MUC LUC
A PHAN MO DAU cccccsseceececeescesseecceseecesceseescesceeecesseceeceseeseees 2 I LÍ DO CHỌN ĐÉ TÀI -.- -.- << << «se s3 cesses 2 H MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU << c<< << << << se s2 2
II ĐÔI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - << <<<< << =<< <2 2 IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - -< - 2
B PHÂN NỘI DUNG SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM 4 I CƠ SỞ LÍ LUẬN - - cc< cc<c.< sec se se Sen, 4 II THỰC TRẠNG CA VẬN ĐÈ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG
KIÊN KINH NGHIỆM - -.- << << ccc << << s2 5
Trang 2A PHAN MO ĐẦU I LÍ DO CHỌN ĐÉ TÀI
Trong chương trình mơn tốn trung học phô thông, bắt đầu từ cuối lớp 10 học sinh sẽ phải tiếp cận với những kiến thức mới lạ Phân lớn học sinh đều bỡ ngỡ và có thái độ buông xuôi, cũng bởi ngày này các em được gần gủi với nhiều trò
chơi vô bổ để quên đi công việc học tập cần thiết Đặc biệt phân môn hình học thực
sự gây vô vàn khó khăn cho học sinh khi các em bước sang phần “hình học không gian”, từ “Chương II— ĐƯỜNG THẮNG VÀ MẶT PHANG TRONG KHONG GIAN QUAN HE SONG SONG” cua lép 11
Qua thực tế giảng dạy tôi thấy cần tạo cho học sinh một sự tự tin nhất định để các em có thêm tình yêu với phân hình học không gian Cụ thể là khi học sinh học phân thiết diện của hình chóp, các em thường vẽ hình sai hoặc chưa có hướng
để thực hiện bài tốn Vì vậy tơi mạnh dạn đưa ra dé tai: “HUONG DAN HOC SINH LAM QUEN VOI BAI TOAN XAC DINH THIET DIEN CUA HINH CHOP”
Il MUC DICH NGHIEN CỨU
Đề tài cung cấp cho học sinh một số dạng khi xác định thiết diện của hình
chóp giúp các em phan nao dé dễ dàng hơn trong cách tư duy
Đề tài cũng là một góp ý nhỏ cho các đồng nghiệp trong khi thiết kế bài giảng của mình
HI ĐÔI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Đối tượng được đề tài nghiên cứu là các bài toán xác định thiết diện của hình chóp trong phạm vi kiến thức quan hệ song song
IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1 Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết
Củng cô khái niệm giao tuyến của hai mặt phăng, một số kết quả về sự song song của hai đường thăng trong không gian
Trang 32 Phương pháp thu thập thông tin, thống kê, xử lí số liệu
Thu thập thông tin thông qua các nhiệm vụ giao cho học sinh như: Bài tập
vận dụng trên lớp, bài tập về nhà
Thống kê số lượng học sinh hoàn thành nhiệm vụ biết vận dụng dé tir dé
đánh giá được hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm Lấy ý kiến phản biện từ các đồng nghiệp
Trang 4B PHAN NOI DUNG SANG KIEN KINH NGHIEM I CO SO LI LUAN [1], [2], [3], [4]
1 Giao tuyến của hai mặt phang
z 2 ) ⁄ 2
Nêu hai mặt phăng phân biệt P| và “Ì có một điểm chung thì chúng sẽ có một đường thăng chung ^ duy nhất chứa tất cả các điểm chung Đường thăng đó được k - 2 ¬ na A gọi là g1ao tuyên của hai mặt phăng và viết là P)o|a] =A 2 Giao tuyến của hai mặt phăng liên quan đến sự song song giữa một đường thăng và một mặt phẳng
@) song song với đường thăng dl Cho mat phang
Néu mat phang P| chứa đường thắng d va 06 giao tuyén voi mat phang |“ ! la
Trang 53 Giao tuyén cua hai mat phang lién quan dén sự song song giữa hai mặt phẳng Œ |
Cho mặt phắng song song với mặt phẳng 1,
P| có giao tuyến với mặt phăng 4 là đường thăng Ầ: và có Nếu mặt phắng
giao tuyến với mặt phăng Pl là đường thăng A> thi đường thăng A, song song với đường thăng AD,
4 Thiết diện của hình chóp và cách xác định
Thiết diện của một hình chóp khi cắt bởi một mặt phắng là phần chung của hình chóp và mặt phăng
Đề xác định thiết diện của một hình chóp khi cắt bởi mặt phăng P| ta thuc
Trang 6Buoc 1 Xac dinh cac doan giao tuyén (Phan cua giao tuyén nam trong cac
2 |
mat cua hinh chop) cua mat phang voi cac mat cua hinh chop néu co
Bước 2 Hình đa giác được tạo thành bởi các đoạn giao tuyến ở trên chính là
y , 5 )
thiệt diện của hình chóp khi cat boi mat phang P|
H THỰC TRẠNG CÚA VẤN ĐÉ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM
Khi bước sang phân hình học không gian thì học sinh rất ngại vẽ hình, các em thường vẽ hình sai, vẽ hình không có nét đứt hoặc vẽ hình khơng thống Một
bộ phận học sinh trung bình khá vẽ hình tạm ồn nhưng chưa thể định hình bải toán II HƯỚNG DÂN HỌC SINH LÀM QUEN VỚI BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH THIET DIEN CUA HINH CHOP [1], [2], [3], I4] [5]
1 Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua ba điểm
Trong dạng bài tập này chúng ta sẽ khai thác công việc tìm hai điểm chung khác nhau của mặt phăng đê bài yêu câu và các mặt của hình chóp, đê từ đó có được các đoạn giao tuyên
Ví dụ 1 Cho tứ diện 4C, Lấy điểm ÀÍ nằm giữa hai điểm Z và C„ điểm -V
nằm giữa hai điểm C và D , điểm ƒ nằm giữa hai điểm ƒ và 4 sao cho hai đường thăng MN ya BD không song song với nhau Xác định thiết diện của tứ
TT ^ r 2 7D
diện 45C? cắt bởi mặt phăng MNP)
Dấu hiệu khai thác: Do hai đường thăng MX và BD không song song với nhau ma cing nam trong mat phang BCD | nên chúng cắt nhau
Giải:
Trong mặt phẳng BCD) gọi Í là giao điểm của hai đường thắng MN ya BD, Trong mat phang ABD) „ ĐỌI Ụ là giao điểm của hai đường thăng /P va 48, Khi đó ta có:
Trang 7MNP| | ABD\ = PO MNP\ | ABC| =OM MNP |
Vậy thiết diện của tứ diện ABCD c&t boi mat phang là tứ giác MNP s5
Ví dụ 2 Cho hình chóp 5-48CD ¢6 day 48C) là hình bình hành Lấy điểm 1Í nằm giữa hai điểm 4 va , điểm :` nằm giữa hai điểm > và 4 Xác định thiết
diện của hình chóp S.4BC]) cắt bởi mặt phăng CMN)
Dấu hiệu khai thác: Do điểm \Í nằm giữa hai điểm 1 và P nên hai đường thắng CM yq AD cùng năm trong mat phang ABC?) và không song song với nhau, tử đó chúng cắt nhau
Giải:
Trang 8
Ví dụ 3 Cho hình chóp S-415C? có đáy 48C) là hình bình hành Lấy điểm 1Í
năm giữa hai điểm 4 va ), diém Ý nằm giữa hai điểm 4 va 3, điểm Ụ nằm
giữa hai điểm > và C Xác định thiết diện của hình chóp S-4#C? cắt bởi mặt
phẳng MNQ|
Dấu hiéu khai thac: Do diém M nam giita hai diém 4 và Ù), điểm \ nam giữa hai điểm 4 va B nên các cặp đường thăng MN yq BC) MN ya CD cùng năm trong mặt phẳng ABC?) và không song song với nhau, từ đó chúng cắt nhau Giải:
“Lẻ ABCD | - orn ot 'Ẳm a# a sng MN va CD Trong mat phang , gol © là giao điểm của hai đường thăng */:` và ,
` là giao điểm của hai đường thắng MN ya BC,
- 3 SBC | Paso: eB , 44 2 FO Sp
Trong mat phang ,goi / la giao diém cua hai duong thang “ ~ và -? Trong mat phang SCD} ,goi ® 1a giao diém cua hai duong thang EQ va SD, Khi đó ta có:
MVOIL4BCDJI = 1X MNO\ | SAB| = NP
Trang 9Vậy thiết diện của hình chop S.4BC]) cất bởi mặt phang MNQ) là ngũ giác
MNPOR
Vi du 4 Cho hinh chop S.ABCD | Lay điểm £ nam trong tam gidc SCD | X&c
định thiết diện của hình chóp 5-4BCD o&t boi mat phing | 42"! ,
Dấu hiệu khai thác: Do điểm ném trong tam gidc SC nên hai đường thắng
ABCD |
SE và CD cùng năm trong mặt phẳng và không song song với nhau, tử đó chúng cắt nhau
Giải:
<i 4g SCD | ° CF là giao điểm oy + tee ano SE ya CD Trong mat phang ,goi / la giao diém cua hai duong thang -£ va Trong mặt phẳng ABCD) gọi Í là giao điểm của hai đường thăng AC ya BF Trong mat phang SBF) „ ĐỌI J là giao điểm của hai đường thăng BF và SĨ, Trong mặt phăng SAC] , gọi ÌÍ là giao điểm của hai đường thắng AJ ya SC, Trong mat phang SCD} , ĐỌI \ là giao điểm của hai đường thăng WE va SC Khi đó ta có:
ABE|\ | ABCD |= AB ABE| | SAB\| = AB
Trang 10ABE|\ | SAD\ = NA ABE | Vậy thiết diện của hình chóp S.45C] cắt bởi mặt phăng ABMN là tứ giác
2 Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phăng đi qua một điểm và song song với hai đường thắng chéo nhau
Trong dạng bài tập này chúng ta sẽ khai thác công việc tìm giao tuyên của mặt phăng đê bài yêu câu và các mặt của hình chóp có chứa đường thăng song song
với nó, đê từ đó có được các đoạn g1ao tuyên
Ví dụ 5 Cho tứ diện 45C, Lấy điểm }Í nằm giữa hai điểm 7 và C Giả sử
“l là mặt phang di qua điểm V/ va song song với hai đường thăng AB và CD,
Π|
Xác định thiết điện của tứ điện 48C? cặt bởi mặt phẳng
Œ | ABC} có điềm chung la M
ABC | Dấu hiệu khai thác: Do mặt phẳng và mặt phăng
a) song song với đường thăng 1B nằm trong mặt phẳng ABC
và mặt phẳng
nên giao tuyến của mặt phăng ` ” _ và mặt phẳng "là đường thăng đi qua điểm \Í và song song với đường thăng 1 (Tương tự với đường thẳng CD)
Gidi:
Trang 11ABC
Trong mat phang | , kẻ đường thăng đi qua điểm ÌÍ và song song với đường thăng 1#, cắt đường thăng AC tai diém 0
Trong mat phang BCD) , kẻ đường thắng đi qua điểm ÌÍ và song song với đường thăng CD cat đường thăng tại điểm NV
ABD|
Trong mat phang , kẻ đường thăng đi qua điểm NV va song song voi duong thang 48, cat duong thang 4) tai diém 7
Khi đó ta có:
a|o| ABC\=MO a|o| BCD| =MN
Cane ABD\ = NP Œ|(` ACDI= PO
Vậy thiết diện của tứ diện 4ZCD cắt bởi mặt phẳng “' là hình bình hành MNPO
Vi du 6 Cho hinh chop S.ABCD | Gọi là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Giả sử “' là mặt phăng đi qua điểm và song song với hai đường thắng
Π|
CŨ và 58, Xác định thiết diện của hình chóp S.4BC] cắt bởi mặt phăng
Dấu hiệu khai thác: Do mặt phẳng _ và mặt phẳng ABCD) có điểm chung la O va mat phẳng “ ! song song với đường thăng C] nằm trong mat phang
ABCD | nén giao tuyen cua mat phang va mặt phẳng ABCD) la duong
Trang 12thăng đi qua điểm (Ì và song song với đường thăng CD (Tương tự với đường thăng SB )
Gidi:
ABCD) , kẻ đường thắng đi qua điểm f} và song song với P.O Trong mat phang
đường thăng CŨ cắt các đường thăng AD, BC lần lượt tại các điểm
Trong mặt phăng SBC) , kẻ đường thăng đi qua điểm Ụ và song song với đường thăng SB , cắt đường thăng SC tại điểm 7
SCD
Trong mat phang , kẻ đường thắng đi qua điểm ÌÍ và song song với đường thăng CD cat đường thăng 3Ö tại điểm ` Khi đó ta có: đl | ABCD| = PO a|o| SBC\| =OM a\ oa SCD\ = MN a\ | SAD| = NP Vậy thiết diện của hình chóp S-45CD cắt bởi mặt phẳng “' là hình thang PO MNPO với hai đáy là MN ya 3 Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phăng đi qua hai điểm và song song với một đường thắng
Trong dạng bài tập này chúng ta vẫn sẽ khai thác công việc tìm giao tuyến của mặt phăng đề bài yêu cầu và các mặt của hình chóp có chứa đường thắng song
song với nó, đê từ đó có được các đoạn g1ao tuyên
Trang 13Ví dụ 7 Cho tứ diện ABCD | Gọi }Í là trung điểm của cạnh CD › lây điểm ? năm
M.P
ow 2 4k R 2 9 || 1A x 2 » 40k `
giữa hai điểm 1 và Giả sử la mat phang di qua hai diém va song song với đường thắng AC
a Xác định thiết diện của tứ diện 4BCTD) cặt bởi mặt phăng b Xác định vị trí của điểm ? để thiết diện là một hình bình hành
Π| 4C `D)|
Dấu hiệu khai thác: Do mặt phẳng và mặt phẳng ° có điểm chung là \Í và mặt phẳng “ song song với đường thăng C nam trong mat phang
ACD | nên giao tuyển cua mat phang CL và mặt phẳng ' ACD | là đường thăng đi qua điểm ÌÍ và song song với đường thăng AC (Tương tự với điểm Ï`)
Giải:
a Trong mặt phăng ACD) , kẻ đường thắng đi qua điểm ÌÍ và song song với đường thắng ‹ÍC`, cắt đường thắng 4 tại điểm `
ABC}
Trong mặt phăng , kẻ đường thăng đi qua điểm và song song với đường thăng AC , cắt đường thăng BC tai diém 0
Khi đó ta có:
Cane ACD | = MN Œ|(` ABC | = PO
Œ|(` BCD | = MO Cane ABD | =PN
Vậy thiết diện của tứ dién ABCD c&t bởi mặt phẳng ' “Ì là hình thang !\P°2 voi hai day la VN ya PY,
Trang 14
Ví dụ 8 Cho hình chóp S-415C/), Lấy điểm ÌÍ nằm giữa hai điểm 4 va 5, diém
M.N và
Ý nằm giữa hai điểm Cvà D Giảsử “' là mặt phăng đi qua hai điểm song song với đường thăng 54,
Π|
a Xác định thiết diện của hình chóp S.45C] cắt bởi mặt phăng
b Xác định điều kiện của đường thắng }Í để thiết diện là một hình thang
Dấu hiệu khai thác: Do mặt phẳng ` “` và mặt phẳng SAB) có điểm chung là 1Í và mặt phăng “ song song với đường thăng SA nam trong mat phang S48) nên
SAB
Π|
giao tuyến của mặt phăng và mặt phăng là đường thắng đi qua điểm \Í và song song với đường thắng 54
Giải:
a Trong mặt phăng SAB) , kẻ đường thăng đi qua điểm ÌÍ và song song với đường thăng SA , cắt đường thăng SB tai diém 0
ABCD | V
Trong mặt phẳng gọi Í là giao điểm của hai đường thắng AC ya M Trong mat phang SAC] , kẻ đường thắng đi qua điểm Í và song song với đường thăng SA | cắt đường thăng SC tại điểm P
Khi đó ta có:
(đl|(` ABCD | = MN a\ CO) SAB | = MO
a|o| SBC\=OP a|o| SCD\ = PN
Trang 15Vay thiết diện của hình chóp S.4BC]) cặt bởi mặt phang “' Ja ta giác MNP G
MNPO
b Tứ giác là hình thang khi hai đường thắng MQ va PN Song song với nhau hoặc hai đường thăng MN va PO song song voi nhau
* Nếu hai đường thăng MQ va PN song song với nhau thì đường thăng SA sẽ song song với đường thăng PN Khi dé đường thăng SA song song với mat phang
SCD (Vô li)
* Nếu hai đường thăng MN va PO song song với nhau thì khi đó hai mặt phẳng ABCD) | SBC) lần lượt chứa hai đường thắng MA, PO và có giao tuyến là đường thăng BC nén đường thăng MN song song với đường thăng BC
Ngược lại nếu đường thắng MN song song với đường thăng C thì khi đó hai mặt phang |“ J.| PC | lần lượt chứa hai đường thắng MA, ĐC và có giao tuyến là đường thăng PO nên đường thăng PO song song với đường thăng MA, Vậy đường thăng MN song song với đường thăng BC S Z 4 Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phăng đi qua một điểm và song song với một mặt phăng
Trong dạng bài tập này chúng ta sẽ khai thác công việc tìm giao tuyên của mặt phăng đề bài yêu câu và các mặt của hình chóp không song song với nó, đê từ đó có được các đoạn g1ao tuyên
Trang 16Vi du 9 Cho tu dién ABCD 6 tat ca cdc canh déu bang Œ, Gọi M là trung điểm
của cạnh Z/D, Giả sử 4 là mặt phăng đi qua điểm ÌÍ và song song với mặt
a Xác định thiết diện của tứ diện 4BCD cắt bởi mặt phăng b Tính điện tích của thiết diện ACD | Œ | song song với mặt phăng Khi đó zl 4C DỊ Dấu hiệu khai thác: Do mặt phằng ABD |
mặt phăng thứ ba sé cat hai mat phang theo hai giao tuyén song song voi nhau
Giải:
ABD|
a Trong mat phang , kẻ đường thăng đi qua điểm ÌÍ và song song với đường thắng 12, cắt đường thăng 1 tại điểm
Trang 17
Vidu 10 Cho hinh chép 5-48CD ¢6 day ABCD là hình bình hành Lấy điểm 1Í
nằm giữa hai điểm Cvà D Giảsử “' là mat phang di qua diém -/ va song song với mặt phăng SAD) Xác định thiết diện của hình chop S.ABCD cắt bởi mặt phẳng
Dấu hiệu khai thác: Do mặt phăng ` “ song song với mặt phăng SAD) Khi đ
mặt phăng thứ ba ABCD) sẽ cắt hai mặt phẳng “'' SAD) theo hai giao tuyén song song voi nhau
Giải:
~, 42 ABCD , 4.5 2 ; A AS và ps
Trong mat phang „ kẻ đường thăng đi qua điêm ?/ và song song với đường thăng 1, cắt đường thắng 4 tại điểm `
SCD|
Trong mặt phăng , kẻ đường thắng đi qua điểm ÌÍ và song song với đường thăng SD | cat đường thăng SC tại điểm 0
Trong mat phang S48) , kẻ đường thăng đi qua điểm NV va song song với đường thăng SA , cắt đường thăng SB tại điểm 7
Khi đó ta có:
a| | ABCD| = MN a) | SCD\| = MO
a|\ | SAB\ = NP a\ | SBC\| = PO
Trang 18OL | Vậy thiết diện của hình chóp S.45C] cắt bởi mặt phăng PO la hinh thang TC với hai đáy là UY và Ae
IV HIEU QUA BUOC DAU CUA SANG KIEN KINH NGHIEM
Sáng kiến kinh nghiệm được tác giả giảng dạy cho lớp 11B truong THPT Tống Duy Tân năm học 2018 — 2019 ở các tiết về thiết diện của hình chóp Sau khi lĩnh hội nội dung của sáng kiến kinh nghiệm thì phần lớn học sinh tỏ ra tích cực và hăng say hơn trong các tiết hình học Kết quả kiểm tra hầu hết học sinh đều đạt
được mục tiêu đề ra
C PHÂN KÉT LUẬN VÀ KIÊN NGHỊ
Bài toán xác định thiết diện của hình chóp là một bài tốn khơng hề dễ dàng đối với học sinh Tuy nhiên nếu các em được rèn luyện từ những điều nhỏ nhất để hình thành một thói quen tốt thì tôi tin rằng đông đảo học sinh sẽ yêu quí hơn phần hình học không gian
Khi áp dụng đề tài “HƯỚNG DÂN HỌC SINH LÀM QUEN VỚI BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CÚA HÌNH CHÓP” vào giảng dạy sẽ giải quyết được một số vẫn đề cơ bản sau:
1 Giúp học sinh chín chắn hơn khi vẽ hình không gian, năm được các dạng bài toán xác định thiết diện của hình chóp
2 Phát triển tư duy và tính sáng tạo của học sinh trong hình học