SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH Năm học 2020 - 2021 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN Mơn: TỐN (Hướng dẫn chấm có 06 trang) Câu Đáp án a) Rút gọn biểu thức sau: Điểm , Ta có 2,5 0,25 0,5 0,5 Đặt 0,25 Suy 0,25 Câu (4,5 đ) 0,25 0,25 ( ) Vậy 0,25 b) Tìm giá trị tham số m để phương trình nghiệm phân biệt Điều kiện: có hai 1,5 0,25 0,5 0,25 + Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt Trang 1/6 0,5 a) Giải phương trình 2,0 Điều kiện: 0,25 (*) Do 0,25 vơ nghiệm nên pt(*) tương đương với phương trình 0,25 0,5 (thỏa mãn) 0,25 (thỏa mãn) Vậy phương trình cho có nghiệm 0,25 b) Giải hệ phương trình Câu (4,0 đ) 0,25 2,0 (*) - Nhận xét không thỏa hệ - Khi : Hệ phương trình (*) tương đương với hệ: 0,25 0,25 (**) , hệ (**) trở thành: Đặt + Giải hệ tìm được: + 0,5 0,25 0,5 + Lưu ý: Thay vào phương trình thứ hai Trang 2/6 Câu Cho hình vng ABCD có tâm O cạnh , điểm M nằm cạnh BC (2,5 đ) a) Khi , hạ OK vng góc với AM K Tính độ dài đoạn thẳng OK 2,5 1,0 + Gọi Q giao điểm AM BD, P trung điểm MC Suy OP//AM + Trong tam giác OBP có MB = MP MQ//OP Suy Q trung điểm OB 0,25 + 0,5 , 0,25 b) Khi điểm M thay đổi cạnh BC (M không trùng B C), điểm N thay đổi cạnh CD cho , E giao điểm AN BD Chứng minh tam giác AEM vuông cân đường thẳng MN tiếp xúc với đường tròn cố định 1,5 0,25 (Khơng có hình khơng chấm điểm) Suy tứ giác ABME nội tiếp + Mà nên Vậy tam giác AEM vuông cân E 0,25 0,25 + Gọi F giao điểm AM BD Tương tự suy + Gọi I giao điểm EM FN, H giao điểm AI MN Suy AH vng 0,25 góc với MN + Xét hai tam giác vng ABM AHM có: AM chung; 0,25 + (vì tứ giác MNEF nội tiếp) Do Suy hai tam giác vuông ABM AHM Suy (khơng đổi) 0,25 Do MN ln cách A khoảng cách cm Suy MN ln tiếp xúc với đường trịn tâm A, bán kính cm Trang 3/6 Câu Cho hai đường tròn (4,5 đ) lượt hai tiếp tuyến tiếp xúc ngồi Dựng lần hai đường trịn , cho hai tiếp điểm nằm phía đường thẳng Từ B vẽ đường thẳng vuông góc với cắt , từ C vẽ đường thẳng vng góc với cắt a) Gọi giao điểm Chứng minh tia phân giác góc 4,5 1,5 0,25 (Khơng có hình vẽ khơng chấm) có: ; Xét hai tam giác + Tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính Suy hai tam giác đồng dạng, đó: Suy Ta có: nên E (E khác A) Chứng minh tứ giác đồng dạng 0,25 0,25 đồng dạng Vậy tứ giác c) Đường thẳng AK cắt đường tròn Chứng minh 1,5 0,25 0,5 0,25 (Cùng chắn cung ) Suy hai tam giác Suy hai tam giác hay 0,25 0,25 tia phân giác góc b) Đường thẳng AH cắt đường tròn nội tiếp đường tròn + (Cùng phụ với ) + Suy 0,25 song song với nội tiếp đường tròn F (F khác A), L giao điểm điểm thẳng hàng 0,25 0,25 1,5 0,5 Mà nên OE // O’B Tương tự O’F // OC Suy Lại có: hai tam giác EOC BO’F hai tam giác cân Suy 0,25 0,25 Hơn OE // O’B nên BF// EC ( lưu ý O’B //OE) 0,25 Suy tia phân giác góc Suy Trang 4/6 thẳng hàng 0,25 Câu a) Tìm tất cặp số nguyên thỏa mãn đẳng thức 3,0 0,5 Đặt Khi ta có: 0,25 Suy 0,25 + Với (không thỏa) 0,25 + Với (không thỏa) 0,25 (không thỏa) + Với + Với + Với + Với b) Cho ba số thực dương 0,25 0,5 Tìm 0,5 Tìm 0,25 (khơng tồn x, y) thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu 2,0 thức Ta có: 0,25 0,5 Tương tự : Suy 0,25 Đặt 0,25 0,5 (với số dương) : 0,25) (Chứng minh BĐT: Suy (Dấu xảy Vậy giá trị lớn A Trang 5/6 hay ) 0,25 Nhận xét: Đặt Ghi chú: Nếu học sinh có cách giải khác Ban Giám khảo thảo luận thống thang điểm cho phù hợp với Hướng dẫn chấm Trang 6/6 ...a) Giải phương trình 2, 0 Điều kiện: 0 ,25 (*) Do 0 ,25 vơ nghiệm nên pt(*) tương đương với phương trình 0 ,25 0,5 (thỏa mãn) 0 ,25 (thỏa mãn) Vậy phương trình cho có nghiệm 0 ,25 b) Giải hệ phương... giác đồng dạng 0 ,25 0 ,25 đồng dạng Vậy tứ giác c) Đường thẳng AK cắt đường tròn Chứng minh 1,5 0 ,25 0,5 0 ,25 (Cùng chắn cung ) Suy hai tam giác Suy hai tam giác hay 0 ,25 0 ,25 tia phân giác... Suy 0 ,25 0 ,25 Hơn OE // O’B nên BF// EC ( lưu ý O’B //OE) 0 ,25 Suy tia phân giác góc Suy Trang 4/6 thẳng hàng 0 ,25 Câu a) Tìm tất cặp số nguyên thỏa mãn đẳng thức 3,0 0,5 Đặt Khi ta có: 0 ,25 Suy