Thông tin tài liệu
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NAM KỲ THI HỌC SINH CẤP TỈNH THCS Năm học 2021 - 2022 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN Mơn: TỐN (Hướng dẫn chấm có 05 trang) Câu Đáp án Điểm x x 3 x x x 3 a) Cho biểu thức A , với x x Rút gọn biểu x 1 2,5 x4 x 3 thức A tìm x để A x x x 3 x x x x x x ( x 1) 2( x 1) x 1 x 1 x 1 x ( x 1) x 1 0,75 x x ( x 1)( x 3) x 1 x x ( x 1)( x 3) x 1 A 0,75 x ( x 1) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 0,5 A x x x x x ( x 1)( x 2) x x 0,5 b) Tìm giá trị tham số m để phương trình x2 2(m 2) x m2 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 x1x2 1,5 ' (m 2)2 1.(m2 1) 4m 0,25 Đối chiếu điều kiện suy x giá trị cần tìm + Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt ' 4m m Câu (4,0 đ) x x m2 1 , x x 2(m 2) 2 0,25 0,25 x1 x2 2(m 2) (vì m m 2(m 2) ) 4 x1 x2 m 1 Suy x1 0, x2 0,25 Khi x1 x2 x1x2 x1 x2 x1x2 x1x2 ( x1 x2 ) m 1 m2 2(m 2) m2 2m m2 2(m 2) m Đối chiếu điều kiện suy giá trị m cần tìm m * Cách khác: ' (m 2)2 1(m2 1) 4m + Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt ' 4m m Vì x1 x2 m2 1 nên ta có x1 x2 x1 x2 x1 x2 ( x1x2 )2 x12 x22 x1x2 ( x1x2 )2 x12 x22 2x1x2 ( x1x2 )2 ( x1 x2 )2 ( x1x2 )2 2(m 2) (m2 1)2 (Giải tìm giá trị m, đối chiếu điều kiện để kết luận) Trang 1/5 0,5 a) Giải phương trình x x (2 x)(3 x) 2 x 3 x Điều kiện: 3 x 2,0 0,25 Đặt t x x (t 0) (2 x)(3 x) t t 4 Phương trình cho trở thành: t t 12 (t = - không thỏa) t 0,25 t x x (2 x)(3 x) 0,25 x2 x x (thỏa điều kiện) x 2 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x 2, x 0,25 (2 x y)( x y) y b) Giải hệ phương trình 2 4 x y x y xy 2 Cộng vế theo vế hai phương trình ta được: (2x y)( x y) 4x2 y 2x y 4xy (2x y)( x y) (2x y)2 (2x y) (2x y)(3x y 1) 2x y 3x y 1 - Với 2x y y 2x thay vào phương trình thứ hệ ta được: y x 1 Câu (4,0 đ) - Với 3x y y 3x thay vào phương trình thứ hệ ta được: 2 x x x 1 x 5 x 1 y ; x 5 y Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm: ( x ; y) (1;2) ( x ; y) (5;8) * Cách khác: (2 x y)( x y) y (2 x y)( x y) 2( x y) (2 x y) (*) 2 4 x y x y xy 2 (2 x y) 2( x y) 2 ab 2b a Đặt a x y, b x y Hệ phương trình (*) trở thành (1) a 2b 2 Cộng vế theo vế hai phương trình hệ (1) ta được: a2 ab a a(a b 1) a b a 2 x y x 1 - Với a b 1, ta có hệ: x y y - Với b a suy a2 2(1 a) 2 a2 2a a a 2 + a b (đã xét trên) 2 x y 2 x 5 x y y Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm: ( x ; y) (1;2) ( x ; y) (5;8) + a 2 b , ta có hệ: Trang 2/5 0,5 0,25 0,25 2,0 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 Câu Cho tam giác ABC vuông cân A, AB = 4cm Gọi M, N, I trung (3,0 đ) điểm đoạn thẳng BC, AC BN Điểm D thuộc đoạn thẳng AM cho AM = 4AD a) Tính diện tích tam giác DMN 1,5 (Hình vẽ phục vụ câu a: 0,25; Hình vẽ phục vụ câu b: 0,25) Gọi H trung điểm AM Suy NH AM S DMN NH.DM AM = 2 (cm) 1 CM= 2 Ta có: NH 2 NH.DM * Cách khác: 0,25 0,25 BC S DMN 3,0 , DM 2 AM 2 (cm) (cm2) 3 3 AD S DMN S AMN AM.MN= 2.2 (cm2) 4 4 2 b) Chứng minh tam giác DIN vuông cân - Gọi K trung điểm AN + Ta có: IM // KN IM = KN suy tứ giác MNKI hình bình hành Hơn nữa, IK vng góc KN nên tứ giác MNKI hình chữ nhật AD AK KD // CM + Lại có AM AC Mà CM AM CM KD Suy điểm M, N, K, D, I nằm đường tròn đường kính KM Mà đường trịn đường kính KM đường trịn đường kính IN Suy DN vng góc với DI 0,5 0,25 + Ta có MD + Lại có DIN DMN 450 nên tam giác DIN vng cân D Trang 3/5 1,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O) Dựng (4,0 đ) đường cao AD, BE, CF tam giác ABC Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) M N (M, N nằm cung nhỏ AB, AC) Gọi I giao điểm BM 4,0 DF, J giao điểm CN DE a) Chứng minh EB tia phân giác DEM 1,0 (Hình vẽ phục vụ câu: 0,25) 0,25 + Tứ giác ABDE nội tiếp đường tròn nên BED BAD + Gọi H trực tâm tam giác ABC Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn nên 0,25 BAD FEH 0,25 Suy BED FEH hay EB tia phân giác DEM b) Chứng minh AM = AN 1,5 Gọi K giao điểm OA EF, ta có tứ giác BCEF nội tiếp nên có AEF ABC AOC Tam giác OAC cân O nên 2OAC AOC 1800 OAC 900 AOC Do AEF OAC 90 OA MN AM=AN * Cách khác: 0,5 0,25 0,5 + Dựng tiếp tuyến Ax đường tròn (O) A xAB ACB (cùng chắn cung AB) Mà ACB AFN (cùng bù BFE ) xAB AFN Ax//MN Mà OA vng góc Ax nên OA vng góc với MN Suy AM = AN c) Chứng minh tứ giác MNJI nội tiếp đường tròn 1,5 + Tứ giác AFDC nội tiếp đường tròn nên AFD ACB 180 + Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn nên BFE ACB 1800 0,25 Suy AFD BFE BFI BFN 0,25 Lại có MBA NBA ( chắn hai cung nhau) Do BFI BFN g.c.g suy BI BN, FI FN 0,25 Suy FB trung trực IN hay AB trung trực IN, AI AN 0,25 Trang 4/5 Câu + Hoàn toàn tương tự ta chứng minh AJ AM Suy AM = AN = AI = AJ Vậy tứ giác MNIJ nội tiếp đường trịn 0,25 a) Tìm tất số tự nhiên cho tổng số với tổng chữ số 2023 3,0 Gọi số n tự nhiên thỏa đề, S(n) tổng chữ số số n Theo đề ta có n S n 2023 Ta có: n > 0, S(n) > 0, < n < 2023 => S(n) 28 (khi n 1999, S (n) 1 28 ) Suy 2023 28 n 2023 hay 1995 n 2023 Nên n số có chữ số n abcd => a a + Nếu a n 1bcd n S n 1000 bcd b c d 2023 0,5 0,25 0,25 101.b 11c 2d 1 1023 Mà b; c; d nên b = 9; 11c+2d=113 => c = 9, d =7 Suy n 1997 + Nếu a n 2bcd n S n 2000 101b 11c 2d 2023 0,25 0,5 101b 11c 2d 21 b 0,11c 2d 21 c 1, d Suy n 2015 Vậy có số thỏa mãn đề bài: 1997 2015 b) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1,0 x3 y3 z3 1 H x y z y2 z x z2 x y 0,25 2,0 1 ( x 1)( y z ) x y z x( x y z ) x( x y z )( x y z ) 0,25 x3 x3 ( x 1)2 ( x2 x 1)( y z) 0 x y z x( x y z ) x( x y z )( x y z ) x3 x3 x y z x( x y z ) 0,5 y3 y3 z3 1 z3 1 , y z x y( x y z ) z x y z ( x y z ) x3 y3 z3 1 Suy H x( x y z ) y ( x y z ) z ( x y z ) 1 1 2 hay H x y z x yz x y z 1 1 x y z xy yz zx Lại có yz, zx, xy H x y z x yz ( x y)2 ( y z )2 ( z x)2 H 2( x y z ) Tương tự: Dấu xảy x y z Vậy minH x y z 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 HẾT -Ghi chú: Nếu học sinh có cách giải khác Ban Giám khảo thảo luận thống thang điểm cho phù hợp với Hướng dẫn chấm Trang 5/5
Ngày đăng: 12/10/2023, 22:36
Xem thêm:
