đặc trưng môđun không xoắn miền nguyên, đưa cách thể khác đặc trưng dạng ngơn ngữ tổng qt hơn, để đưa khả mở rộng cho khái niệm vành giao hoán Luan van CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1.1 Một vài khái niệm kết lý thuyết môđun Mục giới thiệu vài khái niệm kết lý thuyết mơđun cần thiết cho trình bày sau 1.1.1 Môđun tự Cho môđun X , tập S  X gọi hệ sinh X S  X Nói cách khác, S hệ sinh X với phần tử x  X x  r1s1  r2 s2   rn sn với r1 , r2 , , rn  R s1 ,s2 , ,s n  S , tức x biểu thị dạng tổ hợp tuyến tính S Tập hợp S  X gọi độc lập tuyến tính phần tử  X có cách biểu thị dạng tổ hợp tuyến tính S , tổ hợp tuyến tính tầm thường với tất hệ tử Nói cách khác, S độc lập tuyến tính r1s1  r2 s2   rn sn  r1  r2   rn  Khi S  X khơng độc lập tuyến tính, ta nói S phụ thuộc tuyến tính Một hệ sinh S mơđun X đồng thời hệ độc lập tuyến tính gọi sở môđun X Định nghĩa 1.1.1.1 ([1], trang 48) Mơđun X có sở mơđun tự Định lý 1.1.1.2 ([1],Định lý , trang 48) Tập S  {si }iI phần tử môđun X sở X phần tử x  X có cách biểu thị tuyến tính qua S Nghĩa với phần tử x  X cách biểu thị x  r1s1  r2 s2   rn sn với r1 , r2 , , rn  R s1 , s2 , , sn  S Định lý 1.1.1.3 ([1], Định lý 2, trang 49) Nếu f : X  Y đẳng cấu môđun X mơđun tự Y môđun tự Hơn nữa, S sở X f ( S ) sở Y Định lý 1.1.1.4 ([1],Định lý 3, trang 49) Tổng trực tiếp môđun tự môđun tự Luan van Định lý 1.1.1.5 ([1],Định lý 4, trang 51) R  môđun X tự X đẳng cấu với tổng trực tiếp họ vành hệ tử R Định lý 1.1.1.6 ([1],Định lý 6, trang 53) Mỗi môđun X đẳng cấu với môđun thương mơđun tự Ta xét mơđun tự F ( X ) sinh tập X Khi ánh xạ đồng 1X : X  X mở rộng tới đồng cấu  : F ( X )  X hiển nhiên  tồn cấu X  F (X) ker  Định lý 1.1.1.7 ([1], Định lý 7, trang 53) Môđun môđun tự vành mơđun tự 1.1.2 Mơđun xạ ảnh Định nghĩa 1.1.2.1 ([1], trang 72) Môđun P gọi mơđun xạ ảnh với tồn cấu  : B  C , đồng cấu f : P  C , tồn đồng cấu  : P  B , cho f   Định lý 1.1.2.2 ([1], Định lý 1, trang 73) Mỗi môđun tự X môđun xạ ảnh Định lý 1.1.2.3 ([1],Định lý 2, trang73) Tổng trực tiếp họ môđun P   Pi xạ iI ảnh môđun thành phần Pi xạ ảnh Định lý 1.1.2.4 ([1], Định lý 4, trang 76) Khi R vành chính, mơđun P xạ ảnh P môđun tự 1.1.3 Môđun nội xạ Định nghĩa 1.1.3.1 ([1], trang 77) Môđun J gọi môđun nội xạ với đơn cấu  : A  B , đồng cấu f : A  J , tồn đồng cấu f : B  J , cho f  f Bởi  đơn cấu nên ta xem A  B , f xem mở rộng f B Vì lý có người ta xem môđun nội xạ J môđun cho phép mở rộng đồng cấu f : A  J thành đồng cấu f : B  J , môđun B  A Định lý 1.1.3.2 ([1], Định lý 5, trang 77) (Tiêu chuẩn Baer) R  môđun J nội xạ với Iđêan trái I R đồng cấu f : I  J , luôn tồn phần tử q  J cho với   I , ta có: f ( )   q Luan van Nói cách khác đồng cấu f : I  J mở rộng tới đồng cấu f :R  J Định lý 1.1.3.3 ([1], Định lý 8, trang 81) Tích trực tiếp họ mơđun J   J k kK nội xạ môđun thành phần J k nội xạ 1.1.4 Môđun chia Định nghĩa 1.1.4.1 ([1], trang 58) Cho R miền nguyên X R  mơđun Khi X mơđun chia với x  X   R * ln có y  X cho x  y Khi R vành giao hốn có đơn vị tích hai phần tử khác Định nghĩa môđun chia vành giao hoán ta loại tất phần tử ước sau: Cho R vành giao hốn   R Linh hóa tử ký hiệu r    xác định r       R :   0 Định nghĩa 1.1.4.2 Môđun A gọi môđun chia với   R thỏa r    a  ta ln có a   A Luan van 27 H  r  x / (  1)(r  x)  ker(i  1) (  1)( H )  K Vì  1 tồn cấu nên áp dụng định lý Noether ta có: K  H ker(  1) suy ker(i  1)  Ta có  Tor R thể  xem R , X  ker  (i  1)(  1)  i  1: X  X x  X /  x  0 r( ) X ker(  1) phép  ker(i  1) nhân r( ) X với  suy Như vậy, để kết thúc chứng minh, ta chứng minh “ X môđun không xoắn x  X /  x  0  r ( ) X Cho X môđun không xoắn,   hiển nhiên  x  X /  x  0  r ( ) X Nếu   với x   x  X /  x  0  x  X mơđun khơng xoắn nên x  r ( ) X suy  x  X /  x  0  r ( ) X Bây với x  r ( ) X tồn   r ( ) x '  X cho x   x ' ,  x   x '  0x '  , nên x   x  X /  x  0 Vậy  x  X /  x  0  r ( ) X Ngược lại,  x  X /  x  0  r ( ) X  x  X /  x  0  r ( ) X nên với x X thỏa x  x  r ( ) X Vậy X môđun không xoắn.■ Mệnh đề 2.2.4 Môđun X không xoắn dãy khớp     A   B   X   khiết Chứng minh:   Nếu X mơđun khơng xoắn Tor R  R , X  với   R Từ dãy khớp     A   B   X  0 áp dụng định lý 1.3.4.5 ta có dãy khớp    Tor R  1  R  A   R  B    R , X   R R   đơn cấu Khi áp dụng mệnh đề 1.3.3.14 định nghĩa 1.2.2.2 ta có dãy dãy khớp khiết Đảo lại, xét dãy khớp   Tor R    1  Tor R , X   R  A   R  B   R , B  R R R Luan van 28 Theo định lý 1.1.1.6 môđun X đẳng cấu với mơđun thương mơđun   tự Khi ta chọn B mơđun xạ ảnh, từ Tor R  R , B  , nên ta có dãy khớp   Tor R  1  R  A   R  B   R , X  R R 1 Mặt khác, từ dãy khớp khiết ta có dãy  R  R  A    R  B suy R  Tor R   R , X  Vậy X môđun không xoắn.■    A   B   C  0 Mệnh đề 2.2.5 Với dãy khớp  Nếu A C môđun khơng xoắn B mơđun khơng xoắn Chứng minh:    A   B   C   áp dụng định lý 1.3.4.5 ta có dãy Với dãy khớp    R , A Tor  R  R , B  Tor  R  R , C   R  R  A  R  R  B  Tor  R , A  Tor  R , C   nên Tor  R , B   Vậy B môđun không R R R 1  Tor R Vì xoắn.■  C ta có dãy khớp Như biết ta có tồn cấu  : B  i   Ker   B   C   tương tự  : A   B đơn cấu ta ngắn   p  A   B   Co ker    (với Co ker   B Im  ) Trong có dãy khớp ngắn  trường hợp, tồn cấu  (tương ứng: đơn cấu  ) phép chiếu tự nhiên (tương ứng: phép nhúng tự nhiên) ta có định nghĩa sau:    A   B   C   Khi đó, Định nghĩa 2.2.6 Cho dãy khớp  Môđun C gọi môđun thương môđun B  toàn cấu chiếu tự nhiên A  Ker Môđun A gọi môđun môđun B  đơn cấu nhúng tự nhiên C  Co ker  Đồng thời, dãy khớp tương ứng với môđun thương (hay môđun con) gọi dãy  C (hay đơn cấu  : A   B ) khớp liên kết với toàn cấu  : B  Mệnh đề 2.2.7 Một môđun thương C môđun không xoắn B môđun không xoắn dãy khớp liên kết khiết Luan van 29 Chứng minh: Giả sử C môđun thương môđun B : C  B A ta có dãy khớp     A   B   C  0 áp dụng định lý 1.3.4.5 , ta có dãy khớp       1   Tor R , B   Tor R , C   R  A   R  B   R , A  R R R R Nếu C mơđun khơng xoắn theo mệnh đề 2.2.3 Tor R  R , C     Tor R   đơn cấu nên theo mệnh đề 1.3.3.14 định nghĩa 1.2.2.2 dãy khớp dãy khớp khiết Ngược lại, dãy khớp khiết ta có dãy khớp sau:   Tor R    R   1   Tor R , C   R  A   R  B   R , B  R R R 1  R  B   R  A  R  Nên Tor R  R , C  suy C môđun không xoắn.■ Định nghĩa 2.2.8 Vành R gọi vành PP Iđêan R môđun xạ ảnh Định nghĩa 2.2.9 Vành R gọi vành PF Iđêan R môđun dẹt Hiển nhiên, vành PP vành PF Mệnh đề 2.2.10 Môđun môđun không xoắn môđun không xoắn vành R vành PF Chứng minh: Giả sử B môđun không xoắn A môđun mơđun B từ dãy khớp     A   B   C  B  0 A ta có dãy khớp Luan van 30    Tor2 R         Tor2 R , C   Tor R , A   Tor R , B    R , B  R R R Nếu R vành vành PF với   R  R mơđun dẹt Từ dãy khớp i p    R   R  R 0  R  ta có dãy khớp   Tor2  R, C    Tor2 R    Tor   R, C    Tor  R, C    R , C     Suy Tor2 R  R , C  Tor   R,C   nên Tor R  R , A  nên A môđun không xoắn Ngược lại, với C môđun tùy ý tồn dãy khớp     A   B   C  0 với B môđun xạ ảnh Do B môđun xạ ảnh nên B môđun không xoắn nên A môđun không xoắn nên  Tor R    R  R , A  suy  Tor2  R , C  Tor   R,C  Vậy Tor   R, C   với môđun C nên vành R vành PF.■ Mệnh đề 2.2.11 Tích trực tiếp môđun không xoắn môđun không xoắn với   R , linh hóa tử r    hữu hạn sinh Chứng minh: Giả sử r    hữu hạn sinh với   R ,  X i iI họ môđun không xoắn X   X i tích trực tiếp họ môđun không xoắn Với x   xi   X , iI xi  X i , i  I  x   xi  0, i  I Vì X i mơđun không xoắn nên xi  r    X i Do r    hữu hạn sinh 1 ,  , ,  r nên tồn xij  X i cho  r  r x     j xij     i  xij   r    X Do mơđun khơng xoắn  j 1  j 1 Luan van 31 Ngược lại, với   R , r      i , i  I  đặt X    Ri , Ri  R, i  I tích trực tiếp iI vành hệ tử R lấy số r    Với x   xi   X , xi  X i , i  I  x  R môđun tự nên môđun không xoắn Suy X  môđun không xoắn nên x  r    X  Do x thuộc tích hai Iđêan r    , X  , nên x  huu han   x j j (với  j  r    , x j  X  ) x    x   huu han j j , (với x j  X  ) nên j j huu han  huu han  x     j x j  nên x j    j x j Vậy r    hữu hạn sinh.■ j  j  Bổ đề 2.2.12 Iđêan  R vành R mơđun xạ ảnh tồn phần tử lũy đẳng e thỏa    e r     r  e   e ' R với e '   e Chứng minh: Nếu R mơđun xạ ảnh theo mệnh đề 1.2.1.3 dãy khớp i    r      R    R   chẻ Như  có nghịch đảo phải, tồn đồng cấu  ' cho  '  1 R suy  '    hay e   (với e   '  ) Trước hết, ta chứng minh r     r  e  Thật với   r  e  ta có e  e  hay   suy r  e   r    Nếu   r       '   hay e  suy   r  e  Đặt e '   e , ta chứng minh r  e   1  e  R Nếu   r  e  e  hay   e   Do 1  e     nên   1  e  R từ r  e   1  e  R Ngược lại, với   1  e  R ta có   1  e   ' với  '  R từ    1  e   '        '  nên   r     r  e  1  e  R  r  e  Vì e   nên  1  e   1  e   r     r  e  e 1  e   Tóm lại tồn e cho    e r     r  e   e ' R thỏa e '   e e lũy đẳng   R ta có đẳng cấu Đảo lại, ta chứng minh  R mơđun xạ ảnh Từ tồn cấu  : R  R r     R tương tự ta có đẳng cấu R r  e   e R mà r     r  e  nên ta có  R  e R Luan van 32 Bây ta chứng minh R  e R  e ' R Thật vậy, với r  R ta có r  e r  1  e  r nên ta có R  e R  e ' R Đồng thời với r  e R  e ' R tồn  ,  '  R cho r  e   1  e   ' suy r  e e    e  e e   '  Do R  e R  e ' R  e R  r    i   r      R    R   chẻ theo mệnh đề 1.1.2.4  R dãy khớp  môđun xạ ảnh.■ Dựa vào bổ đề, ta đưa mệnh đề sau: Mệnh đề 2.2.13 Cho R vành PP Khi X mơđun không xoắn  : e X   X định   x    x với x  e X đơn cấu Chứng minh: Ta có: Ker    x  e X :  x  0   x  e X : x  r    X   e X  e ' X  0 (do R  e R  e ' R ) Vậy  đơn cấu Đảo lại, với X R  môđun x  X thỏa  x  x  Ker  suy x  nên x  r    X Vậy X môđun không xoắn.■ Mệnh đề 2.2.14 Cho R vành PP, môđun A có mơđun nhỏ B (theo quan hệ bao hàm) cho môđun thương A B môđun không xoắn Chứng minh: Với R vành PP  Bi iI tập hợp tất môđun môđun A cho A Bi môđun không xoắn Ta chứng minh A Bi môđun không xoắn iI   Trước hết ta chứng minh S  A B có phần tử tối đại bổ đề Zorn tức chứng i minh dãy tiến S bị chặn Giả sử A B  A B   A B  dãy tiến môđun thương không xoắn A Vì i1 i2 ij R vành PP nên theo mệnh đề 2.2.10 môđun môđun không xoắn môđun  B đơn cấu B mơđun khơng xoắn A khơng xoắn Ta suy ra: “Nếu  : A  môđun không xoắn.” (*) Hơn R vành PP nên  R môđun xạ ảnh nên Luan van 33 theo mệnh đề 2.2.13 r    hữu hạn sinh nên theo mệnh đề 2.2.10  AB ij mơđun khơng xoắn Khi đó, ta xét đồng cấu  : A   a   j Bij   A  Bij    a  Bij  Hiển nhiên  đơn cấu nên theo (*) j  A khơng xoắn suy Bij Bij xác định A Bij môđun j chặn S Theo bổ đề Zorn S có phần tử tối j đại Ta chứng minh S có phần tử lớn Giả sử A B , A B hai phần tử tối đại   khác Trước tiên ta có: B  B B A B  B B  B B môđun không xoắn nên theo (*) A hay B B  B Vì R vành PP B  B môđun không xoắn Mặt khác: B  B B môđun không xoắn B  B B A B  B B nên ta có dãy khớp sau:   B B  B  A B  B  A B  0 B Áp dụng mệnh đề 2.2.5 A B ,  B  B môđun không xoắn nên suy A B  B      môđun không xoắn Điều mâu thuẫn với A B , A B phần tử tối đại Nên S   có phần tử lớn nhất.■ Định nghĩa 2.2.15 Một R môđun A gọi môđun xoắn Hom  A, X   với R môđun không xoắn X Mệnh đề 2.2.16 Nếu A môđun xoắn ảnh đơn cấu A môđun xoắn Chứng minh: Luan van 34  Im  với  B Khi đồng cấu  *: A  Giả sử A môđun xoắn đơn cấu  : A   *  a     a  , a  A đẳng cấu Vậy Im  môđun xoắn.■ Mệnh đề 2.2.17 Tổng trực tiếp  Ai môđun xoắn hạng tử iI môđun xoắn Chứng minh: Với môđun   không xoắn X theo mệnh đề 1.3.1.6  ta có:  Hom  Ai , X   Hom  Ai , X  nên  Ai môđun xoắn Hom  Ai , X  iI iI iI iI hay  Hom  Ai , X   Điều có Hom  Ai , X   0, i  I nghĩa iI thành phần môđun xoắn với i  I ■    A   B   C   Khi Mệnh đề 2.2.18 Dãy khớp ngắn  i B mơđun xoắn C mơđun xoắn ii A C mơđun xoắn B môđun xoắn Chứng minh:    A   B   C   ta có dãy khớp Từ dãy khớp    Hom  C , X    Hom  B, X    Hom  A, X    với môđun không xoắn X i Nếu B mơđun xoắn Hom  B, X   suy Hom  C , X   C môđun xoắn ii Nếu A C mơđun xoắn Hom  A, X   Hom  C , X   suy Hom  B, X   B môđun xoắn.■ Mệnh đề 2.2.19 Cho R vành PP, mơđun A có môđun xoắn lớn Chứng minh: Luan van 35 Gọi S   Ai iI tập tất môđun xoắn môđun A Ta chứng minh A iI i mơđun xoắn Vì theo mệnh đề 2.2.18 môđun thương môđun xoắn môđun  B tồn cấu A mơđun xoắn B xoắn nên ta có: “Nếu đồng cấu  : A  môđun xoắn.” (**) Trước hết ta chứng minh S có phần tử tối đại bổ đề Zorn, tức chứng minh dãy tăng bị chặn Giả sử Ai1  Ai   Aij  dãy tăng môđun xoắn   Aij S Đặt B   Aij , xét ánh xạ  :  Aij  j j   xác định j   aij  j   aij Ánh xạ xác định có hữu hạn phần tử khác Rõ ràng j  toàn cấu Theo mệnh đề 2.2.17 từ Aij môđun xoắn với j nên  Aij j mơđun xoắn B mơđun xoắn theo (**) Vì B chặn S theo bổ đề Zorn S có phần tử tối đại Ta chứng minh S có phần tử lớn Giả sử A , A hai phần tử tối đại khác S Ta có A A  A A  A  A môđun xoắn nên A A  A Vì R vành PP A mơđun xoắn A  A A mơđun xoắn Từ ta có dãy khớp ngắn:   A   A  A   Mà A A  A A  A A  0 A môđun xoắn nên theo mệnh đề 2.2.18 A  A môđun xoắn Điều mâu thuẫn với A , A phần tử tối đại Vậy S có phần tử tối đại nhất, phần tử lớn nhất.■ Định nghĩa 2.2.20 Môđun xoắn lớn môđun A gọi môđun xoắn A ký hiệu   A  Mệnh đề 2.2.21 Cho R vành PF, A vừa môđun xoắn, vừa mơđun khơng xoắn A  Chứng minh: Luan van 36 A môđun xoắn nên Hom  A, C   với môđun không xoắn C Nên với A môđun không xoắn Hom  A, A   hay A  Mệnh đề 2.2.22 Nếu R vành PF, A môđun xoắn có mơđun thương khơng xoắn tầm thường A A Chứng minh: Giả sử B môđun môđun xoắn A thỏa A B môđun không xoắn Mặt khác A B môđun thương môđun xoắn A nên theo mệnh đề 2.2.18 A B mơđun xoắn Theo mệnh đề 2.2.21 A B  hay A  B Ngược lại, mơđun A có mơđun thương khơng xoắn tầm thường A A Với môđun không xoắn X , với đồng cấu f  Hom  A, X  ta có: A Kerf  Im f  X Vì X mơđun khơng xoắn nên theo mệnh đề 2.2.10 Im f không xoắn nên A Kerf mơđun khơng xoắn Vì theo giả thiết A  Kerf hay f  Vậy Hom  A, X   hay A môđun xoắn.■ Mệnh đề 2.2.23 Nếu R miền ngun định nghĩa 2.2.15 mơđun xoắn trùng với định nghĩa 2.1.4 mơđun xoắn §1 Chứng minh: Khi R miền nguyên R miền PF Giả sử A mơđun xoắn theo định nghĩa 2.2.15 A   A mơđun khơng xoắn dãy khớp i p    A   A  A   A  0   A    A  Vậy A môđun 0 dãy khớp khiết nên Hom  A, A  A    suy  xoắn theo định nghĩa 2.1.4 Luan van 37 Ngược lại A môđun xoắn theo định nghĩa 2.1.4 nên A    A  Với B môđun thực mơđun A A B mơđun xoắn Vậy A có mơđun thương khơng xoắn A   A Theo mệnh đề 2.2.22 A mơđun xoắn theo định nghĩa 2.2.15.■ Nhận xét: Nếu R miền ngun mơđun X không xoắn   X   Định nghĩa 2.2.24 Môđun X gọi môđun không xoắn yếu   X   Nhận xét: Môđun X không xoắn môđun không xoắn yếu Thật vậy, X mơđun khơng xoắn Hom   X  , X     X  mơđun xoắn Nếu   X   có phép nhúng  i  Hom   X  , X   (điều vơ lý) Do   X   ■ Định lý 2.2.25 Các mệnh đề sau tương đương: i R vành PP ii Với môđun A A   A mơđun khơng xoắn iii Mọi môđun không xoắn yếu môđun không xoắn iv Nếu Hom  A, X   với mơđun xoắn A X mơđun khơng xoắn Chứng minh: (i.)  (ii.) Theo mệnh đề 2.2.14 mơđun A có mơđun nhỏ B cho A B môđun không xoắn Ta chứng minh B có mơđun thương khơng xoắn tầm thường Giả sử ngược lại B có mơđun C thực cho B C mơđun khơng xoắn Vì A A  C B B C  B   A   A   Theo mệnh đề nên ta có dãy khớp:  C C B Luan van 38 B , A môđun không xoắn nên A môđun không xoắn C  B Điều C C B mâu thuẫn với tính nhỏ B Vậy theo mệnh đề B mơđun xoắn B    A    A  mơđun xoắn nên   A B môđun xoắn Mặt khác   A môđun không xoắn nên theo giả thiết R vành PP mệnh đề 2.2.10 môđun không xoắn Theo mệnh đề 2.2.21 suy A   A   A B B A   A B B  nên   A   B Vậy môđun không xoắn  A theo ii A (ii.)  (iii.) Nếu A mơđun khơng xoắn yếu   A   Do A   A mơđun không xoắn (iii.)  (iv.) Đặt A    X  , Hom  A, X   với môđun xoắn A hay Hom   X  , X     X   có đồng cấu nhúng  i  Hom   X  , X   (điều vô lý) suy   X   theo định nghĩa 2.2.24 X mơđun khơng xoắn yếu theo giả thiết iii X môđun không xoắn (iv.)  (i.) Giả sử X môđun không xoắn, A môđun môđun X B  A   X   X   theo mệnh đề môđun xoắn Từ dãy khớp ngắn:  A 1.3.2.8 ta có dãy khớp:    Hom  B, A   Hom  B, X    Hom B, X A   Vì X môđun không xoắn B môđun xoắn nên Hom  B, X   nên Hom  B, A   theo giả thiết iv suy A môđun không xoắn theo mệnh đề 2.2.10 nên R vành PF Hơn  X i iI họ môđun không xoắn B mơđun   xoắn Hom  B, X i   0, i  I Hom  B,  X i    Hom  B, Xi   suy tích  iI  iI trực tiếp môđun không xoắn mơđun khơng xoắn theo mệnh đề 2.2.11 r    hữu hạn sinh với   R Xét đồng cấu  : R    R xác định   r    r có Luan van 39 Ker   r  R :  r  0  r    hữu hạn sinh suy  R có biểu diễn hữu hạn  R mơđun dẹt ( R vành PF) Theo mệnh đề 1.3.3.12 suy  R môđun xạ ảnh theo định nghĩa 2.2.8 suy R vành PP.■ Luan van 40 KẾT LUẬN Luận văn tổng hợp số kết môđun không xoắn miền nguyên đưa định nghĩa môđun không xoắn vành giao hốn có đơn vị Từ tổng quát hóa kết hợp số khái niệm như: dãy khớp khiết, vành PP để đưa số kết môđun không xoắn vành giao hoán Do hạn chế lực thời gian nên luận văn chủ yếu trình bày số kết môđun không xoắn vành giao hoán Dựa luận văn tác giả tiếp tục tìm hiểu mơđun khơng xoắn số vành đặc biệt như: vành quy, vành Artin, vành Noether,… Ngồi ra, ta kết hợp với số môđun khác (chẳng hạn môđun chia được) thêm số kết quan trọng môđun không xoắn Luan van 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006), Đại số đồng điều, Nhà xuất Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh Nguyễn Viết Đơng, Trần Huyên, Nguyễn Văn Thìn (2003), Bài tập Đại số đồng điều, Nhà xuất Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh Tiếng Anh J J Rotman (2008), An Introduction to Homological Algebra, Academic Press, New York J Zelamanowitz (1972), Regular modules, Transactions of the American Mathematical Society Robert Wisbauer (1991), Foundations of Module and Ring Theory, University of Dusseldorf T Y Lam (1999), Lectures on Modules and Rings, Springer- Verlag, New York- Heidelberg- Berlin Luan van ...   ) Vậy x  hay môđun tự X môđun không xoắn. ■ Mệnh đề 2.1.5 Môđun môđun xoắn X môđun xoắn Môđun môđun không xoắn X môđun không xoắn Luan van 21 Chứng minh: i A môđun môđun xoắn X Với phần tử... Vậy X  ( X ) môđun không xoắn Định nghĩa 2.1.4 Môđun X gọi môđun xoắn X   ( X ) Môđun X gọi môđun không xoắn phần tử khác không X phần tử không xoắn Như vậy, mơđun X khơng xoắn  x   ... CHƯƠNG 2: MƠĐUN KHƠNG XOẮN TRÊN VÀNH GIAO HỐN §2.1 Môđun không xoắn miền nguyên Khái niệm môđun không xoắn xem xét trước tiên cho R  môđun với R miền nguyên Cho môđun X môđun miền nguyên R Định