(Luận văn) môđun thỏa mãn tính chất c3 và một số áp dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ THỊ MỸ HƯNG lu an va n MÔĐUN THỎA MÃN TÍNH CHẤT C3 VÀ MỘT SỐ ÁP DỤNG p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi z m co l gm @ an Lu Bình Định - Năm 2019 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ THỊ MỸ HƯNG lu an n va p ie gh tn to MÔĐUN THỎA MÃN TÍNH CHẤT C3 VÀ MỘT SỐ ÁP DỤNG oa nl w d Chuyên ngành : Đại số Lý thuyết số an lu Mã số : 46 01 04 nf va z at nh oi lm ul Người hướng dẫn: TS LÊ ĐỨC THOANG z m co l gm @ an Lu n va ac th si i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết đề tài MƠĐUN THỎA MÃN TÍNH CHẤT C3 VÀ MỘT SỐ ÁP DỤNG cơng trình nghiên cứu lu an hướng dẫn TS Lê Đức Thoang chưa công va n bố cơng trình khoa học khác thời điểm gh tn to Các nội dung kết sử dụng luận văn có trích dẫn p ie thích nguồn gốc Nếu có điều gian lận, tơi xin chịu trách nhiệm nl w luận văn d oa Quy Nhơn, ngày 30 tháng năm 2019 an lu Học viên thực đề tài nf va z at nh oi lm ul Võ Thị Mỹ Hưng z m co l gm @ an Lu n va ac th si ii Mục lục i Bảng ký hiệu iii lu Lời cam đoan an n va gh tn to MỞ ĐẦU p ie KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Một số lớp môđun quan trọng nl w 1.1 Môđun cốt yếu, đối cốt yếu Môđun Artin, Noether nf va Vành quy (theo nghĩa von Neumann), vành nửa hoàn lm ul 1.2 an 1.1.3 Môđun nội xạ, môđun xạ ảnh lu 1.1.2 d oa 1.1.1 chỉnh vành hoàn chỉnh 12 z at nh oi 1.3 Vành tự nội xạ số lớp vành mở rộng 15 Vành tự nội xạ 15 1.3.2 Vành nửa đơn 15 1.3.3 Vành QF 16 z 1.3.1 co l gm @ m MỘT SỐ LỚP MƠĐUN VÀ VÀNH THỎA MÃN TÍNH an Lu CHẤT C3 18 n va ac th si iii 2.1 Một số lớp mơđun thỏa mãn tính chất C3 18 2.2 Đặc trưng số lớp vành thông qua mơđun thỏa mãn tính chất C3 27 MỘT SỐ ÁP DỤNG 46 KẾT LUẬN 53 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si iv Bảng ký hiệu lu an va R : Vành với đơn vị 6= MR (R M ) : Môđun phải (trái) vành R M (I) , M I : Tổng, tích trực tiếp I -bản môđun M Mn (R) : Vành ma trận cỡ n × n vành R A ⊆ B, A ⊂ B : A môđun con, môđun thực B A ⊆ess M : A môđun cốt yếu môđun M A ⊆sm M n L Mi : A môđun đối cốt yếu môđun M : Tổng trực tiếp họ môđun Mi i=1 n Ri : Tích trực tiếp vành Ri Soc(MR ) : Đế môđun MR , Sr = Soc(RR ) ie gh tn to Q p J = J(R) = rad(R) : Căn Jacobson môđun R : Linh hóa tử phần tử m nl w ann(m) : Môđun suy biến môđun M d oa Z(M ) ∗ : Linh hóa tử phải (trái tương ứng) X z at nh oi r(X) (l(X)) : R-môđun trái Hom(MR , RR ) đối ngẫu MR lm ul RM : Bao nội xạ M nf va E(M ) an lu Z(M ) = {x ∈ M | annR (x) ⊆ess R} : Vành tự đồng cấu môđun MR N ⊆⊕ M : N hạng tử trực tiếp M N∼ =M : N đẳng cấu với M Mod-R (R-Mod) : Phạm trù R-môđun phải (trái) z End(MR ) m co l gm @ an Lu n va ac th si MỞ ĐẦU Trong [24], tác giả Utumi chứng tỏ vành tự nội xạ thỏa mãn lu an ba điều kiện (C1), (C2), (C3) Trong đó, va n (C1): Mọi môđun môđun cốt yếu hạng tử trực to ie gh tn tiếp p (C2): Mọi môđun đẳng cấu với hạng tử trực tiếp môđun oa nl w hạng tử trực tiếp d (C3): Nếu hai hạng tử trực tiếp môđun giao khơng lu nf va an tổng trực tiếp hai hạng tử hạng tử trực tiếp lm ul Sau đó, ba điều kiện Jeremy [12], Takeuchi [23] Mohamed, Bouhy [16] tiếp tục nghiên cứu cho môđun Một môđun gọi z at nh oi C1-môđun (tương ứng C2-mơđun, C3-mơđun) thỏa mãn điều kiện (C1) (tương ứng (C2), (C3)) Hiện nghiên cứu lớp môđun thỏa z gm @ điều kiện C3 tác giả nước quan tâm Các l lớp C3-môđun bao gồm: môđun tựa nội xạ môđun trực tiếp nội xạ, m co môđun liên tục môđun tựa liên tục, môđun đều, môđun không phân an Lu tích được, mơđun nửa đơn, mơđun SSP Dựa kết báo [1] hướng dẫn TS Lê Đức Thoang chọn đề n va ac th si tài "Mơđun thỏa mãn tính chất C3 số áp dụng " làm đề tài luận văn thạc sĩ Luận văn bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận, Tài liệu tham khảo Nội dung luận văn gồm ba chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức lý thuyết vành môđun; số kiến thức liên quan sử dụng luận văn lu an Chương 2: Một số lớp môđun vành thỏa mãn tính chất C3 n va Chương trình bày ie gh tn to Một số lớp mơđun thỏa mãn tính chất C3 p Đặc trưng số lớp vành thông qua môđun thỏa mãn tính chất C3 nl w d oa Chương 3: Một số áp dụng an lu Chương trình bày số áp dụng nf va Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn giúp đỡ tận tình lm ul thầy hướng dẫn TS Lê Đức Thoang, Trường Đại học Phú Yên Nhân dịp z at nh oi tơi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Chúng xin z gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phịng @ gm Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn - Thống kê quý thầy cô giáo giảng co l dạy lớp cao học Đại số Lý thuyết số khóa 20 dày cơng giảng dạy m suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học an Lu tập thực đề tài Nhân xin chân thành cảm ơn n va ac th si hỗ trợ mặt tinh thần gia đình, bạn bè tạo điều kiện giúp đỡ để tơi hồn thành tốt khóa học luận văn Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý q thầy giáo để luận văn hoàn thiện lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ lu an n va Trong suốt luận văn này, vành xét vành có đơn vị, thường ký tn to hiệu R tất R-môđun phải môđun unita Để thuận tiện, ta ie gh nói mơđun thay cho R-mơđun phải ký hiệu M thay cho ký hiệu MR p Khi cần thiết, ta rõ M môđun phải hay trái Những khái niệm nl w môđun luận văn trình bày cho R-mơđun phải (hoặc d oa trái), khái niệm cho phía cịn lại hoàn toàn tương tự an lu Trong chương này, hệ thống lại kiến thức cần thiết nf va cho việc chứng minh chương sau Một số lớp môđun quan trọng z at nh oi 1.1.1 lm ul 1.1 Môđun cốt yếu, đối cốt yếu z @ gm Định nghĩa 1.1.1 Môđun N môđun M gọi cốt yếu co l M , ký hiệu N ⊆ess M , N ∩ K 6= với môđun khác không m K M Nếu N mơđun cốt yếu M ta nói M mở an Lu rộng cốt yếu N n va ac th si 42 α = a1 u1 + · · · + an un ∈ F Rα ∼ = R (với α ↔ 1) Theo (2) ta có Rα hạng tử trực tiếp F Do tồn đồng cấu f : F → R với f (α) = 1α = Ta có A ⊆ R đồng cấu f : F → R xác P định ảnh ri ui nên = f (α) = i ri ∈ A Vậy A = R Bổ đề 2.2.20 Nếu M mơđun xạ ảnh N ⊆ M , M/N dẹt x ∈ N , tồn γ : M → N cho γ(x) = x Định lý sau cung cấp số đặc trưng vành C3 mạnh phải, lu an hoàn chỉnh phải va n Định lý 2.2.21 Các điều kiện sau tương đương: tn to p ie gh (1) Mọi R-môđun dẹt phải C3-môđun; tiếp; d oa nl w (2) Mọi môđun dẹt R-môđun dẹt phải hạng tử trực nf va an lu (3) Mọi R-môđun xạ ảnh phải C3-môđun; (4) Mọi môđun xạ ảnh R-môđun xạ ảnh phải hạng tử z at nh oi (5) R vành lm ul trực tiếp; P -đếm C3 phải; z (6) R vành C3 mạnh phải, hoàn chỉnh phải gm @ Chứng minh (1) ⇒ (3) ⇒ (5) (2) ⇒ (4) Dễ thấy l m co (3) ⇒ (4) Cho P R-môđun phải xạ ảnh Q môđun an Lu xạ ảnh P Khi P ⊕ Q, xạ ảnh, C3-môđun Nếu i : Q → P nội xạ đơn ánh tắc, theo Hệ 2.1.15 Q ⊆⊕ P n va ac th si 43 (4) ⇒ (3) Cho A ∼ = B ⊆⊕ P , P xạ ảnh, A ⊆ P B ⊆ P Khi A xạ ảnh, nên A hạng tử trực tiếp P Từ suy ra, P C2-mơđun, C3-mơđun (5) ⇒ (6) Ta cần chứng minh R vành hoàn chỉnh phải Bởi vậy, ta chứng minh R thỏa DCC iđêan phải dẫn đầu có dạng Ra1 ⊇ Ra2 a1 ⊇ Ra3 a2 a1 ⊇ · · · Cho F R-môđun phải tự với sở x1 , x2 , , xi , (i ∈ N), G môđun F sinh lu yi = xi − xi+1 , (i ∈ N) Giả sử n ≥ k rk , , rn ∈ R Khi an n va rk yk + · · · + rn yn = rk xk + (rk+1 − rk ak )xk+1 + · · · + to gh tn (rn − rn−1 an−1 )xn + rn an xn+1 p ie Nếu rk yk + · · · + rn yn = rk = rk+1 = · · · = rn = (vì x1 , x2 , nl w độc lập tuyến tính) Từ suy y1 , y2 , độc lập tuyến tính Bởi vậy, d oa G tự với sở y1 , y2 , , yi , , (i ∈ N) Do đó, G ⊕ F , đẳng an lu cấu từ tổng trực tiếp đếm R, C3-môđun nf va phải Nếu σ : G → F ánh xạ nhúng, theo Hệ 2.1.15 ta có F →G z at nh oi lm ul G ⊆⊕ F Khi đó, tồn đẳng cấu từ xn 7→ yn z @ gm Giả sử ánh xạ nhúng G → F chẻ Khi đó, tồn đồng cấu X an Lu k cmk xk m xm s = co l s ∈ End(R F ) cho yn s = xn , n ∈ N Với m ∈ N, n va ac th si 44 tổ hợp tuyến tính x1 , x2 , Khi xn = yn s = (xn − xn+1 an )s = X (cnk − an cn+1,k )xk k Và cnk − an cn+1,k = δnk Với k , c1n = 0, với n ≥ k Từ suy với n ≥ k , −a1 an cn+1,n = a1 an−1 (1 − cnn ) = a1 an−1 − a1 an−1 cnn lu = a1 an−1 − a1 an−2 cn−1,n an n va gh tn to = a1 an−1 − a1 c1n = a1 an−1 p ie w Do đó, với n ≥ k , a1 an−1 ∈ a1 an R Bởi vậy, chuỗi Ra1 ⊇ oa nl Ra2 a1 ⊇ Ra3 a2 a1 ⊇ · · · dừng (đpcm) d (6) ⇒ (1) Cho R hồn chỉnh phải, nên R-mơđun dẹt phải xạ an lu nf va ảnh, tương đương ta cần chứng minh tổng trực tiếp hữu (A) lm ul hạn R, ký hiệu RR , C2-môđun (A) z at nh oi C3-môđun Cho F = RR K môđun xạ ảnh F Ta cần chứng minh K ⊆⊕ F Lần R hoàn chỉnh phải, ta cần chứng minh F/K dẹt Theo Bổ đề 2.2.20, với x ∈ K , tồn z gm @ λ : F → K cho λ(x) = x Khi R nửa hồn chỉnh, R có tập l sở nguyên thủy lũy linh {e1 , e2 , , en } cho {e1 R, e2 R, , en R} m co tập đầy đủ biểu diễn R-môđun xạ ảnh phải khơng phân an Lu tích được, R = (e1 R)(m1 ) ⊕ (e2 R)(m2 ) ⊕ · · · ⊕ (en R)(mn ) Vì R hoàn n va chỉnh phải K xạ ảnh, K(e1 R)(A1 ) ⊕ (e2 R)(A2 ) ⊕ · · · ⊕ (en R)(An ) ⊆⊕ F ac th si 45 với tập số hữu hạn Ai (1 ≤ i ≤ n) Khi σ(x) ∈ T =: (e1 R)(B1 ) ⊕ (e2 R)(B2 ) ⊕· · ·⊕(en R)(Bn ) với tập số hữu hạn Bi (1 ≤ i ≤ n) Bởi R (I) vành C2 mạnh phải x ∈ σ −1 (T ) ∼ = T ⊆⊕ RR , I hữu hạn, từ ta suy x ∈ σ −1 (T ) ⊆⊕ F Nếu ta định nghĩa γ = πσ−1 (T ) : F → K phép chiếu F lên σ −1 (T ), γ(x) = x (đpcm) (6) ⇒ (2) Rõ ràng R hoàn chỉnh phải (6) ⇒ (4) từ chứng minh lu Định lý 2.2.22 Các điều kiện sau tương đương: an va n (1) Mọi R-môđun tựa xạ ảnh phải C3-môđun; tn to (2) R/I P -đếm C3-môđun phải, với iđêan I R ie gh p Chứng minh (1) ⇒ (2) Vì R-mơđun xạ ảnh phải C3-môđun, oa nl w theo Định lý 2.2.21, R vành hoàn chỉnh phải Nếu I iđêan R theo Định lý 2.2.21, ta cần chứng minh R/I -môđun xạ ảnh d lu nf va an phải C3-môđun Nhưng M R/I -mơđun xạ ảnh phải, M xạ ảnh R/AnnR (M )-môđun Theo Mệnh đề 1.2.9, MR lm ul tựa xạ ảnh R-môđun phải, C3-mơđun theo giả z at nh oi thuyết Nhưng rõ ràng M C3-môđun R/I -môđun (2) ⇒ (1) Theo Định lý 2.2.21, R hoàn chỉnh phải Khi đó, M z R-mơđun tựa nội xạ phải, M xạ ảnh R/AnnR (M )-mơđun @ l gm (theo Mệnh đề 1.2.9) Một ứng dụng khác Định lý 2.2.21 đảm bảo M C3-môđun R/AnnR (M )-môđun phải, m co C3-mơđun R-mơđun an Lu n va ac th si 46 Chương MỘT SỐ ÁP DỤNG lu an n va Các kết chương chủ yếu tham khảo từ tài liệu [19] ie gh tn to [28] Định lý sau cung cấp số đặc trưng vành hoàn chỉnh P phải R với J(R) = Z(RR ) chứng tỏ vành vành -đếm p C3 phải w d oa nl Định lý 3.0.1 Cho vành R phát biểu sau tương đương: P -đếm C3 phải với a ∈ R, r(a) ⊆ess eR, an lu (1) R vành nf va e2 = e ∈ R; lm ul (2) R vành P -đếm C3 phải với a ∈ R, aR = P ⊕ S , z at nh oi PR xạ ảnh SR suy biến; (3) R hoàn chỉnh phải với J(R) = Z(RR ); z @ gm (4) Mọi môđun Q R-mơđun xạ ảnh phải P có phân tích co l Q = X ⊕ Y , X hạng tử trực tiếp P Y ⊆ Z(P ) m Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử r(a) ⊆ess (1 − f )R, f = f ∈ R an Lu Ta cần chứng minh aR = af R ⊕ a(1 − f )R n va ac th si 47 Thật vậy, rõ ràng aR = af R + a(1 − f )R Nếu x ∈ af R ∩ a(1 − f )R, x = af r = a(1 − f )s, r, s ∈ R Khi f r − (1 − f )s ∈ r(a) ⊆ (1 − f )R, f r = 0, Bởi x = af r = Khi af R ∼ = f R ánh xạ nhân a· : f R → af R có Ker(a·) = {f r | af r = 0} = f R ∩ r(a) = Do af R xạ ảnh Cuối cùng, ánh xạ a· : (1 − f )R → a(1 − f )R có Ker(a·) = (1 − f )R ∩ r(a) = r(a) Do a(1 − f )R ∼ = (1 − f )R/r(a), a(1 − f )R suy biến theo Bổ đề lu 1.1.33 r(a) ⊆ess (1 − f )R an (2) ⇒ (1) Giả sử aR = P ⊕ S (2), π : aR → P phép chiếu va n với ker(π) = S Khi định nghĩa λ : R → P λ(r) = π(ar) đặt gh tn to K = ker(λ) Ta có λ toàn ánh, P xạ ảnh, K = eR với e2 = e ∈ R p ie Rõ ràng r(a) ⊆ rR; ta cần chứng minh r(a) ⊆ess eR w Nếu k ∈ K ak ∈ S π(ak) = λ(k) = Do đó, ta có ánh xạ oa nl θ : K → S định nghĩa θ(k) = ak Khi ker(θ) = K ∩ r(a) = r(a), d nên K/r(a) ∼ = im(θ) ⊆ S Bởi K/r(a) suy biến lu nf va an ¯ = r(a) ⊕ Q F/r(a) ¯ ∼ Nếu K ⊕ Q = F tự r(a) = K/r(a) suy lm ul biến, ta giả sử K tự Trong trường hợp này, giả sử {ei | i ∈ I} z at nh oi sở KR Ai = r(ei + r(a)) với i Khi Ai ⊆ess RR , P P ei Ai ⊆ess ei R, ei Ai ⊆ess ei R = K Nhưng (ei + r(a))Ai = nghĩa ei Ai ⊆ r(a) với i Do r(a) ⊆ K z gm @ (2) ⇔ (3) Theo 2.2.21 l (3) ⇒ (4) Hiển nhiên giả sử Q mơđun R-môđun m co xạ ảnh phải P Vì R hồn chỉnh phải nên R-mơđun phải P/Q có an Lu phủ xạ ảnh Do P có phân tích P = P1 ⊕ P2 cho P1 ⊆ Q n va ac th si 48 Q ∩ P2 ⊆ J(P ), Nhưng J(P ) = P.J(R) = P.Zr ⊆ Z(P ) Do Q = X ⊕ Y , X = P1 Y = Q ∩ P2 (4) ⇒ (3) Dễ thấy Vì J(R) = Z(RR ) ln với vành tự nội xạ bất kỳ, nên hệ suy trực tiếp từ Định lý 2.2.21 Định lý 3.0.1 Hệ 3.0.2 Các điều kiện sau tương đương vành R cho: lu (1) R vành P -đếm C3 phải E(RR ) xạ ảnh; an n va (2) R vành tự nội xạ phải hoàn chỉnh phải Q -xạ ảnh đếm tích gh tn to Một R-môđun phải M gọi p ie trực tiếp M xạ ảnh oa nl w Định lý 3.0.3 Các điều kiện sau tương đương: d (1) R vành (2) R vành QF nf va an lu được; P Q -đếm C3 phải E(RR ) -xạ ảnh đếm lm ul z at nh oi Chứng minh (2) ⇒ (1) Dễ thấy z (1) ⇒ (2) Theo Hệ 3.0.2, R tự nội xạ phải, R-mơđun Q (N) RR -xạ ảnh đếm Theo Định lý 2.2.21, RR hạng tử trực tiếp P N R-môđun RR nội xạ, tương đương R vành đếm nội gm @ m co l xạ phải Theo Mệnh đề 1.1.39 Mệnh đề 1.3.11, ta có R vành QF Một vành R gọi Kasch trái R-môđun đơn trái an Lu nhúng RR , tương đương, r(L) 6= với iđêan trái thực L n va ac th si 49 R Theo Định lý 2.2.19, vành Kasch trái vành C3 mạnh phải Hệ 3.0.4 Các điều kiện sau tương đương: (1) R vành nội xạ đơn trái hoàn chỉnh phải; (2) R vành P -đếm C3 phải r(L) đơn với iđêan L trái cực đại R; lu an (3) R vành P -đếm C3 phải môđun đối ngẫu n va R-môđun trái đơn đơn gh tn to Chứng minh (1) ⇒ (3) Giả sử MR đơn 6= δ ∈ M ∗ , ta chứng minh ie M ∗ = Rδ Dễ thấy δ : M → δ(M ) dẳng cấu Cho p δ −1 γ w γ ∈ M ∗ ta có δ(M ) −−→ M → − R, γ ◦ δ −1 = a· với a ∈ R theo (1) oa nl Từ suy γ = aδ , (3) chứng minh xong d (3) ⇒ (2) Nếu L iđêan trái cực đại R R/L = R(1 + L) lu nf va an đơn (1 + L)l = L Giả sử b ∈ r(L), ánh xạ λb : R/L → R định nghĩa λb (mr) = br Khi b 7→ λb đơn cấu r(L) → (R/L)∗ lm ul R-mơđun trái, tồn cấu λ ∈ (R/L)∗ , λ = λb z at nh oi b = λ(m) ∈ r(L) Do r(L) ∼ = (R/L)∗ Bởi (2) thỏa P (2) ⇒ (1) Từ RR -đếm C3-mơđun suy R vành hồn z gm @ chỉnh phải theo 2.2.21 Bây ta cần chứng minh R vành nội xạ đơn trái Giả sử l m co λ : M → R, M R-mơđun đơn, cho ι : M → R phép nhúng an Lu Khi M ∗ = Rι theo (2), λ = cι với c ∈ R Bởi λ = c· n va ac th si 50 Nếu R thỏa mãn điều kiện tương đương hệ trên, R Kasch trái phải Mệnh đề 3.0.5 Cho R vành nửa hoàn chỉnh với soc(RR ) ⊆ess RR J(R) ⊆ Z(RR ) Khi R vành Kasch phải Nói riêng, R vành C3 trái mạnh Hơn nữa, R R/soc(RR ) thỏa ACC linh hóa P tử trái, R vành -đếm C3 trái Chứng minh Vì R nửa hoàn chỉnh nên iđêan T R lu an viết T = eR ⊕ K , e2 = e ∈ R K ⊆ J(R) Đặc biệt, Z(RR ) ⊆ va n J(R), theo giả thuyết J(R) = Z(RR ) Hơn nữa, R nửa địa gh tn to phương, nên soc(RR ) ⊆ l(Z(RR )) = l(J(R)) = soc(RR ), tương đương p ie soc(RR ) ⊆ess RR Khi l(T ) = l(eR) ∩ l(K) = R(1 − e) ∩ l(K) ⊇ w R(1 − e) ∩ l(J) = R(1 − e) ∩ soc(RR ) 6= Do R Kasch phải, oa nl theo Định lý 2.2.19 R vành C3 mạnh trái d Nếu ta giả sử thêm R có ACC linh tử hóa trái, Z(RR ) lu nf va an lũy linh R nửa ngun tố Vì R vành C3 mạnh trái, P nên theo Định lý 2.2.21 RR -đếm C3-mơđun Khi giả lm ul ¯ = R/soc(RR ) có ACC linh tử hóa trái Ta chứng minh sử R z at nh oi J T -lũy linh trái Thật vậy, giả sử a1 , a2 , dãy phần tử từ J(R) = Z(RR ) Vì soc(RR ) ⊆ l(Z(RR )), ∈ r(soc(RR )), theo z gm @ Mệnh đề 1.1.32 nên ta suy l(a1 a2 · · · an+1 ) = l(a1 a2 · · · an ) với số nguyên n ≥ Ta khẳng định a1 a2 · · · an = Mặt khác, an+1 ∈ l m co Z(RR ) nên l(an+1 )∩Ra1 a2 · · · an 6= 0, tồn 6= x = ra1 a2 · · · an an Lu cho ra1 a2 · · · an an+1 = với r ∈ R Nhưng r ∈ l(a1 a2 · · · an ), x = (mâu thuẫn) Điều chứng tỏ J(R) T -lũy linh trái n va ac th si 51 Vì R nửa hoàn chỉnh, nên R hoàn chỉnh trái, RR P -đếm C3-mơđun P Các ví dụ sau chứng tỏ vành -đếm C3 phải P không -đếm C3 trái khơng tự nội xạ trái (hoặc phải) Ví dụ 3.0.6 Cho F trường R vành ma trận vuông tam giác vô hạn đếm F , với hữu hạn phần tử ngồi đường chéo khác khơng Cho S F -đại số R sinh J(R) Khi lu an S vành nội xạ đơn trái, hồn chỉnh trái S khơng hồn chỉnh P phải không nội xạ đơn Đặc biệt, S không vành -đếm C3 n va tn to phải Hơn nữa, S không tự nội xạ trái khơng hữu hạn chiều p ie gh trái Bởi S/J(S) ∼ = F , từ suy S vành Kash phải tương oa nl w đương S vành C3 mạnh trái Theo Định lý 2.2.21, S vành P -đếm C3 phải d Ví dụ 3.0.7 (Johhn Clark) Vành R giao hoán với chuỗi iđêan an lu nf va = Rv0 ⊃ Rv1 ⊃ Rv2 · · · ⊃ V ⊃ · · · ⊃ Rp2 ⊃ Rp ⊃ R lm ul p vi thỏa mãn pvk = vk−1 với k ≥ V không iđêan z at nh oi Do R địa phương với đế cốt yếu đơn Hơn nữa, R vành z Kasch nội xạ đơn với J(R) = Z(R), không hồn chỉnh khơng P tự nội xạ Đặc biệt, R vành C3 mạnh không -đếm l gm @ C3-mơđun m co Ví d 3.0.8 (Bjăork) Cho F l mt trng v gi sử a → a ¯ an Lu đẳng cấu F → F ⊆ F trường F 6= F Cho R không gian vectơ trái với sở {1, t}, ta định nghĩa t2 = ta = a ¯t với a ∈ F n va ac th si 52 Khi R F -đại số Dễ thấy R vành nội xạ đơn phải Artin trái P địa phương Đặc biệt, R vành -đếm C3 phải trái, Kasch phải trái Tổng quát, R không cần QF ; R QF dim(F F ) = lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 53 KẾT LUẬN Trong luận văn thực cơng việc sau lu an n va Trình bày kiến thức số lớp môđun số gh tn to vành quan trọng p ie Đọc hiểu trình bày lại cách chi tiết, có hệ thống kết w đặc trưng liên quan đến số lớp mơđun vành thỏa mãn d oa nl tính chất C3 tài liệu tham khảo an lu Đọc hiểu trình bày lại cách chi tiết, có hệ thống số áp nf va dụng đặc trưng C3-môđun z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 54 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] I Amin, Y Ibrahim, M Yousif (1992), C3-Modules, Berlin - Heidelberg - New York lu an [2] I Amin, Y Fathi, M.F Yousif, (2008), Strongly simple-injrctive rings va n and modules, Algebra Colloq 15, 135-144 tn to ie gh [3] I Amin, M.F Yousif, N Zeyada (2005) Soc-injective rings and mod- p ules Comm Algebra 33, 4229-4250 w oa nl [4] F.W Anderson, K.R Fuller (1974), Rings and Categories of Modules, d Springer - Verlag, Berlin - New York an lu nf va [5] Y Baba, K Oshiro (2009), Classical Artinian Rings and Related Top- lm ul ics, World Sci., Singapore z at nh oi [6] H Bass (1960), Algebra, II Ring theory Finitistic dimension and a homological generalization of semiprimary rings, Trans Amer Math z Soc 95, 466-488 gm @ [7] J.L Chen, W.X Li (2004), On Artiness of right CF rings, Comm m co l Algebra 32, 4485-4494 Israel J Math 39, 189-209 an Lu [8] E.E Enochs (1981), Injective and flat cover, envelopes and resolvents, n va ac th si 55 [9] C Faith (1966), Rings with ascending condition on annihilators, Nagoya Math J 27, 179-191 [10] C Faith, E.A Walker (1967), Direct sum representations of injective modules, J Algebra 5, 203-221 [11] K.R Fuller (1969), On direct representations of quasi-injectives and quasi-projectives, Arch Math 20, 495-502 [12] L Jeremy (1971), Surles modules et anneaux quasi-continus, C R lu an Acad Sci Paris (Série A) 272, 80-83 n va 2) 68, 372-377 ie gh tn to [13] I Kaplansky (1958), Projective modules, Annals of Mathematic (Ser p [14] F Kasch (1982), Modules and Rings, L.M.S Monograph No 17, Aca- oa nl w demic Press, New York d [15] A.C Mewbor, C.N Winton (1969), Orders in self-injective semiperfect lu nf va an rings, J Algebra 13, 5-9 z at nh oi Eng 2, 107-112 lm ul [16] S.H Mohamed, T Bouhy (1977), Continuous modules Arabian J Sci [17] S.H Mohamed, B.J Muller (1990), Continuous and Discrete modules, z Cambridge Univ Press, Cambridge gm @ [18] W.K Nicholson (1976), Semiregular modules and rings, Canad J m co l Math 28 (5), 1105-1120 an Lu [19] W.K Nicholson, M.F Yousif (2003), Quasi-Frobenius rings, Cambridge Tracts in Math 158, Cambridge Univ Press, Cambridge n va ac th si 56 [20] K Oshiro (1984), Lifting modules, extending modules and their application to QF-rings, Hokkaido Math J 13, 310-338 [21] B.L Osofsky (1966), A generalization of quasi-Frobenius rings, J Algebra 4, 373-387 [22] L Shen, J Chen, On countably P −C2 rings (preprint) [23] T Takeuchi (1972), On direct modules, Hokkaido Math J 1, 168-177 lu an [24] Y Utumi (1961), On continuous regular rings, Canad Math Bull 4, n va 63-69 gh tn to [25] R Ware (1971), Endomorphism rings of projective modules, Trans p ie Amer Math Soc 155, 233-256 nl w [26] R Wisbauer (1991), Foundations of Module and Ring Theory, Gordon d oa and Breach, Philadelphia lu nf va an [27] W Xue (1993), Characterization of rings using direct-projective modules and direct-injective modules, J Pure App Algebra 87, 99-104 lm ul [28] M.F Yousif, Y Zhou (2002), Semiregular, semiperfect and perfect z at nh oi rings relative to an ideal, Rocky Mountain J Math 32, 1651-1671 z m co l gm @ an Lu n va ac th si