(Luận văn thạc sĩ) môđun thỏa mãn tính chất c3 và một số áp dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ THỊ MỸ HƯNG MƠĐUN THỎA MÃN TÍNH CHẤT C3 VÀ MỘT SỐ ÁP DỤNG h LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ THỊ MỸ HƯNG MƠĐUN THỎA MÃN TÍNH CHẤT C3 VÀ MỘT SỐ ÁP DỤNG h Chuyên ngành : Đại số Lý thuyết số Mã số 46 01 04 : Người hướng dẫn: TS LÊ ĐỨC THOANG i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết đề tài MƠĐUN THỎA MÃN TÍNH CHẤT C3 VÀ MỘT SỐ ÁP DỤNG cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn TS Lê Đức Thoang chưa cơng bố cơng trình khoa học khác thời điểm Các nội dung kết sử dụng luận văn có trích dẫn thích nguồn gốc Nếu có điều gian lận, tơi xin chịu trách nhiệm h luận văn Quy Nhơn, ngày 30 tháng năm 2019 Học viên thực đề tài Võ Thị Mỹ Hưng ii Mục lục Lời cam đoan i Bảng ký hiệu iii MỞ ĐẦU 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Một số lớp môđun quan trọng h 1.1.1 Môđun cốt yếu, đối cốt yếu 1.1.2 Môđun nội xạ, môđun xạ ảnh 1.1.3 Môđun Artin, Noether 1.1 1.2 Vành quy (theo nghĩa von Neumann), vành nửa hoàn chỉnh vành hoàn chỉnh 12 1.3 Vành tự nội xạ số lớp vành mở rộng 15 1.3.1 Vành tự nội xạ 15 1.3.2 Vành nửa đơn 15 1.3.3 Vành QF 16 MỘT SỐ LỚP MƠĐUN VÀ VÀNH THỎA MÃN TÍNH CHẤT C3 18 iii 2.1 Một số lớp môđun thỏa mãn tính chất C3 18 2.2 Đặc trưng số lớp vành thơng qua mơđun thỏa mãn tính chất C3 27 MỘT SỐ ÁP DỤNG 46 KẾT LUẬN 53 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 h iv Bảng ký hiệu R : Vành với đơn vị 6= MR (R M ) : Môđun phải (trái) vành R M (I) , M I : Tổng, tích trực tiếp I -bản môđun M Mn (R) : Vành ma trận cỡ n × n vành R A ⊆ B, A ⊂ B : A môđun con, môđun thực B A ⊆ess M : A môđun cốt yếu môđun M A ⊆sm M n L Mi : A môđun đối cốt yếu môđun M : Tổng trực tiếp họ môđun Mi i=1 Q Ri Soc(MR ) : Tích trực tiếp vành Ri : Đế môđun MR , Sr = Soc(RR ) J = J(R) = rad(R) : Căn Jacobson môđun R h ann(m) : Linh hóa tử phần tử m Z(M ) : Mơđun suy biến môđun M Z(M ) = {x ∈ M | annR (x) ⊆ess R} E(M ) RM ∗ : Bao nội xạ M : R-môđun trái Hom(MR , RR ) đối ngẫu MR r(X) (l(X)) : Linh hóa tử phải (trái tương ứng) X End(MR ) : Vành tự đồng cấu môđun MR N ⊆⊕ M : N hạng tử trực tiếp M N∼ =M : N đẳng cấu với M Mod-R (R-Mod) : Phạm trù R-môđun phải (trái) MỞ ĐẦU Trong [24], tác giả Utumi chứng tỏ vành tự nội xạ thỏa mãn ba điều kiện (C1), (C2), (C3) Trong đó, (C1): Mọi mơđun mơđun cốt yếu hạng tử trực tiếp (C2): Mọi mơđun đẳng cấu với hạng tử trực tiếp môđun h hạng tử trực tiếp (C3): Nếu hai hạng tử trực tiếp mơđun giao khơng tổng trực tiếp hai hạng tử hạng tử trực tiếp Sau đó, ba điều kiện Jeremy [12], Takeuchi [23] Mohamed, Bouhy [16] tiếp tục nghiên cứu cho môđun Một môđun gọi C1-mơđun (tương ứng C2-mơđun, C3-mơđun) thỏa mãn điều kiện (C1) (tương ứng (C2), (C3)) Hiện nghiên cứu lớp môđun thỏa điều kiện C3 tác giả nước quan tâm Các lớp C3-môđun bao gồm: môđun tựa nội xạ môđun trực tiếp nội xạ, môđun liên tục môđun tựa liên tục, môđun đều, môđun không phân tích được, mơđun nửa đơn, mơđun SSP Dựa kết báo [1] hướng dẫn TS Lê Đức Thoang chọn đề tài "Mơđun thỏa mãn tính chất C3 số áp dụng " làm đề tài luận văn thạc sĩ Luận văn bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận, Tài liệu tham khảo Nội dung luận văn gồm ba chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức lý thuyết vành môđun; số kiến thức liên quan sử dụng luận văn Chương 2: Một số lớp môđun vành thỏa mãn tính chất C3 Chương trình bày Một số lớp mơđun thỏa mãn tính chất C3 Đặc trưng số lớp vành thông qua mơđun thỏa mãn tính chất C3 h Chương 3: Một số áp dụng Chương trình bày số áp dụng Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy hướng dẫn TS Lê Đức Thoang, Trường Đại học Phú Yên Nhân dịp tơi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn Chúng xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán - Thống kê quý thầy cô giáo giảng dạy lớp cao học Đại số Lý thuyết số khóa 20 dày cơng giảng dạy suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập thực đề tài Nhân xin chân thành cảm ơn hỗ trợ mặt tinh thần gia đình, bạn bè ln tạo điều kiện giúp đỡ để tơi hồn thành tốt khóa học luận văn Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý q thầy giáo để luận văn hồn thiện h Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong suốt luận văn này, vành xét vành có đơn vị, thường ký hiệu R tất R-môđun phải môđun unita Để thuận tiện, ta nói mơđun thay cho R-mơđun phải ký hiệu M thay cho ký hiệu MR Khi cần thiết, ta rõ M môđun phải hay trái Những khái niệm h môđun luận văn trình bày cho R-mơđun phải (hoặc trái), khái niệm cho phía cịn lại hồn tồn tương tự Trong chương này, hệ thống lại kiến thức cần thiết cho việc chứng minh chương sau 1.1 1.1.1 Một số lớp môđun quan trọng Môđun cốt yếu, đối cốt yếu Định nghĩa 1.1.1 Môđun N môđun M gọi cốt yếu M , ký hiệu N ⊆ess M , N ∩ K 6= với môđun khác không K M Nếu N mơđun cốt yếu M ta nói M mở rộng cốt yếu N