Đề thi HSG lớp 9 năm 2016 Trang 1/7 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NAM KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học 2018 2019 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN Môn TOÁN (Hướng dẫn chấm này có 07 trang) Câu Đáp án Điể[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NAM KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2018 - 2019 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN Mơn: TỐN (Hướng dẫn chấm có 07 trang) Đáp án x 3 4x x với x Rút gọn biểu thức A x x 2x x 1 x3 Câu Câu (4,5 đ) a) Cho biểu thức A tìm x để A A 3( x 1) x x ( x 1) 4( x x 1) ( x x )2 Điểm 2,5 (Mỗi biểu thức 0,25) 0,5 (Mỗi biểu thức 0,25) 0,5 3( x 1) ( x 1)( x x 1) x ( x 1) x x 3( x 1) ( x 1)( x x 1) x x 0,25 x x 1 0,25 x 3( x 1) x 1 1 x 1 x x 1 0,5 x 1 ( x 1)( x x 2) x x 1 x x (loại) A 1 0,25 0,25 Cách khác: x x 3.3 x x 1.1 x x x x x x x 1 hay A x x 1 Dấu “ = ” xảy x (không thỏa) Vậy giá trị x thỏa yêu 0,25 0,25 cầu 1 Tìm giá trị 2x 1 y 1 2z 1 2x y 2y z 2z x lớn biểu thức A x( x y ) y ( y z ) z ( z x) b) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn 1 Từ đẳng thức cho suy : x , y , z 2 2 - Áp dụng (a b) 4ab, ta có: 2,0 0,25 2x y 3y 2x y 3y ( x y) 4. Suy ra: ( x y )2 y (2 x y ) (dấu xảy x y ) 0,25 Trang 1/7 2x y x y 2x y 1 x 2y 3y x( x y ) x y 2y z 2z x 1 , Tương tự: y ( y z ) y z z ( z x) z x 1 (dấu xảy x y z ) x y z (2 x 1) 1 (2 x 1).1 2x 1 x x 2x 1 1 1 Tương tự: , y y 1 z 2z 1 1 Do A (dấu xảy x y z ) 2x 1 y 1 2z 1 Vậy giá trị lớn A x y z Suy ra: A Câu a) Giải phương trình x2 x 2 x (4,0 đ) Cách 1: Điều kiện: x x2 x 2 x 1 x2 x ( x 1)( x 5) x 5 2x 1 2x 1 0 + x2 4x 2x 1 x2 2x (2 x 1) 2x 1 2x 1 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x x 1 (*) 2x 1 3 4 Do pt(*) vô nghiệm - Xét pt(*) : VT x , VP 2x 1 3 Vậy phương trình cho có nghiệm x = Cách 2: Điều kiện: x 0,25 2,0 ( x 5) ( x 1) 0 2x 1 ( x 1)2 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 2x 1 x 1 2x 1 x x ( x 1) x x 1 + x x (vơ nghiệm x nên x ) 2 x x x x + 2x 1 x 2 x ( x 2) x Vậy phương trình cho có nghiệm x 0,5 0,25 0,25 0,5 Trang 2/7 2x 1 y y 2 y y 2x Cách 3: Điều kiện: x 0,25 Đặt 0,25 x 1 y vào phương trình cho ta x x 2( y 2) x x y 0,25 x x y Khi ta có hệ : y y x 0,25 Trừ vế theo vế phương trình đưa về: y x y x + Với y x , giải tìm x ( x y không thỏa) + Với y x , giải tìm x y ( không thỏa) 0,25 0,5 0,25 Hơn thay 2 x y x y b) Giải hệ phương trình 2 x y x 12 xy 16 x y x y 2 x y x 12 xy 16 2 x y x y 2 2 x y x 12 xy 3( x y x y ) 16 15 x y x y x y x y 2 (4 x 12 xy y ) x y (2 x y ) 2(2 x y ) x2 y x y 2 x y 25 x x 13 (giải hai nghiệm hệ 0,5) y 1 y 21 13 Câu a) Tìm tất cặp số nguyên ( x; y) thỏa mãn: x y xy x y (4,5 đ) x2 y xy x y x 2( y 2) x y y (*) + Phương trình (*) phương trình bậc hai theo ẩn x có ' ( y 2)2 (2 y y 1) y y ' ( y 1)(3 y ) + PT (*) có nghiệm ' , tức là: y 1 y 1 ( y 1)(3 y ) 3 y 3 y Suy 1 y Suy y 1;0;1; 2;3 (Mỗi ý 0,25) + Với + Với + Với + Với 2,0 0,25 0,5 0,5 0,75 3,0 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 y 1 : tìm cặp ( x; y) (3; 1) y : không thỏa 0,25 0,25 y : tìm cặp ( x; y) (1;1) , ( x; y) (3;1) y : không thỏa 0,25 0,25 0,25 + Với y : tìm cặp ( x; y) (1;3) Trang 3/7 b) Cho parabol (P): y x đư ng th ng (d): y x m ( m tham số) Tìm m để (d) c t (P) t i hai điểm ph n biệt A, B ( A, B không trùng gốc tọa độ O) Gọi A ', B ' hình chiếu vng góc A, B lên trục hồnh 15 Tìm m để diện tích tứ giác ABB ' A ' - Phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) ( d ) là: x x m (*) + Điều kiện để ( d ) c t ( P ) hai điểm ph n biệt A, B ( A, B không trùng gốc tọa độ O) là: m m (Khơng có hình vẽ minh họa, vẽ sai chiều biến thiên – 0,25) + Giả sử ( d ) c t ( P ) hai điểm ph n biệt A( xA , xA m), B( xB , xB m) (với xA xB ) Diện tích hình thang ABB ' A ' là: y A yB x A xB m A A ' BB ' S A' B ' ( xB x A ) ( xB x A ) 2 2m ( xB x A ) 15 15 2m xB x A Theo đề suy ra: ( xB x A ) 2m 15 8m xB x A Ta có hệ: 2m suy xB m xB x A xB 8m nghiệm phương trình x x m nên: 2m 8 m 8 m m 4m 5m 2m 56 m m (m 2)(4m2 13m 28) m (thỏa m m ) Vậy m giá trị cần tìm 1,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Trang 4/7 Câu Cho tam giác nhọn ABC ( AB AC ) có ba đư ng cao AD, BE, CF đồng quy (2,5 đ) t i H a) Chứng minh HE.CB HC.EF 2,5 1,0 A E F B H D C ( hông có hình v khơng chấm bài) Xét hai tam giác HEF HCB có: EHF CHB Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn 0,25 0,25 0,25 HEF HCB Suy hai tam giác HEF HCB đồng dạng HE EF HE.CB HC.EF Suy HC CB 0,25 b) Một đư ng th ng qua H c t hai đư ng th ng AB, AC t i M , N cho H trung điểm MN Chứng minh đư ng trung trực đo n th ng MN qua trung điểm đo n th ng BC 1,5 A D' E F N H M B D I C + Gọi I trung điểm đoạn thẳng BC + Lấy điểm D’ đối xứng với C qua H Suy D ' M / /CN Mà BH AC nên BH D ' M Suy M trực t m tam giác D ' BH Suy HM D ' B Mà D ' B / / IH suy HM IH Vậy đường trung trực đoạn thẳng MN qua trung điểm I BC 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Trang 5/7 Câu Cho tứ giác ABCD nội tiếp đư ng tròn (O) đư ng kính AD 2a, BC a, (4,5 đ) ADB 300 Gọi E giao điểm hai đư ng th ng AB CD, F giao điểm hai đư ng th ng AC BD, I trung điểm EF a) Chứng minh IC tiếp tuyến đư ng tròn (O) 1,5 E I B A C F H O D - Hình v phục vụ c u c u a: 0,25 điểm - Nếu học sinh v ADB 30 trừ c u a (0,25điểm) không chấm c u c OCD ODC (vì tam giác OCD c n O) Tứ giác BECF nội tiếp đường tròn đường kính EF nên ICE c n I ICE IEC Nói F trực t m tam giác EAD, suy ODC IEC 900 Do OCD ICE 900 0,25 0,25 0,25 0,25 Suy OCI 900 , nên IC tiếp tuyến đường tròn (O) 0,25 b) Tính diện tích tứ giác OBIC theo a IB IC, OB OC Suy OI đường trung trực đoạn thẳng BC 1,5 0,5 Do OI BC Suy diện tích tứ giác OBIC là: SOBIC + BC a + Trong tam giác vng CIO C có: OI Suy SOBIC 2a a2 a 3 OC 2a cos30 OI BC 0,25 0,5 0,25 Trang 6/7 c) Trên tiếp tuyến đư ng tròn (O) t i A, lấy điểm M thuộc nửa mặt ph ng b AD chứa điểm B cho ADM 300 Đư ng th ng MB c t đư ng tròn (O) t i điểm N (N khác B ) Dựng đư ng kính NK đư ng trịn (O) Chứng minh ba đư ng th ng AK , BD MO đồng quy 1,5 M K B L P A D O N ( hơng có hình v , khơng chấm bài) + Gọi L giao điểm BD MO, P hình chiếu vng góc A lên MO Ta chứng minh A, L, K thẳng hàng + Chứng minh hai tam giác AMB NMA đồng dạng Suy MA2 MB.MN 0,25 MB MP MO MN 0,25 Mà BMP chung, suy hai tam giác MBP MON đồng dạng 0,25 Suy BNO BPL Mà BNO BAK nên BAK BPL (1) Tứ giác ABLP nội tiếp nên BPL BAL (2) 0,25 Mà MA2 MP.MO Suy MB.MN MP.MO hay + Từ (1) (2) suy BAK BAL Suy hai tia AK AL trùng Suy A, L, K thẳng hàng Vậy ba đường thẳng AK , BD, MO đồng quy L 0,25 0,25 Ghi chú: Nếu học sinh có cách giải khác Ban Giám khảo thảo luận thống thang điểm cho phù hợp với Hướng dẫn chấm Trang 7/7 ... trình x2 x 2 x (4,0 đ) Cách 1: Điều kiện: x x2 x 2 x 1 x2 x ( x 1)( x 5) x 5 2x 1 2x 1 0 + x2 4x 2x 1 x2 2x (2 x 1) 2x... nghiệm x = Cách 2: Điều kiện: x 0 ,25 2, 0 ( x 5) ( x 1) 0 2x 1 ( x 1 )2 0 ,25 0 ,25 0,5 0 ,25 0 ,25 0,5 0 ,25 0 ,25 2x 1 x 1 2x 1 x x ( x ... nên: 2m 8 m 8 m m 4m 5m 2m 56 m m (m 2) (4m2 13m 28 ) m (thỏa m m ) Vậy m giá trị cần tìm 1,5 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 Trang