(Luận văn thạc sĩ) định thức trên vành giao hoán và định thức dieudonne

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH An Thị Thúy Nga ĐỊNH THỨC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN VÀ ĐỊNH THỨC DIEUDONNE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh 2013 Luan van BỘ GIÁO[.]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH An Thị Thúy Nga ĐỊNH THỨC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN VÀ ĐỊNH THỨC DIEUDONNE LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 Luan van BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH An Thị Thúy Nga ĐỊNH THỨC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN VÀ ĐỊNH THỨC DIEUDONNE Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI XUÂN HẢI Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 Luan van LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Bùi Xuân Hải - người thầy tận tình giúp đỡ hướng dẫn tơi q trình học tập, nghiên cứu hồn thiện luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Q thầy Trường, Phịng Sau đại học, Khoa Tốn học, mơn Đại số - Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy chúng tơi suốt khóa học tạo điều kiện thuận lợi cho thực luận văn Qua đây, xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến gia đình, người thân bạn bè giúp đỡ suốt thời gian học tập thực luận văn TP HCM, ngày 27 tháng năm 2013 An Thị Thúy Nga Luan van MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG KÍ HIỆU MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: ĐỊNH THỨC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN 1.1 Một số khái niệm .5 1.2 Định nghĩa định thức vành giao hoán 1.3 Một số tính chất định thức vành giao hoán 1.4 Một số định lý khai triển định thức vành giao hoán 1.5 Điều kiện để ma trận vành giao hoán khả nghịch 12 1.6 Một số phương pháp tính định thức vành giao hốn .13 1.6.1 Phương pháp dùng định nghĩa .13 1.6.2 Phương pháp khai triển 14 1.6.3 Phương pháp biến đổi định thức dạng tam giác .15 1.6.4 Phương pháp quy nạp 15 1.7 Hệ phương trình tuyến tính vành giao hoán 16 CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC DIEUDONNE 22 2.1 Một số khái niệm 22 2.2 Định nghĩa định thức Dieudonne .26 2.3 Một số tính chất định thức Dieudonne 26 2.4 Sự tồn định thức Dieudonne 29 2.5 Một số kết suy từ định nghĩa tính chất định thức Dieudonne 32 2.6 Một số phương pháp tính định thức Dieudonne .36 2.6.1 Phương pháp .36 2.6.2 Phương pháp .36 2.7 So sánh định thức vành giao hoán định thức Dieudonne 37 2.7.1 Một số tính chất giống hai định thức 37 2.7.2 Một số tính chất khác hai định thức .38 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 Luan van BẢNG KÍ HIỆU a, b = {a, a + 1, a + 2, , b} , a, b ∈  a < b R* - Nhóm nhân vành R AT - Ma trận chuyển vị ma trận A Mn ( R ) - Vành ma trận vuông cấp n vành R GLn ( R ) - Nhóm tuyến tính tổng qt bậc n vành R En ( R ) - Nhóm tuyến tính sơ cấp bậc n vành R [ a, b] = a−1b−1ab - Giao hoán tử phần tử [ H , K ] - Nhóm a b nhóm G G sinh tất giao hoán tử dạng [ a, b ] với a ∈ H , b ∈ K ( H , K tập khác rỗng G Luan van MỞ ĐẦU Đại số tuyến tính nói chung Lý thuyết định thức nói riêng xây dựng trường Trường cấu trúc trọn vẹn nên việc xây dựng định thức có nhiều kết đa dạng phong phú Tuy nhiên thay đổi trường cấu trúc đại số khác, mà cụ thể vành giao hốn có đơn vị vành chia kết biết cịn đúng, hay thay đổi Mặt khác, định thức vành giao hốn nghiên cứu dựa tính giao hốn phép nhân phần tử Cịn định thức Dieudonne nghiên cứu vành chia Sự khác biệt vành giao hoán vành chia dẫn đến khác biệt hai định thức Trên số lý chọn đề tài “Định thức vành giao hoán định thức Dieudonne” để nghiên cứu tìm hiểu Luận văn tổng hợp, trình bày Lý thuyết định thức vành giao hốn định thức Dieudonne, sau so sánh điểm giống khác hai định thức Bố cục luận văn chia làm chương: Chương - Định thức vành giao hoán Chương - Định thức Dieudonne Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý q thầy bạn Xin chân thành cảm ơn Luan van CHƯƠNG 1: ĐỊNH THỨC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa 1.1.1 Xét X = {1, 2, , n} với n số nguyên dương Đặt Sn tập hợp song ánh từ X vào X Ta định nghĩa 1) Mỗi phần tử s ∈ Sn gọi phép hoán vị bậc n hay phép bậc n biểu diễn ma trận loại × n  n  s= ,  s (1) s ( ) s ( n )    dịng thứ nhất, phần tử X xếp theo thứ tự (thường 1, 2,…, n), dịng thứ hai gồm ảnh dòng thứ qua song ánh s 2) Với số nguyên k ≥ 2, phép hoán vị s ∈ Sn gọi k - chu trình có chiều dài k tồn phần tử phân biệt i1 , i2 , , ik ∈ X cho = s ( i1 ) i2= s ( ik −1 ) ik= ; s ( i2 ) i3 ; ;= ; s ( ik ) i1 s ( j ) = j với j ∉ {ik , i2 , , ik } Khi ta viết s = ( i1 i2 i k ) Hai chu trình s = ( i1 i2 ik ) t = ( j1 j2 jl ) gọi rời ∅ {i , i , , i } ∩ { j , j , , j } = k l Mỗi - chu trình gọi chuyển vị Như vậy, chuyển vị có dạng s = ( i j ) với ≤ i ≠ j ≤ n Định lý 1.1.2 Mọi phép hốn vị phân tích thành tích chu trình rời Cách phân tích nhất, sai khác đổi chỗ chu trình Bổ đề 1.1.3 Mọi chu trình phân tích thành tích chuyển vị Cách phân tích khơng Định lý 1.1.4 Mọi phép hốn vị phân tích thành tích chuyển vị Cách phân tích khơng tính chẵn lẻ số chuyển vị Chú ý 1.1.5 Xét phép hoán vị s Gọi k số chuyển vị phân tích s thành tích chuyển vị Đặt Luan van sgn ( s ) = ( −1) k Theo Định lý 1.1.4, sgn ( s ) không phụ thuộc vào cách phân tích s - Nếu sgn ( s ) = s phân tích dạng tích số chẵn chuyển vị Ta nói s hốn vị chẵn - Nếu sgn ( s ) = −1 s phân tích dạng tích số lẻ chuyển vị Ta nói s hốn vị lẻ - Với phép hốn vị s t, ta có ( ) sgn s −1 = sgn ( s ) sgn= ( st ) sgn ( s ) ⋅ sgn ( t ) - Với s k - chu trình, ta có sgn ( s ) = ( −1) k −1 Ví dụ 1.1.6 Xét hốn vị s = (1 )( 10 ) Ta có s = (1 3)(1 )( )( 10 )( )( ) Vậy s phân tích dạng tích chuyển vị nên sgn ( s ) = 1, s hốn chẵn 1.2 Định nghĩa định thức vành giao hoán Xét R vành giao hốn, có đơn vị Định nghĩa 1.2.1 Cho R vành giao hốn, có đơn vị Cho A  aij  ma trận vuông cấp n R Định thức ma trận A R , kí hiệu detA hay A xác định detA   sgn s a1s1a2s2 ansn s Sn 1.3 Một số tính chất định thức vành giao hốn Tính chất 1.3.1 Cho A ma trận vuông cấp n R AT ma trận chuyển vị ma trận A Khi detAT  detA Chứng minh Giả sử A  aij  AT  bij  bij  a ji , i, j  1, n Khi ta có Luan van detAT   sgn s b1s1b2s2 bnsn s Sn   sgn s as11as22 asnn s Sn   s 1 Sn sgn s 1 a1s11a2s12 ans1n   sgn t a1t1a2 t2 antn t Sn  detA Tính chất 1.3.2 Trong định thức đổi chỗ hai dòng cho định thức đổi dấu Chứng minh Đặt A  aij  , giả sử ma trận A đổi dòng i dòng j 1  i, j  n   ta ma trận A  aij Khi detA   sgn s a1s1 aisi a js j ansn s Sn =  sgn s a 1s 1 s Sn .a jsi ais j ansn Với s  Sn , đặt t  Sn cho t i  s  j   t  j   s i  t k   s k  , k  i, j  Khi đó, sgn t   sgn s  a1s1 a jsi ais j ansn  a1t1 aiti a jt j antn Do detA    sgn t a1t1 aiti a jt j antn t Sn  -  sgn t a1t1 aiti a jt j antn t Sn  - detA Tính chất 1.3.3 Nếu ma trận vng A có hai dịng detA  Tính chất 1.3.4 Cho ma trận vuông A  aij  cấp n R Nếu nhân vào dòng thứ i ma trận A với k  R định thức ma trận nhận định thức A nhân với k Luan van Chứng minh Giả sử ma trận A tất hệ số dòng i nhân lên k   lần, dòng khác giữ nguyên ta nhận ma trận A  aij Khi detA   sgn s a1s1 aisi ansn s Sn   sgn s a 1s 1 s Sn   kaisi ansn  k  sgn s a1s1 aisi ansn s Sn  kdetA Hệ 1.3.5 Nếu ma trận vuông A có dịng bội k  R dịng khác detA  Tính chất 1.3.6 Cho ma trận vuông A  aij  cấp n R giả sử dòng thứ i i  1, n A có tính chất aij  bij  cij với bij , cij  R Khi đó, ta có a11 a12 detA  bi1  ci1 bi  ci an1 an a11 a12 a1n a11 a12 a1n bin  cin  bi1 bi bin  ci1 ci cin a1n an1 an ann  ann detB an1 an ann  detC Chứng minh detA   sgn s a1s1 aisi ansn s Sn   sgn s a s Sn 1s 1   bisi  cisi ansn   sgn s a1s1 bisi ansn   sgn s a1s1 cisi ansn s Sn s Sn  detB  detC Tính chất 1.3.7 Nếu cộng vào dịng ma trận vng A bội k  R dịng khác định thức khơng đổi Chứng minh Áp dụng tính chất 1.3.3 tính chất 1.3.4 1.4 Một số định lý khai triển định thức vành giao hoán Định nghĩa 1.4.1 Cho A  aij  ma trận vuông cấp n R Với i, j ta gọi i j Aij  1 detA i; j  Luan van ... CHƯƠNG 1: ĐỊNH THỨC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN 1.1 Một số khái niệm .5 1.2 Định nghĩa định thức vành giao hoán 1.3 Một số tính chất định thức vành giao hốn 1.4 Một số định lý... tài ? ?Định thức vành giao hoán định thức Dieudonne? ?? để nghiên cứu tìm hiểu Luận văn tổng hợp, trình bày Lý thuyết định thức vành giao hoán định thức Dieudonne, sau so sánh điểm giống khác hai định. .. khai triển định thức vành giao hoán 1.5 Điều kiện để ma trận vành giao hoán khả nghịch 12 1.6 Một số phương pháp tính định thức vành giao hoán .13 1.6.1 Phương pháp dùng định nghĩa