SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP CẤP THCS NĂM HỌC 2021 – 2022 Đề thức Mơn thi: TỐN - BẢNG B Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Hướng dẫn chấm thi gồm 03 trang Câu Nội dung Điểm Câu (3,0 điểm) a) Chứng minh với số nguyên n n 1 n 3 n n 25 số phương b) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn xy 5 x y 2 Ta có n 1 n 3 n n 25 n 9n n n 18 25 0,5 b 2 1, n 9n 26 n 9n 169 n 9n 13 số phương 1,0 Ta có xy 5 x y x 1 y 5 0,5 Vì x, y nên có trường hợp sau: x x TH1: 0,25 y y 4 b x 5 x 6 1, TH2: y 1 y 6 0,25 x x 0 TH3: 0,25 y y 0 x 1 y 5 TH4: x 2 y 10 0,25 Câu (7,0 điểm) a) Giải phương trình x x x x 0 2 x y xy x y 0 b) Giải hệ phương trình x 4 y Điều kiện: x a 3, Đặt t x x t 2 Ta có phương trình t 5t 0 t 3 x x x 2 x x 0 x 2 29 Với t 3 x x 3 x x 0 x 2 x y 3xy x y 0 (1) (2) x 4 y Với t 2 (7, 0) b 3, 1,5 1,0 1,0 1,5 x 2 y Ta có (1) ( x y 1)( x y ) 0 x y 1 TH1: x 2 y vào (2) ta có y y 0 y x 1 1,0 TH2: x y vào (2) ta có y 3 x 2 1,0 y y 0 y 3 x 2 Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 3abc Tìm giá trị lớn biểu a b c thức P 2 2 a b c b c a c a 2b Ta có a b 2c a b 2c 2a 2bc a bc 4a bc a 1 1 2 a b c bc b c Tương tự (1, 0) 0,5 b 1 1 c 1 1 ; b c a c a c a 2b a b 1 1 1 P 4 a b c 0,25 2 P ab bc ca a b c 4abc 4abc 0,25 Dấu đẳng thức xảy a b c 1 Câu (8,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC nội tiếp đường trịn (O) Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, AB D, E Đường thẳng AD cắt đường tròn (I) điểm thứ hai M; BM cắt đường tròn (I) điểm thứ hai Q; BI cắt DE P a) Chứng minh AE AM AD b) Chứng minh tứ giác IPQM nội tiếp c) Chứng minh BME DMP (8, 0) a 3, Xét tam giác AME tam giác AED có A góc chung AEM EDM (cùng chắn cung) AME AED (g-g) AE AM AE AM AD AD AE 0,5 0,5 1,0 1,0 A x M E Q B b 3, c 2, O I P C D Vì BE; BD tiếp tuyến đường tròn (I), E, D tiếp điểm nên theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có tam giác IEB vng E, có đường cao EP suy BP.BI = BE2 (1) Vì BQM cát tuyến đường tròn (I) nên BE2 = BQ.BM (2) Từ (1) (2) suy BP.BI = BQ.BM nên tứ giác IPQM nội tiếp Theo câu (a) tứ giác IPQM nội tiếp suy IPM (hai góc nội IQM tiếp chắn cung) (3) Tam giác IMQ cân I suy IQM (4) IMQ Kẻ tia tiếp tuyến Mx đường trịn (I) (như hình vẽ) Từ (3) (4) MEQ (5) QMx 900 QMI 900 IPM MPD (hai góc nội tiếp chắn cung) (6) EQM EDM 1,0 1,0 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 Từ (5) (6) suy BME DMP Câu (1,0 điểm) Trong hoạt động ngoại khóa có 20 giáo viên 80 học sinh đến từ nhiều nơi tham gia Biết giáo viên quen với 65 người học sinh quen với tối đa 12 người (Quan hệ quen xem có tính chiều: Người A quen người B người B quen người A) Ban tổ chức xếp họ thành 41 nhóm Hỏi ban tổ chức xếp cho nhóm có người quen khơng? Vì sao? Câu trả lời khơng Giả sử Ban tổ chức Vì giáo viên quen với 65 19 46 học sinh nên số cặp Giáo 0,25 viên - Học sinh quen 20.46 920 (cặp) (1) Vì có 20 giáo viên có 41 nhóm nên có 21 nhóm chứa tồn học sinh 0,5 Vì nhóm có người quen nên 21 nhóm có 21.2 42 học sinh quen với tối đa 11 giáo viên (1,0 ) Từ suy số cặp Giáo viên – Học sinh quen tối đa là: 42.11 80 42 12 918 cặp (2) 0,25 Từ (1) (2) suy vơ lí Vậy Ban tổ chức khơng xếp 20.00 Lưu ý: Nếu học sinh giải cách khác cho điểm tối đa tương ứng cho câu