4 dap an toan bang b db ôn tập toán lớp 10

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP CẤP THCS NĂM HỌC 2021 – 2022 Đề dự bị Mơn thi: TỐN - BẢNG B Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Hướng dẫn chấm thi gồm 05 trang Nội dung Câu Điể m Câu (3,0 điểm) a) Cho A k  2k  16k  2k  15 với k  Z Tìm điều kiện k để A chia hết cho 16 b) Tìm giá trị lớn phân số mà tử số số có ba chữ số, cịn mẫu số tổng chữ số tử số a/ Cho A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 với k  Z Vì k  Z  ta xét trường hợp 0,5 TH1: k chẵn  A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 số lẻ  A không chia hết cho  A không chia hết cho 16 (loại) (1) 0,5 1,5 TH2: k lẻ, ta có: 2 A = k + 2k - 16k - 2k +15 = (k - 1)(k + 2k - 15) = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5) Do k lẻ  k - 1; k + 1; k - 3; k + chẵn 0,5  A = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5)  2.2.2.2 = 16 (thỏa mãn) (2) Từ (1) (2)  với  k  Z, k lẻ A chia hết cho 16 b/ 1,5 Gọi tử số phân số abc (0 < a  9,  b  9,  c  9, a, b, c  N) abc 90a  9c 90a 10  10  100 a  b  c a  b  c a Ta có Suy Pmax = 100 b = c = 0, < a  9, a N 1,5 Câu (7,0 điểm) a) Giải phương trình x  x   16 x 2  x  y  xy 9  b) Giải hệ phương trình  x  y  xy 3 a/ Giải phương trình x2 - x -  16x 2 ĐKXĐ: x  16 0,25 Khi phương trình tương đương  x2 - x = 2(  16x  1) 3,5 y Đặt  16x  2y   + 16x = 4y2 -4y +  4y2 - 4y = 16x  y2 - y = 4x (*)  y  y 4x  (x  y)(x  y  3) 0  x  x  4y   Trang 1/4 2,25  x y  x  y  0 (ktm) =>  Với x = y thay vào (*)  x2 - x = 4x  x2 - 5x =  x(x - 5) = 1,0  x 5 (tm)    x 0 ( ktm) Vậy phương trình cho có nghiệm x = b/  x  y  xy 9   x  y  xy  Ta có:  ( x  y )2  xy 9  ( x  y )  xy 3 1,5  x  y 3   (x + y)2 + (x + y) – 12 =   x  y  Nếu x + y = 3,5   x 0  x + y =  x  y 3  y 3      x 3  x + y + xy =  xy 0    y 0 1,0 Nếu x + y = -4 x  y   xy 7 (vô nghiệm) 1,0 Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (0; 3), (3; 0) Câu (1,0 điểm) Cho x, y , z  0; x  y  z 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 1,0 1 1     2 x y z xy yz zx 1    Áp dụng bất đẳng thức A B C A  B  C (với A, B, C > 0) 1     với x, y, z > ta có: xy yz zx xy  yz  zx P   2 x  y  z xy  yz  zx P (   0,25 2 x y z   1  ) xy  yz  zx xy  yz  zx xy  yz  zx 0,5  x  y  z  2xy  2yz  2zx xy  yz  zx 2 9 21    30 2 xy  yz  zx (x  y  z) (x  y  z) (x  y  z) = (Do 3(xy + yz + zx)  (x + y + z)2 x + y + z = 1) Dấu "=" xẩy x y z  Trang 2/4 0,25 Vậy Pmin = 30  x y z  Câu (8,0 điểm) a) Cho tam giác ABC với đường trịn bàng tiếp góc A có tâm J Đường tròn tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tạ điểm A 1, B1, C1 Giả sử đường thẳng AB A 1B1 vng góc với D Gọi E chân đường cao hạ từ C xuống DJ Tính góc BEA AEB1 b) Cho tam giác ABC cho tồn điểm F nằm bên tam giác thoả mãn AFB BFC   CFA Các đường thẳng BF CF cắt đường thẳng AC AB điểm D E Chứng minh AB  AC 4 DE 4,0 N J C 2,0 K E M A D P B Gọi K giao điểm JC MN Vì JC ⊥ MN , AB ⊥ MN Nên JK song song PD Do tam giác CNJ vuông N nên PD PJ PJ = NJ = JK JC = JC PD ⇒ = PJ JC ⇒ Δ DPJ đồng dạng với Δ PJC 1,0 Do ∠ PDJ = ∠ JPC nên DJ ⊥ CP Từ suy ba điểm P, E, C thẳng hàng Do ∠CMJ = ∠CNJ = ∠CE J = 90 nên điểm M, N, E nằm đường tròn đường kính JC Khi ∠ DBM = ∠ MCJ = ∠ DEM hay BEMD tứ giác nội 1,0 tiếp ⇒ ∠ MEB = 90 Tứ giác ADEN nội tiếp ∠ ENA = ∠ E JC = ∠ EDP Suy ∠ AEN = 90 4,0 Q A E P 0,5 D F C B ∠ AF B = ∠ BFC = ∠CFA = 120 ⇒ ∠CFD = ∠ DFA = ∠ A FE = ∠EFB = 60 Trang 3/4 0,5 Dựng phía ngồi hai tam giác ABQ, ACP điểm F, D, P thẳng hàng điểm F, E, Q thẳng hàng Ta có S CFA = S A FD + S CFD ⇒ CF AF = CF DF + AF.DF ⇒ DF = 1,0 CF AF CF + AF Áp dụng định lí Ptoleme cho tứ giác nội tiếp ta PF (CF + AF ) = ≥ ⇒ PF ≥ DF CF AF CF + AF = PF Từ suy DF QF ≥ ⇒ QF ≥ EF Tương tự ta có EF ⇒ PQ ≥ ED AB + AC = AQ + AP ≥ PQ ≥ ED ⇒ 1,0 1,0 Câu (1,0 điểm) Viết số 1,2,3,4,5 lên bảng Một học sinh tiến hành xoá hai số a, b thay vào hai số a + b ab Nếu động tác lặp lặp lại nhiều lần số 6, 27, 2020, 2021, 2022 có xuất bảng lúc không ? 1,0 Nếu a b bội a.b, a + b bội 0,25 Do số bội tăng lên sau lần xoá học sinh xố số 0,25 dạng 3k + 3q + Khi tạo thành hai số dạng 3m 3n + Trong năm số ban đầu có số bội Trong năm số sau có số bội nên số xuất 0,5 bảng số cịn lại 2008 phải có dạng 3n + điều vơ lí Vậy số cho không xuất bảng 20,0 Lưu ý: Nếu học sinh giải cách khác cho điểm tối đa tương ứng cho câu Trang 4/4