4 dap an toan bang a db ôn tập toán lớp 10

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP CẤP THCS SỞ GD&ĐT NGHỆ AN NĂM HỌC 2021 – 2022 ĐỀ DỰ BỊ Mơn thi: TỐN - BẢNG A Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Hướng dẫn chấm thi gồm 05 trang Câu Câu (3,0 điểm) Nội dung Điể m  3n  là bình phương của một số tự nhiên 2 m n a) Tìm tất cả các số nguyên dương m, n để  2022x  x  y x , y b) Cho các số nguyên dương thỏa mãn là sớ ngun Chứng minh x là xy phương 2 2 2 Ta có  m  3n      m  n  10  m  n   a 1,  m  3n  0 (3,0 ) - 10 Ta có các trường hợp m2  n2 TH1:  m  3n  m2  n2  8n  6mn 0  vô nghiệm - 2 2 TH2:  m  3n  4 m  n  3m  6mn  5n 0  -  m 2 không thỏa mãn  n  0,2 0,2   2 TH3:  m  3n  9 m  n  8m  6mn 0  4m 3n Đáp số m 3a; n 4a, với a là số nguyên dương  x md Gọi d ( x, y )   , với m, n là các số nguyên dương nguyên tố y  nd  b 1, 0,2 Theo giả thiết ta có 2022m d  md  n d mnd  md d  md (1) Ta có 2022m d  md  n d mnd  2022m d  m  n d mnd  n d m  d m (vì  n ; m  1 ) (2) 0,2 0,2 0,2 0,5 0,5 0,5 Từ (1) và (2) suy m d  x m là sớ phương Câu (7,0 điểm) a) Giải phương trình 5x  4x  x  3x  18 5 x  x 1   y  8 b) Giải hệ phương trình   y    x 1 6 ĐK : x 6 5x  4x  1,0 x  3x  18 5 x  x  x 5 x  x  3x  18 Bình phương hai vế ta có: x  x 25 x  x  x  18  10 x x  x  18    x  18 x  18 10 x  x    x  3  x  x  5   x  x    x  3 5 x  x a  a 0  , Đặt x x  x   x  3  x   x  3 x  b  b   Ta có 2a + 3b -5ab = suy (a - b)(2a – 3b) = 1,0  a b   2a 3b b 3,   61 (TM)  x 2  Nếu a= b  x  x  x   x  x  0    61 (KTM) x   61 , x 9 Vậy phương trình có nghiệm là: x   2  y   x 1  Hệ pt cho tương đương   y3    x 1 Thay vào (1) ta có 1,0 0,5 1,5  y  1 x  y  y  0    y 2  x 0 Vậy hệ có các nghiệm (x; y) là (-3; -1), (0; 2) Đặt t x 1 Ta có hệ  2  y t   2  3t y (1) ( 2) 1,0 Trừ vế theo vế (1) cho (2) ta có  t  y  t  y  yt  3 0  t y 1,0 Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực không âm thoả mãn a  4b  9c  6abc 4 Chứng minh rằn a  2b  3c 3 Xem đẳng thức điều kiện phương trình bậc hai đối với ẩn a ta có: a  3bc  9b c  4b  9c   3bc  (1,0 ) 0,2   9c    4b  2  9c   4b  3bc  0,2  12bc   9c  4b  8b 12c 12    2b  3c   a  2b  3c   4 1 Dấu đẳng thức xẩy a 1, b  , c  3 0,2 0,2 Câu (8,0 điểm) a) Cho tam giác ABC với đường tròn bàng tiếp góc A có tâm J Đường trịn này tiế xúc với các cạnh BC, CA, AB tạ các điểm A 1, B1, C1 Giả sử các đường thẳng AB và A 1B1 góc với D Gọi E là chân đường cao hạ từ C1 x́ng DJ Tính các góc BEA1 và AEB1 b) Cho tam giác ABC cho tồn điểm F nằm bên tam giác thoả mã AFB BFC   Các đường thẳng BF và CF cắt các đường thẳng AC và AB các điểm CFA và E Chứng minh AB  AC 4 DE (8,0 ) N J C K 2,0 E M a 4, A D B P Gọi K là giao điểm của JC và MN Vì JC  MN , AB  MN Nên JK song song và PD Do tam giác CNJ vuông N nên PJ NJ JK JC JC PD   DPJ PD PJ  PJ JC 1,0 đồng dạng với PJC Do PDJ  JPC nên DJ  CP Từ suy ba điểm P, E, C thẳng hàng Do CMJ CNJ CEJ 90 nên các điểm M, N, E nằm đường trịn đường kính JC Khi DBM  MCJ DEM hay BEMD là tứ giác nội tiếp   MEB 90 Tứ giác ADEN nội tiếp vì ENA EJC EDP Suy AEN 90 b 4, Q A E 1,0 P 0,5 D F C B AFB BFC CFA 120  CFD DFA AFE EFB 60 0,5 Dựng phía ngoài hai tam giác ABQ, và ACP thì các điểm F, D, P thẳng hàng và các điểm F, E, Q thẳng hàng Ta có S CFA S AFD  S CFD  CF AF CF.DF  AF.DF 1,0 CF AF  DF  CF  AF Áp dụng định lí Ptoleme cho tứ giác nội tiếp ta CF + AF = PF Từ suy Tương tự ta có PF  CF  AF   4  PF 4 DF DF CF AF QF 4  QF 4 EF EF  PQ 4 ED 1,0 1,0  AB  AC AQ  AP PQ 4 ED Câu (1,0 điểm) Viết các số 1,2,3,4,5 lên bảng Một học sinh tiến hành xoá hai sớ a, b và thay và hai sớ a + b và ab Nếu động tác này lặp lặp lại nhiều lần thì các số 6, 27, 2020, 2021, 2022 c xuất bảng một lúc không ? Nếu a và b là các bội của thì a.b, a + b là các bợi của 0,2 Do sớ bợi của tăng lên sau lần xoá học sinh xoá các sớ dạng 3k + 0,2 và 3q + Khi tạo thành hai sớ dạng 3m và 3n + (1,0 Trong năm sớ ban đầu có mợt sớ là bợi của ) Trong năm sớ sau có sớ là bội của nên số này xuất bảng thì 0,5 sớ cịn lại là 2008 phải có dạng 3n + và là điều vơ lí Vậy sớ cho khơng x́t bảng 20, Lưu ý: Nếu học sinh giải cách khác cho điểm tối đa tương ứng cho câu