Thông tin tài liệu
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP CẤP THCS NĂM HỌC 2021 – 2022 Đề dự bị Mơn thi: TỐN - BẢNG B Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Hướng dẫn chấm thi gồm 05 trang Nội dung Câu Điể m Câu (3,0 điểm) a) Cho A k 2k 16k 2k 15 với k Z Tìm điều kiện k để A chia hết cho 16 b) Tìm giá trị lớn phân số mà tử số số có ba chữ số, cịn mẫu số tổng chữ số tử số a/ Cho A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 với k Z Vì k Z ta xét trường hợp 0,5 TH1: k chẵn A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 số lẻ A không chia hết cho A không chia hết cho 16 (loại) (1) 0,5 1,5 TH2: k lẻ, ta có: 2 A = k + 2k - 16k - 2k +15 = (k - 1)(k + 2k - 15) = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5) Do k lẻ k - 1; k + 1; k - 3; k + chẵn 0,5 A = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5) 2.2.2.2 = 16 (thỏa mãn) (2) Từ (1) (2) với k Z, k lẻ A chia hết cho 16 b/ 1,5 Gọi tử số phân số abc (0 < a 9, b 9, c 9, a, b, c N) abc 90a 9c 90a 10 10 100 a b c a b c a Ta có Suy Pmax = 100 b = c = 0, < a 9, a N 1,5 Câu (7,0 điểm) a) Giải phương trình x x 16 x 2 x y xy 9 b) Giải hệ phương trình x y xy 3 a/ Giải phương trình x2 - x - 16x 2 ĐKXĐ: x 16 0,25 Khi phương trình tương đương x2 - x = 2( 16x 1) 3,5 y Đặt 16x 2y + 16x = 4y2 -4y + 4y2 - 4y = 16x y2 - y = 4x (*) y y 4x (x y)(x y 3) 0 x x 4y Trang 1/4 2,25 x y x y 0 (ktm) => Với x = y thay vào (*) x2 - x = 4x x2 - 5x = x(x - 5) = 1,0 x 5 (tm) x 0 ( ktm) Vậy phương trình cho có nghiệm x = b/ x y xy 9 x y xy Ta có: ( x y )2 xy 9 ( x y ) xy 3 1,5 x y 3 (x + y)2 + (x + y) – 12 = x y Nếu x + y = 3,5 x 0 x + y = x y 3 y 3 x 3 x + y + xy = xy 0 y 0 1,0 Nếu x + y = -4 x y xy 7 (vô nghiệm) 1,0 Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (0; 3), (3; 0) Câu (1,0 điểm) Cho x, y , z 0; x y z 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 1,0 1 1 2 x y z xy yz zx 1 Áp dụng bất đẳng thức A B C A B C (với A, B, C > 0) 1 với x, y, z > ta có: xy yz zx xy yz zx P 2 x y z xy yz zx P ( 0,25 2 x y z 1 ) xy yz zx xy yz zx xy yz zx 0,5 x y z 2xy 2yz 2zx xy yz zx 2 9 21 30 2 xy yz zx (x y z) (x y z) (x y z) = (Do 3(xy + yz + zx) (x + y + z)2 x + y + z = 1) Dấu "=" xẩy x y z Trang 2/4 0,25 Vậy Pmin = 30 x y z Câu (8,0 điểm) a) Cho tam giác ABC với đường trịn bàng tiếp góc A có tâm J Đường tròn tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tạ điểm A 1, B1, C1 Giả sử đường thẳng AB A 1B1 vng góc với D Gọi E chân đường cao hạ từ C xuống DJ Tính góc BEA AEB1 b) Cho tam giác ABC cho tồn điểm F nằm bên tam giác thoả mãn AFB BFC CFA Các đường thẳng BF CF cắt đường thẳng AC AB điểm D E Chứng minh AB AC 4 DE 4,0 N J C 2,0 K E M A D P B Gọi K giao điểm JC MN Vì JC ⊥ MN , AB ⊥ MN Nên JK song song PD Do tam giác CNJ vuông N nên PD PJ PJ = NJ = JK JC = JC PD ⇒ = PJ JC ⇒ Δ DPJ đồng dạng với Δ PJC 1,0 Do ∠ PDJ = ∠ JPC nên DJ ⊥ CP Từ suy ba điểm P, E, C thẳng hàng Do ∠CMJ = ∠CNJ = ∠CE J = 90 nên điểm M, N, E nằm đường tròn đường kính JC Khi ∠ DBM = ∠ MCJ = ∠ DEM hay BEMD tứ giác nội 1,0 tiếp ⇒ ∠ MEB = 90 Tứ giác ADEN nội tiếp ∠ ENA = ∠ E JC = ∠ EDP Suy ∠ AEN = 90 4,0 Q A E P 0,5 D F C B ∠ AF B = ∠ BFC = ∠CFA = 120 ⇒ ∠CFD = ∠ DFA = ∠ A FE = ∠EFB = 60 Trang 3/4 0,5 Dựng phía ngồi hai tam giác ABQ, ACP điểm F, D, P thẳng hàng điểm F, E, Q thẳng hàng Ta có S CFA = S A FD + S CFD ⇒ CF AF = CF DF + AF.DF ⇒ DF = 1,0 CF AF CF + AF Áp dụng định lí Ptoleme cho tứ giác nội tiếp ta PF (CF + AF ) = ≥ ⇒ PF ≥ DF CF AF CF + AF = PF Từ suy DF QF ≥ ⇒ QF ≥ EF Tương tự ta có EF ⇒ PQ ≥ ED AB + AC = AQ + AP ≥ PQ ≥ ED ⇒ 1,0 1,0 Câu (1,0 điểm) Viết số 1,2,3,4,5 lên bảng Một học sinh tiến hành xoá hai số a, b thay vào hai số a + b ab Nếu động tác lặp lặp lại nhiều lần số 6, 27, 2020, 2021, 2022 có xuất bảng lúc không ? 1,0 Nếu a b bội a.b, a + b bội 0,25 Do số bội tăng lên sau lần xoá học sinh xố số 0,25 dạng 3k + 3q + Khi tạo thành hai số dạng 3m 3n + Trong năm số ban đầu có số bội Trong năm số sau có số bội nên số xuất 0,5 bảng số cịn lại 2008 phải có dạng 3n + điều vơ lí Vậy số cho không xuất bảng 20,0 Lưu ý: Nếu học sinh giải cách khác cho điểm tối đa tương ứng cho câu Trang 4/4
Ngày đăng: 16/12/2023, 20:57
Xem thêm:
