Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Bình năm 2018- 2019

Hãy xác định các kích thước của hình chữ nhật MNPQ để nó có diện tích lớn nhất... Kết luận: Không tồn tại n thỏa yêu cầu bài toán.[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG BÌNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2018-2019

MƠN THI:TỐN Ngày thi : 14.03.2019 Câu (2,5 điểm)

a) Cho biểu thức

1 1

A

x x x x x

  

    với x0.Rút gọn tìm

giá trị lớn A

b) Khơng dùng máy tính cầm tay, rút gọn biểu thức 10 10

B     

Câu (2,0 điểm)

a) Xác định hệ số ,a bđể hệ thức P x x4 2x33x2 axblà bình phương đa thức

b) Giải phương trình: 4 x 4x  1 16x2 8x1 (1) Câu (2,5 điểm)

Cho đường tròn (O) dây cung BCakhông đổi OBC A điểm di động cung lớn BC cho tam giác ABCcó ba góc nhọn Các đường cao

, ,

AD BE CKcắt H DBC E, AC K, AB a) Trong trường hợp BHCBOC,tính AHtheo a

b) Trong trường hợp bất kỳ, tìm vị trí Ađể tích DH DA nhận giá trị lớn

Câu (1,0 điểm) Tìm tất số tự nhiên nsao cho C2019n 2020là số phương

Câu (1,0 điểm) Cho ba số thực dương , ,x y zthỏa mãn x   y z xyz Chứng minh rằng: x   y z 2 yz zx  xy

Câu (1,0 điểm)

Cho tam giác vng ABCcó AB3,AC4,BC5.Xét hình chữ nhật

ĐÁP ÁN Câu

a) Với x0ta có:

  

    

1

1 1

1 2

1 1

A

x x x x x x

x x

x x x x

x x x x x x x

  

     



    

  

     

Ta có:

2

1

1 0

2

0

x x x x

x x

  

       

  

 



    

Và  x12     0, x x x   1 0, x

1 , 1, 1,

1 x

x x x x x A x

x x

             

 

1

A  x

Vậy giá trị lớn Abằng x1 )

b Ta có:

  

     

2

2

4 10 10 10 10 16 10 8

B           

            

 

6 5 1( 0)

B do B

     

Câu

a) Ta có P x( )x2 cxd2 x4 2cx3 c2 2d2cdxd2, x Mà P x  x4 2x3 3x2 axb

Do ta có hệ phương trình:

2

2

2

2

2

1

c c

c d d

cd a a

b

d b

 

   

    

 

    

 

   



b) ĐK: 3(*) x



 

ta có:  4 x  4x12  3 4x2 3 4 x1 4 x 1 4x

  

4 4x 4x 4x 4x (2)

         

Lại có: 16x2 8x  1 4x12 2(3) Từ (2) (3) ta có:

    

  

2 2

3 4 4

3 4

1

16 16

3 4

1

( (*))

1 4 4

4 1

4

x x x x

x x

x x x x

x

x x

x tm

x x

x



           

 

 

   

    

 

  

    

 

      

 

 

 

  

Vậy phương trình có nghiệm x 

Câu

a) Xét tứ giác AKHEcó K E 900 BACBHC1800mà BHCBOCvà

0

2 180 60

BOC  BAC BAC BAC

M

I

H K

D

E O

B

Kẻ đường kính BI,suy tứ giác AICHlà hình bình hành AH CI(1) Gọi M trung điểm BCIC2OM(2) (đường trung bình)

Từ (1) (2) suy AH 2OM

Do M trung điểm BCOM BCOMlà tia phân giác BOC

0 3

60 cot 60

2

a a a

MOC OM MC AH

       

b) Ta có DBH DAC DB DH DA DH DB DC

DA DC

     

Áp dụng bất đẳng thức  

2

4 x y

xy  (Dấu " " xảy x y)

Ta có:  

2 2

4

DB DC a

DA DH DB DC    (không đổi) Dấu “=” xảy DBDChay D trung điểm BC

DA DH

 nhận giá trị lớn

2

4

a khi D trung điểm BC

ABC

  cân A  Alà điểm cung BC

Câu

Với số tự nhiên athì a2khi chia cho có số dư 0;1;4 Số 2019 chia dư 3; 2020 chi dư 42019n 3 (mod8)n

-Nếu nchẵn n2 ,k k 2019n 32kmod8 C mod8  Nên C khơng thể số phương

-Nếu nlẻ n2k1,k 2019n 32k13.32k 3(mod8)Ckhơng thể số phương

Kết luận: Khơng tồn nthỏa yêu cầu toán Câu

Đặt , ,

1 1

a b c

x y z

  

   Khi x   y z xyz   a b c

Và x 1 a b c,y c a,z a b

a a a b c

   

     

Vậy 6

cyc

b c c a a b c a a b

x y z

a b c c b

      

          

 

    

2

cyc

c a a b

yz zx xy

bc

 

    

Đẳng thức xảy a b chay x  y z Câu

Gọi H K, hình chiếu vng góc A BC PQ Tam giác ABCvuông A nên 12

5 AB AC AH

BC

 

Đặt PN x PQ,  y

Vì APQ ACBsuy 5 25

5 12 12

PQ AK y

x y x

CB  AH      

2

25 25

3

12 12

MNPQ

S x y x x   x  

 

Vậy giá trị lớn SMNPQbằng

x y

K

H N

M

P A

B C